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- 2021-05-10 发布
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2010 年天津市初中毕业生学业考试试卷
数 学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷第 1 页至第 3 页,第Ⅱ卷第 4 页至第 8 页。试卷
满分 120 分。考试时间 100 分钟。
答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上,并在规定位置粘贴考试
用条形码。答题时,务必将答案涂写在“答题卡”上,答案答在试卷上无效。考试结束后,将本试卷和“答题卡”一并
交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷(选择题 共 30 分)
注意事项:
每题选出答案后,用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选
涂其他答案标号的信息点。
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 的值等于
(A) (B) (C) (D)1
(2)下列图形中,既可以看作是轴对称图形,又可以看作是中心对称图形的为
(A) (B) (C) (D)
(3)上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会.据统计自 2010 年 5 月 1 日开
幕至 5 月 31 日,累计参观人数约为 8 030 000 人,将 8 030 000 用科学记数法表示
应为
(A) (B) (C) (D)
(4)在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员 10 次射击的平均成绩都是 7 环,其中甲的成绩的方差为 1.21,乙的成绩的
方差为 3.98,由此可知
(A)甲比乙的成绩稳定
(B)乙比甲的成绩稳定
(C)甲、乙两人的成绩一样稳定
(D)无法确定谁的成绩更稳定
sin30°
1
2
2
2
3
2
4803 10× 580.3 10× 68.03 10× 70.803 10×
(5)右图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形,它的三视图为
(A) (B)
(C) (D)
(6)下列命题中正确的是
(A)对角线相等的四边形是菱形
(B)对角线互相垂直的四边形是菱形
(C)对角线相等的平行四边形是菱形
(D)对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(7)如图,⊙O 中,弦 、 相交于点 , 若 , ,则 等于
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)比较 2, , 的大小,正确的是
(A) (B)
(C) (D)
(9)如图,是一种古代计时器——“漏壶”的示意图,在壶内盛一定量的水,水从壶下的小孔漏出,壶壁内画出刻度,
人们根据壶中水面的位置计算时间.若用 表示时间, 表示壶底到水面的高度,下面的图象适合表示一小段时间
内 与 的函数关系的是(不考虑水量变化对压力的影响)
AB CD P 30A∠ = ° 70APD∠ = ° B∠
30°
35°
40°
50°
5 3
7
3
2 5 7< < 3
2 7 5< <
3
7 2 5< < 3
5 7 2< <
x y
y x
第(5)题
第(7)题
B
C
A D
P O
(A) (B)
(C) (D)
(10)已知二次函数 ( )的图象如图所示,有下列结论:
① ;
② ;
③ ;
④ .
其中,正确结论的个数是
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
2y ax bx c= + + 0a ≠
2 4 0b ac− >
0abc >
8 0a c+ >
9 3 0a b c+ + <
x 第(9)题
y
O x
y
O
x
y
Ox
y
O
第(10)题
y
xO
1x =
1−2−
2010 年天津市初中毕业生学业考试试卷
数 学
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项:
用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上。
二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.
(11)若 ,则 的值为 .
(12)已知一次函数 与 的图象交于点 ,
则点 的坐标为 .
(13)如图,已知 , ,点 A、D、B、F 在一
条直线上,要使△ ≌△ ,还需添加一个条件,
这个条件可以是 .
(14)如图,已知正方形 的边长为 3, 为 边上一点,
.以点 为中心,把△ 顺时针旋转 ,得
△ ,连接 ,则 的长等于 .
(15)甲盒装有 3 个乒乓球,分别标号为 1,2,3;乙盒装有 2 个乒乓球,分别标号为
1,2.现分别从每个盒中随机地取出 1 个球,则取出的两球标号之和为 4 的概率是 .
(16)已知二次函数 ( )中自变量 和函数值 的部分对应值如下表:
… 0 1 …
… 0 …
则该二次函数的解析式为 .
(17)如图,等边三角形 中, 、 分别为 、 边上
的点, , 与 交于点 , 于点 ,
则 的值为 .
