中考数学试题分类26 矩形 菱形与正方形 56页

第26章 矩形、菱形与正方形 一、选择题 ‎1. （2011浙江省舟山，10，3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为‎14cm2，四边形ABCD面积是‎11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　 　）‎ ‎（A）‎48cm （B）‎‎36cm ‎（C）‎24cm （D）‎‎18cm ‎（第10题）‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎【答案】A ‎2. （2011山东德州8,3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎……‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎3. （2011山东泰安，17 ，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为 A.17 B‎.17 C.18 D.19‎ ‎【答案】B ‎ ‎4. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为 A.2 B. C. D.6 ‎ ‎【答案】A ‎ ‎5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，CD上)，记它们的面积分别 为．现给出下列命题：（ ）‎ ‎①若，则．②若则．‎ 则:‎ A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D，①是假命题，②是假命题 ‎【答案】A ‎6. （2011浙江衢州，1,3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点、点处，且,侧面四边形为矩形，若测得，则( )‎ ‎（第5题）‎ A. 35° B. 40° C. 55° D. 70°‎ ‎【答案】C ‎7. （2011浙江温州，6，4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )‎ ‎ A．2条 B．4条 C．5条 D．6条 ‎【答案】D ‎8. 2011四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎9. （2011浙江省嘉兴，10，4分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为‎14cm2，四边形ABCD面积是‎11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　 　）‎ ‎（A）‎48cm （B）‎‎36cm ‎（C）‎24cm （D）‎‎18cm ‎（第10题）‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎【答案】A ‎10．（2011台湾台北，29）如图(十二)，长方形ABCD中，E为中点，作的角平分线交于F点。若＝6，＝16，则的长度为何？‎ A．4 B．‎5 C．6 D．8 ‎ ‎【答案】C ‎11. （2011湖南邵阳，7，3分）如图（二）所示，中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）‎ A.AC⊥BD B.AB＝CD ‎ C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD ‎【答案】A.提示：当且仅当为菱形时，AC⊥BD。‎ ‎12. （2011湖南益阳，7，4分）如图2，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 A C D 图2‎ B ‎【答案】B ‎13. （2011山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是‎20cm，两条对角线的比是4∶‎ ‎3，则这个菱形的面积是（ ）‎ ‎ A．‎12cm2 B． ‎24cm2 C． ‎48cm2 D． ‎96cm2 ‎ ‎【答案】B ‎14. （2011四川宜宾,7,3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）‎ A．3 B．‎4 ‎‎ C．5 D．6 ‎ ‎（第7题图）‎ ‎【答案】D ‎15. （ 2011重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B‎1C1D1,再顺次连接四边形A1B‎1C1D1各边中点,得到四边形A2B‎2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )‎ ‎①四边形A2B‎2C2D2是矩形; ②四边形A4B‎4C4D4是菱形;‎ ‎…‎ A1‎ A A2‎ A3‎ B B1‎ B2‎ B3‎ C C2‎ C1‎ C3‎ D D2‎ D1‎ D3‎ 第10题图 ‎③四边形A5B‎5C5D5的周长; ④四边形AnBnCnDn的面积是 A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④‎ ‎【答案】C·‎ ‎16. （2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD中，AB=‎5cm，则此菱形的周长为（ ）‎ A. ‎5cm B. ‎15cm C. ‎20cm D. ‎‎25cm ‎【答案】C ‎17. （2011山东临沂，11，3分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∩A＝30°‎ ‎，BC＝2，AF＝BF,则四边形BCDE的面积是（ ）‎ A．2 B．‎3‎ C．4 D．4‎ ‎【答案】A ‎18. （2011四川绵阳7，3）下列关于矩形的说法中正确的是 A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分 ‎【答案】D ‎19. （2011四川乐山9，3分）如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB ② ③BH=FG ④.其中正确的序号是 ‎ A．①②③ B．②③④ C． ①③④ D．①②④‎ ‎【答案】D ‎20．（2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )‎ A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补 ‎【答案】A ‎21. （2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论： ‎ ‎  ①△AED≌△DFB；  ②S四边形 BCDG=  CG2；‎ ‎③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论 A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③．‎ A B C D E F G H 第12题图 ‎【答案】D ‎22. （2011广东茂名，5，3分）如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A．B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝‎5公里，村庄C到公路的距离为‎4公里，则村庄C到公路的距离是 A．3公里 B．4公里 C．5公里 D．6公里 ‎【答案】B ‎23. （2011湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是 A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形 ‎【答案】D ‎24. （2011湖南湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是 A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形 ‎【答案】B 二、填空题 ‎1. （2011山东滨州，17，4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。若∠CED′=56°,则∠AED的大小是_______.‎ ‎（第17题图）‎ ‎【答案】62°‎ ‎2. （2011山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为________．‎ 第一次操作 第二次操作 ‎【答案】或 ‎3. （2011湖北鄂州，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．