2017年度中考数学（圆的有关性质）押轴题专练2 10页

‎ 圆的有关性质 ‎5. （浙江省绍兴市，5，4分）如图, AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠C =16°，则∠BOC的度数是( )‎ A. 74° ‎ B. 48° ‎ C. 32° ‎ D. 16°‎ ‎【解题思路】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半.由同圆的半径相等，可得∠A =∠C =16°，故∠BOC=2∠A =32°.‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题主要考查同圆中圆周角和圆心角的关系，难度较小．‎ ‎5.如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA,OB在O点钉在一起，并使他们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，‎0F=6个单位，则圆的直径为（ ） ‎ A．12个单位 B．10个单位 C．4个单位 D．15个单位 ‎ ‎【解题思路】：在一个圆中，90º的圆周角所对的弦就是圆的直径，连接EF， 则EF就是圆的直径。‎ 答案B ‎【点评】本题检测圆周角与圆的直径的知识，难度较小。‎ ‎9．如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是 A． B．‎1 ‎‎ C．2 D．3‎ ‎【解题思路】连接OD，则OD∥AE，于是，本题选C．‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题考查了切线的性质，即过切点的半径垂直于切线，也考查了相似形的性质．本题难度中等．‎ ‎8.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知AB长‎100cm,测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题思路】本题连接BD，∵∠ACB=45°，根据同弧所对的圆周角相等，可知∠ADB=45°，又因为AD是直径，∴∠ABD=90°，可得△ABD为等腰直角三角形，根据勾股定理或三角函数可求的AD为 ‎【答案】B ‎【点评】本题考查了圆的基本性质和勾股定理的应用，同弧所对的圆周角相等，以及直径所对的圆周角为90°，并且利用了勾股定理或三角函数可求的斜边长.难度中等.‎ ‎15．如图，AD、AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB=5，则BC的长等于 ．‎ ‎【解题思路】：连CD，则∠ACD=90°；可结合勾股定理、30°角所对直角边等于斜边的一半、直角三角形边角关系（锐角三角函数），先求出AC，AB，再利用BC=AC－AB；‎ ‎【答案】：5‎ ‎【点评】：本题考察了直角三角形的判定（直径所对圆周角是直角）和性质（勾股定理、30°角所对直角边等于斜边的一半），也可运用相似三角形知识。难度中等。‎ A B C D O 图7‎ ‎16．如图7，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D＝____________.‎ ‎【分析与解】根据圆周角定理可知∠ABC＝54°，又∵BD＝BC，∴∠ABC＝2∠D＝27°．‎ ‎【点评】本题属于中等题，通过圆周角定理、等腰三角形的性质、外角定理的考查，培养学生简单的推理计算能力．‎ ‎13、如图3，在以AB为直径的半圆O中，C是它的中点，若AC=2，则△ABC的面积是（ ）‎ A、1．5 B、‎2 ‎‎ C、3 D、4‎ 图4‎ 图5‎ ‎【解题思路】由圆周角定理可知：∠C=，而点C是半圆的中点可知：AC=BC，故△ABC是等腰直角三角形，所以：‎ ‎【答案】B．‎ ‎【点评】本题主要考查圆周角定理和圆中：弧、线段、圆周（圆心）角、弦心距之间的相互转化，即：“一等则三等”。 难度中等。‎ ‎9．如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 70，那么∠A的度数为（ ） ‎ A．‎70 ‎ B．‎30‎ C．35 D． 20‎ ‎【解题思路】连接OD,由垂径定理得弧BC等于弧BD,再由“同圆中等弧所对的圆心角相等”得∠BOD＝∠BOC＝70°，最后由“同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”，得∠A=∠BOD =35°．故选C．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【点评】本题主要考查垂径定理及圆周角定理，是圆中典型的角度计算问题的综合，解决本题的关键是理解掌握圆中的垂径定理及圆周角定理，难度中等.‎ A B C D ‎9.如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题思路】由AB=AC=AD=2得,当以点为圆心,长为半径作圆,必 经过,作直径,连接,由DC∥AB得,从而得 到,在中,由勾股定理可求出的长.‎ ‎【答案】B ‎【点评】构造圆是本题的亮点和难点,到定点的距离等于定长的点的轨迹是 ‎ 以定点为圆心,定长为半径的圆,利用直径对直角构造直角三角形,‎ ‎ 丰富了试题的载体,难度较大.