中考数学押轴题分类解析 42页

‎2019年中考数学押轴题分类解析 ‎　　以下是查字典数学网为您推荐的 2019年中考数学押轴题分类解析，希望本篇文章对您学习有所帮助。‎ ‎2019年中考数学押轴题分类解析 一、选择题 ‎1.(2019广东省3分)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【 】‎ A. 5 B. 6 C. 11 D. 16‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】三角形三边关系。‎ ‎【分析】设此三角形第三边的长为x，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4‎ ‎2. (2019广东佛山3分)如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。‎ ‎【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、 BCD和△ACD 计算即可：‎ 在△ABC中，ACB=90，BAC=30，AB=2，‎ BC= AB=1，B=90BAC=60。 。‎ 设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，‎ ‎∵BC=DC，△BCD是等边三角形。BD=CD=1。‎ 点D是AB的中点。‎ S。‎ 故选D。‎ ‎3. (2019广东广州3分)如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数 的图象交于A(﹣1，2)、B(1，﹣2)两点，若y1‎ A.x﹣1或x1 B.x﹣1或0‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。‎ ‎【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围：‎ 由图象可得，﹣1‎ ‎4. (2019广东梅州3分)在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线 的交点的个数为【 】‎ A.0个B.1个C.2个D.不能确定 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。‎ ‎【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答：‎ ‎∵直线y=x+1的图象经过一、二、三象限，双曲线 的图象经过一、三象限，‎ 直线y=x+1与双曲线 有两个交点。故选C。‎ ‎5. (2019广东汕头4分)如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50后得到△ABC.若A=40B=110，则BCA的度数是【 】‎ A.110 B.80 C.40 D.30‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】旋转的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】根据旋转的性质可得：A=A，ACB=ACB，‎ ‎∵A=40，A=40。‎ ‎∵B=110，ACB=180﹣110﹣40=30。ACB=30。‎ ‎∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50后得到△ABC，ACA=50，‎ BCA=30+50=80，故选B。‎ ‎6. (2019广东深圳3分)如图，已知：MON=30o，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3..在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】‎ A.6 B.12 C.32 D.64‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】分类归纳(图形的变化类)，等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，‎ A1B1=A2B1，4=12=60。2=120。‎ ‎∵MON=30，1=180-120-30=30。‎ 又∵3=60，5=180-60-30=90。‎ ‎∵MON=1=30，OA1=A1B1=1。A2B1=1。‎ ‎∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，11=10=60，13=60。‎ ‎∵12=60，A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。‎ ‎6=7=30，8=90。A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。‎ A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。‎ 以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7 的边长为32。故选C。‎ ‎7. (2019广东湛江4分)已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】反比例函数的性质和图象。‎ ‎【分析】∵根据题意，得xy=20， 。故选B。‎ ‎8. (2019广东肇庆3分)某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：3：5，如图所示的扇形图表示上述分布情况.已知来自甲地区的为180人，则下列说法不正确的是【 】‎ A.扇形甲的圆心角是72‎ B.学生的总人数是900人 C.丙地区的人数比乙地区的人数多180人 D.甲地区的人数比丙地区的人数少180人 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】扇形统计图，扇形圆心角的求法，频数、频率和总量的关系。‎ ‎【分析】A.根据甲区的人数是总人数的 ，则扇形甲的圆心角是： 360=72，故此选项正确，不符合题意;‎ B.学生的总人数是：180 =900人，故此选项正确，不符合题意;‎ C.丙地区的人数为：900 =450，，乙地区的人数为：900 =270，则丙地区的人数比乙地区的人数多450-270=180人，故此选项正确，不符合题意;‎ D.甲地区的人数比丙地区的人数少270-180=90人，故此选项错误，符合题意。‎ 故选D。‎ ‎9. (2019广东珠海3分)如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为【 】‎ A. 30 B. 45 C .60 D.90‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】弧长的计算。‎ ‎【分析】根据弧长公式 ，即可求解 设圆心角是n度，根据题意得 ，解得：n=60。故选C。