‎ A B C D ‎ 第5题图 ‎【答案】28 ‎ ‎4. （2011山东烟台，17,4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .‎ ‎【答案】2‎ ‎5. (2011 浙江湖州，16，4)如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张，才能用它们拼成一个新的正方形．‎ ‎【答案】4‎ ‎6. (2011浙江绍兴，15，5分) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎7. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 。‎ ‎……‎ ‎【答案】‎ ‎8. （2011江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线L1和L4上，该正方形的面积是 平方单位．‎ ‎【答案】5或9‎ ‎9. （2011山东潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD，垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎10．（2011山东潍坊，17，3分）已知长方形ABCD，AB=‎3cm，AD=‎4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______________.‎ ‎【答案】 ‎11. （2011‎ 四川内江，16，5分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形．‎ A B C D E F G H ‎【答案】AB=CD ‎12. (2011重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ．‎ ‎【答案】：‎ ‎13. （2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)‎ ‎【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或AC=BD ‎(答案不唯一，写出一种即可)‎ ‎14. (2011江苏南京，12，2分)如图，菱形ABCD的连长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_________㎝2．‎ ‎(第12题)‎ B A D C E ‎【答案】 ‎ ‎15. （2011江苏南通，15，3分）如同，矩形纸片ABCD中，AB＝‎2cm，点E在BC上，且 AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC＝ ▲ cm.‎ ‎【答案】4‎ ‎16. （2011四川绵阳17，4）如图，将长‎8cm，宽‎4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.‎ ‎【答案】2 ‎17. （2011四川凉山州，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 。‎ ‎【答案】或 ‎18. （2011湖北黄冈，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．‎ A B C D ‎ 第5题图 ‎【答案】28‎ ‎19. （2011湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）.将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为 。‎ ‎【答案】AB=2BC ‎20．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大． ‎ ‎【答案】2; ‎ ‎21. （2011河北，14，3分）如图6，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴对应的数分别为-4和1，则BC=__． ‎ ‎【答案】5‎ ‎22. （2010湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 .‎ ‎【答案】15°或75°‎ 三、解答题 ‎1. （2011浙江省舟山，23，10分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．‎ ‎（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；‎ ‎（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），‎ ‎① 试用含的代数式表示∠HAE；‎ ‎② 求证：HE=HG；‎ ‎③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由． ‎ ‎（第23题图2）‎ ‎（第23题图3）‎ ‎（第23题图1）‎ ‎【答案】（1）四边形EFGH是正方形．‎ ‎　　　　(2) ①∠HAE=90°＋a．‎ 在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；‎ ‎∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，‎ ‎∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．‎ ‎②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，‎ 在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．‎ ‎∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．‎ ‎③四边形EFGH是正方形．‎ 由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，‎ ‎∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，‎ 又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，‎ ‎∴四边形EFGH是正方形．‎ ‎2. （2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、（＞0，＞0，＞0）．‎ ‎（1）求证：=；‎ l1‎ l2‎ l3‎ l4‎ h1‎ h2‎ h3‎ A B C D ‎（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=；‎ ‎（3）若，当变化时，说明正方形ABCD的面积S随的变化情况．‎ l1‎ l2‎ l3‎ l4‎ h1‎ h2‎ h3‎ A B C D E F G ‎1‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎【答案】（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CG⊥l3交l3于点G，‎ ‎∵l2∥l3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；‎ ‎（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2，∴S=；‎ ‎ (3)由题意，得， 所以 ‎，‎ 又，解得0＜h1＜‎ ‎∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；‎ ‎ 当h1=时，S取得最小值；‎ 当＜h1＜时，S随h1的增大而增大.‎ ‎3. （2011福建福州，21，12分）已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.‎ ‎ (1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；‎ ‎(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,‎ ①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.‎ ②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.