中考数学真题汇编圆带答案 33页

‎2017年浙江中考真题分类汇编（数学）：专题11 圆 一、单选题 ‎1、（2017·金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（      ) ‎ A、10cm B、16cm C、24cm D、26cm ‎2、（2017•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ ．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则 的长为           （        ） ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、（2017·丽水）如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（    ） ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎4、（2017·衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。则图中阴影部分的面积是（       ） ‎ A、 B、 C、 D、‎ 二、填空题 ‎5、（2017•杭州）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=________． ‎ ‎6、（2017•湖州）如图，已知在 中， ．以 为直径作半圆 ，交 于点 ．若 ，则 的度数是________度． ‎ ‎7、（2017·台州）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，则 弧BC的长为________cm（结果保留 ） ‎ ‎8、（2017•绍兴）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E.则∠DOE的度数为________. ‎ ‎9、（2017·嘉兴）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为 的 ， ，弓形 （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为________． ‎ ‎10、（2017•湖州）如图，已知 ，在射线 上取点 ，以 为圆心的圆与 相切；在射线 上取点 ，以 为圆心， 为半径的圆与 相切；在射线 上取点 ，以 为圆心， 为半径的圆与 相切； ；在射线 上取点 ，以 为圆心， 为半径的圆与 相切．若 的半径为 ，则 的半径长是________． ‎ ‎11、（2017·衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线 上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是________ ‎ 三、解答题 ‎12、（2017•湖州）如图， 为 的直角边 上一点，以 为半径的 与斜边 相切于点 ，交 于点 ．已知 ， ． ‎ ‎(1)求 的长； ‎ ‎(2)求图中阴影部分的面积． ‎ ‎13、（2017·台州）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径 ‎ ‎(1)求证：△APE是等腰直角三角形； ‎ ‎(2)若⊙O的直径为2，求 的值 ‎ ‎14、（2017·衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F。已知CE=12，BE=9 ‎ ‎(1)求证：△COD∽△CBE； ‎ ‎(2)求半圆O的半径 的长 ‎ ‎15、（2017·丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E. ‎ ‎(1)求证：∠A=∠ADE； ‎ ‎(2)若AD=16，DE=10，求BC的长. ‎ ‎16、（2017•温州）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE． ‎ ‎(1)当∠APB=28°时，求∠B和 的度数； ‎ ‎(2)求证：AC=AB． ‎ ‎(3)在点P的运动过程中 ①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值； ②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比． ‎ ‎17、（2017•温州）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D ‎ ‎(1)求证：四边形CDEF是平行四边形； ‎ ‎(2)若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值． ‎ ‎18、（2017•杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ， ‎ ‎(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：‎ ɑ ‎30°‎ ‎40°‎ ‎50°‎ ‎60°‎ β ‎120°‎ ‎130°‎ ‎140°‎ ‎150°‎ γ ‎150°‎ ‎140°‎ ‎130°‎ ‎120°‎ 猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明： ‎ ‎(2)若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长． ‎ ‎19、（2017•宁波）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形． ‎ ‎(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝ ∠D，∠C＝ ∠A，求∠B与∠C的度数之和； ‎ ‎(2)如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF． 