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- 2021-05-10 发布
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北京市东城区2014年中考一模数学试题
学校 班级 姓名 考号
考
生
须
知
1.本试卷共6页,共五道大题,25道小题,满分120分.考试时间120分钟.
2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名和考号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.
4.在答题卡上,选择题、作图题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束,请将本试卷、答题卡一并交回.
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1.的绝对值是
A. 5 B. C. D. -5
2. 从财政部公布的2014年中央公共财政预算支出结构中,交通运输支出约为4350亿元,比去年同期增长7.1%.将4 350用科学记数法表示应为
A. 4.35×103 B. 0.435×104 C. 4.35×104 D. 43.5×102
3.一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
4.有五张形状、大小、质地都相同的卡片,上面分别画有下列图形:①正方形;②正三角形;③平行四边形;④等腰梯形;⑤圆.将卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,正面图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的概率是
A. B. C. D.
5. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中,有9名学生参加决赛,他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名,不仅要了解自己的成绩,还要了解这9名学生成绩的
A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数
6. 如图,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,∠D=74°,
则∠B的度数为
A. 74° B. 32°
C. 22° D. 16°
7. 若二次函数y=x2﹣2x+c的图象与y轴的交点为(0,﹣3),则此二次函数有
A.最小值为-2 B.最小值为-3 C.最小值为-4 D.最大值为-4
8. 在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1
个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M,N,直线m运动的时间为t(秒).设△OMN的面积为S,则能反映S与t之间函数关系的大致图象是
A B
C D
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9. 分解因式:=________________.
10. 现定义运算“★”,对于任意实数a、b,都有a★b=a2﹣3a+b,如:3★5=32﹣3×3+5,根据定义的运算求2★(-1)= .若 x★2=6,则实数x的值是 .
11. 在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,与x轴交于O , A两点, 点A的坐标为(6,0),的半径为,则点P的坐标为 ____________.
12. 在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC如图放置,动点P从(0,3)出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第5次碰到矩形的边时,点P的坐标为 ;当点P第2014次碰到矩形的边时,点P的坐标为____________.
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.计算: .
14.求不等式组的最小整数解.
15.已知:如图,正方形ABCD,E,F分别为DC,BC中点.
求证:AE=AF.
16.先化简,再求值: ,其中m是方程的根.
17.列方程或方程组解应用题
某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价和售价如下表:(注:利润=售价-进价)
甲
乙
进价(元/件)
15
35
售价(元/件)
20
45
若商店计划销售完这批商品后能使利润达到1100元,问甲、乙两种商品应分别购进多少件?
18.如图,已知等腰△AOB放置在平面直角坐标系xOy中, OA=OB,点B的坐标为(3,4) .
(1)求直线AB的解析式;
(2)问将等腰△AOB沿x轴正方向平移多少个单位,能使点B落在反比例函数 (x>0)的图象上.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19. 如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.
(1)求证:CM=CN;
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3:1,且CD=4,求线段MN的长.
20.某中学以“我最喜爱的书籍”为主题,对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查,收集整理数据后,绘制出以下两幅未完成的统计图,请根据图1和图2提供的信息,解答下列问题:
(1)在这次抽样调查中,一共调查了多少名学生?
(2)请把折线统计图(图1)补充完整;
(3)求出扇形统计图(图2)中,体育部分所对应的圆心角的度数;
(4)如果这所中学共有学生1800名,那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数.
21. 如图,AB是⊙O的直径,点E是上一点,∠DAC=∠AED.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2) 若点E是的中点,连结AE交BC于点F,当BD=5, CD=4时,求DF的值.
22. 阅读下面材料:
小炎遇到这样一个问题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,连结EF,则EF=BE+DF,试说明理由.
图1 图2
小炎是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段相对集中.她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,最后发现线段AB,AD是共点并且相等的,于是找到解决问题的方法.她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG,再利用全等的知识解决了这个问题(如图2).
参考小炎同学思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图3,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°.若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足_ 关系时,仍有EF=BE+DF;
(2)如图4,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD=1, EC=2,求DE的长.
图3 图4
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23. 已知:关于x的一元二次方程mx2﹣(4m+1)x+3m+3=0 (m>1).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1>x2),若y是关于m的函数,且y=x1﹣3x2,求这个函数的解析式;
(3)将(2)中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时,b的取值范围.
24. 如图1,已知∠DAC=90°,△ABC是等边三角形,点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合),连结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,连结QB并延长交直线AD于点E.
(1)如图1,猜想∠QEP= °;
(2)如图2,3,若当∠DAC是锐角或钝角时,其它条件不变,猜想∠QEP的度数,选取一种情况加以证明;
(3)如图3,若∠DAC=135°,∠ACP=15°,且AC=4,求BQ的长.
图1 图2 图3
25.在平面直角坐标系xOy中,直线分别与x轴,y轴交于过点A,B,点C是第一象限内的一点,且AB=AC,AB⊥AC,抛物线经过A,C两点,与轴的另一交点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)判断直线AB与CD的位置关系,并证明你的结论;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
北京市东城区2013--2014学年第二学期初三综合练习(一)
数学试卷参考答案及评分标准 2014.5
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
B
A
A
B
D
B
C
D
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
题 号
9
10
11
12
答 案
﹣1或4
(3,2)
(1,4)
(5,0)
三、解答题:(本题共30分,每小题5分)
13.(本小题满分5分)
解:原式= ………………4分
=. ………………5分
14.(本小题满分5分)
解:解不等式 得>2; ………………1分
解不等式 得≤8. ………………3分
∴ 不等式组的解集为 2<≤8. ………………4分
∴ 不等式组的最小整数解为3. ………………5分
15.(本小题满分5分)
证明:∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ AB=AD,∠B=∠D=90°,DC=CB.………………2分
∵ E、F为DC、BC中点,
∴ DE=DC,BF=BC.