‎ ‎6．如图（3），CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=‎ ‎(A) 40° (B) 60° （C）70° （D）80°‎ ‎【解题思路】：根据图（3）可得：∵CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，∴AB⊥CD, =,又∵∠BOC=40°，∴∠CDB=200，∴∠ABD,900-200=700.故C正确。‎ ‎【答案】C。‎ ‎【点评】本题是对垂径定理及圆心角与圆周角关系定理的考查，解决本题的关键是分析图形，确定垂直、平分关系，找准同弧或等弧所对的圆心角和圆周角，‎ 利用定理列出关系式，代值计算。本题难度中等。‎ ．如图⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若圆O的半径OC是2，则弦BC的长是（ ）‎ ‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎【思路分析】由∠BAC=60°，得∠O=120°．作OD⊥BC于D，有垂径定理知BD=CD，在Rt△OBD中由勾股定理得：BD=，所以BC=．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【点评】求圆的弦长是圆中常见的计算题，基本方法是构造以半径为斜边，半弦长、弦心距为直角边的直角三角形，利用勾股定理求出．‎ ‎9. 9.在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油 后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（ ）‎ ‎（A）6分米 （B）8分米 （C）10分米 （D）12分米 ‎【解题思路】在解决有关弦的问题时，通常作垂直于弦的直径或过圆心向弦作垂线段，再过弦的一个端点作半径，构成一个直角三角形利用垂径定理和勾股定理解决问题。若弦心距为d,半径为r，弦长为a，则有 ‎【答案】C ‎【点评】本题关键在于熟练常见的辅助线的作法，善于分解基本图形。‎ A M B C D ‎·‎ O ‎1.（山东临沂 第6题 3分）如图，⊙O的直径CD＝‎5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M,OM∶OD＝3∶5,则AB的长是（）‎ A‎.2cm B‎.3cm C‎.4cm D‎.2‎cm 解题思路：⊙O的直径CD＝‎5cm，半径OD=‎2.5cm,由OM∶OD＝3∶5,求得OM=‎1.5cm，连接OA，有勾股定理得AM=,根据垂径定理得AB=2AM=‎4cm,故选C.‎ 解答：选C.‎ 点评：本题考查了垂径定理和勾股定理等知识.涉及垂径定理的问题通常都是连接半径，构造直角三角形，以便于运用勾股定理来求解.本题难度较小.‎ O P A 第7题图 ‎7．如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为 A.1 B.‎ ‎ C.2 D.4‎ ‎【解题思路】直接求解对照法，首先见切点连半径，得到直角三角形AOP，由于∠APO=30°，所以OP=2OA，设的半径为r，由勾股定理得：4r2-r2=（2）2，解得r=2，故选C．‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题主要考查了圆的切线的性质与勾股定理得理解与应用，解题的关键是连接半径得到直角三角形，然后利用勾股定理列出方程，难度中等．‎ ‎10．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则⊙O的半径为 （ ）‎ A. B‎.2 C. D. ‎【解题思路】如图，设⊙O的半径为r，AB与OC交于点M，连接OA，则OA=OC=r. 由于AB⊥OC，根据垂径定理可得AM=BM=AB=. 因此在Rt△OMA中，（r）2+（）2=r2，解得r=（舍去负值）.‎ ‎【答案】A ‎ ‎【点评】本题是利用垂径定理解题的基本图形，同时考查了勾股定理、方程思想与二次根式的计算等. 连接半径，构造直角三角形是解答与垂径定理有关试题常用辅助线之一. 难度中等.‎ ‎15.（山东省威，15,3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，若AE=5，BE=1，CD=4，则∠AED= .‎ ‎【解题思路】过点O作OF⊥CD于F，求出OE、FE的长，再解直角三角形，求出∠AED的度数.‎ ‎【答案】30°.‎ ‎【点评】本题涉及到相交弦定理，解直角三角形的相关内容.过点O作OF⊥CD于F，由AE·BE=CE·DE,求得CE=2-,∴EF=CF-CE=,OE=2，∴cos∠AED==,∴∠AED=30°.难度较小.‎ ‎16.如图，△ABC的外心坐标是__________.‎ O x y B C A ‎【解题思路】三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，圆心到三角形各顶点的距离相等，所以只需作边AB、BC的垂直平分线即可。两条垂直平分线的焦点即是圆心。