求证：四边形DBCF是半对角四边形； ‎ ‎(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比． ‎ ‎20、（2017·金华）(本题10分) 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F,连结OC,AC. ‎ ‎(1)求证:AC平分∠DAO. ‎ ‎(2)若∠DAO=105°，∠E=30°. ①求∠OCE的度数. ②若⊙O的半径为2 ，求线段EF的长. ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1、【答案】C 【考点】勾股定理的应用，垂径定理的应用 【解析】【解答】解：∵OB=13cm,CD=8cm; ∴OD=5cm; 在RT△BOD中， ∴BD===12（cm） ∴AB=2BD=24（cm） 【分析】首先先作OC⊥AB交点为D，交圆于点C，根据垂径定理和勾股定理求AB的长。 ‎ ‎2、【答案】B 【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理，正方形的判定，切线的性质，弧长的计算 【解析】【解答】解： ∵O为BC中点.BC=2. ∴OA=OB=OC=. 又∵AC、AB是⊙O的切线， ∴OD=OE=r.OE⊥AC,OD⊥AB, ∵∠A＝90°. ∴四边形ODAE为正方形. ∴∠DOE=90°. ∴（2r）2+（2r）2=. ∴r=1. ∴弧DE===. 故答案为B. ‎ ‎【分析】根据O为BC中点.BC=2.求出OA=OB=OC=；再根据AC、AB是⊙O的切线，得出四边形ODAE为正方形；由勾股定理求出r的值，再根据弧长公式得出弧DE的长度. ‎ ‎3、【答案】A 【考点】扇形面积的计算 【解析】【解答】解：连接OC，∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点， ∴∠ABC=30°，∠BOC=120°， 又∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， 则AB=2AC=4，BC= ， 则S阴=S扇形BOC-S△BOC= - = - . 故选A. 【分析】连接OC，S阴=S扇形BOC-S△BOC ， 则需要求出半圆的半径，及圆心角∠BOC；由点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，可得∠ABC=30°，∠BOC=120°，从而可解答. ‎ ‎4、【答案】A 【考点】垂径定理的应用，扇形面积的计算 【解析】【解答】解：作GH⊥AB,交CD于G，交EF于H，连接OC、OD、OE、OF.      ∵⊙O的直径AB=10，CD=6，EF=8，且AB‖CD‖EF，      ∴OG⊥CD,OH⊥EF,      ∴∠COG=∠DOG,∠EOH=∠FOH,      ∴OE=OF=OC=OD=5，CG=3，EH=4，      ∴OG=4，OH=3，      ∵AB‖CD‖EF,     ∴S△OCD=S△BCD ， S△OEF=S△BEF ， ‎ ‎    ∴S阴影=S扇形ODC+S扇形OEF=S半圆=π×52=π. 故答案是：π. 【分析】作GH⊥AB,交CD于G，交EF于H，连接OC、OD、OE、OF.由AB‖CD‖EF，可得OG⊥CD,OH⊥EF,∠COG=∠DOG,∠EOH=∠FOH,  S△OCD=S△BCD ， S△OEF=S△BEF ， 所以S阴影=S扇形ODC+S扇形OEF=S半圆=π×52=π. ‎ 二、填空题 ‎5、【答案】50° 【考点】三角形内角和定理，切线的性质 【解析】【解答】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径， ∴∠BAT=90°， ∵∠ABT=40°， ∴∠ATB=50°， 故答案为：50° 【分析】根据切线的性质和三角形内角和定理即可求出答案． ‎ ‎6、【答案】140 【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理 【解析】【解答】解：连接AD（如图）, ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， 又∵AB=AC,∠BAC=40°, ∴∠BAD=20°,∠B=70°, ∴弧AD度数为140°. 故答案为140. ‎ ‎ 【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角为直角，可知AD⊥BC，然后根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD平分∠BAC，可得∠BAD=20°，然后求得∠B=70°，再根据同弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半，从而得出答案. ‎ ‎7、【答案】20 【考点】弧长的计算 【解析】【解答】解：依题可得：弧BC的长===20. 【分析】根据弧长公式即可求得. ‎ ‎8、【答案】90° 【考点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：∠DAE与∠DOE在同一个圆中，且所对的弧都是 ， 则∠DOE=2∠DAE=2×45°=90°. 故答案为90°. 【分析】运用圆周角与圆心角的关系即可解答. ‎ ‎9、【答案】（32+48π）cm² 【考点】扇形面积的计算 【解析】【解答】解：连接OA，OB， ‎ ‎ 因为弧AB的度数是90°， 所以圆心角∠AOB=90°， 则S空白=S扇形AOB-S△AOB==（cm2）, S阴影=S圆-S空白=64-（）=32+48（cm2）。 故答案为（32+48π）cm² 【分析】先求出空白部分的面积，再用圆的面积减去空白的面积就是阴影部分的面积.连接OA，OB，则S空白=S扇形AOB-S△AOB ， 由弧AB的度数是90°， 可得圆心角∠AOB=90°，即可解答. ‎ ‎10、【答案】512 【考点】含30度角的直角三角形，切线的性质，探索数与式的规律 【解析】【解答】解：如图，连接O1A1,O2A2,O3A3, ∵⊙O1,⊙O2,⊙O3,……都与OB相切， ∴ O1A1⊥OB， 又∵∠AOB=30°,O1A1=r1=1=20. ∴OO1=2, 在Rt△OO2A2中， ∴OO1+O1O2=O2A2. ∴2+O2A2=2O2A2. ‎ ‎∴O2A2=r2=2=21. ∴OO2=4=22, …… 依此类推可得OnAn=rn=2=2n-1. ∴O10A10=r10=2=210-1=29=512. 