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- 2021-05-10 发布
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8.一元二次方程解法及应用
一、填空题
1.(2009 重庆綦江)一元二次方程 x2=16 的解是 .
【关键词】一元二次方程
【答案】 ,
2.(2009 威海)若关于 的一元二次方程 的一个根是 ,则另一个
根是______.
【关键词】一元二次方程
【答案】1
3.(2009 山西省太原市)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由
3200 元降到了 2500 元.设平均每月降价的百分率为 ,根据题意列出的方程是 .
解析:本题考查一元二次方程的增长率问题,由题意可得方程 200 .
【关键词】一元二次方程应用
【答案】200
4.(2009 年江苏省)某县 2008 年农民人均年收入为 7 800 元,计划到 2010 年,农民人均
年收入达到 9 100 元.设人均年收入的平均增长率为 ,则可列方程 .
【关键词】一元二次方程的实际应用
【答案】
5 .( 2009 年 甘 肃 庆 阳 ) 若 关 于 x 的 方 程 的 一 个 根 是 0 , 则
.
【关键词】一元二次方程组的解法
【答案】1
6.某果农 2006 年的年收入为 5 万元,由于党的惠农政策的落实,2008 年年收入增加到 7.2
万元,则平均每年的增长率是__________.
【关键词】一元二次方程的实际应用
【答案】20%
7.(2009 年包头)将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做
2 2 1 0x x k+ + − =
k =
1 4x = 2 4x = −
x 2 ( 3) 0x k x k+ + + = 2−
x
( )21 2500x− =
( )21 2500x− =
x
27 800( 1) 9100x + =
成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值
是 cm2.
【答案】: 或
8.(2009 年莆田)已知 和 的半径分别是一元二次方程 的两根,
且 则 和 的位置关系是 .
【关键词】圆、一元二次方程、圆与圆位置关系
【答案】:相交
9.(2009 年莆田)出售某种文具盒,若每个获利 元,一天可售出 个,
则当 元时,一天出售该种文具盒的总利润
【关键词】二次函数、最大值
【答案】:3
10.(2009 年本溪)11.由于甲型 H1N1 流感(起初叫猪流感)的影响,在一个月内猪肉价格
两次大幅下降.由原来每斤 16 元下调到每斤 9 元,求平均每次下调的百分率是多少?设
平均每次下调的百分率为 ,则根据题意可列方程为 .
【关键词】列方程
【答案】
11.(2009 年温州)方程(x-1)2=4 的解是
【关键词】解一元二次方程
【答案】x1=3,x2=-1.
12.(2009 临沂)某制药厂两年前生产 1 吨某种药品的成本是 100 万元,随着生产技术的
进步,现在生产 1 吨这种药品的成本为 81 万元,.则这种药品的成本的年平均下降率为
______________.
【关键词】二元一次方程
【答案】10%
13.(2009 年哈尔滨)如果 2 是一元二次方程 x2+bx+2=0 的一个根,那么常数 b 的值
为 .
【关键词】一元二次方程的根
【答案】-3 .把 2 代入此方程可解得:b=-3
25
2 12.5
1O⊙ 2O⊙ ( )( )1 2 0x x− − =
1 2 2O O = , 1O⊙ 2O⊙
x ( )6 x−
x = y
x
216(1 ) 9x− =
14、(2009 年兰州)阅读材料:设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1,x 2,则两
根与方程系数之间有如下关系:x1+x2=- ,x1·x2= .根据该材料填空:已知 x1、
x2 是方程
x2+6x+3=0 的两实数根,则 + 的值为 .
【关键词】一元二次方程根与系数关系
【答案】10
15.(2009 年宁德市)方程 的解是______________.
【关键词】一元二次方程的解
【答案】x1=0, x2=4
16.(2009 年赤峰市)已知关于 x 的方程 x2-3x+2k=0 的一个根是 1,则 k=
17、(2009 年崇左)分解因式: .
【关键词】利用求根方法因式分解
【答案】
18.(2009 年崇左)一元二次方程 的一个根为 ,则另一个根
为 .
【关键词】利用一元二次方程的根的定义可得,或利用根与系数的关系可得。
【答案】
19.(2009 年湖北十堰市)方程(x+2)(x-1)=0 的解为 .
【关键词】解一元二次方程
【答案】-2,1;-2 或 1(x=-2,x=1 或 )
20.(2009 年山东青岛市)某公司 2006 年的产值为 500 万元,2008 年的产值为 720 万元,
则该公司产值的年平均增长率为 .
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】20%
21.(2009 年山西省)请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程: .
【关键词】解一元二次方程;一元二次方程根与系数的关系
【答案】答案不唯一,如
042 =− xx
1,2 21 =−= xx
2 1x =
b
a
c
a
2
1
x
x
1
2
x
x
22 4 2x x− + =
22( 1)x −
2 3 0x mx+ + = 1−
3−
22.(2009 年山西省)请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程: .
【关键词】解一元二次方程;一元二次方程根与系数的关系
【答案】答案不唯一,如
二、选择题
23.(2009 年黄石市)三角形两边的长是 3 和 4,第三边的长是方程 的
根,则该三角形的周长为( )
A.14 B.12 C.12 或 14 D.以上都不对
【关键词】解一元二次方程;三角形三边关系
【答案】B
24.(2009 年铁岭市)为了美化环境,某市加大对绿化的投资.2007 年用于绿化投资 20
万元,2009 年用于绿化投资 25 万元,求这两年绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化
投资的年平均增长率为 ,根据题意所列方程为( )
A. B.
C. D.
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】C
25.(2009 年安徽)某市 2008 年国内生产总值(GDP)比 2007 年增长了 12%,由于受到
国际金融危机的影响,预计今年比 2008 年增长 7%,若这两年 GDP 年平均增长率为 x%,
则 x%满足的关系是…………………………【 】
A. B.
C. D.
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】D
26.(2009 武汉)5.已知 是一元二次方程 的一个解,则 的值是( )
A. B. C.0 D.0 或
【关键词】二次根式化简
【答案】A
27.(2009 成都)若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则 的取
2 1x =
2x = 2 2 0x mx+ + = m
3− 3 3
2 12 35 0x x− + =
x
220 25x = 20(1 ) 25x+ =
220(1 ) 25x+ = 220(1 ) 20(1 ) 25x x+ + + =
12% 7% %x+ = (1 12%)(1 7%) 2(1 %)x+ + = +
12% 7% 2 %x+ =
2(1 12%)(1 7%) (1 %)x+ + = +
x 2 2 1 0kx x− − = k
值范围是
(A) (B) 且 (c) (D) 且
【关键词】一元二次方程根的判别式
【答案】B
28.(2009 年湖南长沙)已知关于 的方程 的一个根为 ,则实数 的
值为( )
A.1 B. C.2 D.
