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- 2021-05-10 发布
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2016寒假二次函数
已知如图:抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)与轴交于点,点为抛物线的顶点,过点的对称轴交轴于点.
(1)如图1,连接,试求出直线的解析式;
(2)如图2,点为抛物线第一象限上一动点,连接,,,当四边形的面积最大时,线段交于点,求此时的值;
(3)如图3,已知点,连接,将沿着轴上下平移(包括)在平移的过程中直线交轴于点,交轴于点,则在抛物线的对称轴上是否存在点,使得是以为直角边的等腰直角三角形,若存在,请直接写出点的坐标,若不存在,请说明理由.
解:(1)∴令得
∴
,∴设的解析式为,
∴
的解析式为: ………………………………..4分
(2)连接,过作轴交于点,则
,
∴的面积最大时四边形的面积最大
设,,
,
当时,的面积最大,四边形的面积最大,此时
设,代入,,
又的解析式为:
,,
过点作于点,
………….8分
(3) …………..12分
如图,抛物线与轴交于,两点(点在点的左侧),与交于点,的平分线与轴交于点,与抛物线相交于点,是线段上一点,过点作轴的垂线,分别交,于点,,连接,.
(1)如图1,求线段所在直线的解析式;
(2)如图1,求△面积的最大值和此时点的坐标;
26题图1
26题图2
26题备用图
(3)如图2,以为边,在它的右侧作正方形,点在线段上运动时正方形也随之运动和变化,当正方形的顶点或顶点在线段上时,求正方形的边长.
解:(1)抛物线的解析式为:
令,则,
.……………………………………………………………(1分)
令,则,
解得,.
,.……………………………………………………(2分)
设直线所在直线解析式为:,
将,代入可得,
解得,
直线所在直线解析式为:.…………………(4分)
(2)过点作于点,如图1.
,..
在中,.
在与中
,,,
≌,
,.
设,则.
,
.
在中,
,
,
解得,.
.
.
设直线所在直线解析式为:,
将,代入可得,
解得
直线所在直线解析式为:.…………………………(5分)
26题答图2
又直线的解析式为:.
设,则,,
,
,
.…………………(6分)
该函数的对称轴是直线.
当时, 的最大值=.………………………(7分)
26题答图3
此时,.………………………………………………………………(8分)
(3)由,可得直线的解析式为:.
①当顶点在线段上时,如图3.
设,则, ,.
,
.
,,
解得,.
.
顶点在线段上时,,正方形的边长为.…………(10分)
②当顶点在线段上时,如图4.
26题答图4
设,则, ,.
,
.
,
,
解得,.
.
顶点在线段上时,,正方形的边长为.…… (12分)
综上所述,顶点在线段上时,,正方形的边长为;顶点在线段上时,,正方形的边长为.
在直角坐标系中,抛物线与轴交于两点,与轴交于点 连接.
(1)求的正弦值.
(2)如图1,为第一象限内抛物线上一点,记点横坐标为,作//交于点, //轴交于点,请用含的代数式表示线段的长,并求出当时线段的长.
(3)如图2,为轴上一动点(不与点、重合),作//交直线于点,连接,是否存在点 使,若存在,请直接写出点的坐标, 若不存在,请说明理由.
解:(1)∵
∴C(0,4)令y=0,
4x2-8x-12=0
x2-2x-3=0 (x-3)(x+1)=0
x1=-1 x2=3 ∴A(-1,0) B(3,0)
∴OA=1,OC=4
∴Rt△ACO中,
∴ ……4分
(2)∵DE//AC,∴∠1+∠2=∠3=∠4+∠5
又∵∠2=∠4 ∴∠1=∠5 ∴0A∶OC=EM∶DM
过点E作EM⊥DH于M
设D()
直线BC∶
∴H() ∴DH= ……5分
设EM=x,则DM=4x
∠MEH=∠B ∴
∴
图2
∴
= ……7分
当CH∶BH=2∶1,延长DH至K,则OK∶KB=2∶1,OK=2
∴m=2
∴ ……9分
(3)
……12分
.如图1,抛物线与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交轴于点C.将直线AC以点A为旋转中心,顺时针旋转90°,交轴于点D,交抛物线于另一点E.