故答案为512. 【分析】根据圆的切线性质，和Rt三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；可知OO1=2;同样可知O1O2=2,OO2=2+2=22;……OOn=2n;OnAn=rn=2=2n-1;因此可得第10个⊙O10的半径. ‎ ‎11、【答案】2   【考点】点到直线的距离，勾股定理的应用，解直角三角形 【解析】【解答】解：连接AP,依题可得：要使PQ最小，只要AP最小即可，即AP垂直直线， 设直线与x轴交于C（4，0），与y轴交于B（0，3）， 在Rt△COB中， ∵CO=4,BO=3, ∴AB=5, ∴sinA==, 在Rt△CPA中， ∵A（-1，0）， ‎ ‎∴AC=5, ∴sinA=== ∴PA=3， 在Rt△QPA中, ∵QA=1,PA=3, ∴PQ===2 【分析】要使PQ最小，只要AP最小即可，即AP垂直直线,求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据锐角三角函数sinA====， 从而求出PA,再根据勾股定理求出PQ即可。 ‎ 三、解答题 ‎12、【答案】（1）解：在Rt△ABC中，AB===2  . ∵BC⊥OC ∴BC是⊙O的切线 又∵AB是⊙O的切线 ∴BD=BC= ∴AD=AB-BD= （2）解：在Rt△ABC中，sinA=  ==. ∴∠A=30°. ∵AB切⊙O于点D. ∴OD⊥AB. ∴∠AOD=90°-∠A=60°. ∵  =tanA=tan30°. ∴  =. ‎ ‎∴OD=1. S阴影==. 【考点】勾股定理，切线的性质，扇形面积的计算，解直角三角形 【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据切线的判定证出BC为切线，然后可根据切线长定理可求解. （2）在Rt△ABC中，根据∠A的正弦求出∠A度数，然后根据切线的性质求出OD的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解. ‎ ‎13、【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠C=∠ABC=45°, ∴∠PEA=∠ABC=45° 又∵PE是⊙O的直径， ∴∠PAE=90°, ∴∠PEA=∠APE=45°, ∴ △APE是等腰直角三角形. （2）解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=AB, 同理AP=AE, 又∵∠CAB=∠PAE=90°, ∴∠CAP=∠BAE, ∴△CPA≌△BAE, ∴CP=BE, 在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2, ∴PB2+BE2=PE2, ‎ ‎∴CP2+PB2=PE2=4. 【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰直角三角形 【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证. （2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证. ‎ ‎14、【答案】（1）解：∵CD切半圆于点D，OD为⊙O的半径， ∴CD⊥OD, ∴∠CDO=90°, ∵BE⊥CD于点E, ∴∠E=90°. ∵∠CDO=∠E=90°,∠C=∠C, ∴△COD∽△CBE. （2）解：∵在Rt△BEC中，CE=12,BE=9, ∴CE=15, ∵△COD∽△CBE, ∴, 即, ∴r=. 【考点】切线的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据CD切半圆于点D，BE⊥CD于点E,得出∠CDO=∠E=90°,根据三角形两个角对应相等的两个三角形相似得出△COD∽△CBE. （2）根据（1）中△COD∽△CBE,得出， 从而求出半径。 ‎ ‎15、【答案】（1）证明：连结OD，∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE=90°， ∴∠ADE+∠BDO=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， 又∵OD=OB， ∴∠B=∠BDO， ∴∠ADE=∠A. （2）解：连结CD，∵∠ADE=∠A， ∴AE=DE， ∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°. ∴EC是⊙O的切线，∴DE=EC， ∴AE=EC. 又∵DE=10， ∴AC=2DE=20， 在Rt△ADC中，DC= . 设BD=x， 在Rt△BDC中，BC2=x2+122, 在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2-202, ‎ ‎∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9， ∴BC= . 