‎ 图10-1‎ 图10-2‎ 备用图 ‎【答案】(1)证明:①∵四边形是矩形 ‎∴∥‎ ‎∴,‎ ‎∵垂直平分,垂足为 ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴ ‎ ‎∴四边形为平行四边形 又∵‎ ‎∴四边形为菱形 ‎②设菱形的边长,则 ‎ 在中,‎ 由勾股定理得,解得 ‎∴‎ ‎(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形 ‎ ∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,‎ ‎∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒 ‎∴,‎ ‎∴,解得 ‎∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.‎ ②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.‎ 分三种情况:‎ i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得 ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得 iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得 综上所述,与满足的数量关系式是 ‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎4. （2011广东广州市，18，9分）‎ ‎ 如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．‎ ‎ 求证：△ACE≌△ACF．‎ 图4‎ A B C D E F ‎【答案】∵四边形ABCD为菱形 ‎∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF，AC=AC ‎∴△ACE≌△ACF（SAS）‎ ‎5. （2011山东滨州，24，10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。‎ ‎（第24题图）‎ ‎【答案】‎ 当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，‎ 四边形AECF是矩形………………2分 证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，‎ ‎∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分 同理，FO=CO………………6分 ‎∴EO=FO 又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分 又∵∠1=∠2，∠4=∠5，‎ ‎∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°‎ ‎∴∠2+∠4=90°………………9分 ‎∴四边形AECF是矩形………………10分 ‎6. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？‎ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.‎ ‎(1) 请按照小明的思路写出求解过程.‎ ‎(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.‎ ‎(第22题)‎ ‎（1）解：过作直线平行于交，分别于点，， ‎ 则，，.‎ ‎∵，∴. 2分 ‎∴，.‎ ‎∴. 4分 ‎（2）证明：作∥交于点， 5分 则，.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ ‎∴.∴. 7分 ‎∴. 8分 ‎(第22题)‎ ‎7. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．‎ ‎（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．‎ ‎（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．‎ ‎（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．‎ ‎（备用图）‎ ‎【答案】 解：∵ABCD是矩形，‎ ‎∴AM∥DN，‎ ‎∴∠KNM=∠1．‎ ‎∵∠KMN=∠1，‎ ‎∴∠KNM=∠KMN．‎ ‎∵∠1=70°，‎ ‎∴∠KNM=∠KMN=70°．‎ ‎∴∠MNK=40°．‎ ‎（2）不能．‎ 过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1,‎ 由（1）知∠KNM=∠KMN．‎ ‎∴MK=NK．‎ 又MK≥ME,‎ ‎∴NK≥1．‎ ‎∴．‎ ‎∴△MNK的面积最小值为，不可能小于．‎ ‎（3）分两种情况：‎ 情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．‎ 设MK=MD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得 ‎,‎ 解得，．‎ 即．‎ ‎∴． （情况一）‎ 情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为 AC．‎ 设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得 即．‎ ‎∴．‎ ‎∴△MNK的面积最大值为1.3． （情况二）‎ ‎8. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．‎ ‎（1）求证：AB＝BC；‎ A B C D E ‎（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．‎ ‎【答案】（1）证明：连接AC，‎ ‎∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴AB2＋BC2＝AC2.‎ ‎∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.‎ ‎∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，‎ ‎∴AB＝BC.‎ ‎（2）证明：过C作CF⊥BE于F.‎ ‎∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形.‎ ‎∴CD＝EF.‎ ‎∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，‎ ‎∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.‎ ‎∴AE＝BF.‎ ‎∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD.‎ ‎9. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且 BE=DF．‎ ‎(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；‎ ‎(2) 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长 ．‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，‎ ‎∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形.‎ ‎（2）∵四边形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.‎ ‎10．（2011宁波市，23，8分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：DE∥BF；‎ ‎（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．‎ 解：（1）□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD ‎∵E、F分别为AB、CD的中点 ‎∴DF＝DC，BE＝AB ‎∴DF∥BE，DF＝BE ‎∴四边形DEBF为平行四边形 ‎∴DE∥BF ‎(2)证明：∵AG∥BD ‎∴∠G＝∠DBC＝90°‎ ‎∴DBC 为直角三角形 又∵F为边CD的中点．‎ ‎∴BF＝DC＝DF 又∵四边形DEBF为平行四边形 ‎∴四边形DEBF是菱形 ‎11. （2011浙江衢州，22,10分）如图，中，是边上的中线，过点作，过点作与分别交于点、点，连接 求证：;‎ 当时，求证：四边形是菱形；‎ 在（2）的条件下，若，求的值.‎ ‎（第22题）‎ ‎【答案】.证明：(1)‎ 解法1：因为DE//AB,AE//BC,所以四边形ABDE是平行四边形，‎ 所以AE//BD且AE=BD，又因为AD是边BC上的中线，所以BD=CD，‎ 所以AE平行且等于CD，所以四边形ADCE是平行四边形，所以AD=EC.