‎ ‎【答案】（－2，－1）‎ ‎【点评】了解外心的含义，并知道到线段两端点的距离相等的点就在线段的垂直平分线上是解决该题的关键。本题难度中等。‎ ‎19．如图3所示，若⊙O的半径为‎13cm，点是弦上一动点，且到圆心的最短距离为‎5 cm，则弦的长为________cm 图3‎ ‎【解题思路】由点是弦上一动点，且到圆心的最短距离为‎5 cm，可知圆心o到弦AB的最小距离为‎5厘米，圆的半径为‎13厘米，根据垂径定理作OC⊥AB于C,连结OA,在Rt△AOC中，根据勾股定理知AC==12，所以AB=‎2AC=24.‎ ‎【答案】24‎ ‎【点评】本题主要考察勾股定理和垂径定理。‎ ‎14． 如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 ．‎ ‎【解题思路】连接OD，作OH⊥DE,所以OH=1，HD=，根据勾股定理可得：OD=。所以AC=-，BC=-,所以可得方程x2-x+1=0等。‎ ‎【答案】．如：x2-x+1=0；‎ ‎【点评】本题主要考察了圆与一元二次方程相结合的题目，培养了同学们的综合应用能力。难度中等。‎ ‎25.（满分12分）‎ 已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.‎ ‎（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2‎ ‎（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.‎ ‎.‎ A B C D E ‎.‎ O G ‎（图2）‎ A B C D E F P ‎.‎ O G ‎（图1）‎ 丁佩军 ‎【解题思路】（1）待证是乘积式，首先转换成比例式，而后寻找两个三角形相似；（2）探究性试题探究的这一问，一般的思考方法就是按照前面的思路继续探究一下，就能考虑出来的。‎ ‎【答案】（1）证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.‎ ‎∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°.‎ ‎∴∠QFD＋∠Q＝90°. ‎ ‎∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.‎ ‎∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.‎ ‎∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.‎ ‎∴.∴OE·OP＝OF2＝r2.‎ ‎（2）解：（1）中的结论成立.‎ 理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.‎ ‎∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.‎ 丁佩军 ‎∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.‎ ‎∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E. ‎ ‎∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.‎ ‎∴，∴OE·OP＝OF2＝r2. ‎ ‎【点评】此题就是运用三角形相似的性质和判定来解决的题目，解决的关键是基本方法（见乘积式化成比例式，而后证明三角形相似）熟练运用。本题属于中等难度。‎ ‎20．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．‎ ‎（1）求OE和CD的长；‎ ‎（2）求图中阴影部分的面积．‎ ‎【解题思路】根据特殊角的三角形函数可求得OE的长．再由垂径定理可算得CD的长．用割补法可求得图中阴影部分的面积．也就是用半圆的面积减去直角三角形的面积．‎ ‎【答案】解：（1）在△OCE中，‎ ‎∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，‎ ‎∴OE=OC=1，‎ ‎∴CE=‎ ‎∵OA⊥CD，‎ ‎∴CE=DE，‎ ‎∴CD=．‎ ‎∵‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形以及垂径定理，以及圆和三角形的面积计算．难度中等．‎ ‎20.（本题8分）如图，AB是的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作的切线，交AC的延长线于点F.已知OA=3，AE=2，⑴求CD的长；⑵求BF的长.‎ ‎【解题思路】依题意，由切线性质，得FB⊥ AB，由垂径定理知CE=DE。‎ ‎【答案】解：连结OC，在Rt△OCE中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∵CD ⊥ AB, ∴CD=2CE=‎ ‎（2）∵BF是⊙O的切线，∴FB⊥ AB, ∴CE∥FB, ∴△ACE∽△AFB,‎ ‎∴∴∴‎ ‎【点评】求圆的弦长是圆中常见的计算题，基本方法是构造以半径为斜边，半弦长、弦心距为直角边的直角三角形，利用勾股定理求出，属于中档题．‎ 本题求解方法较多，如本题（1）问，连结BC,利用相似知识也可求解。‎