‎ 二、填空题 ‎1. (2019广东省4分)如图，在ABCD中，AD=2，AB=4，A=30，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 ▲ (结果保留).‎ ‎【答案】 。‎ ‎【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算 ‎【分析】过D点作DFAB于点F。‎ ‎∵AD=2，AB=4，A=30，‎ DF=ADsin30=1，EB=AB﹣AE=2。‎ 阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积-扇形ADE面积-三角形CBE的面积 ‎2. (2019广东佛山3分)如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ▲‎ ‎【答案】2m+4。‎ ‎【考点】图形的变换，一元一次方程的应用(几何问题)。‎ ‎【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解：‎ 设拼成的矩形的另一边长为x，‎ 则4x=(m+4)2-m2=(m+4+m)(m+4-m)=8m+16，解得x=2m+4。‎ ‎3. (2019广东广州3分)如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，‎ 以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆;‎ 以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆;‎ 以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆;‎ 以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，‎ 按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 ▲ 倍，第n个半圆的面积为 ‎▲ (结果保留)‎ ‎【答案】4; 。‎ ‎【考点】分类归纳(图形的变化类)，半圆的面积，负整数指数幂，幂的乘方，同底幂乘法。‎ ‎【分析】由已知，第3个半圆面积为： ，第4个半圆的面积为： ，‎ 第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 =4倍。‎ 由已知，第1个半圆的半径为 ，第2个半圆的半径为 ，第3个半圆的半径为 ，‎ 第n个半圆的半径为 。‎ 第n个半圆的面积是 。‎ ‎4. (2019广东梅州3分)如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿正方形的边循环移动.①第一次到达G点时移动了 ▲ cm;②当微型机器人移动了2019cm时，它停在 ▲ 点.‎ ‎【答案】7;E。‎ ‎【考点】分类归纳(图形的变化类)。‎ ‎【分析】①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm;‎ ‎②∵机器人移动一圈是8cm，而20198=2514，‎ 移动2019cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点。‎ ‎5. (2019广东汕头4分)如图，在ABCD中，AD=2，AB=4，A=30，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 ▲ (结果保留).‎ ‎【答案】 。‎ ‎【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算 ‎【分析】过D点作DFAB于点F。‎ ‎∵AD=2，AB=4，A=30，‎ DF=ADsin30=1，EB=AB﹣AE=2。‎ 阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积-扇形ADE面积-三角形CBE的面积 ‎6. (2019广东深圳3分)如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6 ，则另一直角边BC的长为 ▲ .‎ ‎【答案】7。‎ ‎【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OFBC，过A作AMOF，‎ ‎∵四边形ABDE为正方形，AOB=90，OA=OB。‎ AOM+BOF=90。‎ 又∵AMO=90，AOM+OAM=90。BOF=OAM。‎ 在△AOM和△BOF中，‎ ‎∵AMO=OFB=90，OAM=BOF， OA=OB，‎ ‎△AOM≌△BOF(AAS)。AM=OF，OM=FB。‎ 又∵ACB=AMF=CFM=90，四边形ACFM为矩形。AM=CF，AC=MF=5。‎ OF=CF。△OCF为等腰直角三角形。‎ ‎∵OC=6 ，根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=(6 )2，解得：CF=OF=6。‎ FB=OM=OF-FM=6-5=1。BC=CF+BF=6+1=7。‎ ‎7. (2019广东湛江4分)如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去.若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，，an，则an= ▲ .‎ ‎【答案】 。‎ ‎【考点】分类归纳(图形的变化类)，正方形的性质，勾股定理，同底幂乘法。‎ ‎【分析】分析规律：‎ ‎∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， 。‎ 同理 ‎8. (2019广东肇庆3分)观察下列一组数： ， ， ， ， ， ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ▲ .‎ ‎【答案】 。‎ ‎【考点】分类归纳(数字的变化类)。‎ ‎【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律：‎ 分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，‎ 第k个数分子是2k，分母是2k+1。这一组数的第k个数是 。‎ ‎9. (2019广东珠海4分)如图，AB是⊙O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sinOCE= ▲ .‎ ‎【答案】 。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。‎ ‎【分析】如图，设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13;由CD=24，CDAB，根据垂径定理得出CE=12;在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5;再根据正弦函数的定义，求出sinOCE的度数：‎ 三、解答题 ‎1. (2019广东省9分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点G;E、F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D处，点D恰好与点A重合.