‎ 解法2：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)解法1：‎ 证明是斜边上的中线 ‎ ‎ ‎ 又四边形是平行四边形 ‎ 四边形是菱形 解法2‎ 证明：‎ ‎ ‎ ‎ 又四边形是平行四边形 ‎ 四边形是菱形 解法3‎ 证明：‎ ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ 又 四边形是菱形 解法1‎ 解：四边形是菱形 的中位线，则 解法2‎ 解：四边形是菱形 ‎12. （2011浙江省嘉兴，23，12分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．‎ ‎（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；‎ ‎（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），‎ ‎① 试用含的代数式表示∠HAE；‎ ‎② 求证：HE=HG；‎ ‎③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由． ‎ ‎（第23题图2）‎ ‎（第23题图3）‎ ‎（第23题图1）‎ ‎【答案】（1）四边形EFGH是正方形．‎ ‎　　　　(2) ①∠HAE=90°＋a．‎ 在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；‎ ‎∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，‎ ‎∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．‎ ‎②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，‎ 在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．‎ ‎∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．‎ ‎③四边形EFGH是正方形．‎ 由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，‎ ‎∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，‎ 又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，‎ ‎∴四边形EFGH是正方形．‎ ‎13. （2011福建泉州，21，9分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A‎1C1D1．‎ ‎(1)证明：△A1AD1≌△CC1B；‎ ‎(2)若∠ACB＝30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形. （直接写出答案）‎ ‎【答案】‎ ‎∵矩形ABCD ‎ ‎∴BC=AD,BC∥AD ‎∴∠DAC=∠ACB ‎∵把△ACD沿CA方向平移得到△A‎1C1D1．‎ ‎∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1‎ ‎∴∠A1=∠ACB，A1D1=CB。‎C B A D A1‎ C1‎ D1‎ ‎（第21题）‎ ‎∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）。……………6分 当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形，……………9分 ‎14. （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。‎ ‎（1）求证：四边形AFCE是菱形；‎ ‎（2）若AE=‎10cm，△ABF的面积为‎24cm2，求△ABF的周长；‎ ‎（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。‎ A B C D E F O ‎【答案】（1）由折叠可知EF⊥AC，AO=CO ‎∵AD∥BC ‎∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO ‎∴△AOE≌△COF ‎∴EO=FO ‎∴四边形AFCE是菱形。‎ ‎（2）由（1）得AF=AE=10‎ 设AB=a，BF=b，得 a2+b2=100 ①，ab=48 ②‎ ‎①+2×②得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去）‎ ‎∴△ABF的周长为‎24cm ‎（3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意。‎ A B C D E F O P 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE ‎∴△AOE∽△AEP ‎∴，得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP 又AC=2AO ‎∴2AE2=AC·AP ‎15. ‎ ‎（2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.‎ ‎（1）求证： OP=OQ；‎ ‎（2）若AD=‎8厘米，AB=‎6厘米，P从点A出发，以‎1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．‎ ‎【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC， ‎ ‎∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB， ‎ ‎∴△POD≌△QOB， ‎ ‎∴OP=OQ。 ‎ ‎（2）解法一： PD=8-t ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，‎ ‎∵AD=‎8cm，AB=‎6cm，∴BD=‎10cm，∴OD=‎5cm. ‎ 当四边形PBQD是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，‎ ‎∴△ODP∽△ADB， ‎ ‎∴，即， ‎ 解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形. ‎ 解法二：PD=8-t ‎ 当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm， ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=‎6cm， ‎ ‎∴， ∴， ‎ 解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形. ‎ ‎16. （2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1‎ 处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）.‎ 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.‎ 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO‎1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：‎ 问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；‎ 问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是π？‎ 请你解答上述两个问题.‎ ‎【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，‎ ‎∴顶点O运动过程中经过的路程为 ‎.‎ 顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为 ‎=1+π.‎ 正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为 ‎.‎ 问题②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为 ‎∴π=20×π+π.‎ ‎∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.‎ ‎17. （2011江苏泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直平分线段AC，垂足为O，直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．