中考数学专题复习总结和训练四与圆相关的问题 4页

‎2016年中考数学专题复习和训练四: ‎ 与圆相关的问题 班级： 姓名： 编制：赵化中学 郑宗平 专题透析：‎ ‎ 与圆相关的问题主要包括圆的基本性质、点和圆以及直线圆的位置关系、切线的判定和性质、切线长定理、三角形的内切圆、与圆有关的计算等等；考查重点和常考题型有以下几点：‎ ‎1.在中考题中常以选择题或填空题的形式考查学生对基本定理的理解；‎ ‎2.证明直线是圆的切线在考题中经常出现，常与三角形、四边形等综合考查，重点考查切线的判定定理及其他圆的一些知识，证明直线是圆的切线，通过两种途径证明：即“连半径，证垂直”；“作垂直，证半径”.‎ ‎3.论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等以及线段的倍分关系等，此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形的判定、垂径定理及其推论、圆周角和圆心角的性质及切线的性质等有关圆的基本知识.‎ 专题Ⅰ.圆的基本性质部分 典例精析：‎ 例1.如图，在⊙中，直径弦,则下列结论中正确的是 （ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ 分析：本题主要是利用垂径定理、圆周角定理及其推论以及等对等关系 综合进行判断.‎ 解：（由同学们自我完成解答并选择正确答案）.‎ 例2.如图,有一座圆弧形拱桥，它的跨度为60米，拱桥高为米，当洪水泛滥到水面跨度只有30米时，就要采取紧急措施；若拱顶离水面只有4米，即米时，是否需要采取紧急措施？‎ 分析：‎ 本题要解决“是否需要采取紧急措施？”的问题，关键是要 算出图中的长度；假设圆心为，连结,根据垂径定 理可知四点共线，且(垂 足分别为），分别连结；要求的长度，‎ 抓住;在△中，要求关键求出此圆弧形的半径，而这个问题可以转化到△获得解决.‎ 解：（由同学们自我完成解答）.‎ 点评：这类题关键要抓住圆周角、圆心角、弦等的特殊位置，运用圆的基本性质切入可以迅速破题，通常是通过连结、过圆心作弦的垂线等辅助线手段把问题转化到三角形来解决问题.‎ 师生互动练习：‎ ‎1. 如图，为⊙的直径，分别为的半径，为的中 点，,下列结论：‎ ‎①.;②.;③.;④.四边形为正方形.‎ 其中正确的是 （ ）‎ A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④‎ ‎2.如图，是⊙的直径，是⊙上的一点，若，‎ 于点,则的长为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 如图，是⊙的直径，点是弧的中点，,则 等于 （ ）‎ A.55° B.60° C.65° D.70°‎ ‎4. 半径为圆内的两条平行弦分别为和长，则两条平行弦 之间距离为 （ ）‎ A. B. C.或 D.或 ‎5. 如图，在⊙中，半径,为弧的三等分点，分别交 于点，则下列结论：①.; ②.;‎ ‎③.;④.. 其中正确的结论是 （填序号）.‎ ‎6.如图，矩形与圆心在上的⊙交于点，‎ ‎，则 .‎ ‎7.如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 ‎，则该半圆的半径为 .‎ ‎8. 如图，⊙经过原点且与两坐标轴分别交于点和点,点 的坐标为， 为⊙在第一象限内的一点,且.‎ 解答下列各题：‎ ‎⑴.求⊙的半径；‎ ‎⑵.求点坐标及圆心的坐标．‎ ‎9. 如图，点是△的内心，的延长线交于点,交△‎ 的外接圆于点.‎ ‎⑴.求证：;‎ ‎⑵.若,求的长.‎ ‎10. 已知:如图,为半圆上的一点，,过点作直径的垂线 ‎,为垂足，弦分别交于点.‎ ‎⑴、求证:; ‎ ‎⑵、若,求的长. ‎ 专题Ⅱ.与圆有关的位置关系部分 典例精析：‎ 例1.如图，△内接于⊙,是直径，⊙的切线交的延长线于点,∥交于点,交于点,连结.‎ ‎⑴.判断与⊙的位置关系，并说明理由；‎ ‎⑵.若⊙的半径为4，,求的长.‎ 分析：‎ ‎⑴.“遇切线，连半径，得垂直.”当我们连结后,容易 得到,所以;而判断与⊙的位置关系，可以尝试证明是否成立；实际上又题中条件容易证明△≌△,从而得到，与⊙的位置关系便一目了然.‎ ‎⑵.本题求的长按我们平时的常规思路会首先想到化在△来考虑，但是未知的，所以要求比较困难，只有另外想办法.根据⑴问得出结论，利用切线长定理和圆的有关性质等知识点可以得出,在△根据勾股定理可以求出的长，利用面积公式即可求出的长度，从而求出的长.‎ 解：（由同学们自我完成解答）.‎ 例2. 已知：,为边上的一点，以为圆心，为半径作⊙，交于两点，设.‎ ‎⑴.如图①，当取何值时，⊙与相切？‎ ‎⑵.如图②，当取何值时，⊙与相交于两点，且. ‎ 分析：‎ ‎⑴.