‎ ‎(1)求证：△ABG≌△C ‎(2)求tanABG的值;‎ ‎(3)求EF的长.‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题)，翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】(1)根据翻折变换的性质可知BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，故可得出结论。‎ ‎(2)由(1)可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，从而得出tanABG的值。‎ ‎(3)由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD= AD=4，再根据tanABG的值即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。‎ ‎2. (2019广东省9分)如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.‎ ‎(1)求AB和OC的长;‎ ‎(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值;此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留).‎ ‎【答案】解：(1)在 中，‎ 令x=0，得y=-9，C(0，﹣9);‎ 令y=0，即 ，解得：x1=﹣3，x2=6，A(﹣3，0)、B(6，0)。‎ AB=9，OC=9。‎ ‎(2)∵ED∥BC，△AED∽△ABC， ，即： 。‎ s= m2(0‎ ‎(3)∵S△AEC= AEOC= m，S△AED=s= m2，‎ S△EDC=S△AEC﹣S△AED ‎=﹣ m2+ m=﹣ (m﹣ )2+ 。‎ ‎△CDE的最大面积为 ，‎ 此时，AE=m= ，BE=AB﹣AE= 。‎ 又 ，‎ 过E作EFBC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得： ，即： 。‎ 以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=EF2= 。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。‎ ‎【分析】(1)已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标;当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。‎ ‎(2)直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式;根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。‎ ‎(3)①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。‎ ‎②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。‎ ‎3. (2019广东佛山10分)规律是数学研究的重要内容之一.‎ 初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面.‎ 请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：‎ ‎(1)写出奇数a用整数n表示的式子;‎ ‎(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子;‎ ‎(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律).‎ 下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：‎ xi 0 1 2 3 4 5 ...‎ yi 0 1 4 9 16 25 ...‎ yi+1-yi 1 3 5 7 9 11 ...‎ 由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5...‎ 请回答：‎ 当x的取值从0开始每增加 个单位时，y的值变化规律是什么?‎ 当x的取值从0开始每增加 个单位时，y的值变化规律是什么?‎ ‎【答案】解：(1)n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。 (2)有理数b= (n0)。‎ ‎(3)①当x的取值从0开始每增加 个单位时，列表如下：‎ xi 0‎ ‎1‎ ‎2‎ yi 0‎ ‎1‎ ‎4‎ yi+1-yi 故当x的取值从0开始每增加 个单位时，y的值依次增加 、 、 。‎ ‎②当x的取值从0开始每增加 个单位时，列表如下：‎ xi 0‎ yi 0‎ yi+1-yi 故当x的取值从0开始每增加 个单位时，y的值依次增加 、 、 。‎ ‎【考点】分类归纳(数字的变化类)，二次函数的性质，实数。‎ ‎【分析】(1)n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。‎ ‎(2)根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。‎ ‎(3)根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。‎ ‎4. (2019广东佛山11分)(1)按语句作图并回答：作线段AC(AC=4)，以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆(a4，b4，圆A与圆C交于B、D两点)，连接AB、BC、CD、DA.‎ 若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件?‎ ‎(2)若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积.‎ ‎【答案】解：(1)作图如下：‎ 能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b4。‎ ‎(2)连接BD，交AC于E，‎ ‎∵⊙A与⊙C交于B、D，ACDB，BE=DE。‎ 设CE=x，则AE=4-x，‎ ‎∵BC= b=3，AB= a=2，‎ 由勾股定理得：‎ 解得： 。‎ 四边形ABCD的面积是 。‎ 答：四边形ABCD的面积是 。‎ ‎【考点】作图(复杂作图)，相交两圆的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】(1)根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案;‎ ‎(2)连接BD，根据相交两圆的性质得出DBAC，BE=DE，设CE= x，则AE=4-x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。