‎ ‎（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？‎ ‎（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．‎ ‎【答案】(1)相似.由直线L垂直平分线段AC，所以AF=FC，∴∠FAC=∠ACF，又∵∠ABC=∠AOF=90°，∴△ABC∽FOA．‎ ‎（2）四边形AFCE是菱形。理由：∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，‎ 又∵AO＝CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，‎ ‎∴四边形AFCE为平行四边形，又AF=FC，所以平行四边形AFCE为菱形．‎ ‎18. （2011江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．‎ ‎（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标;‎ ‎(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；‎ ‎（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）当∠BAO=45°时，∠PAO=90°，在Rt⊿AOB中，OA＝AB＝，在Rt⊿APB中，PA＝AB＝。∴点P的坐标为（，）‎ ‎（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，点P都在∠AOB的平分线上；‎ ‎（3）＜h≤。当点B与点O重合时，点P到AB的距离为，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到AB的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到AB的距离最大为，然后又逐渐减小到，∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ，‎ ‎∴点P到x轴的距离的取值范围是＜h≤。‎ ‎19. （2011山东济宁，17， 5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．‎ 第17题 ‎【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD∥BC，OB=OD，…………………………………………1分 ‎∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，…………………………2分 ‎∴△OED≌△OFB，‎ ‎∴DE=BF，………………………………………………………3分 又∵DE∥BF，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形，………………………………4分 ‎∵EF⊥BD，‎ ‎∴四边形BEDF是菱形．………………………………………5分 ‎20．（2011山东聊城，25，12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝‎12cm，BC＝‎8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为‎2cm/s，点F的速度为‎4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）．‎ ‎（1）当t＝1秒时，S的值是多少？‎ ‎（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围．‎ ‎（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）如图甲，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，‎ 由S＝S梯形EGCG－SEBF－SFCG＝(10＋2)×8－×10×4－×4×2＝24‎ ‎(2)如图（甲），当0≤t≤2时，点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动，‎ 此时AE＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2）‎ ‎（3）如图乙，当点F追上点G时，4t＝2t＝8，解得t＝4，‎ 当2＜t≤4时，CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即S＝－8t＋32(2＜t≤4)，‎ ‎(3)如图（甲），当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2，在EFF和FCG中，B＝C ‎＝90，，①若，即，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF②若，即，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF，‎ 综上知，当t＝或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似 ‎21. （2011山东潍坊，18，8分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.‎ ‎（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；‎ ‎（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.‎ ‎ ‎ ‎【解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.‎ ‎∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.‎ ‎∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.‎ 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.‎ ‎∴PE+PF=OF+FB=OB=.‎ ‎（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.‎ ‎∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.‎ ‎∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.‎ 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.‎ ‎∴PE－PF=OF－BF= OB=.‎ ‎22. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE 图5‎ ‎【答案】证明：∵ABCD是菱形，∠ABC= 60°‎ ‎ ∴BC=AC=AD ‎ 又∵DE∥AC ∴ACED为平行四边形 ‎ ∴CE=AD=BC DE=AC ‎ ∴DE=CE=BC ‎ ∴DE=BE ‎23. (2011江苏南京，21，7分)如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．‎ ‎⑴求证：△ABF≌△ECF ‎⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．‎ A B C D E F ‎(第21题)‎ ‎【答案】证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.‎ ‎∵EC=DC, ∴AB=EC．‎ 在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，‎ ‎∴⊿ABF≌⊿ECF．‎ ‎（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．‎ ‎∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB． ‎ ‎∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．‎ 解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．‎ 又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，‎ ‎∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．