当圆心到一条直线的距离等于半径时，直线与圆相切；所以本问可以从圆心作于,在有30°锐角的△先求出,进一步可以求出的值；‎ ‎⑵.本问可以作出△斜边的高，可以根据等腰三角形和直角三角形的相关性质求出的长度，然后仿照⑴问方法在△先求出,进一步可以求出的值.‎ 解：（由同学们自我完成解答）.‎ 点评：‎ 例1有两点值得总结，其一通过全等三角形的对应角相等来得到90°的角，这是我们平时容易忽视的途径；其二，通过三角形的面积公式求出其斜边上的高为所求线段的长打下基础.例2值得总结是把所求化归在直角三角形中来解决.这两道题提醒我们注意弦垂线和切线构成的直角三角形来解决相关问题.‎ 师生互动练习：‎ ‎1. 半径为的⊙圆心坐标为，点的坐标为，则⊙与点的位置关系是（ ）‎ A.点在⊙内 B.点在⊙上 C.点在⊙外 D.点在⊙内或⊙外 ‎2. 已知：点到直线的距离为，以点为圆心，为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线的距离均为，则半径的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.下列命题中，正确的命题的个数是 （ ）‎ ‎①.经过已知三点可以作一个圆；②.三角形的外心一定在三角形内部；③.等腰三角形的外心必在底边的中心所在的直线上；④.矩形一定有外接圆，圆心是对角线交点；⑤.直角三角形的外心是斜边的中点.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎4.如图，以点为圆心的两个圆中，大圆的弦切小圆于点,‎ 交小圆于点.若,则长为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 如图，是⊙的两条弦，,过点的切线与相切 于点,则的度数为 （ ）‎ A.25° B.30° C.35° D.40°‎ ‎6.等边三角形的内切圆半径为，外接圆半径为,高为，则的值为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图，在矩形中，,分别与⊙‎ 相切于三点，过点作⊙的切线,切点为，则 的长为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.⑴.已知Rt△的斜边.以点为圆心作圆，当半径= 时，与⊙相切.‎ ‎⑵. Rt△中，于,以为圆心，以为半径的圆于的位置关系是 .‎ ‎9. 如图，在矩形中，,以顶点为圆心作半径的 圆。若要求另外三个顶点中至少有一个点在圆内，且至少有一个 点在圆外，则的取值范围是 .‎ ‎10. 如图，是⊙的直径，点是⊙的直径，点是⊙上的一点.‎ 若于点,则的长为 .‎ ‎11.如图，Rt△中,,⊙是△的内切 圆，是切点，△的内切圆⊙的半径= .‎ ‎12. 如图在Rt△中，,以为直径作，交于,过作 ‎∥,交于.‎ ‎⑴.求证:是⊙的切线；‎ ‎⑵.如果⊙的半径为,,求的长? ‎ ‎⑶.在⑵的条件下，延长交⊙O于，连接，求△的面积 ‎13.如图，等腰△中，,以为直径作⊙交 于点,交于点,,垂足为,交的延长线于点.‎ ‎⑴.求证：直线是⊙的切线；‎ ‎⑵.求的值.‎ ‎14.如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为,比大,点为的中点，以为直径的⊙交轴于点,过作.交于点.‎ ‎⑴.求的长及点的坐标；‎ ‎⑵.求证：为⊙的切线；‎ ‎⑶.小明在解答本题时，发现△是等腰三角形，由此他断定：‎ ‎“直线上一定存在除点外的点,使△也是等腰三角 形，且点一定在⊙外”； 你同意他的看法吗？请说明理由.‎ 专题Ⅲ.圆的有关的计算部分 典例精析：‎ 例1.如图，已知为⊙的直径，是弦，于点,于点,.‎ ‎⑴.求证：∥;‎ ‎⑵.求证：△≌△;‎ ‎⑶若,设，求的值及阴影部分的面积.‎ 分析：‎ ⑴. 根据直径所对的圆周角是直角以及垂直于同一直线两直线平行可求证.‎ ‎⑵.根据垂径定理及等弧所对的圆周角相等，即可证得△和△有 两组角相等，从而证得两个三角形全等.‎ ‎⑶.根据勾股定理求得的值，再根据阴影部分的面积=扇形-△，即可求解.‎ 解：（由同学们自我完成解答）.‎ 例2.如图，四边形和六边形都是⊙的内接正多边形 ‎⑴.求(即)的度数；‎ ‎⑵.若正方形的边长为，试求正六边形的周长和面积.‎ 分析：‎ 对于⑴问可以先求出两个正多边形的内角的度数，然后利用角的和差关系来解决；对于⑵问可以问题化归在三角形来解决；如图连接后利用△和△的特殊性和它们的联系点来解决.圆与正多边形的相关计算通常化归在三角形来解决.‎ 解：（由同学们自我完成解答）.‎ 例23.如图，Rt△的斜边,点在边上，‎ ‎,一个以为圆心的圆分别切两直角边于，求的长度？