(18)有一张矩形纸片 ABCD,按下面步骤进行折叠:
第一步:如图①,将矩形纸片 折叠,使点 B、D 重合,点 C 落在点 处,得折痕 EF;
第二步:如图②,将五边形 折叠,使 AE、 重合,得折痕 DG,再打开;
第三步:如图③,进一步折叠,使 AE、 均落在 DG 上,点 A、 落在点 处,点 E、F 落在点 处,得折
痕 MN、QP.
这样,就可以折出一个五边形 .
1
2a = 2 2
1
( 1) ( 1)
a
a a
++ +
2 6y x= − 3y x= − + P
P
AC FE= BC DE=
ABC FDE
ABCD E CD
1DE = A ADE 90°
ABE′ EE′ EE′
2y ax bx c= + + 0a ≠ x y
x 3
2
− 1− 1
2
− 1
2
3
2
y 5
4
− 2− 9
4
− 2− 5
4
− 7
4
ABC D E AB BC
AD BE= AE CD F AG CD⊥ G
AG
AF
ABCD C′
AEFC D′ C F′
C F′ C′ A′ E′
DMNPQ
第(13)题
A CD
B
E F
第(14)题
E
A D
E′ B C
第(17)题
D
C
A
F
B
E
G
(Ⅰ)请写出图①中一组相等的线段 (写出一组即可);
(Ⅱ)若这样折出的五边形 DMNPQ(如图③)恰好是一个正五边形,当 , , 时,有下列结
论:
① ; ② ;
③ ; ④ .
其中,正确结论的序号是 (把你认为正确结论的序号都填上).
三、解答题:本大题共 8 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
(19)(本小题 6 分)
解不等式组
(20)(本小题 8 分)
已知反比例函数 ( 为常数, ).
(Ⅰ)若点 在这个函数的图象上,求 的值;
(Ⅱ)若在这个函数图象的每一支上, 随 的增大而减小,求 的取值范围;
(Ⅲ)若 ,试判断点 , 是否在这个函数的图象上,并说明理由.
(21)(本小题 8 分)
我国是世界上严重缺水的国家之一.为了倡导“节约用水从我做起”,小刚在他所在班的 50 名同学中,随机调查了 10
名同学家庭中一年的月均用水量(单位:t),并将调查结果绘成了如下的条形统计图.
AB a= AD b= DM m=
2 2 2 tan18a b ab− = ° 2 2 tan18m a b= + ⋅ °
tan18b m a= + ° 3 tan182b m m= + °
2 1 1,
8 4 1.
x x
x x
− > +
+ < −
1ky x
−= k 1k ≠
2A( 1 ), k
y x k
13k = 3 4B( ), 2 5C( ),
第(18)题
A
D
C′
C
BE
F
G
A
D
C′
C
BE
F
图① 图② 图③
C′
D F C
A E
N
P
B
E′A′
M
Q
G
(Ⅰ)求这 10 个样本数据的平均数、众数和中位数;
(Ⅱ)根据样本数据,估计小刚所在班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7 t 的约有多少户.
(22)(本小题 8 分)
已知 是⊙ 的直径, 是⊙ 的切线, 是切点, 与⊙ 交于点 .
(Ⅰ)如图①,若 , ,求 的长(结果保留根号);
(Ⅱ)如图②,若 为 的中点,求证直线 是⊙ 的切线.
(23)(本小题 8 分)
永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一.某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高
度.如图,他们在 C 处测得摩天轮的最高点 A 的仰角为 ,再往摩天轮的方向前进
50 m 至 D 处,测得最高点 A 的仰角为 .
求该兴趣小组测得的摩天轮的高度 AB( ,
结果保留整数).
(24)(本小题 8 分)
注意:为了使同学们更好地解答本题,我们提供了一种解题思路,你可以依照这个思路按下面的要求填空,完成本
题的解答.也可以选用其他的解题方案,此时不必填空,只需按照解答题的一般要求进行解答.
青山村种的水稻 2007 年平均每公顷产 8 000 kg,2009 年平均每公顷产 9 680 kg,求该村水稻每公顷产量的年平均增
长率.
解题方案:
设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 .