【答案】A
【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为 x=3 是原方程的根,所以将 x=3 代入原
方程,原方程成立,即 成立,解得 k=1。故选 A。
29.(2009 山西省太原市)用配方法解方程 时,原方程应变形为( )
A. B.
C. D.
解析:本题考查配方, , , ,故选 B.
【关键词】配方
【答案】B
30. (2009 襄樊市)为了改善居民住房条件,我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的
住房面积由现在的人均约为 提高到 若每年的年增长率相同,则年增长率为
( )
A. B. C. D.
解析:本题考查方程解决增长率问题,设年增长率 ,可列方程 ,解
得 , (舍去),所以年增长率 10%,故选 B。
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】B
31(2009 呼和浩特)用配方法解方程 ,则方程可变形为( )
A. B.
210m 212.1m ,
9% 10% 11% 12%
1k > − 1k > − 0k ≠ 1k < 1k < 0k ≠
x 2 6 0x kx− − = 3x = k
1− 2−
06332 =−− k
2 2 5 0x x− − =
( )21 6x + = ( )21 6x − =
( )22 9x + = ( )22 9x − =
2 2 5 0x x− − = 2 2 1 5 1x x− + = + ( )21 6x − =
x ( )210 1 12.1x+ =
1 0.1 10%x = = 2 2.1x = −
23 6 1 0x x− + =
2 1( 3) 3x − = 2 13( 1) 3x − =
C. D.
【关键词】解一元二次方程
32(2009 青海)方程 的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的
周长为( )
A.12 B.12 或 15 C.15 D.不能确定
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】C
33(2009 青海)在一幅长为 80cm,宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金
色纸边,制成一幅矩形挂图,如图 5 所示,如果要使整个挂图的面积是 5400cm2,设金色
纸边的宽为 cm,那么 满足的方程是( )
A. B.
C. D.
关键词:一元二次方程的应用
答案:B
34. (2009 襄樊市)如图 5,在 中, 于 且
是一元二次方程 的根,则 的周长为( )
A. B. C. D.
解析:本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识,∵ 是一元二次方程
的根,∴ ,∴AE=EB=EC=1,∴AB= ,BC=2,∴ 的周
长为 ,故选 A。
【关键词】一元二次方程的解法、平行四边形的性质
【答案】A
35.(2009 年台州市)用配方法解一元二次方程 的过程中,配方正确的是( )
A.( B. C. D.
ABCD AE BC⊥ E,AE EB EC a= = = , a
2 2 3 0x x+ − = ABCD
4 2 2+ 12 6 2+ 2 2 2+ 2 2 12 6 2+ +或
a
2 2 3 0x x+ − = ABCD
4 2 2+
542 =− xx
1)2 2 =+x 1)2( 2 =−x 9)2( 2 =+x 9)2( 2 =−x
2(3 1) 1x − = 2 2( 1) 3x − =
2 9 18 0x x− + =
x x
2 130 1400 0x x+ − = 2 65 350 0x x+ − =
2 130 1400 0x x− − = 2 65 350 0x x− − =
A D
CE
C
B
图 5
1a = 2
图 5
【关键词】解一元二次方程
【答案】D
36.(2009 年甘肃庆阳)如图 3,在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽
的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要 551 米 2,则修建的路宽应为( )
A.1 米 B.1.5 米 C.2 米 D.2.5 米
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】A
37.(2009 年甘肃庆阳)方程 的根是( )
A. B. C. D.
【关键词】一元二次方程
【答案】C
38.(2009 年河南)方程 =x 的解是 【 】
(A)x=1 (B)x=0 (C) x1=1 x2=0 (D) x1=﹣1 x2=0
【关键词】解方程
【答案】C
39.(2009 年鄂州)10、某农机厂四月份生产零件 50 万个,第二季度共生产零件 182 万个.设
该厂五、六月份平均每月的增长率为 x,那么 x 满足的方程是( )
A、 B.
C、50(1+2x)=182 D.
【关键词】一元二次方程的应用(增长率)
【答案】B
40.(2009 江西)为了让江西的山更绿、水更清,2008 年省委、省政府提出了确保到 2010
年实现全省森林覆盖率达到 63%的目标,已知 2008 年我省森林覆盖率为 60.05%,设从
2008 年起我省森林覆盖率的年平均增长率为 ,则可列方程( )
A. B.
2 4 0x − =
2x = 2x = − 1 22 2x x= = −, 4x =
2x
182)1(50 2 =+ x 182)1(50)1(5050 2 =++++ xx
182)21(50)1(5050 =++++ xx
x
( )60.05 1 2 63%x+ = ( )60.05 1 2 63x+ =
C. D.
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】D
41. (2009 年烟台市)设 是方程 的两个实数根,则 的
值为( )
A.2006 B.2007 C.2008 D.2009
【关键词】一元二次方程
【答案】C
42.(2009 年清远)方程 的解是( )
A. B. C. D.
【关键词】解一元二次方程
【答案】A
43.(2009 年衡阳市)两圆的圆心距为 3,两圆的半径分别是方程 的两个
根,则两圆的位置关系是 ( )
A.相交 B.外离 C.内含 D.外切
【关键词】一元二次方程的解法
【答案】A
44.(2009 年日照)若 n( )是关于 x 的方程 的根,则 m+n 的值为
A.1 B.2 C.-1 D.-2
【关键词】一元二次方程根的意义,因式分解
【答案】D.
45.(2009 年长沙)已知关于 的方程 的一个根为,则实数 的值为( )
A.1 B. C.2 D.