‎ ‎ ‎ 分析：“遇切点，连半径，得垂直”.当连接OE、OD后（见分析图），根据 切线和切线长的性质，容易得出四边形OECD是正方形以及圆心角∠EOD=90°‎ 的结论，此时根据弧长公式要求只缺半径的条件，利用勾股定理在 ‎△中求出情况下利用勾股定理可以获得解决.本题还可以利 用相似的相关知识来计算.‎ 解：（由同学们自我完成解答）.‎ 点评：‎ 圆的的有关计算若是求阴影部分的面积要注意整体与部分的面积关系，对于不规则的阴影要注意用平移、翻折、旋转、割补、等积转化、作差法以及叠合法来分析切入；对于正多边形的计算要注意化归在等腰三角形和直角三角形中来解决；对于与圆的弦和切线相关的计算，要注意构建出直角三角形并调动勾股定理、三角函数和相似形的知识来解决问题.‎ 师生互动练习：‎ ‎1.如图，是⊙的直径，弦,则阴影 =（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.如图，矩形中，.将矩形按顺如 图所示的方式在直线上依次旋转，则点在两次旋转过程中经过 的路径长是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.有一边长为4的正边形，它的一个内角为120°，则其外接圆和内切的半径分别为 （ ）‎ A.和 B.和 C.和 D..和 ‎4.将一个正方形硬纸板剪去四角，使它变成边长为正八边形，则原正方形边形面积为 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.如图，△的,其外接圆⊙的半径为6，则图中阴影部分的（‎ 和弦围成的弓形）面积为 .（结果用含的式子表示）‎ ‎6. 如图，△中，;将△绕着点 顺时针旋转40°，的圆心是点则阴影部分的面积为 .‎ ‎7. 如图，正方形的边长为2，曲线叫“正方形 的渐开线”,其中的圆心依次 按循环，长度分别标记为.当弧线长度 标记为时，的值为 .‎ ‎8.如图，是围墙，一根5米长的绳子，一端栓在围墙一角的 柱子上，另一端栓一只羊.‎ ‎⑴.请在图中画出羊活动的区域; ‎ ‎⑵.求出羊活动区域的面积？‎ ‎9.如图，点在⊙的直径的延长线上，点在⊙‎ 上，.‎ ‎⑴.求证：是⊙的切线；‎ ‎⑵.若⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积.‎ ‎ ‎ 迎考精练：‎ ‎1.如图，为⊙的直径，弦,垂足为点,连结;若 ‎,则的长度为 （ ）‎ A.2.5 B.3 C.2 D.1或4‎ ‎2.如图，△是⊙的内接三角形，是⊙的直径，,‎ 的平分线交⊙于点,则的度数是 （ ） ‎ ‎ A.45° B.85° C.90° D.95°‎ ‎3.如图，是半圆别的直径，是圆心，是半圆外一点，‎ 分别交半圆于点，,则等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 如图，是⊙的直径，弦于点,直线与⊙相 切于点，则下列结论不一定正确的是 （ ）‎ A. B.∥ C.∥ D.‎ ‎5.如图，是⊙的切线，切点为,连结,与⊙交于点 ‎,为⊙的直径，连结;若，⊙的半径为2，则图 中阴影部分的面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 如图, 分别切⊙于点，若⊙的半径为6，‎ ‎,则△的周长为 .‎ ‎7.如图，在扇形中，,点为的中点，‎ 交于点,以点为圆心，的长为半径作交于点,‎ ‎.现有四张分别标有数字的卡片，它们除数字外完全 相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上 洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 则阴影部分的面积为 . ‎ ‎8.如图，已知任意一五边形.现分别以五边形的五个 顶点为圆心，均以半径画圆，则这些圆被每一个内角的两边相交所截 得的弧长之和为 ，在五边形内部所构成的扇形（见图中阴影 部分）的面积之和为 . ‎ ‎9.如图，为⊙的直径，为⊙上的一点，和过的切 线互相垂直，垂足为,交⊙于点.‎ ‎⑴.求证：平分;‎ ‎⑵.若,求的长. ‎ ‎10. 如图，⊙是△的外接圆，且,点在上运动，过点作∥,交的延长线于点,连接.‎ ‎⑴.求证:;‎ ‎⑵.当点运动到什么位置时，是⊙的切线？请说明理由.‎ ‎⑶.当时，求⊙的半径?‎ ‎11.如图，在△中，是的角平分线，,点 在边上，以为直径的半圆经过点,交于点.‎ ‎⑴.求证：是⊙的切线；‎ ‎⑵.已知,⊙的半径为4，求图中阴影部分的面积.‎ ‎12. 如图，在△中，,以为直径作半圆 ‎⊙，交于点,连结,过点作,垂足 为,交的延长线于点.‎ ‎⑴.求证：是⊙的切线；‎ ‎⑵.已知⊙的半径为4,,，求的长. ‎