‎ ‎5. (2019广东广州14分)如图，抛物线 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.‎ ‎(1)求点A、B的坐标;‎ ‎(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标;‎ ‎(3)若直线l过点E(4，0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式.‎ ‎【答案】解：(1)在 中，令y=0，即 ，解得x1=﹣4，x2=2。‎ ‎∵点A在点B的左侧，A、B点的坐标为A(﹣4，0)、B(2，0)。‎ ‎(2)由 得，对称轴为x=﹣1。‎ 在 中，令x=0，得y=3。‎ OC=3，AB=6， 。‎ 在Rt△AOC中， 。‎ 设△ACD中AC边上的高为h，则有 ACh=9，解得h= 。‎ 如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h= ，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。‎ 设L1交y轴于E，过C作CFL1于F，则CF=h= ，‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ 将A(﹣4，0)，B(0，3)坐标代入，得 ‎，解得 。来源:21‎ 直线AC解析式为 。来源:21世纪]‎ 直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位( 个长度单位)而形成的，‎ 直线L1的解析式为 。‎ 则D1的纵坐标为 。D1(﹣4， )。‎ 同理，直线AC向上平移 个长度单位得到L2，可求得D2(﹣1， )。‎ 综上所述，D点坐标为：D1(﹣4， )，D2(﹣1， )。‎ ‎(3)如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F.过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条.‎ 连接FM，过M作MNx轴于点N。‎ ‎∵A(﹣4，0)，B(2，0)，F(﹣1，0)，⊙F半径FM=FB=3。‎ 又FE=5，则在Rt△MEF中，-‎ ME= ，sinMFE= ，cosMFE= 。‎ 在Rt△FMN中，MN=MNsinMFE=3 ，‎ FN=MNcosMFE=3 。‎ 则ON= 。M点坐标为( ， )。‎ 直线l过M( ， )，E(4，0)，‎ 设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有 ，解得 。‎ 直线l的解析式为y= x+3。‎ 同理，可以求得另一条切线的解析式为y= x﹣3。‎ 综上所述，直线l的解析式为y= x+3或y= x﹣3。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】(1)A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。‎ ‎(2)根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h.在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h.根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。‎ ‎(3)本问关键是理解以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个的含义.因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解。这样的切线有两条。‎ ‎6. (2019广东广州14分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=(6090).‎ ‎(1)当=60时，求CE的长;‎ ‎(2)当6090时，‎ ‎①是否存在正整数k，使得EFD=kAEF?若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由.‎ ‎②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tanDCF的值.‎ ‎【答案】解：(1)∵=60，BC=10，sin= ，即sin60= ，解得CE= 。‎ ‎(2)①存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：‎ 连接CF并延长交BA的延长线于点G，‎ ‎∵F为AD的中点，AF=FD。‎ 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，DCF。‎ 在△AFG和△CFD中，‎ ‎∵DCF， DCF，AF=FD，‎ ‎△AFG≌△CFD(AAS)。CF=GF，AG=CD。‎ ‎∵CEAB，EF=GF。AEF=G。‎ ‎∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，AG=5，AF= AD= BC=5。AG=AF。‎ AFG=G。‎ 在△AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，‎ 又∵CFD=AFG，CFD=AEF。‎ EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，‎ 因此，存在正整数k=3，使得EFD=3AEF。‎ ‎②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，‎ 在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。‎ 在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=(10﹣x)2+100﹣x2=200﹣20x。‎ ‎∵CF=GF(①中已证)，CF2=( CG)2= CG2= (200﹣20x)=50﹣5x。‎ CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣(x﹣ )2+50+ 。‎ 当x= ，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值。‎ 此时，EG=10﹣x=10﹣ ，CE= ，‎ ‎【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。‎ ‎【分析】(1)利用60角的正弦值列式计算即可得解。