(1)求直线AE的解析式;
(2)点F是第一象限内抛物线上一点,当△FAD的面积最大时,在线段AE上找一点G(不与点A、E重合),使FG+GE的值最小,求出点G的坐标,并直接写出FG+GE的最小值;
(3)如图2,将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移,记平移后的△ACD为△A′C′D′,平移时间为t秒,当△AC′E为等腰三角形时,求t的值.
E
B
A
C
x
y
O
D
26题图2
x
O
B
y
A
D
F
E
C
26题图1
解:(1)在中,令y=0,得.
解得,,
∴ 点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0) ,即OA=1.………(1分)
在中,令x=0,得 y=,
∴ 点C的坐标为(0,), 即OC=.
在Rt△AOC中,tan∠CAO,∴ ∠CAO=60°,
又∵∠CAD=90°,∴∠OAD=30°.
在Rt△AOD中,tan∠OAD=,即tan30°=,∴OD=,
∴ 点D的坐标为(0,).………………………………….....………(2分)
设直线AE的解析式为y=kx+b(k≠0),∵点A、点D在直线AE上,
∴ 解得
∴ 直线AE的解析式为.……………………………....……(4分)
(2)过点F作FK⊥x轴于点H,交直线AE于点K(如答图1),
过点D作DM⊥FK于点M.
x
y
F
C
A
D
O
B
E
G
H
K
M
P
Q
26题答图1
设点F的坐标为(x,),
则点K的坐标为(x,),
∴FK=-()
=
∴S△FAD=S△FAK-S△FDK=
=
=……………………………………...…...(5分)
∴当x==时,S△FAD有最大值,
∴此时点F的坐标为(,).………………...…..……………...….. …(6分)
点G是线段AE上一点,作EQ⊥y轴于点Q,GP⊥EQ于点P,
则∠PEG=30°,GP=GE,FG+GE=FG+GP.
过点F作EQ的垂线,交AE于点G,此时FG+GE的值最小,
∴此时点G的坐标为(,).……...... ....... ……...........................…(7分)
FG+GE的最小值为.……....... …... .………...............................…(8分)
(3)连结C,过点作F⊥y轴于点F(如答图2).
x
B
A
C
y
O
D
26题答图2
E
F
则C=,CF=C=,F=C=t.
∴点的坐标为(t,).
由(2)知:点E的坐标为(4,).
∴ , ,
.
① 当A=E时,
,解得............... ..... ..... ..... ..... ..... ......…(9分)
②当A=AE时,
,解得 ,(舍去).….........................…(10分)
③当AE=E时
, 解得 .
综上所述,当△AE为等腰三角形时,或或或.…..........................................................................................................(12分)
如图1,抛物线交轴于、两点(点在点的左侧),交于点,连接、,其中.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 点为直线上方的抛物线上一点,过点作交于,作轴于,交于,当的周长最大时,求点的坐标及的最大值;
(3) 如图2,在(2)的结论下,连接分别交于,交于,四边形从开始沿射线平移,同时点从开始沿折线运动,且点的运动速度为四边形平移速度的倍,当点到达点时四边形停止运动,设四边形平移过程中对应的图形为,当为等腰三角形时,求长度.
如图1 如图2 备用图
.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D,C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴相交于点E.
(1)求直线AD的解析式;
(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求△FGH周长的最大值;
(3)如图2,点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一动点,点Q是坐标平面内一点,四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形,点Q′与点Q关于直线AM对称,连接M Q′,P Q′.当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的时,求□APQM面积.
