• 1.53 MB
  • 2021-05-10 发布

中考数学试题分类汇编8 一元二次方程解法及应用含答案

  • 30页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
8.一元二次方程解法及应用 一、填空题 1.(2009 重庆綦江)一元二次方程 x2=16 的解是 . 【关键词】一元二次方程 【答案】 , 2.(2009 威海)若关于 的一元二次方程 的一个根是 ,则另一个 根是______. 【关键词】一元二次方程 【答案】1 3.(2009 山西省太原市)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由 3200 元降到了 2500 元.设平均每月降价的百分率为 ,根据题意列出的方程是 . 解析:本题考查一元二次方程的增长率问题,由题意可得方程 200 . 【关键词】一元二次方程应用 【答案】200 4.(2009 年江苏省)某县 2008 年农民人均年收入为 7 800 元,计划到 2010 年,农民人均 年收入达到 9 100 元.设人均年收入的平均增长率为 ,则可列方程 . 【关键词】一元二次方程的实际应用 【答案】 5 .( 2009 年 甘 肃 庆 阳 ) 若 关 于 x 的 方 程 的 一 个 根 是 0 , 则 . 【关键词】一元二次方程组的解法 【答案】1 6.某果农 2006 年的年收入为 5 万元,由于党的惠农政策的落实,2008 年年收入增加到 7.2 万元,则平均每年的增长率是__________. 【关键词】一元二次方程的实际应用 【答案】20% 7.(2009 年包头)将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做 2 2 1 0x x k+ + − = k = 1 4x = 2 4x = − x 2 ( 3) 0x k x k+ + + = 2− x ( )21 2500x− = ( )21 2500x− = x 27 800( 1) 9100x + = 成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值 是 cm2. 【答案】: 或 8.(2009 年莆田)已知 和 的半径分别是一元二次方程 的两根, 且 则 和 的位置关系是 . 【关键词】圆、一元二次方程、圆与圆位置关系 【答案】:相交 9.(2009 年莆田)出售某种文具盒,若每个获利 元,一天可售出 个, 则当 元时,一天出售该种文具盒的总利润 【关键词】二次函数、最大值 【答案】:3 10.(2009 年本溪)11.由于甲型 H1N1 流感(起初叫猪流感)的影响,在一个月内猪肉价格 两次大幅下降.由原来每斤 16 元下调到每斤 9 元,求平均每次下调的百分率是多少?设 平均每次下调的百分率为 ,则根据题意可列方程为 . 【关键词】列方程 【答案】 11.(2009 年温州)方程(x-1)2=4 的解是 【关键词】解一元二次方程 【答案】x1=3,x2=-1. 12.(2009 临沂)某制药厂两年前生产 1 吨某种药品的成本是 100 万元,随着生产技术的 进步,现在生产 1 吨这种药品的成本为 81 万元,.则这种药品的成本的年平均下降率为 ______________. 【关键词】二元一次方程 【答案】10% 13.(2009 年哈尔滨)如果 2 是一元二次方程 x2+bx+2=0 的一个根,那么常数 b 的值 为 . 【关键词】一元二次方程的根 【答案】-3 .把 2 代入此方程可解得:b=-3 25 2 12.5 1O⊙ 2O⊙ ( )( )1 2 0x x− − = 1 2 2O O = , 1O⊙ 2O⊙ x ( )6 x− x = y x 216(1 ) 9x− = 14、(2009 年兰州)阅读材料:设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1,x 2,则两 根与方程系数之间有如下关系:x1+x2=- ,x1·x2= .根据该材料填空:已知 x1、 x2 是方程 x2+6x+3=0 的两实数根,则 + 的值为 . 【关键词】一元二次方程根与系数关系 【答案】10 15.(2009 年宁德市)方程 的解是______________. 【关键词】一元二次方程的解 【答案】x1=0, x2=4 16.(2009 年赤峰市)已知关于 x 的方程 x2-3x+2k=0 的一个根是 1,则 k= 17、(2009 年崇左)分解因式: . 【关键词】利用求根方法因式分解 【答案】 18.(2009 年崇左)一元二次方程 的一个根为 ,则另一个根 为 . 【关键词】利用一元二次方程的根的定义可得,或利用根与系数的关系可得。 【答案】 19.(2009 年湖北十堰市)方程(x+2)(x-1)=0 的解为 . 【关键词】解一元二次方程 【答案】-2,1;-2 或 1(x=-2,x=1 或 ) 20.(2009 年山东青岛市)某公司 2006 年的产值为 500 万元,2008 年的产值为 720 万元, 则该公司产值的年平均增长率为 . 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】20% 21.(2009 年山西省)请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程: . 