【关键词】一元二次方程、根
【答案】:A
46.(2009 年包头)关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是
,且 ,则 的值是( C )
A.1 B.12 C.13 D.25
【关键词】一元二次方程、根与系数关系
( )260.05 1 63%x+ = ( )260.05 1 63x+ =
a b, 2 2009 0x x+ − = 2 2a a b+ +
2 16x =
4x = ± 4x = 4x = − 16x =
0342 =+− xx
0n ≠ 2 2 0x mx n+ + =
x 2 6 0x kx− − = k
1− 2−
x 2 2 1 0x mx m− + − =
1 2x x、 2 2
1 2 7x x+ = 2
1 2( )x x−
【关键词】面积、最小值
47.(2009 宁夏)2.某旅游景点三月份共接待游客 25 万人次,五月份共接待游客 64 万人次,
设每月的平均增长率为 ,则可列方程为( )A
A. B.
C. D.
【关键词】列方程
【答案】A
48.(2009 眉山)若方程 的两根为 、 ,则 的值为( )
A.3 B.-3 C. D.
【关键词】一元二次方程
【答案】B
49.(2009 东营)若 n( )是关于 x 的方程 的根,则 m+n 的值为
( )
(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2
【关键词】一元二次方程
【答案】D
50.(2009 年南充)方程 的解是( )
A. B. C. 或 D. 或
【关键词】解一元二次方程
【答案】D
51.(2009 年兰州)2008 年爆发的世界金融危机,是自上世纪三十年代以来世界最严重的一
场金融危机。受金融危机的影响,某商品原价为 200 元,连续两次降价 后售价为 148 元,
下面所列方程正确的是
A. B.
C. D.
【关键词】一元二次方程、增长率
【答案】B
x
225(1 ) 64x+ = 225(1 ) 64x− =
264(1 ) 25x+ = 264(1 ) 25x− =
2 3 1 0x x− − = 1x 2x
1 2
1 1
x x
+
1
3
1
3
−
0n ≠ 2 2 0x mx n+ + =
( 3)( 1) 3x x x− + = −
0x = 3x = 3x = 1x = − 3x = 0x =
%a
2200(1 %) 148a+ = 2200(1 %) 148a− =
200(1 2 %) 148a− = 2200(1 %) 148a− =
52.(2009 年济南)若 是一元二次方程 的两个根,则 的值是
( )
A. B. C. D.
【关键词】一元二次方程根与系数关系
【答案】B
53.(2009 年潍坊)已知关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ,
且 ,则 的值是( )
A.8 B. C.6 D.5
【关键词】一元二次方程根与系数之间的关系
【答案】D
54.(2009 年潍坊)关于 的方程 有实数根,则整数 的最大值是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【关键词】一元二次方程根的判别法
【答案】C
55..(2009 年咸宁市)方程 的解为( )
A. B. C. D.
【关键词】一元二次方程的解
【答案】D
56.(2009 年黄石市)三角形两边的长是 3 和 4,第三边的长是方程 的
根,则该三角形的周长为( )
A.14 B.12 C.12 或 14 D.以上都不对
【关键词】解一元二次方程;三角形三边关系
【答案】B
57. (2009 年云南省)一元二次方程 的解是( )
A.x1 = 0 ,x2 = B. x1 = 0 ,x2 =
C.x1 = 0 ,x2 = D. x1= 0 ,x2 =
【关键词】一元二次方程
x 2 6 1 0x x k− + + = 1 2x x,
2 2
1 2x x+ = 24 k
7−
x 2( 6) 8 6 0a x x− − + = a
25 2 0x x− =
2
5
5
2
−
5
2
2
5
−
1 2x x, 2 5 6 0x x− + = 1 2x x+
1 5 5− 6
3 ( 1) 3 3x x x+ = +
1x = 1x = − 1 20 -1x x= =, 1 21 -1x x= =,
2 12 35 0x x− + =
【答案】A
三、解答题
58.(2009 仙桃)解方程: .
【关键词】一元二次方程
【答案】解:
∴
59.(2009 年山西省)解方程:
【关键词】解一元二次方程
【答案】解:移项,得 配方,得
∴ ∴
60.(2009 年赤峰市)某工厂今年 3 月份的产值为 100 万元,由于受国际金融风暴的影响,
5 月份的产值下降到 81 万元,求平均每月产值下降的百分率。
61.(2009 年 常 德 市 )常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇,北至桃源县盘塘镇创元工
业园.在这一走廊内的工业企业 2008 年完成工业总产值 440 亿元,如果要在 2010 年达到
743.6 亿元,那么 2008 年到 2010 年的工业总产值年平均增长率是多少?《常德工业走廊
建设发展规划纲要(草案)》确定 2012 年走廊内工业总产值要达到 1200 亿元,若继续保
持上面的增长率,该目标是否可以完成?
【关键词】年平均增长率
【答案】设 2008 年到 2010 年的年平均增长率为 x ,则
化简得 : , (舍去)
答:2008 年到 2010 年的工业总产值年平均增长率为 30%,若继续保持上面的增长率,
在 2012 年将达到 1200 亿元的目标.
2 2 3 0x x− − =
2 2 3x x− = , ( )21 4x − = ,
1 2x − = ± , 1 21 3x x= − =, .
2440(1 ) 743.6x+ =
2(1 ) 1.69x+ = 1 20.3 30% 2.3x x= = = −,
2743.6 (1 0.3) 1256.684 1200× + = >
2 4 2 0x x+ + =
2 4 2x x+ = −
( )
2
2
4 4 2 4
2 2
2 2
2 2
x x
x
x
x
+ + = − +
+ =
+ = ±
= ± −
1 22 2, 2 2.x x= − = − −
62.(2009 武汉)17.解方程: .
【关键词】解一元二次方程
【答案】解: ,
,
.
63.(2009 年上海市)20.解方程组:
【关键词】解二元二次方程组
【答案】 或
63.(2009 年义乌)解方程 。
【关键词】一元二次方程的解法
【答案】 ;
64 .( 2009 年 甘 肃 白 银 )( 6 分 ) 在 实 数 范 围 内 定 义 运 算 “ ”,其 法 则 为 :
,求方程(4 3) 的解.
【关键词】实数概念;一元二次方程
【答案】 本小题满分 6 分
解:∵ , ∴ .
∴ . ∴ .
∴ .