(Ⅰ)用含 的代数式表示:
① 2008 年种的水稻平均每公顷的产量为 ;
AB O AP O A BP O C
2AB = 30P∠ = ° AP
D AP CD O
45°
60°
3 1.732≈
x
x
A
B
C
O
P
图①
A
B
C
O
PD
图②
第(22)题
A
B CD
45°60°
第(23)题
第(21)题
户数
月均用水量/t
1
2
3
4
0
6 6.5 7 7.5 8
② 2009 年种的水稻平均每公顷的产量为 ;
(Ⅱ)根据题意,列出相应方程 ;
(Ⅲ)解这个方程,得 ;
(Ⅳ)检验: ;
(Ⅴ)答:该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %.
(25)(本小题 10 分)
在平面直角坐标系中,矩形 的顶点 O 在坐标原点,顶点 A、B 分别在 轴、
轴的正半轴上, , ,D 为边 OB 的中点.
(Ⅰ)若 为边 上的一个动点,当△ 的周长最小时,求点 的坐标;
(Ⅱ)若 、 为边 上的两个动点,且 ,当四边形 的周长最小时,求点 、 的坐标.
(26)(本小题 10 分)
在平面直角坐标系中,已知抛物线 与 轴交于点 、 (点 在点 的左侧),与 轴的正半轴交于
点 ,顶点为 .
(Ⅰ)若 , ,求此时抛物线顶点 的坐标;
(Ⅱ)将( Ⅰ ) 中 的 抛 物 线 向 下 平 移 , 若 平 移 后 , 在 四 边 形 ABEC 中 满 足
S△BCE = S△ABC,求此时直线 的解析式;
( Ⅲ ) 将 ( Ⅰ ) 中 的 抛 物 线 作 适 当 的 平 移 , 若 平 移 后 , 在 四 边 形 A B E C 中 满 足
S△BCE = 2S△AOC,且顶点 恰好落在直线 上,求此时抛物线的解析式.
OACB x
y 3OA = 4OB =
E OA CDE E
E F OA 2EF = CDEF E F
2y x bx c= − + + x A B A B y
C E
2b = 3c = E
BC
E 4 3y x= − +
第(25)题
y
B
O
D
C
A xE
D′
y
B
O
D
C
A x
温馨提示:如图,可以作点 D 关于 x
轴的对称点 D′,连接 CD′ 与 x 轴交于点
E,此时△ CDE 的周长是最小的.这样,你
只需求出OE 的长,就可以确定点 E 的坐标
了.
2010 年天津市初中毕业生学业考试
数学试题参考答案及评分标准
评分说明:
1.各题均按参考答案及评分标准评分。
2.若考生的非选择题答案与参考答案不完全相同但言之有理,可酌情评分,但不得超过该题所分配的分数。
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.
(1)A (2)B (3)C (4)A (5)B
(6)D (7)C (8)C (9)B (10)D
二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.
(11) (12)(3,0)
(13) (答案不惟一,也可以是 或 )
(14) (15)
(16) (17)
(18)(Ⅰ) (答案不惟一,也可以是 等);(Ⅱ)①②③
三、解答题:本大题共 8 小题,共 66 分.
(19)(本小题 6 分)
解: ∵
解不等式①,得 . ……………………………………… 2 分
解不等式②,得 . ……………………………………… 4 分
∴ 原不等式组的解集为 . ……………………………………… 6 分
(20)(本小题 8 分)
解:(Ⅰ)∵ 点 在这个函数的图象上,
∴ .解得 . ..............................2 分
(Ⅱ)∵ 在函数 图象的每一支上, 随 的增大而减小,
∴ .解得 . ..............................4 分
2
3
C E∠ = ∠ AB FD= AD FB=
2 5
1
3
2 2y x x= + − 3
2
AD C D′= AE C F′=
2 1 1,
8 4 1.
x x
x x
− > +
+ < −
2x >
3x >
3x >
2A( 1 ),
2 1k= − 3k =
1ky x
−= y x
1 0k − > 1k >
①
②
(Ⅲ)∵ ,有 .
∴ 反比例函数的解析式为 .
将点 的坐标代入 ,可知点 的坐标满足函数关系式,
∴ 点 在函数 的图象上.
将点 的坐标代入 ,由 ,可知点 的坐标不满足函数关系式,
∴ 点 不在函数 的图象上. ..............................8 分
(21)(本小题 8 分)
解:(Ⅰ)观察条形图,可知这组样本数据的平均数是
.