【关键词】解一元二次方程;一元二次方程根与系数的关系 【答案】答案不唯一,如 042 =− xx 1,2 21 =−= xx 2 1x = b a c a 2 1 x x 1 2 x x 22 4 2x x− + = 22( 1)x − 2 3 0x mx+ + = 1− 3− 22.(2009 年山西省)请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程: . 【关键词】解一元二次方程;一元二次方程根与系数的关系 【答案】答案不唯一,如 二、选择题 23.(2009 年黄石市)三角形两边的长是 3 和 4,第三边的长是方程 的 根,则该三角形的周长为( ) A.14 B.12 C.12 或 14 D.以上都不对 【关键词】解一元二次方程;三角形三边关系 【答案】B 24.(2009 年铁岭市)为了美化环境,某市加大对绿化的投资.2007 年用于绿化投资 20 万元,2009 年用于绿化投资 25 万元,求这两年绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化 投资的年平均增长率为 ,根据题意所列方程为( ) A. B. C. D. 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】C 25.(2009 年安徽)某市 2008 年国内生产总值(GDP)比 2007 年增长了 12%,由于受到 国际金融危机的影响,预计今年比 2008 年增长 7%,若这两年 GDP 年平均增长率为 x%, 则 x%满足的关系是…………………………【 】 A. B. C. D. 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】D 26.(2009 武汉)5.已知 是一元二次方程 的一个解,则 的值是( ) A. B. C.0 D.0 或 【关键词】二次根式化简 【答案】A 27.(2009 成都)若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则 的取 2 1x = 2x = 2 2 0x mx+ + = m 3− 3 3 2 12 35 0x x− + = x 220 25x = 20(1 ) 25x+ = 220(1 ) 25x+ = 220(1 ) 20(1 ) 25x x+ + + = 12% 7% %x+ = (1 12%)(1 7%) 2(1 %)x+ + = + 12% 7% 2 %x+ =  2(1 12%)(1 7%) (1 %)x+ + = + x 2 2 1 0kx x− − = k 值范围是 (A) (B) 且 (c) (D) 且 【关键词】一元二次方程根的判别式 【答案】B 28.(2009 年湖南长沙)已知关于 的方程 的一个根为 ,则实数 的 值为( ) A.1 B. C.2 D. 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为 x=3 是原方程的根,所以将 x=3 代入原 方程,原方程成立,即 成立,解得 k=1。故选 A。 29.(2009 山西省太原市)用配方法解方程 时,原方程应变形为( ) A. B. C. D. 解析:本题考查配方, , , ,故选 B. 【关键词】配方 【答案】B 30. (2009 襄樊市)为了改善居民住房条件,我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的 住房面积由现在的人均约为 提高到 若每年的年增长率相同,则年增长率为 ( ) A.   B.   C. D. 解析:本题考查方程解决增长率问题,设年增长率 ,可列方程 ,解 得 , (舍去),所以年增长率 10%,故选 B。 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】B 31(2009 呼和浩特)用配方法解方程 ,则方程可变形为( ) A. B. 210m 212.1m , 9% 10% 11% 12% 1k > − 1k > − 0k ≠ 1k < 1k < 0k ≠ x 2 6 0x kx− − = 3x = k 1− 2− 06332 =−− k 2 2 5 0x x− − = ( )21 6x + = ( )21 6x − = ( )22 9x + = ( )22 9x − = 2 2 5 0x x− − = 2 2 1 5 1x x− + = + ( )21 6x − = x ( )210 1 12.1x+ = 1 0.1 10%x = = 2 2.1x = − 23 6 1 0x x− + = 2 1( 3) 3x − = 2 13( 1) 3x − = C. D. 【关键词】解一元二次方程 32(2009 青海)方程 的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的 周长为( ) A.12 B.12 或 15 C.15 D.不能确定 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】C 33(2009 青海)在一幅长为 80cm,宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金 色纸边,制成一幅矩形挂图,如图 5 所示,如果要使整个挂图的面积是 5400cm2,设金色 纸边的宽为 cm,那么 满足的方程是( ) A. B. C. D. 