图1 图2 备用图
解:(1)令-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,∴A(-1,0),C(0,3),
∵点D,C关于抛物线的对称轴对称,∴D(2,3),
∴直线AD的解析式为:y=x+1;
(2)设点F(x,-x2+2x+3),∵FH∥x轴,∴H(-x2+2x+2,-x2+2x+3),
∴FH=-x2+2x+2-x=-(x-)2+,∴FH的最大值为,
易得△FHG为等腰直角△,故△FGH周长的最大值为;
(3)①当P点在AM下方时,如图,设P(0,p),易知M(1,4),从而Q(2,4+p),
∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的,∴PQ′必过AM中点N(0,2),∴可知Q′在y轴上,易知QQ′的中点T的横坐标为1,而点T必在直线AM上,故T(1,4),从而T、M重合,故□APQM是矩形,
∵易得直线AM解析式为:y=2x+2,而MQ⊥AM,过M,∴直线QQ′:y=-x+,
∴4+p=-×2+,∴p=-,(注:此处也可用AM2+AP2=MP2得出p=-),∴PN=,
∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5;
②当P点在AM上方时,如图,设P(0,p),易知M(1,4),从而Q(2,4+p),
∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的,∴PQ′必过QM中点R(,4+),
易得直线QQ′:y=-x+p+5,
联立解得:x=,y=,∴H(,),
∵H为QQ′中点,故易得Q′(,),
由P(0,p)、R(,4+)易得直线PR解析式为:y=(-)x+p,
将Q′(,)代入到y=(-)x+p得:=(-)×+p,
整理得:p2-9p+14=0,解得p1=7,p2=2(与AM中点N重合,舍去),
∴P(0,7),∴PN=5,
∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×∣xM -xA∣=2××5×2=10.
综上所述,□APQM面积为5或10.
如图1,抛物线y=-x2-
x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),交y轴于点C,点D的坐标为(0,-1),直线AD交抛物线于另一点E;点P是第二象限抛物线上的一点,作PQ∥y轴交直线AE于Q,作PG⊥AD于G,交x轴于点H.
(1)求线段DE的长;
(2)设d=PQ-PH,当d的值最大时,在直线AD上找一点K,使PK+EK的值最小,求出点K的坐标和PK+EK的最小值;
(3)如图2,当d的值最大时,在x轴上取一点N,连接PN、QN,将△PNQ沿着PN翻折,点Q的对应点为Q′,在x轴上是否存在点N,使△AQQ′是等腰三角形?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.
解:(1)令-x2-x+3=0,得x1=-3,x2=,∴A(,0),B(-3,0),
设lAD:y=kx-1,∴k=,∴直线AD解析式:y=x-1,
∴由解得,,∴DF==8;
(2)∵PQ⊥x轴,PG⊥AE,∴显然△AOD∽△PGQ∽△PFH,∵OA=,OD=1,∴∠OAD=30o,
∴∠P=30o,∴=,∴PF=PH,
∴d=PQ-PH= PQ-PF,
设P(x,-x2-x+3),则Q(x,x-1),F(x,0),
∴d=(-x2-x+3)-(x-1)-(-x2-x+3)=-(x+2)2+,
∴当x=-2时,d取得最大值,此时P(-2,3),
如图所示,作KM∥y轴,EM∥x轴,则KM⊥EM,
∴∠KEM=∠OAD=30o,∴KM=EK,故当PK+EK=PK+KM最小时,P、K、M应共线,即K点与Q点重合,此时K(-2,-3),∴PK+EK最小为3+5=8;
(3)存在,理由如下:
①如图1,当AQ′=QQ′时,易知PA=PQ=QA,
∴PQ′垂直平分AQ,△APQ是等边△,
∴∠APQ′=∠PAF=30o,
∴PM=AM=2,FM=,
∵PN平分∠FPM,
∴FN∶MN=PF∶PM,即FN∶(-FN)=3∶2,∴FN=6-3,
∴N(6-5,0);
如图2,当AQ′=QQ′时,∵PN垂直平分QQ′,x轴垂直平分PQ,易得△PQQ′≌△PAQ′,故∠QPQ′=150o,
∴易得∠PNF=15o,在FN上取点M,使FM=FA,连接PM,易得∠PMF=30o,PM=6,PM=NM=6,
MF=FA=3,∴N(-6-5,0);
②当AQ=QQ′时,如图3,显然此时N与B重合,即N(-3,0);
③当AQ=AQ′时,如图4,显然此时N与A重合,即N(,0);
综上所述,符合条件的N点坐标为(6-5,0),(-6-5,0),(-3,0),(,0).
图1 图2