65.(2009 年甘肃庆阳)(8 分)某企业 2006 年盈利 1500 万元,2008 年克服全球金融危机
的不利影响,仍实现盈利 2160 万元.从 2006 年到 2008 年,如果该企业每年盈利的年增
长率相同,求:
(1)该企业 2007 年盈利多少万元?
(2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变,预计 2009 年盈利多少万元?
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】本小题满分 8 分
解:(1)设每年盈利的年增长率为 ,
2 3 1 0x x− − =
1 3 1a b c= = − = − , ,
2 24 ( 3) 4 1 ( 1) 13b ac∴ − = − − × × − =
1 2
3 13 3 13
2 2x x
+ −∴ = =,
⊕
2 2a b a b⊕ = − ⊕ ⊕ 24x =
2 2a b a b⊕ = − 2 2 2 2(4 3) (4 3 ) 7 7x x x x⊕ ⊕ = − ⊕ = ⊕ = −
2 27 24x− = 2 25x =
5x = ±
x
2
1
2 2 0
y x
x xy
− =
− − =
, ①
. ②
=
−=
0
1
y
x
=
=
3
2
y
x
2 2 2 0x x− − =
1 1 3x = + 2 1 3x = −
根据题意,得 .
解得 (不合题意,舍去).
.
答:2007 年该企业盈利 1800 万元.
(2) .
答:预计 2009 年该企业盈利 2592 万元.
66.(2009 年鄂州)22、关于 x 的方程 有两个不相等的实数根.
(1)求 k 的取值范围。
(2)是否存在实数 k,使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在,求出 k 的值;若不
存在,说明理由
【关键词】一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
【答案】(1)由△=(k+2)2-4k· >0 ∴k>-1
又∵k≠0 ∴k 的取值范围是 k>-1,且 k≠0
(2)不存在符合条件的实数 k
理由:设方程 kx2+(k+2)x+ =0 的两根分别为 x1、x2,由根与系数关系有:
x1+x2= ,x1·x2= ,
又 则 =0 ∴
由(1)知, 时,△<0,原方程无实解
∴不存在符合条件的 k 的值。
67.(2009 年广西梧州)解方程:
【关键词】解一元二次方程
【答案】
解:
或
21500(1 ) 2160x+ =
1 20.2 2.2x x= = −,
1500(1 ) 1500(1 0.2) 1800x∴ + = + =
2160(1 0.2) 2592+ =
0)3(2)3( 2 =−+− xxx
04)2(2 =+++ kxkkx
4
k
4
k
k
k 2+−
4
1
011
21
=+
xx k
k 2+− 2−=k
2−=k
0)23)(3( =+−− xxx
0)33)(3( =−− xx
03 =−x 033 =−x
即 或
68.(2009 年甘肃定西)在实数范围内定义运算“ ”,其法则为: ,求方程
(4 3) 的解.
【关键词】,新定义运算;解一元二次方程.
【答案】
解:∵ , ∴ .
∴ . ∴ .
∴ .,
69.(2009 年新疆)解方程: .
【关键词】解一元二次方程
【答案】 , , 或 ,
70.(2009 年天津市)如图①,要设计一幅宽 20cm,长 30cm 的矩形图案,其中有两横两
竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为 2∶3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的
三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?
分析:由横、竖彩条的宽度比为 2∶3,可设每个横彩条的宽为 ,则每个竖彩条的
宽为 .为更好地寻找题目中的等量关系,将横、竖彩条分别集中,原问题转化为如
图②的情况,得到矩形 .
结合以上分析完成填空:如图②,用含 的代数式表示:
=____________________________cm; =____________________________cm;
矩形 的面积为_____________cm ;列出方程并完成本题解答.
【关键词】一元二次方程的应用
2 2a b a b⊕ = − 2 2 2 2(4 3) (4 3 ) 7 7x x x x⊕ ⊕ = − ⊕ = ⊕ = −
2 27 24x− = 2 25x =
5x = ±
31 =x 12 =x
⊕ 2 2a b a b⊕ = −
⊕ ⊕ 24x =
2( 3) 4 ( 3) 0x x x− + − =
( 3)( 3 4 ) 0x x x− − + = ( 3)(5 3) 0x x− − = 3 0x − = 5 3 0x − =
1 2
33 5x x= =,
20cm 20cm
30cm
D C
A B
图②图①
30cm
2x
3x
ABCD
x
AB AD
ABCD 2
【答案】(Ⅰ) ;
(Ⅱ)根据题意,得 .整理,得
.解方程,得 (不合题意,舍去).则
.答:每个横、竖彩条的宽度分别为 cm, cm.
71.(2009 年广东省)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后
就会有 81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台
电脑?若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台?
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑,依题意得:
1+ ,
,
或 ,
或 (舍去),
.
答:每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑,3 轮感染后,被感染的电脑会超过 700
台.
72.(2009 年广东省)小明用下面的方法求出方程 的解,请你仿照他的方法求
出下面另外两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的表格中.
方程
换 元 法 得 新
方程
解新方程 检验 求原方程的解
令
则 所 以
220 6 30 4 24 260 600x x x x− − − +, ,
2 124 260 600 1 20 303x x − + = − × ×
26 65 50 0x x− + = 1 2
5 106x x= =,
5 52 33 2x x= =, 5
3
5
2
x
( )1 81x x x+ + =
( )21 81x+ =
1 9x + = 1 9x + = −
1 8x = 2 10x = −
( ) ( )3 31 1 8 729 700x+ = + = >
2 3 0x − =
2 3 0x − =
x t= ,
2 3 0t − =
3
2t = 3 02t = >
3
2x = ,
9
4x =
2 3 0x x+ − =
【关键词】解一元二次方程;换元法
【答案】解:
方程
换元法得
新方程
解新方程 检验 求原方程的解
令 ,则
……1 分
……2 分 (舍去)
……3 分
,所以
.
……4 分
令
, 则
……6 分
……7 分 (舍去)
……8 分
,所
以
.
……9 分
73.(2009 年兰州)用配方法解一元二次方程:
【关键词】解一元二次方程的配方法
【答案】解:移项,得 ,二次项系数化为 1,得
配方 , ,由此可得 , ,
74.(2009 年包头)某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低
于成本单价,且获利不得高于 45%,经试销发现,销售量 (件)与销售单价 (元)符
合一次函数 ,且 时, ; 时, .