‎ ‎(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用角边角证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得AEF=AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得EFC=2G，然后推出EFD=3AEF，从而得解。‎ ‎②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。‎ ‎7. (2019广东梅州10分)(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q0)的两根为x1、x2;求证：x1+x2=﹣p，x1x2=q.‎ ‎(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点(﹣1，﹣1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值.‎ ‎【答案】(1)证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q0，‎ ‎(2)解：把(﹣1，﹣1)代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。‎ 设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1，0)、(x2，0)。‎ ‎∵d=|x1﹣x2|，‎ d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4 x1x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=(p﹣2)2+4。‎ 当p=2时，d 2的最小值是4。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。‎ ‎【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。‎ ‎【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】‎ ‎(2)把点(﹣1，﹣1)代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。‎ ‎8. (2019广东梅州11分)如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2 )、D(0，3 )，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足PQO=60.‎ ‎(1)①点B的坐标是;②CAO= 度;③当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ;(直接写出答案)‎ ‎(2)设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形?若存在，请直接写出点P的横坐标为m;若不存在，请说明理由.‎ ‎(3)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.‎ ‎【答案】解：(1)①(6，2 )。 ②30。③(3，3 )。‎ ‎(2)存在。m=0或m=3﹣ 或m=2。‎ ‎(3)当03时，‎ 如图1，OI=x，IQ=PItan60=3，OQ=OI+IQ=3+x;‎ 由题意可知直线l∥BC∥OA，‎ 可得 ，EF= (3+x)，‎ 此时重叠部分是梯形，其面积为：‎ 当3‎ 当5‎ 当x9时，如图4，‎ 综上所述，S与x的函数关系式为：‎ ‎【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】(1)①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：‎ ‎∵四边形OABC是矩形，AB=OC，OA=BC，‎ ‎∵A(6，0)、C(0，2 )，点B的坐标为：(6，2 )。‎ ‎②由正切函数，即可求得CAO的度数：‎ ‎∵ ，CAO=30。‎ ‎③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标;如图：当点Q与点A重合时，过点P作PEOA于E，‎ ‎∵PQO=60，D(0，3 )，PE=3 。‎ OE=OA﹣AE=6﹣3=3，点P的坐标为(3，3 )。‎ ‎(2)分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：‎ 情况①：MN=AN=3，则AMN=MAN=30，‎ MNO=60。‎ ‎∵PQO=60，即MQO=60，点N与Q重合。‎ 点P与D重合。此时m=0。‎ 情况②，如图AM=AN，作MJx轴、PIx轴。‎ MJ=MQsin60=AQsin600‎ 又 ，‎ ‎，解得：m=3﹣ 。‎ 情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，‎ 过点P作PKOA于K，过点M作MGOA于G，‎ MG= 。‎ KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。OK=2。m=2。‎ 综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣ 或m=2。‎ ‎(3)分别从当03时，当3‎ ‎9. (2019广东汕头12分)有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为(x，y).‎ ‎(1)用树状图或列表法表示(x，y)所有可能出现的结果;‎ ‎(2)求使分式 有意义的(x，y)出现的概率;‎ ‎(3)化简分式 ，并求使分式的值为整数的(x，y)出现的概率.‎ ‎【答案】解：(1)用列表法表示(x，y)所有可能出现的结果如下：‎ ‎-2 -1 1‎ ‎-2 (-2，-2) (-1，-2) (1，-2)‎ ‎-1 (-2，-1) (-1，-1) (1，-1)‎ ‎1 (-2，1) (-1，1) (1，1)‎ ‎(2)∵(x，y)所有可能出现的结果共有9种情况，使分式 有意义的(x，y)有(﹣1，﹣2)、(1，﹣2)、(﹣2，﹣1)、(﹣2， 1)4种情况，‎ 使分式 有意义的(x，y)出现的概率是 。‎ ‎(3) 。‎ ‎∵在使分式 有意义的4种情况中，值为整数的(x，y)有(1，﹣2)、‎ ‎(﹣2， 1)2种情况，‎ 使 分式的值为整数的(x，y)出现的概率是 。‎ ‎【考点】列表法或树状图法，概率分式有意义的条件，分式的化简求值。‎ ‎【分析】(1)根据题意列出表或画树状图，即可表示(x，y)所有可能出现的结果。‎ ‎(2)根据(1)中的表或树状图中找出使分式 有意义的情况，再除以所有情况数即可。‎ ‎(3)先化简，再在使分式 有意义的4种情况中，找出使分式的值为整数的 ‎(x，y)的情况，再除以所有情况数即可。‎ ‎10. (2019广东汕头12分)如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.