∴ 这组样本数据的平均数为 .
∵ 在这组样本数据中, 出现了 4 次,出现的次数最多,
∴ 这组数据的众数是 .
∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是 ,
有 ,
∴ 这组数据的中位数是 . ..............................6 分
(Ⅱ)∵ 10 户中月均用水量不超过 7 t 的有 7 户,
有 .
∴ 根 据 样 本 数 据 , 可 以 估 计 出 小 刚 所 在 班 50 名 同 学 家 庭 中 月 均 用 水 量 不 超 过 7 t 的 约 有 35
户. ..............................8 分
(22)(本小题 8 分)
解:(Ⅰ)∵ 是⊙ 的直径, 是切线,
∴ .
在 Rt△ 中, , ,
∴ .
由勾股定理,得 . ..................5 分
(Ⅱ)如图,连接 、 ,
∵ 是⊙ 的直径,
∴ ,有 .
在 Rt△ 中, 为 的中点,
∴ .
13k = 1 12k − =
12y x
=
B 12y x
= B
B 12y x
=
C 12y x
= 125 2
≠ C
C 12y x
=
6 2 6.5 4 7 1 7.5 2 8 1 6.810x
× + × + × + × + ×= =
6.8
6.5
6.5
6.5
6.5 6.5 6.52
+ =
6.5
750 3510
× =
AB O AP
90BAP∠ = °
PAB 2AB = 30P∠ = °
2 2 2 4BP AB= = × =
2 2 2 24 2 2 3AP BP AB= − = − =
OC AC
AB O
90BCA∠ = ° 90ACP∠ = °
APC D AP
1
2CD AP AD= =
A
B
C
O
PD
∴ .
又 ∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
即 .
∴ 直线 是⊙ 的切线. ..............................8 分
(23)(本小题 8 分)
解:根据题意,可知 , , .
在 Rt△ 中,由 ,得 .
在 Rt△ 中,由 ,
得 . ..............................6 分
又 ∵ ,
∴ ,即 .
∴ .
答:该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为 118 m. .....................8 分(24)(本小题 8 分)
(24)(本小题 8 分)
解:(Ⅰ)① ;② ;
(Ⅱ) ; ........................4 分
(Ⅲ) , ;
(Ⅳ) , 都是原方程的根,但 不符合题意,所以只取 ;
(Ⅴ)10 . ........................8 分
(25)(本小题 10 分)
解:(Ⅰ)如图,作点 D 关于 轴的对称点 ,连接 与 轴交于点 E,连接 .
若在边 上任取点 (与点 E 不重合),连接 、 、 .
由 ,
可知△ 的周长最小.
∵ 在矩形 中, , , 为 的中点,
∴ , , .
DAC DCA∠ = ∠
OC OA=
OAC OCA∠ = ∠
90OAC DAC PAB∠ + ∠ = ∠ = °
90OCA DCA OCD∠ + ∠ = ∠ = °
OC CD⊥
CD O
45ACB∠ = ° 60ADB∠ = ° 50DC =
ABC 45BAC BCA∠ = ∠ = ° BC AB=
ABD tan ABADB BD
∠ =
3
tan tan60 3
AB ABBD ABADB
= = =∠ °
BC BD DC− =
3 503AB AB− = (3 3) 150AB− =
150 118
3 3
AB = ≈
−
8 000(1 )x+ 28 000(1 )x+
28 000(1 ) 9 680x+ =
1 0.1x = 2 2.1x = −
1 0.1x = 2 2.1x = − 2 2.1x = − 0.1x =
x D′ CD′ x DE
OA E′ CE′ DE′ D E′ ′
DE CE D E CE CD D E CE DE CE′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ = + > = + = +
CDE
OACB 3OA = 4OB = D OB
3BC = 2D O DO′ = = 6D B′ =
y
B
O
D
C
A xE E′
D′
∵ OE∥BC,
∴ Rt△ ∽Rt△ ,有 .
∴ .
∴ 点 的坐标为(1,0). ................................6 分
(Ⅱ)如图,作点 关于 轴的对称点 ,在 边上截取 ,连接 与 轴交于点 ,在 上截取
.