(1)求一次函数 的表达式;
(2)若该商场获得利润为 元,试写出利润 与销售单价 之间的关系式;销售单
价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 的范围.
2 4 0x x+ − − =
2 3 0x x+ − =
x t=
2 2 3 0t t+ − = 1 21 3t t= = −,
1 1 0t = > ,
2 3 0t = − <
1x =
1x =
2 4 0x x+ − − =
2x t− =
2 2 0t t+ − =
1 21 2t t= = −,
1 1 0t = > ,
2 2 0t = − <
2 1x − =
2 1 3x x− = =,
22 1 3x x+ =
22 3 1x x− = − 2 3 1
2 2x x− = −
2 2
2 3 3 1 3
2 4 2 4x x − + = − +
23 1
4 16x − =
3 1
4 4x − = ± 1 1x =
2
1
2x =
y x
y kx b= + 65x = 55y = 75x = 45y =
y kx b= +
W W x
x
【关键词】一次函数、二次函数、最大值
解:(1)根据题意得 解得 .
所求一次函数的表达式为 .
(2)
,
抛物线的开口向下, 当 时, 随 的增大而增大,
而 ,
当 时, .
当销售单价定为 87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是 891 元.
(3)由 ,得 ,
整理得, ,解得, .
由图象可知,要使该商场获得利润不低于 500 元,销售单价应在 70 元到 110 元之间,
而 ,所以,销售单价 的范围是 .
75.. (2009 年湖州)随着人民生活水平的不断提高,我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计,
某小区 2006 年底拥有家庭轿车 64 辆,2008 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆.
(1) 若该小区 2006 年底到 2009 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同,求
该小区到 2009 年底家庭轿车将达到多少辆?
(2) 为了缓解停车矛盾,该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位.据测算,
建造费用分别为室内车位 5000 元/个,露天车位 1000 元/个,考虑到实际因素,计划露
天车位的数量不少于室内车位的 2 倍,但不超过室内车位的 2.5 倍,求该小区最多可
建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案.
【关键词】一元二次方程解决应用题,二元一次方程及不等式解决问题,方案题
【答案】(1)设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 ,则:
,
解得: %, (不合题意,舍去),
.
65 55
75 45.
k b
k b
+ =
+ =
,
1 120k b= − =,
120y x= − +
( 60) ( 120)W x x= − − +
2 180 7200x x= − + −
2( 90) 900x= − − +
∴ 90x < W x
60 87x≤ ≤
∴ 87x = 2(87 90) 900 891W = − − + =
∴
500W = 2500 180 7200x x= − + −
2 180 7700 0x x− + = 1 270 110x x= =,
60 87x≤ ≤ x 70 87x≤ ≤
x
( )264 1 100x+ =
1
1 254x = = 2
9
4x = −
( )100 1 25% 125∴ + =
答:该小区到 2009 年底家庭轿车将达到 125 辆.
(2)设该小区可建室内车位 个,露天车位 个,则:
由①得: =150-5 代入②得: ,
是正整数, =20 或 21,
当 时 ,当 时 .
方案一:建室内车位 20 个,露天车位 50 个;方案二:室内车位 21 个,露天车位 45
个.
76.(2009 年中山)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就
会有 81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电
脑?若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台?
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑,依题意得:
,
,
或 ,
(舍去),
.
答:每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑,3 轮感染后,被感染的电脑会超过 700
台.
77.(2009 年宁波市)2009 年 4 月 7 日,国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施
方案(2009~2011 年》,某市政府决定 2009 年投入 6000 万元用于改善医疗卫生服务,比
2008 年增加了 1250 万元.投入资金的服务对象包括“需方”(患者等)和“供方”(医疗
卫生机构等),预计 2009 年投入“需方”的资金将比 2008 年提高 30%,投入“供方”的
资金将比 2008 年提高 20%.
(1)该市政府 2008 年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元?
(2)该市政府 2009 年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元?
(3)该市政府预计 2011 年将有 7260 万元投入改善医疗卫生服务,若从 2009~2011 年
a b
0.5 0.1 15
2 2.5
a b
a b a
+ =
①
≤ ≤ ②
b a 20 a 150≤ ≤
7
a a∴
20a = 50b = 21a = 45b =
∴
x
1 (1 ) 81x x x+ + + =
2(1 ) 81x+ =
1 9x + = 1 9x + = −
1 28 10x x= = −,
3 3(1 ) (1 8) 729 700x+ = + = >
每年的资金投入按相同的增长率递增,求 2009~2011 年的年增长率.
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】解:(1)该市政府 2008 年投入改善医疗服务的资金是:
(万元)
(2)设市政府 2008 年投入“需方” 万元,投入“供方” 万元,
由题意得
解得
2009 年投入“需方”资金为 (万元),
2009 年投入“供方”资金为 (万元).
答:该市政府 2009 年投入“需方”3900 万元,投入“供方”2100 万元.
(3)设年增长率为 ,由题意得
,
解得 , (不合实际,舍去)
答:从 2009~2011 年的年增长率是 10%.
78.(2009 年潍坊)要对一块长 60 米、宽 40 米的矩形荒地 进行绿化和硬化.
(1)设计方案如图①所示,矩形 P、Q 为两块绿地,其余为硬化路面,P、Q 两块绿
地周围的硬化路面宽都相等,并使两块绿地面积的和为矩形 面积的 ,求 P、
Q 两块绿地周围的硬化路面的宽.
(2)某同学有如下设想:设计绿化区域为相外切的两等圆,圆心分别为 和 ,且
到 的距离与 到 的距离都相等,其余为硬化地面,
如图②所示,这个设想是否成立?若成立,求出圆的半径;若不成立,说明理由.
解:(1)设 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 米,根据题意,得:
解之,得:
经检验, 不符合题意,舍去.