‎ 又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．‎ ‎∴口ABEC是矩形．‎ ‎24. （2011江苏南通，26，10分）（本体满分10分）‎ ‎ 已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△（如图2）.‎ （1） 探究AE′与BF'的数量关系，并给予证明；‎ （2） 当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.‎ ‎【答案】（1）AE′＝BF 证明：如图2，‎ ‎∵在正方形ABCD中， AC⊥BD ‎∴∠＝∠AOD＝∠AOB＝90°‎ 即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′‎ ‎∴∠AOE′＝∠BOF′‎ 又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA ‎∴OE′＝OF′‎ ‎∴△OAE′≌△OBF′‎ ‎∴AE′＝BF ‎（2）作△AOE′的中线AM，如图3.‎ ‎ 则OE′＝2OM＝2OD＝2OA ‎ ∴OA＝OM ‎ ∵α＝30°‎ ‎ ∴∠AOM＝60°‎ ‎ ∴△AOM为等边三角形 ‎∴ MA＝MO＝ME′，∠＝∠‎ 又∵∠＋∠＝∠AMO 即2∠＝60°‎ ‎∴∠＝30°‎ ‎∴∠＋∠AOE′＝30°＋60°＝90°‎ ‎∴△AOE′为直角三角形.‎ ‎25. （2011山东临沂，22，7分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F ‎（1）求证：AC＝AD；‎ ‎（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎【解】（1）证明：∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠BCA，‎ ‎∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B，‎ ‎∵AD平分∠FAC，‎ ‎∴∠FAD＝∠B，‎ ‎∴AD∥BC，……………………………………………………………………（2分）‎ ‎∴∠D＝∠DCE，‎ ‎∵CD平分∠ACE，‎ ‎∴∠ACD＝∠DCE，‎ ‎∴∠D＝∠ACD，………………………………………………………………（3分）‎ ‎∴AC＝AD；……………………………………………………………………（4分）‎ ‎（2）证明：∵∠B＝60°，‎ ‎∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°，‎ ‎∴∠DCE＝∠B＝60°，………………………………………………………（5分）‎ ‎∴DC∥AB,‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形，……………………………………………（6分）‎ 又由（1）知AC＝AD，‎ ‎∴AB＝AD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．……………………………………………………（7分）‎ ‎26. （2011山东临沂，25，11分)如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．‎ ‎ （1）求证：EF＝EG；‎ ‎（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a,BC＝b，求的值．‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎（1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，‎ ‎ ∴∠DEF＝GEB，………………………………………………（ 1分）‎ ‎ 又∵ED＝BE，‎ ‎ ∴Rt△FED≌Rt△GEB，…………………………………………（ 2分）‎ ‎ ∴EF＝EG．……………………………………………………（ 3分）‎ ‎(2)成立．……………………………………………………………………（ 4分）‎ ‎ 证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，‎ ‎ 则EH＝EI，∠HEI＝90°，…………………………………（ 5分）‎ ‎ ∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°，‎ ‎ ∴∠IEF＝∠GEH，……………………………………………（ 6分）‎ ‎ ∴Rt△FEI≌Rt△GEH,‎ ‎ ∴EF＝EG．………………………………………………………（7分）‎ ‎ ‎ ‎ (3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N ，‎ 则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,………………………（ 8分）‎ ‎ ∴＝＝，‎ ‎ ∴＝＝, …………………………………………（9分）‎ ‎ ∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，‎ ‎ ∴∠FEN＝∠GEM，‎ ‎∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………（10分）‎ ‎∴＝＝．…………………………………………（11分）‎ ‎ ‎ ‎27. （2011上海，23，12分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CF、AC．‎ ‎（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；‎ ‎（2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．‎ ‎【答案】（1）连接BD．‎ ‎∵DE⊥BC，EF=DE，‎ ‎∴BD=BF，CD=CF．‎ ‎∵在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形．‎ ‎∴BD=AC．‎ ‎∴AC=BF，AB=CF．‎ ‎∴四边形ABFC是平行四边形．‎ ‎（2）∵DE2 =BE·CE，EF=DE，‎ ‎∴EF2 =BE·CE．‎ ‎∴．‎ 又∵DE⊥BC，‎ ‎∴∠CEF=∠FEB=90°．‎ ‎∴△CEF∽△FEB．‎ ‎∴∠CFE=∠FBE．‎ ‎∵∠FBE+∠BFE=90°，‎ ‎∴∠CFE +∠BFE=90°．‎ 即∠BFC=90°．‎ 由（1）知四边形ABFC是平行四边形，‎ ‎∴证四边形ABFC是矩形．‎ 20． ‎（2011四川乐山20，10分）如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上 的点，且AE=DF。求证：BE=CF ‎【答案】‎ 证明：∵四边形ABCD为矩形 ‎ ∴OA=OB=OC=OD‎ ‎AB=CD ‎ ∵AE=DF ‎ ∴OE=OF ‎ 在ΔBOE与ΔCOF中，‎ ‎ ‎ ‎ ∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS)‎ ‎ ∴BE=CF ‎29. （2011湖南衡阳，26，10分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m＞4)，点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．‎ ‎(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；‎ ‎(2)连结AC，若PQ∥AC,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）‎ ‎(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．‎ ‎【解】(1) 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），‎ ‎∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°，‎ 又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP，‎ 又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴，‎ ‎∴，∴或8，∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8．‎ ‎(2) 如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴，即，∴．‎ ‎∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，，即，∴．