∵ GC∥EF, ,
∴ 四边形 为平行四边形,有 .
又 、 的长为定值,
∴ 此时得到的点 、 使四边形 的周长最小.
∵ OE∥BC,
∴ Rt△ ∽Rt△ , 有 .
∴ .
∴ .
∴ 点 的坐标为( ,0),点 的坐标为( ,0). ...............10 分
(26)(本小题 10 分)
解:(Ⅰ)当 , 时,抛物线的解析式为 ,即 .
∴ 抛物线顶点 的坐标为(1,4). .................2 分
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,则顶点 在对称轴 上,有 ,
∴ 抛物线的解析式为 ( ).
∴ 此时,抛物线与 轴的交点为 ,顶点为 .
∵ 方程 的两个根为 , ,
∴ 此时,抛物线与 轴的交点为 , .
如图,过点 作 EF∥CB 与 轴交于点 ,连接 ,则 S△BCE = S△BCF.
∵ S△BCE = S△ABC,
∴ S△BCF = S△ABC.
∴ .
设对称轴 与 轴交于点 ,
2EF =
D OE′ D BC′ OE D O
BC D B
′= ′
2 3 16
D O BCOE D B
′ ⋅ ×= = =′
E
D x D′ CB 2CG = D G′ x E EA
GC EF=
GEFC GE CF=
DC EF
E F CDEF
D OE′ D BG′ OE D O
BG D B
′= ′
( ) 2 1 1
6 3
D O BG D O BC CGOE D B D B
′ ′⋅ ⋅ − ×= = = =′ ′
1 723 3OF OE EF= + = + =
E 1
3 F 7
3
2b = 3c = 2 2 3y x x= − + + 2( 1) 4y x= − − +
E
E 1x = 2b =
2 2y x x c= − + + 0c >
y 0( )C c, 1( 1 )E c+,
2 2 0x x c− + + = 1 1 1x c= − + 2 1 1x c= + +
x 1 1 0( )A c− + , 1 1 0( )B c+ + ,
E x F CF
2 1BF AB c= = +
1x = x D
y
B
O
D
C
A xE
D′
G
F
E
y
xFBDA O
C
1x =
则 .
由 EF∥CB,得 .
∴ Rt△EDF∽Rt△COB.有 .
∴ .结合题意,解得 .
∴ 点 , .
设直线 的解析式为 ,则
解得
∴ 直线 的解析式为 . .........................6 分
(Ⅲ)根据题意,设抛物线的顶点为 ,( , )
则抛物线的解析式为 ,
此时,抛物线与 轴的交点为 ,
与 轴的交点为 , .( )
过点 作 EF∥CB 与 轴交于点 ,连接 ,
则 S△BCE = S△BCF. 由 S△BCE = 2S△AOC,
∴ S△BCF = 2S△AOC. 得 .
设该抛物线的对称轴与 轴交于点 .
则 .
于是,由 Rt△EDF∽Rt△COB,有 .
∴ ,即 .
结合题意,解得 . ①
∵ 点 在直线 上,有 . ②
∴ 由①②,结合题意,解得 .
有 , .
∴ 抛物线的解析式为 . .........................10 分
1 3 12DF AB BF c= + = +
EFD CBO∠ = ∠
ED CO
DF OB
=
1
3 1 1 1
c c
c c
+ =
+ + +
5
4c =
5
4( 0 )C , 5
2( 0)B ,
BC y mx n= +
5 ,4
50 .2
n
m n
=
= +
1 ,2
5.4
m
n
= −
=
BC 1 5
2 4y x= − +
( )E h k, 0h > 0k >
2( )y x h k= − − +
y 2( 0 )C h k− +,
x 0( )A h k− , 0( )B h k+ , 0k h> >
E x F CF
2 2( )BF AO k h= = −
x D
1 3 22DF AB BF k h= + = −
ED CO
DF OB
=
2
3 2
k h k
k h h k
− +=
− +
22 5 2 0h kh k− + =
1
2h k=
( )E h k, 4 3y x= − + 4 3k h= − +
1k =
1k = 1
2h =
2 3
4y x x= − + +