ABCD
ABCD 1
4
1O 2O
1O AB BC AD、 、 2O CD BC AD、 、
P Q、 x
1(60 3 ) (40 2 ) 60 40 4x x− × − = × ×
1 210 30x x= =,
2 30x =
6000 1250 4750− =
x y
4750
(1 30%) (1 20%) 6000.
x y
x y
+ =
+ + + =
,
3000
1750.
x
y
=
=
,
∴ (1 30%) 1.3 3000 3900x+ = × =
(1 20%) 1.2 1750 2100y+ = × =
x
26000(1 ) 7260x+ =
1 0.1x = 2 1.1x = −
所以,两块绿地周围的硬化路面宽都为 10 米.
(2)设想成立.设圆的半径为 米, 到 的距离为 米,根据题意,得:
解得: .符合实际.
所以,设想成立,此时,圆的半径是 10 米.
79.(2009 年广东省)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后
就会有 81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台
电脑?若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台?
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑,依题意得:
1+ ,
,
或 ,
或 (舍去),
.
答:每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑,3 轮感染后,被感染的电脑会超过 700
台.
80.(2009 年广东省)小明用下面的方法求出方程 的解,请你仿照他的方法求
出下面另外两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的表格中.
方程
换元法得
新方程
解新方程 检验 求原方程的解
令
则 所 以
r 1O AB y
2 40
2 2 60
y
y r
=
+ =
20 10y r= =,
x
( )1 81x x x+ + =
( )21 81x+ =
1 9x + = 1 9x + = −
1 8x = 2 10x = −
( ) ( )3 31 1 8 729 700x+ = + = >
2 3 0x − =
2 3 0x − =
x t= ,
2 3 0t − =
3
2t = 3 02t = >
3
2x = ,
9
4x =
2 3 0x x+ − =
【关键词】解一元二次方程;换元法
【答案】解:
方程
换元法得
新方程
解新方程 检验 求原方程的解
令 ,则
……1 分
……2 分 (舍去)
……3 分
,所以
.
……4 分
令 ,
则
……6 分
……7 分 (舍去)
……8 分
,所
以
.
……9 分
81.(2009 年山西省)解方程:
【关键词】解一元二次方程
【答案】解:移项,得 配方,得
∴ ∴
(注:此题还可用公式法,分解因式法求解,请参照给分)
82(2009 年衢州)2009 年 5 月 17 日至 21 日,甲型 H1N1 流感在日本迅速蔓延,每天的
新增病例和累计确诊病例人数如图所示.
(1) 在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中,日本新增甲型 H1N1 流感病例最多的是哪一
天?该天增加了多少人?
(2) 在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中,日本平均每天新增加甲型 H1N1 流感确诊病
例多少人?如果接下来的 5 天中,继续按这个平均数增加,那么到 5 月 26 日,日本甲
型 H1N1 流感累计确诊病例将会达到多少人?
(3) 甲型 H1N1 流感病毒的传染性极强,某地因 1 人患了甲型 H1N1 流感没有及时隔
离治疗,经过两天传染后共有 9 人患了甲型 H1N1 流感,每天传染中平均一个人传染
2 2 3 0x x− − =
2 2 3x x− = , ( )21 4x − = ,
1 2x − = ± , 1 21 3x x= − =, .
2 4 0x x+ − − =
2 3 0x x+ − =
x t=
2 2 3 0t t+ − = 1 21 3t t= = −,
1 1 0t = > ,
2 3 0t = − <
1x =
1x =
2 4 0x x+ − − =
2x t− =
2 2 0t t+ − =
1 21 2t t= = −,
1 1 0t = > ,
2 2 0t = − <
2 1x − =
2 1 3x x− = =,
了几个人?如果按照这个传染速度,再经过 5 天的传染后,这个地区一共将会有多少
人患甲型 H1N1 流感?
【关键词】折线统计图
【答案】解:(1) 18 日新增甲型 H1N1 流感病例最多,增加了 75 人;
(2) 平均每天新增加 人,
继续按这个平均数增加,到 5 月 26 日可达 52.6×5+267=530 人;
(3) 设每天传染中平均一个人传染了 x 个人,则
, ,
解得 (x = -4 舍去).
再经过 5 天的传染后,这个地区患甲型 H1N1 流感的人数为
(1+2)7=2 187(或 1+2+6+18+54+162+486+1 458=2 187),
即一共将会有 2 187 人患甲型 H1N1 流感.
83.(2009 年舟山)2009 年 5 月 17 日至 21 日,甲型 H1N1 流感在日本迅速蔓延,每天的
新增病例和累计确诊病例人数如图所示.
(1) 在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中,日本新增甲型 H1N1 流感病例最多的是哪一
天?该天增加了多少人?
(2) 在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中,日本平均每天新增加甲型 H1N1 流感确诊病
例多少人?如果接下来的 5 天中,继续按这个平均数增加,那么到 5 月 26 日,日本甲
型 H1N1 流感累计确诊病例将会达到多少人?
(3) 甲型 H1N1 流感病毒的传染性极强,某地因 1 人患了甲型 H1N1 流感没有及时隔
离治疗,经过两天传染后共有 9 人患了甲型 H1N1 流感,每天传染中平均一个人传染
267 4 52.65
− =
1 ( 1) 9x x x+ + + = 2( 1) 9x + =
2=x
累计确诊病例人数
新增病例人数
0
4 21
96
163 193
267
17
75 67
30
74
16 17 18 19 20 21
日本 2009 年 5 月 16 日至 5 月 21 日
甲型 H1N1 流感疫情数据统计图人数(人)
0
50
100
150
200
250
300
日期
了几个人?如果按照这个传染速度,再经过 5 天的传染后,这个地区一共将会有多少
人患甲型 H1N1 流感?
【关键词】折线统计图
【答案】解:(1) 18 日新增甲型 H1N1 流感病例最多,增加了 75 人;
(2) 平均每天新增加 人,
继续按这个平均数增加,到 5 月 26 日可达 52.6×5+267=530 人;
(3) 设每天传染中平均一个人传染了 x 个人,则
, ,
解得 (x = -4 舍去).
再经过 5 天的传染后,这个地区患甲型 H1N1 流感的人数为
(1+2)7=2 187(或 1+2+6+18+54+162+486+1 458=2 187),
即一共将会有 2 187 人患甲型 H1N1 流感.
84.(2009 年益阳市)如图 11,△ABC 中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC 于 D,BD=2,DC
=3,求 AD 的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题.