‎ ‎(3)由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），‎ ‎∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP，‎ ‎∴PB=DA=4，AP=BQ=，‎ ‎∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：‎ S四边形PQCD= S矩形ABCD－S△DAP－S△QBP=‎ ‎==16（4＜≤8）．‎ ‎30. （2011贵州贵阳，18，10分）‎ 如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BCE；（5分）‎ ‎（2）求∠AFB的度数．（5分）‎ ‎（第18题图）‎ ‎【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC．‎ ‎∵△CDE是等边三角形，‎ ‎∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE． ‎ ‎∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°，‎ ‎∴∠ADE=∠BCE=30°．‎ ‎∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE，‎ ‎∴△ADE≌△BCE．‎ ‎（2）∵△ADE≌△BCE，‎ ‎∴AE=BE，‎ ‎∴∠BAE=∠ABE．‎ ‎∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE，‎ ‎∴∠DAE=∠AFB．‎ ‎∵AD=CD=DE，‎ ‎∴∠DAE=∠DEA．‎ ‎∵∠ADE=30°，‎ ‎∴∠DAE=75°，‎ ‎∴∠AFB=75°．‎ ‎31. （2011广东肇庆，20，7分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．‎ ‎（1）求证：△BEC≌△DEC；‎ ‎（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140°，求∠AFE的度数． ‎ A B C D E F ‎【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴CD＝CB， ‎ ‎∵AC是正方形的对角线 ∴∠DCA＝∠BCA ‎ 又 CE ＝ CE ∴△BEC≌△DEC ‎ ‎(2）∵∠DEB ＝ 140° 由△BEC≌△DEC可得∠DEC ＝∠BEC＝140°¸2＝70°， ‎ ‎∴∠AEF ＝∠BEC＝70°，‎ 又∵AC是正方形的对角线， ∠DAB＝90° ∴∠DAC ＝∠BAC＝90°¸2＝45°， ‎ 在△AEF中，∠AFE＝180°— 70°— 45°＝65° ‎ ‎32. （2011广东肇庆，22，8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．‎ ‎（1）求证：四边形OCED是菱形；‎ ‎（2）若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为，求AC的长．‎ A B C D E O ‎【答案】解：（1）证明：∵DE∥OC ，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形． ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形 ∴ AO＝OC＝BO＝OD ‎ ‎∴四边形OCED是菱形． ‎ A B C D E O 图8‎ F ‎（2）∵∠ACB＝30° ∴∠DCO ＝ 90°— 30°＝ 60°‎ 又∵OD＝ OC， ∴△OCD是等边三角形 ‎ 过D作DF⊥OC于F，则CF＝OC，设CF＝，则OC＝ 2，AC＝4‎ 在Rt△DFC中，tan 60°＝ ∴DF＝FC× tan 60° ‎ 由已知菱形OCED的面积为得OC× DF＝，即 ， ‎ ‎ 解得 ＝2， ∴ AC＝4´2＝8 ‎ ‎33. （2011湖北襄阳，25，10分)‎ 如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.‎ ‎（1）求证：∠ADP＝∠EPB；‎ ‎（2）求∠CBE的度数；‎ ‎（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由. ‎ 图9‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ‎∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90° 1分 ‎∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90°‎ ‎∴∠ADP＝∠EPB. 2分 ‎（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90° 3分 又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP ‎∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG 4分 ‎∴∠CBE＝∠EBG＝45°. 5分 ‎（3）方法一：‎ 当时，△PFE∽△BFP. 6分 ‎∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分 设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝，∴BF＝BP· 8分 ‎∴，‎ ‎∴ 9分 又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP 10分 方法二：‎ 假设△ADP∽△BFP，则. 6分 ‎∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分 ‎∴， 8分 ‎∴， 9分 ‎∴PB＝AP， ∴当时，△PFE∽△BFP. 10分 ‎34. （2011湖南永州，25，10分）探究问题：‎ ‎⑴方法感悟：‎ 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．‎ 感悟解题方法，并完成下列填空：‎ 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：‎ AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,‎ ‎∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，‎ 因此，点G，B，F在同一条直线上．‎ ‎∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．‎ ‎∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．‎ 即∠GAF=∠_________．‎ 又AG=AE，AF=AF ‎∴△GAF≌_______．‎ ‎∴_________=EF，故DE+BF=EF． ‎ ‎（第25题）①‎ ‎⑵方法迁移：‎ 如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．‎ ‎（第25题）②‎ ‎⑶问题拓展：‎ 如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．‎ ‎（第25题）③‎ ‎【答案】⑴EAF、△EAF、GF．‎ ‎⑵DE+BF=EF，理由如下：‎ 假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：‎ AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,‎ ‎∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，‎ 因此，点G，B，F在同一条直线上．‎ ‎∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=‎ ‎∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=．‎ 即∠GAF=∠EAF 又AG=AE，AF=AF ‎∴△GAF≌△EAF．‎ ‎∴GF=EF，‎ 又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF． ‎ ‎（第25题）②解得图 ‎⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．