【考点】切线的性质 【解析】【分析】（1）连结OD，根据切线的性质和同圆的半径相等，及圆周角所对的圆周角为90°，得到相对应的角的关系，即可证明；（2）由（1）中的∠ADE=∠A可得AE=DE；由∠ACB=90°，可得EC是⊙O的切线，由切线长定理易得DE=EC，则AC=2DE，由勾股定理求出CD；设BD=x，再可由勾股定理BC2= x2+122=(x+16)2-202,可解出x的值，再重新代入原方程，即可求出BC. ‎ ‎16、【答案】（1）解：∵MN⊥AB，AM=BM， ∴PA=PB， ∴∠PAB=∠B， ∵∠APB=28°， ∴∠B=76°， 如图1，连接MD， ‎ ‎∵MD为△PAB的中位线， ∴MD∥AP， ∴∠MDB=∠APB=28°， ∴ =2∠MDB=56°； （2）证明：∵∠BAC=∠MDC=∠APB， 又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B， ∴∠BAP=∠ACB， ∵∠BAP=∠B， ∴∠ACB=∠B， ∴AC=AB； （3）解：①如图2，记MP与圆的另一个交点为R， ∵MD是Rt△MBP的中线， ∴DM=DP， ∴∠DPM=∠DMP=∠RCD， ∴RC=RP， ∵∠ACR=∠AMR=90°， ∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2 ， ∴12+MR2=22+PR2 ， ‎ ‎∴12+（4﹣PR）2=22+PR2 ， ∴PR= ， ∴MR= ， Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径， ∴Q与R重合， ∴MQ=MR= ； Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时， 在Rt△QCP中，PQ=2PR= ， ∴MQ= ； Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时， ∵BM=1，MP=4， ∴BP= ， ∴DP= BP= ， ‎ ‎∵cos∠MPB= = ， ∴PQ= ， ∴MQ= ； Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时， 由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°， ∴MQ= ； 综上所述，MQ的值为 或 或 ； ②△ACG和△DEG的面积之比为 ． 理由：如图6，∵DM∥AF， ∴DF=AM=DE=1， 又由对称性可得GE=GD， ∴△DEG是等边三角形， ∴∠EDF=90°﹣60°=30°， ∴∠DEF=75°=∠MDE， ∴∠GDM=75°﹣60°=15°， ∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°， ∴GMD=∠GDM， ∴GM=GD=1， ‎ 过C作CH⊥AB于H， 由∠BAC=30°可得CH= AC= AB=1=MG，AH= ， ∴CG=MH= ﹣1， ∴S△ACG= CG×CH= ， ∵S△DEG= ， ∴S△ACG：S△DEG= ． 【考点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数，再连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB=28°，进而得到 =2∠MDB=56°；（2）根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出AC=AB；（3）①记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2 ， 即可得到PR= ，MR= ，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值为 或 或 ；②先判定△DEG是等边三角形，再根据GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH= AC=1=MG，即可得到CG=MH= ﹣1，进而得出S△ACG= CG×CH= ，再根据S△DEG= ，即可得到△ACG和△DEG的面积之比． ‎ ‎17、【答案】（1）解：连接CE， ∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠B=45°， ∵EF是⊙O的切线， ∴∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°， ∴∠CEO=45°， ∵DE∥CF， ∴∠ECD=∠FEC=45°， ∴∠EOC=90°， ∴EF∥OD， ∴四边形CDEF是平行四边形； （2）解：过G作GN⊥BC于M， ‎ ‎∴△GMB是等腰直角三角形， ∴MB=GM， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴∠FCD=∠FED， ∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°， ∴∠CGM=∠ACD， ∴∠CGM=∠DEF， ∵tan∠DEF=2， ∴tan∠CGM= =2， ∴CM=2GM， ∴CM+BM=2GM+GM=3， ∴GM=1， ∴BG= GM= ． 【考点】平行四边形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形 【解析】【分析】（1）连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据切线的性质得到∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°，根据平行线的性质得到∠ECD=∠FEC=45°，得到∠EOC=90°，求得EF∥OD，于是得到结论；（2）过G作GN⊥BC于N，得到△GMB是等腰直角三角形，得到MB=GM，根据平行四边形的性质得到∠FCD=∠FED，根据余角的性质得到∠CGM=∠ACD，等量代换得到∠CGM=∠DEF，根据三角函数的定义得到CM=2GM，于是得到结论． ‎ ‎18、【答案】（1）解：β=α+90°，γ=﹣α+180° 连接OB， ‎ ‎ ∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA， ∵OB=OA， ∴∠OBA=∠OAB=α， ∴∠BOA=180°﹣2α， ∴2β=360°﹣（180°﹣2α）， ∴β=α+90°， ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴OE是线段BC的垂直平分线， ∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90° ∵∠BCA=∠EDC+∠CED， ∴β=90°+∠CED， ∴∠CED=α， ∴∠CED=∠OBA=α， ∴O、A、E、B四点共圆， ∴∠EBO+∠EAG=180°， ∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°， ∴γ+α=180° （2）解：当γ=135°时，此时图形如图所示， ‎ ‎ ∴α=45°，β=135°， ∴∠BOA=90°，∠BCE=45°， 由（1）可知：O、A、E、B四点共圆， ∴∠BEC=90°， ∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍， ∴ ， ∴ ， 设CE=3x，AC=x， 由（1）可知：BC=2CD=6， ∵∠BCE=45°， ∴CE=BE=3x， ∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62 ， x= ， ∴BE=CE=3 ，AC= ， ∴AE=AC+CE=4 ， 在Rt△ABE中， 由勾股定理可知：AB2=（3 ）2+（4 ）2 ， ∴AB=5 ， ∵∠BAO=45°， ∴∠AOB=90°， ‎ 在Rt△AOB中，设半径为r， 由勾股定理可知：AB2=2r2 ， ∴r=5， ∴⊙O半径的长为5． 【考点】余角和补角，三角形的面积，勾股定理，圆的综合题 【解析】【分析】（1）由圆周角定理即可得出β=α+90°，然后根据D是BC的中点，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性质即可得出∠CED=α，从而可知O、A、E、B四点共圆，由圆内接四边形的性质可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，所以 ，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出⊙O的半径r； ‎ ‎19、【答案】（1）解：在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A.       ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，       ∴3∠B+3∠C=360°.       ∴∠B+∠C=120°.       即∠B与∠C的度数之和120°. （2）证明：在△BED和△BEO中，       .       ∴△BED≌△BEO（SAS）.       ∴∠BDE=∠BOE.       又∵∠BCF=∠BOE.       ∴∠BCF=∠BDE.       如下图，连结OC.       设∠EAF=.则∠AFE=2∠EAF=2. ‎ ‎      ∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2.       ∵OA=OC,       ∴∠OAC=∠OCA=.       ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2.       ∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.       ∴四边形DBCF是半对角四边形. （3）解：如下图，作过点OM⊥BC于点M.      ∵四边形DBCF是半对角四边形，      ∴∠ABC+∠ACB=120°.      ∴∠BAC=60°.      ∴∠BOC=2∠BAC=120°.      ∵OB=OC      ∴∠OBC=∠OCB=30°.      ∴BC=2BM=BO=BD.      ∵DG⊥OB,      ∴∠HGB=∠BAC=60°.      ∵∠DBG=∠CBA,      ∴△DBG△CBA. ‎ ‎     ∴=2=.      ∵DH=BG,BG=2HG.      ∴DG=3HG.      ∴=      ∴=. 【考点】三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A；根据四边形的内角和为360°，得出∠B与∠C的度数之和. （2）如图连接OC，根据条件先证△BED≌△BEO，再根据全等三角形的性质得出∠BCF=∠BOE=∠BDE；设∠EAF=.则∠AFE=2∠EAF=2得出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2；再根据OA=OC得出∠OAC=∠OCA=， 根据三角形内角和得出∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2；从而得证. （3）如下图，作过点OM⊥BC于点M，由四边形DBCF是半对角四边形，得出∠ABC+∠ACB=120°，∠BAC=60°.∠BOC=2∠BAC=120°；再由OB=OC，得出∠OBC=∠OCB=30°.BC=2BM=BO=BD；根据△DBG～△CBA得出答案.     ‎ ‎20、【答案】（1）解：∵直线与⊙O相切， ∴OC⊥CD； 又∵AD⊥CD, ‎ ‎∴AD//OC, ∴∠DAC=∠OCA; 又∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠OAC; ∴AC平分∠DAO. （2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°, ∴∠EOC=∠DAO=105°; ∵∠E=30°, ∴∠OCE=45°. ②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG, ∵OC=2,∠OCE=45°. ∴CG=OG=2, ∴FG=2; ∵在RT△OGE中，∠E=30°， ∴GE=2, ∴EF=GE-FG=2-2. ‎ ‎【考点】平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，切线的性质 【解析】【分析】（1）利用了切线的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，角平分线的判定即可得证。 （2）①根据（1）得出的AD//OC，从而得出同位角相等，再利用三角形的内角和定理即可求出答案；②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG,根据等边对等角得出CG=OG=FG=2,在根据勾股定理得出GE，从而求出EF=GE-FG. ‎