请按照小萍的思路,探究并解答下列问题:
(1)分别以 AB、AC 为对称轴,画出△ABD、△ACD 的轴对称图形,D 点的对称点为
E、F,延长 EB、FC 相交于 G 点,证明四边形 AEGF 是正方形;
(2)设 AD=x,利用勾股定理,建立关于 x 的方程模型,求出 x 的值.
267 4 52.65
− =
1 ( 1) 9x x x+ + + = 2( 1) 9x + =
2=x
累计确诊病例人数
新增病例人数
0
4 21
96
163 193
267
17
75 67
30
74
16 17 18 19 20 21
日本 2009 年 5 月 16 日至 5 月 21 日
甲型 H1N1 流感疫情数据统计图人数(人)
0
50
100
150
200
250
300
日期
【关键词】轴对称、一元二次方程
【答案】(1)证明:由题意可得:△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF .
∴∠DAB=∠EAB ,∠DAC=∠FAC,又∠BAC=45°,
∴∠EAF=90°.
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°∠F=∠ADC=90°.
又∵AE=AD,AF=AD
∴AE=AF.
∴四边形 AEGF 是正方形.
(2)解:设 AD=x,则 AE=EG=GF=x.
∵BD=2,DC=3
∴BE=2 ,CF=3
∴BG=x-2,CG=x-3.
在 Rt△BGC 中,BG2+CG2=BC2
∴( x-2)2+(x-3)2=52.
化简得,x2-5x-6=0
解得 x1=6,x2=-1(舍)
所以 AD=x=6.
85.(09 湖北宜昌)【实际背景】
预警方案确定:
B C
A
E
G
D
F
图 11
设 .如果当月 W<6,则下个月要采取措施防止“猪贱伤
农”.
【数据收集】
今年 2 月~5 月玉米、猪肉价格统计表
月 份 2 3 4 5
玉米价格(元/500 克) 0.7 0.8 0.9 1
猪肉价格(元/500 克) 7.5 m 6.25 6
【问题解决】
(1)若今年 3 月的猪肉价格比上月下降的百分数与 5 月的猪肉价格比上月下降的百分数
相等,求 3 月的猪肉价格 m;
(2)若今年 6 月及以后月份,玉米价格增长的规律不变,而每月的猪肉价格按照 5 月的
猪肉价格比上月下降的百分数继续下降,请你预测 7 月时是否要采取措施防止“猪贱伤
农”;
(3)若今年 6 月及以后月份,每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的 2 倍,而每
月的猪肉价格增长率都为 a,则到 7 月时只用 5.5 元就可以买到 500 克猪肉和 500 克玉
米.请你预测 8 月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”.
【关键词】分式方程、一元二次方程解法及应用、阅读理解题、一次函数的实际问题
【答案】解:(1)由题意, ,
解得: m=7.2.
(2)从 2 月~5 月玉米的价格变化知,后一个月总是比前一个月价格每 500 克增长 0.1
元.
(或:设 y=kx+b,将(2,0.7),(3,0.8)代入,得到 y=0.1x+0.5,把(4,0.9),
∴6 月玉米的价格是:1.1 元/500 克;
∵5 月增长率: ,∴6 月猪肉的价格:6(1- )=5.76 元/500 克.
∴W= =5.24<6, 要采取措施.
(3)7 月猪肉价格是: 元/500 克; 7 月玉米价格是: 元/500 克;
00
00
W= 月的5 克 肉价格
月的5 克玉米价格
当 猪
当
7.5 6 6.25
7.5 6.25
m − −=
6 6.25 1
6.25 25
− = − 1
25
5.76
1.1
26(1 )a+ 21(1 2 )a+
由题意, + =5.5,
解得, . 不合题意,舍去.
∴ , ,∴不(或:不一定)需要采取措施.
86.(09 湖南怀化)如图 11,已知二次函数 的图象与 轴相交于两
个不同的点 、 ,与 轴的交点为 .设 的外接圆的圆心为点
.
(1)求 与 轴的另一个交点 D 的坐标;
(2)如果 恰好为 的直径,且 的面积等于
,求 和 的值.
【关键词】分式方程、一元二次方程解法及应用、阅读理
解题、一次函数的实际问题
【答案】解 (1)易求得点 的坐标为
由题设可知 是方程 即
的两根,所以 ,
所
如图 3,∵⊙P 与 轴的另一个交点为 D,由于 AB、CD 是⊙P
的 两 条 相 交 弦 , 设 它 们 的 交 点 为 点 O , 连 结 DB ,
∴△AOC∽△DOC ,则
由题意知点 在 轴的负半轴上,从而点 D 在 轴的正半轴上,
所以点 D 的坐标为(0,1)
(2)因为 AB⊥CD, AB 又恰好为⊙P 的直径,则 C、D 关于点 O 对称,
所以点 的坐标为 ,即 )
22)( mkmxy −++= x
1( 0)A x, 2( 0)B x , y C ABC△
P
P⊙ y
AB P⊙ ABC△
5 m k
(0 )k,
0)( 22 =−++ mkmx
022 =++ kmxx
2
1 2
2 ( 2 ) 4
2
m m kx
− ± − −=,
1 2 1 22x x m x x k+ = − • =,
y
.121 ===×=
k
k
k
xx
OC
OBOAOD
y y
(0 1)−, 1−=k
26(1 )a+ 21(1 2 )a+
1 3
10 2
a a= − = −或 3
2
a = −
2
2
16(1 )
10
11(1 )
5
W
−
−
= ( 7.59) 6W ≈ >
C
1 2x x,
C
C
又 ,
所以 解得
87.(09 湖南怀化)如图 12,在直角梯形 OABC 中,
OA∥CB,A、B 两点的坐标分别为 A(15,0),B(10,
12),动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发,点 P 以每秒 2 个
单位的速度沿 OA 向终点 A 运动,点 Q 以每秒 1 个单位
的速度沿 BC 向 C 运动,当点 P 停止运动时,点 Q 也
同时停止运动.线段 OB、PQ 相交于点 D,过点 D 作
DE∥OA,交 AB 于点 E,射线 QE 交 轴于点 F.设动点 P、Q 运动时间为 t(单位:
秒).