‎ ‎35. （2011江苏盐城，27，12分）‎ 情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．‎ 观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．‎ 图1 图2‎ 问题探究 如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.‎ 图3‎ 拓展延伸 如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.‎ 图4‎ ‎【答案】情境观察 AD（或A′D），90 ‎ 问题探究 结论：EP=FQ. ‎ 证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.‎ ‎∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.‎ ‎∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.‎ 同理AG=FQ. ∴EP=FQ. ‎ 拓展延伸 结论： HE=HF. ‎ 理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.‎ ‎∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，‎ ‎∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，‎ ‎∴∠ABG=∠EAP.‎ ‎∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = . ‎ 同理△ACG∽△FAQ，∴ = . ‎ ‎∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ = . ∴EP=FQ. ‎ ‎∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.‎ ‎36. (20011江苏镇江,23,7分)已知:如图,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,‎ 求证:四边形BCDE是菱形.‎ 答案:证明：∵AD⊥BD，‎ ‎∴∠ADB=90°。‎ 又E为AB中点，∴DE=AB,BE=AB, ∴DE=BE ‎∴∠ DBE =∠EDB 又AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB ‎∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC ‎∴BC∥DE.‎ ‎∵EB∥CD ‎∴四边形BCDE是平行四边形 ‎∵BC=CD ‎∴四边形BCDE是菱形。‎ ‎37. (20011江苏镇江,25,6分)已知:如图1,图形①满足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72°, ∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2).记作AB的长度为a,BM的长度为b. ‎ ‎(1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度.‎ ‎(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为 ‎“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”.‎ ‎①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形,需要这种纸片____张;‎ ‎②小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图3),其中 ‎∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）∠B=72°，∠E=36°‎ ‎（2）5个；‎ ‎（3）图略 ‎38. （2011贵州安顺，25，10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．‎ ‎⑴说明四边形ACEF是平行四边形；‎ ‎⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．‎ 第25题图 ‎【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC ‎∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ‎∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形ACEF是平行四边形 ．‎ ‎（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形 ．‎ 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴ BE=CE 又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．‎ ‎39. （2011河北，23，9分）如图12，四边形ABCD是正方形，点E,K分别在BC,AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.‎ ‎(1)求证：①DE=EG;‎ ‎②DE⊥EG；‎ ‎（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；‎ ‎（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；‎ ‎（4）当时，请直接写出的值.‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°，‎ 又∵CE=AG，∴△DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.‎ 又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG.‎ ‎（2）如图 ‎(3)四边形CEFK为平行四边形。‎ 证明：设CK,DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，‎ ‎∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG;∵BK=AG,∴KG=AB=CD,‎ ‎∴四边形CKGD为平行四边形。∴CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.‎ ‎∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形CKEF为平行四边形。‎ ‎（4）=‎ ‎40. （2011湖南湘潭市，24，8分）（本题满分8分）‎ 两个全等的直角三角形重叠放在直线上，如图⑴，AB=‎6cm，BC=‎8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线上左右平移，如图⑵所示.‎ ‎⑴ 求证：四边形ACFD是平行四边形;‎ ‎⑵ 怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形;‎ ‎⑶ 将Rt△ABC向左平移，求四边形DHCF的面积.‎ 图(1)‎ A(D)‎ B(E)‎ C(F)‎ D 图(2)‎ F E C B A H ‎【答案】 （1）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF,∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF，‎ ‎∴四边形ACFD是平行四边形；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=‎10cm，要使四边形ACFD为菱形，则AC=CF，‎ ‎∴可将Rt△ABC向左平移‎10cm或向右平移‎10cm；‎ ‎（3）在Rt△ABC中，．‎ ‎∴当Rt△ABC向左平移时，EC=BC-BE=8-4=4（cm），‎ 在Rt△HEC中，．‎ ‎∴四边形DHCF的面积为：cm2．‎ ‎41. （2011湖北荆州，19，7分）（本题满分7分）如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形？请说明理由.‎ ‎【答案】△ABE是等边三角形，理由如下：‎ 因为△PEA是将△PCD绕P点顺时针旋转60°后得到的 所以△PEA≌△PCD，且AE与DC所夹的锐角为60°‎ 所以AE＝DC 又因为四边形ABCD是矩形 所以DC＝AB且DC∥AB 所以AE＝AB且∠EAB＝60°‎ 所以△ABE是等边三角形.‎ ‎ ‎