∴ DE=BF. ………………3分
∵ 在△ADE和△ABF中,
∴ △ADE≌△ABF(SAS). ………………4分
∴ AE=AF. ………………5分
16.(本小题满分5分)
解:原式=
=
=. ………………3分
∵ m是方程的根,
∴ .
∴ . ………………………5分
17.(本小题满分5分)
解:设甲种商品应购进x件,乙种商品应购进y件. ………………………1分
根据题意,得 ………………………3分
解得 ………………………4分
答:甲种商品购进100件,乙种商品购进60件. ………………………5分
18.(本小题满分5分)
解:(1)过点B作BC⊥x轴于点C.
由勾股定理可得 .………1分
∵ OA=OB,
∴ 点A的坐标为(5,0). ………2分
设直线AB的解析式为 .
可求直线AB的解析式为.………3分
(2)将等腰△AOB沿x轴正方向平移5个单位,能使点B落在反比例函数
(x>0)的图象上. ………5分
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.(本小题满分5分)
(1)证明:由折叠的性质可得:∠ANM=∠CNM .
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD∥BC .
∴ ∠ANM=∠CMN .
∴ ∠CMN=∠CNM .
∴ CM=CN. ………2分
(2)解:过点N作NH⊥BC于点H,则四边形NHCD是矩形.
∴ HC=DN,NH=DC.
∵ △CMN的面积与△CDN的面积比为3:1,
∴ MC=3ND=3HC.
∴ MH=2HC.
设DN=x,则HC=x,MH=2x,
∴CM=3x=CN,
在Rt△CDN中,DC=2x=4,
∴ .
∴ HM=2.
在Rt△MNH中,MN=.
20.(本小题满分5分)
解:(1)90÷30%=300(名),
一共调查了300名学生.
(2)艺术的人数:300×20%=60名,
其它的人数:300×10%=30名;
补全折线图如图.
(3)体育部分所对应的圆心角的度数为:×360°=48°.
(4)1800×=480(名).
答:1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为480.
21.(本小题满分5分)
解:(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠B=∠AED =∠CAD,∠C=∠C,
∴∠BAC=∠ADC=90°.
∴AC是⊙O的切线.………………2分
(2)可证△ADC∽△BAC.
∴ .即AC2=BC×CD=36.
解得 AC=6.
∵点E是的中点,
∴∠DAE=∠BAE.
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD,
∴CA=CF=6,
∴DF=CA﹣CD=2.………………5分
22.(本小题满分5分)
解: (1)∠B+∠D=180°(或互补). ………………1分
(2)∵ AB=AC,
∴ 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG,可使AB与AC重合. ………………2分
∠B=∠ACG,
BD=CG,
AD=AG
∵ △ABC中,∠BAC=90°,
∴ ∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°.
即∠ECG=90°.
∴ EC2+CG2=EG2.………………3分
在△AEG与△AED中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD.
又∵AD=AG,AE=AE,
∴ △AEG≌△AED . ………………4分
∴ DE=EG .
又∵CG=BD,
∴ BD2+EC2=DE2.
∴ .………………5分
五、解答题:(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.(本小题满分7分)
解:(1)证明:
所以方程有两个不等实根. ………………2分
………………5分
(3)作出函数的图象,并将图象在直线左侧部分沿此直线翻折,所得新图形如图所示.易知点的坐标分别为
当直线 过点 A 时,可求得
过点B时,可求得
因此,
……………7分
24. (本小题满分7分)
解: (1) ∠QEP= 60 °.………………1分
(2) ∠QEP= 60 °.
证明: 如图1,以∠DAC是锐角为例.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ AC=BC,∠ACB=60°.
又由题意可知,CP=CQ,∠PCQ=6O°.
∴ ∠ACP=∠BCQ.
∴ △ACP≌△BCQ.
∴ ∠APC=∠Q.
设PC与BQ交于点G, 图1
∵ ∠1=∠2,
∴ ∠QEP=∠PCQ=60°. ………………4分
(3)由题意可求,∠APC=30°,∠PCB=45°.
又由(2)可证 ∠QEP=60°.
∴ 可证QE垂直平分PC,
△GBC为等腰直角三角形.
∵ AC=4,
∴ ,.
∴ . ………………7分
25.(本小题满分8分)
解:(1)由题意可求点A(2,0),点B(0,1).
过点C作CE⊥x轴,易证△AOB≌△ECA.
∴ OA=CE=2,OB=AE=1.
∴ 点C的坐标为(3,2). ………………1分
将点A(2,0),点C(3,2)
代入,
解得
∴二次函数的解析式为. ………………2分
(2)令,解得.
∴ D点坐标为(7,0).
可求 .
∴ △ACD为直角三角形,∠ACD=90°.
又∵ ∠BAC=90°,
∴ AB∥CD. ………………4分
(3)如图,由题意可知,要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形,只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等.
∵ B点坐标为(0,1),
∴ 点N到x轴的距离等于1.
可得和.
解这两个方程得.
∴ 点N的坐标分别为(,1),(,1),(,-1),(,-1). ………………8分