(1)当 t 为何值时,四边形 PABQ 是等腰梯形,请写出推理过程;
(2)当 t=2 秒时,求梯形 OFBC 的面积;
(3)当 t 为何值时,△PQF 是等腰三角形?请写出推理过程.
【关键词】一元二次方程解法及应用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的
判定
【答案】解:(1)如图 4,过 B 作
则
过 Q 作
则
要使四边形 PABQ 是等腰梯形,则 ,
即
或 (此时 是平行四边形,不合题意,
舍去)
(2)当 时, 。
2 2 2 2
2 1 2 1 1 2( ) 4 ( 2 ) 4 2 2 1AB x x x x x x m k m k m= − = + − = − − = − = +
21 1 2 1 1 52 2ABCS AB OC m= × = × + × =△ .2±=m
x
BG OA G⊥ 于 ,
2 2 2 212 15 10 169 13AB BG GA= + = + − = =( )
,于HOAQH ⊥
2 2 2 2 212 10 2 ) 144 (10 3 )QP QH PH t t t= + = + − − = + −(
,13)310(144 2 =−+ t
t∴ 5
3
= 5t = PABQ
2=t 4 10 2 8 2OP CQ QB= = − = =, ,
1 .2
QB QE QD QBCB DE OF AF EF DP OP
∴ = = = = ∥ ∥ ,
2 2 2 4 15 4 19.AF QB OF∴ = = × = ∴ = + =,
AB QP=
(3)①当 时,则
②当 时,
即
③当 时,
综上,当 时,△PQF 是等腰三角形.
88.(09 湖南邵阳)如图(十二),直线 的解析式为 ,它与 轴、 轴分别相
交于 两点.平行于直线 的直线 从原点 出发,沿 轴的正方形以每秒 1 个单位
长 度 的 速 度 运 动 , 它 与 轴 、 轴 分 别 相 交 于 两 点 , 设 运 动 时 间 为 秒
( ).
(1)求 两点的坐标;
(2)用含 的代数式表示 的面积 ;
(3)以 为对角线作矩形 ,记 和 重合部分的面积为 ,
①当 时,试探究 与 之间的函数关系式;
②在直线 的运动过程中,当 为何值时, 为 面积的 ?
【关键词】直角坐标系、一元二次方程解法及应用
【答案】解 (1)当 时, ;当 时, . ;
(2) , ;
(3)①当 时,易知点 在
的 外 面 , 则 点 的 坐 标 为
,
.1741219102
1 =×+=∴ )(梯形OFBCS
2 212 (10 2 ) 15 2 2t t t t+ − − = + − ,
.3
19
3
1 ==∴ tt 或
222222 )]10(215[1212)210(12 ttFHtt −−++=+=−−+则
2 2 2 2 512 (10 3 ) 12 (5 3 ) 6t t t+ − = + + ∴ =,
2 2 4 1412 (5 3 ) 15 ( .3 3t t t+ + = ∴ = = −则 , 或 舍去)
1 19 5 4
3 3 6 3t t t t= = = =, , ,
QP PF=
QP QF=
QF PF=
l 4y x= − + x y
A B、 l m O x
x y M N、 t
0 4t< ≤
A B、
t MON△ 1S
MN OMPN MPN△ OAB△ 2S
2 t< ≤4 2S t
m t 2S OAB△ 5
16
0x = 4y = 0y = 4x = (4 0) 0 4A B∴ ,,( ,)
1OM OAMN AB ON OB
∴ = = ∥ , 2
1
1 1
2 2OM ON t S OM ON t∴ = = ∴ = =, ·
2 4t< ≤ P
OAB△ P
( )t t,
O M A
PN
yl
m
x
B
O M A
PN
yl
m
x
B
E P
F
图十二
点的坐标满足 即 ,
同理 ,则 ,
所以
;
②当 时, ,
解得 两个都不合题意,舍去;
当 时, ,解得 ,
综上得,当 或 时, 为 的面积的 .
89.(2009 年新疆乌鲁木齐市)有一批图形计算器,原售价为每台 800 元,在甲、乙两家
公司销售.甲公司用如下方法促销:买一台单价为 780 元,买两台每台都为 760 元.依此
类推,即每多买一台则所买各台单价均再减 20 元,但最低不能低于每台 440 元;乙公司
一律按原售价的 75%促销.某单位需购买一批图形计算器:
(1)若此单位需购买 6 台图形计算器,应去哪家公司购买花费较少?
(2)若此单位恰好花费 7 500 元,在同一家公司购买了一定数量的图形计算器,请问
是在哪家公司购买的,数量是多少?
【关键词】一元二次方程的应用
【答案】解:(1)在甲公司购买 6 台图形计算器需要用
(元);在乙公司购买需要用 (元) (元).应去乙公
司购买;∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
(2)设该单位买 台,若在甲公司购买则需要花费 元;若在乙公司购买
则需要花费 元;
①若该单位是在甲公司花费 7 500 元购买的图形计算器,
则有 ,解之得 .
当 时,每台单价为 ,符合题意,
F 4
x t
y t
=
= − +
,
, ( 4 )F t t−,
(4 )E t t− , 2 4PF PE t t t= = − = −( 4- )
2 MPN PEF OMN PEFS S S S S= − = −△ △ △ △
2 2 21 1 1 1 32 4 2 4 8 82 2 2 2 2t PE PF t t t t t= − = − − − = − + −· ( ) ( )
0 2t< ≤ 2 2
2
1 1 5 1 54 42 2 16 2 2S t t= = × × × =,
1 25 0 5 2t t= − < = >, ,
2 4t< ≤ 2
2
3 58 82 2S t t= − + − = 3 4
73 3t t= =,
7
3t = 3t = 2S OAB△ 5
16
6 (800 20 6) 4 080× − × =
75% 800 6 3 600× × = 4 080<
x (800 20 )x x−
75% 800 600x x× =
(800 20 )x x− 7 500= 15 25x x= =,
15x = 800 20 15 500 440− × = >
当 时,每台单价为 ,不符合题意,舍去. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
②若该单位是在乙公司花费 7 500 元购买的图形计算器,则有 ,解之得
,不符合题意,舍去.
故该单位是在甲公司购买的图形计算器,买了 15 台.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
25x = 800 20 25 300 440− × = <
600 7 500x =
12.5x =