‎ ‎(1)求AB和OC的长;‎ ‎(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值;此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留).‎ ‎【答案】解：(1)在 中，‎ 令x=0，得y=-9，C(0，﹣9);‎ 令y=0，即 ，解得：x1=﹣3，x2=6，A(﹣3，0)、B(6，0)。‎ AB=9，OC=9。‎ ‎(2)∵ED∥BC，△AED∽△ABC， ，即： 。‎ s= m2(0‎ ‎(3)∵S△AEC= AEOC= m，S△AED=s= m2，‎ S△EDC=S△AEC﹣S△AED ‎=﹣ m2+ m=﹣ (m﹣ )2+ 。‎ ‎△CDE的最大面积为 ，‎ 此时，AE=m= ，BE=AB﹣AE= 。‎ 又 ，‎ 过E作EFBC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得： ，即： 。‎ 以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=EF2= 。‎ ‎11. (2019广东深圳9分)如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6).‎ ‎(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式;‎ ‎(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;‎ ‎(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗?‎ 请说明理由.‎ ‎【答案】解：(1)∵抛物线经过A(-4，0)、B(1，0)，设函数解析式为：y=a(x+4)(x-1)。‎ 又∵由抛物线经过C(-2，6)，6=a(-2+4)(-2-1)，解得： a=-1。‎ 经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=-(x+4)(x-1)，即y=-x2-3x+4。‎ ‎(2)证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，‎ 由题意得： ，解得： 。‎ 直线BC的解析式为y=-2x+2.‎ 点E的坐标为(0，2)。‎ AE=CE。‎ ‎(3)相似。理由如下：‎ 设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ，解得： 。‎ 直线AD的解析式为y=x+4。‎ 联立直线AD与直线BC的函数解析式可得： ，解得： 。‎ 点F的坐标为( )。‎ 则 。‎ 又∵AB=5， ，‎ 又∵ABF=CBA，△ABF∽△CBA。‎ 以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。‎ ‎(2)求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。‎ ‎(3)求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，根据勾股定理分别求出BF，BC 得出 ;由题意得ABF=CBA， 即可作出判断。‎ ‎12. (2019广东深圳9分)如图，在平面直角坐标系中，直线 ：y=-2x+b (b0)的位置随b的不同取值而变化.‎ ‎(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2.‎ 当b=时，直线 ：y=-2x+b (b0)经过圆心M：‎ 当b=时，直线 ：y=-2x+b(b0)与OM相切：‎ ‎(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B(6，0)、C(6，2).‎ 设直线 扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，‎ ‎【答案】解：(1)10; 。‎ ‎(2)由A(2，0)、B(6，0)、C(6，2)，根据矩形的性质，得D(2，2)。‎ 如图，当直线 经过A(2，0)时，b=4;当直线 经过D(2，2)时，b=6;当直线 经过B(6，0)时，b=12;当直线 经过C(6，2)时，b=14。‎ 当04时，直线 扫过矩形ABCD的面积S为0。‎ 当4‎ 在 y=-2x+b中，令x=2，得y=-4+b，则E(2，-4+b)，‎ 令y=0，即-2x+b=0，解得x= ，则F( ，0)。‎ AF= ，AE=-4+b。‎ S= 。‎ 当6‎ 在 y=-2x+b中，令y=0，得x= ，则G( ，0)，‎ 令y=2，即-2x+b=2，解得x= ，则H( ，2)。‎ DH= ，AG= 。AD=2‎ S= 。‎ 当12‎ 在 y=-2x+b中，令y=2，即-2x+b=2，解得x= ，则M( ，0)，‎ 令x=6，得y=-12+b，，则N(6，-12+b)。‎ MC= ，NC=14-b。‎ S= 。‎ 当b14时，直线 扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。‎ 综上所述。S与b的函数关系式为：‎ ‎【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。‎ ‎【分析】(1)①∵直线y=-2x+b (b0)经过圆心M(4，2)，‎ ‎2=-24+b，解得b=10。‎ ‎②如图，作点M垂直于直线y=-2x+b于点P，过点 P作PH∥x轴，过点M作MHPH，二者交于点H。设直线y=-2x+b与x，y轴分别交于点A，B。‎ 则由△OAB∽△HMP，得 。‎ 可设直线MP的解析式为 。‎ 由M(4，2)，得 ，解得 。直线MP的解析式为 。‎ 联立y=-2x+b和 ，解得 。‎ P( )。‎ 由PM=2，勾股定理得， ，化简得 。‎ 解得 。‎ ‎(2)求出直线 经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分04，4‎ ‎13. (2019广东湛江12分)先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：‎ 例题：解一元二次不等式x2﹣40‎ 解：∵x2﹣4=(x+2)(x﹣2)‎ x2﹣40可化为 ‎(x+2)(x﹣2)0‎ 由有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，得 解不等式组①，得x2，‎ 解不等式组②，得x﹣2，‎ ‎(x+2)(x﹣2)0的解集为x2或x﹣2，‎ 即一元二次不等式x2﹣40的解集为x2或x﹣2.‎ ‎(1)一元二次不等式x2﹣160的解集为 ;‎ ‎(2)分式不等式 的解集为 ;‎ ‎(3)解一元二次不等式2x2﹣3x0.‎ ‎【答案】解：(1)x4或x﹣4。‎ ‎(2)x3或x1。‎ ‎(3)∵2x2﹣3x=x(2x﹣3)‎ ‎2x2﹣3x0可化为 x(2x﹣3)0‎ 由有理数的乘法法则两数相乘，异号得负，得 或 。‎ 解不等式组①，得0‎ 不等式2x2﹣3x0的解集为0‎ ‎【考点】有理数的乘法法则，一元一次不等式组的应用。‎ ‎【分析】(1)将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则两数相乘，同号得正化为两个一元一次不等式组求解即可。‎ ‎(2)根据有理数的除法法则两数相除，同号得正，可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。‎ ‎(3)将一元二次不等式的左边因式分解后，有理数的乘法法则两数相乘，异号得负，化为两个一元一次不等式组求解即可。‎ ‎14.‎ ‎ (2019广东湛江12分)如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒 个单位的速度运动.当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t0).‎ ‎(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值?若存在，请求出最大值;若不存在，请说明理由;‎ ‎(3)当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形?‎ ‎【答案】解：(1)N(3，4)。‎ ‎∵A(6，0)‎ 可设经过O、A、N三点的抛物线的解析式为：y=ax(x﹣6)，则将N(3，4)代入得 ‎4=3a(3﹣6)，解得a=﹣ 。‎ 抛物线的解析式： 。‎ ‎(2)存在。过点N作NCOA于C，‎ 由题意，AN= t，AM=OA﹣OM=6﹣t，‎ NC=NAsinBAO= 。‎ ‎△MNA的面积有最大值，且最大值为6。‎ ‎(3)在Rt△NCA中，AN= t，NC=ANsinBAO= ，AC=ANcosBAO=t。‎ OC=OA﹣AC=6﹣t。N(6﹣t， )。‎ 又AM=6﹣t且0‎ ‎①当MN=AN时， ，即t2﹣8t+12=0，解得t1=2，t2=6(舍去)。‎ ‎②当MN=MA时， ，即 ，解得t1=0(舍去)，t2= 。‎ ‎③当AM=AN时，6﹣t= t，即t= 。‎ 综上所述，当t的值取 2或 或 时，△MAN是等腰三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题，动点问题，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，二次函数的最值，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】(1)由A、B的坐标，可得到OA=6，OB=8，根据勾股定理可得AB=10。‎ 当t=3时，AN= t=5= AB，即N是AB的中点，由此得到点N的坐标N(3，4)。‎ 利用待定系数法，设交点式求出抛物线的解析式。‎ ‎(2)△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA-OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA关于t的函数关系式，由二次函数的最值原理即可求出△MNA的最大面积。‎ ‎(3)首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长。由于△MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA;直接根据等量关系列方程求解即可。‎ ‎15. (2019广东肇庆10分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：‎ ‎(1)D是BC的中点;‎ ‎(2)△BEC ∽△ADC;‎ ‎(3)AB CE=2DPAD.‎ ‎【答案】证明：(1)∵AB是⊙O的直径，ADB=90，即ADBC。‎ ‎∵AB=AC，D是BC的中点。 (2)∵AB是⊙O的直径，AEB=ADB=90，即CEB=CDA=90，‎ ‎∵C是公共角，△BEC∽△ADC。‎ ‎(3)∵△BEC∽△ADC，CBE=CAD。‎ ‎∵AB=AC，AD=CD，BAD=CAD。BAD=CBE。‎ ‎∵ADB=BEC=90，△ABD∽△BCE。‎ ‎∵BC=2BD， ，即 。‎ ‎∵BDP=BEC=90，PBD=CBE，△BPD∽△BCE。 。‎ ‎，即ABCE=2DPAD。‎ ‎【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)由AB是⊙O的直径，可得ADBC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。‎ ‎(2)由AB是⊙O的直径，AEB=ADB=90，又由C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC。‎ ‎(3)易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得ABCE=2DPAD。‎ ‎16. (2019广东肇庆10分)已知二次函数 图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1，0)、‎ B(x2，0)，x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点， .‎ ‎(1)求证： ;‎ ‎(2)求m、n的值;‎ ‎(3)当p﹥0且二次函数图象与直线 仅有一个交点时，求二次函数的最大值.‎ ‎【答案】(1)证明：∵二次函数 图象的顶点横坐标是2，‎ 抛物线的对称轴为x=2，即 ，化简得：n+4m=0。‎ ‎(2)解：∵二次函数 与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)，x10‎ OA=-x1，OB=x2; 。‎ 令x=0，得y=p，C(0，p)，OC=|p|。‎ 由三角函数定义得： 。‎ ‎∵tanCAO-tanCBO=1，即 ，化简得： 。‎ 将 代入得： ，化简得： 。‎ 由(1)知n+4m=0，‎ 当n=1时， ;当n=-1时， 。‎ m、n的值为： ，n=-1(此时抛物线开口向上)或 ，n=1(此时抛物线开口向下)。‎ ‎(3)解：由(2)知，当p0时，n=1， ，‎ 抛物线解析式为： 。‎ 联立抛物线 与直线y=x+3解析式得到： ，‎ 化简得： *。‎ ‎∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，‎ 一元二次方程*根的判别式等于0，即△=02+16(p-3)=0，解得p=3。‎ 抛物线解析式为： 。‎ 当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。‎ 当p0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质。‎ ‎【分析】(1)由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式 ，化简即得n+4m=0。‎ ‎(2)利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解.特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组。‎ ‎(3)利用一元二次方程的判别式等于0求解.当p0时，m、n的值随之确定;将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程;由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式;最后由抛物线的解析式确定其最大值。‎ ‎17. (2019广东珠海9分) 已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上(不含点A、B)，把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上.‎ ‎(1)当P、C都在AB上方时(如图1)，判断PO与BC的位置关系(只回答结果);‎ ‎(2)当P在AB上方而C在AB下方时(如图2)，(1)中结论还成立吗?证明你的结论;‎ ‎(3)当P、C都在AB上方时(如图3)，过C点作CD直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD.‎ ‎【答案】解：(1)PO与BC的位置关系是PO∥BC。‎ ‎(2)(1)中的结论PO∥BC成立。理由为：‎ 由折叠可知：△APO≌△CPO，APO=CPO。‎ 又∵OA=OP，APO。CPO。‎ 又∵A与PCB都为 所对的圆周角，PCB。CPO=PCB。‎ PO∥BC。‎ ‎(3)证明：∵CD为圆O的切线，OCCD。‎ 又∵ADCD，OC∥AD。APO=COP。‎ 由折叠可得：AOP=COP，APO=AOP。‎ 又∵OA=OP，APO。APO=AOP。△APO为等边三角形。‎ AOP=60。‎ 又∵OP∥BC，OBC=AOP=60。‎ 又∵OC=OB，△BC为等边三角形。COB=60。‎ POC=180﹣(AOP+COB)=60。‎ 又∵OP=OC，△POC也为等边三角形。PCO=60，PC=OP=OC。‎ 又∵OCD=90，PCD=30。‎ 在Rt△PCD中，PD= PC，‎ 又∵PC=OP= AB，PD= AB，即AB=4PD。‎ ‎【考点】折叠的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】(1)由折叠可得，由AOP=因为AOC和ABC是弧 所对的圆心角和圆周角，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得AOP=根据同位角相等两直线平行的判定，得PO与BC的位置关系是平行。‎ ‎(2)(1)中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出APO=CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到APO，等量代换可得出CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到PCB，再等量代换可得出COP=ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行。‎ ‎(3)由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OCCD，又ADCD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC∥AD，根据两直线平行内错角相等得到APO=COP，再利用折叠的性质得到AOP=COP，等量代换可得出APO=AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出△AOP三内角相等，确定出△AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60得到 AOP=60，由OP∥BC，利用两直线平行同位角相等可得出OBC=AOP=60，再由OB=OC，得到△OBC为等边三角形，可得出COB为60，利用平角的定义得到POC也为60，再加上OP=OC，可得出△POC为等边三角形，得到内角OCP=60，可求出PCD=30，在Rt△PCD中，利用30所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC=圆的半径OP=直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证。‎ ‎18. (2019广东珠海9分)如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3 ，DC= ，高CE=2 ，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G;当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒.‎ ‎(1)填空：AHB= ;AC= ;‎ ‎(2)若S2=3S1，求x;‎ ‎(3)设S2=mS1，求m的变化范围.‎ ‎【答案】解：(1)904。‎ ‎(2)直线移动有两种情况：0‎ ‎①当0‎ ‎∵直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，‎ ‎△AMN和△ARQ的相似比为1：2。‎ ‎。S2=4S1，与题设S2=3S1矛盾。‎ 当0‎ ‎②当 2时，‎ ‎∵AB∥CD，△ABH∽△CDH。‎ CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。‎ CH=DH= AC=1，AH═BH=4﹣1=3。‎ ‎∵CG=4﹣2x，ACBD，S△BCD= 41=2‎ ‎∵RQ∥BD，△CRQ∽△CDB。‎ 又 ，‎ ‎∵MN∥BD，△AMN∽△ADB。 ，‎ S1= x2，S2=8﹣8(2﹣x)2。‎ ‎∵S2=3S1，8﹣8(2﹣x)2=3 x2，解得：x1= (舍去)，x2=2。‎ x的值为2。‎ ‎(3)由(2)得：当0‎ 当 2时，∵S2=mS1，‎ m是 的二次函数，当 2时，即当 时，m随 的增大而增大，‎ 当x= 时，m最大，最大值为4;当x=2时，m最小，最小值为3。‎ m的变化范围为：34。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。‎ ‎【分析】(1)过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，‎ ‎∵CD∥AB，四边形DBKC是平行四边形。‎ BK=CD= ，CK=BD。‎ AK=AB+BK= 。‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，BD=AC。‎ AC=CK。AE=EK= AK=2 =CE。‎ ‎∵CE是高，KCE=ACE=CAE=45。ACK=90。AHB=ACK=90‎ 教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。AC=AKcos45= 。‎ ‎(2)直线移动有两种情况：0‎ 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。(3)由(2)可得当0‎ 查字典数学网