关键词:一元二次方程的应用 答案:B 34. (2009 襄樊市)如图 5,在 中, 于 且 是一元二次方程 的根,则 的周长为( ) A. B. C. D. 解析:本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识,∵ 是一元二次方程 的根,∴ ,∴AE=EB=EC=1,∴AB= ,BC=2,∴ 的周 长为 ,故选 A。 【关键词】一元二次方程的解法、平行四边形的性质 【答案】A 35.(2009 年台州市)用配方法解一元二次方程 的过程中,配方正确的是( ) A.( B. C. D. ABCD AE BC⊥ E,AE EB EC a= = = , a 2 2 3 0x x+ − = ABCD 4 2 2+ 12 6 2+ 2 2 2+ 2 2 12 6 2+ +或 a 2 2 3 0x x+ − = ABCD 4 2 2+ 542 =− xx 1)2 2 =+x 1)2( 2 =−x 9)2( 2 =+x 9)2( 2 =−x 2(3 1) 1x − = 2 2( 1) 3x − = 2 9 18 0x x− + = x x 2 130 1400 0x x+ − = 2 65 350 0x x+ − = 2 130 1400 0x x− − = 2 65 350 0x x− − = A D CE C B 图 5 1a = 2 图 5 【关键词】解一元二次方程 【答案】D 36.(2009 年甘肃庆阳)如图 3,在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽 的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要 551 米 2,则修建的路宽应为(  ) A.1 米 B.1.5 米 C.2 米 D.2.5 米 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】A 37.(2009 年甘肃庆阳)方程 的根是(  ) A. B. C. D. 【关键词】一元二次方程 【答案】C 38.(2009 年河南)方程 =x 的解是 【 】 (A)x=1 (B)x=0 (C) x1=1 x2=0 (D) x1=﹣1 x2=0 【关键词】解方程 【答案】C 39.(2009 年鄂州)10、某农机厂四月份生产零件 50 万个,第二季度共生产零件 182 万个.设 该厂五、六月份平均每月的增长率为 x,那么 x 满足的方程是( ) A、 B. C、50(1+2x)=182 D. 【关键词】一元二次方程的应用(增长率) 【答案】B 40.(2009 江西)为了让江西的山更绿、水更清,2008 年省委、省政府提出了确保到 2010 年实现全省森林覆盖率达到 63%的目标,已知 2008 年我省森林覆盖率为 60.05%,设从 2008 年起我省森林覆盖率的年平均增长率为 ,则可列方程( ) A. B. 2 4 0x − = 2x = 2x = − 1 22 2x x= = −, 4x = 2x 182)1(50 2 =+ x 182)1(50)1(5050 2 =++++ xx 182)21(50)1(5050 =++++ xx x ( )60.05 1 2 63%x+ = ( )60.05 1 2 63x+ = C. D. 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】D 41. (2009 年烟台市)设 是方程 的两个实数根,则 的 值为( ) A.2006 B.2007 C.2008 D.2009 【关键词】一元二次方程 【答案】C 42.(2009 年清远)方程 的解是( ) A. B. C. D. 【关键词】解一元二次方程 【答案】A 43.(2009 年衡阳市)两圆的圆心距为 3,两圆的半径分别是方程 的两个 根,则两圆的位置关系是 ( ) A.相交 B.外离 C.内含 D.外切 【关键词】一元二次方程的解法 【答案】A 44.(2009 年日照)若 n( )是关于 x 的方程 的根,则 m+n 的值为 A.1 B.2 C.-1 D.-2 【关键词】一元二次方程根的意义,因式分解 【答案】D. 45.(2009 年长沙)已知关于 的方程 的一个根为,则实数 的值为( ) A.1 B. C.2 D. 【关键词】一元二次方程、根 【答案】:A 46.(2009 年包头)关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ,且 ,则 的值是( C ) A.1 B.12 C.13 D.25 【关键词】一元二次方程、根与系数关系 ( )260.05 1 63%x+ = ( )260.05 1 63x+ = a b, 2 2009 0x x+ − = 2 2a a b+ + 2 16x = 4x = ± 4x = 4x = − 16x = 0342 =+− xx 0n ≠ 2 2 0x mx n+ + = x 2 6 0x kx− − = k 1− 2− x 2 2 1 0x mx m− + − = 1 2x x、 2 2 1 2 7x x+ = 2 1 2( )x x− 【关键词】面积、最小值 47.(2009 宁夏)2.某旅游景点三月份共接待游客 25 万人次,五月份共接待游客 64 万人次, 设每月的平均增长率为 ,则可列方程为( )A A. B. C. D. 【关键词】列方程 【答案】A 48.(2009 眉山)若方程 的两根为 、 ,则 的值为( ) A.3 B.-3 C. D. 【关键词】一元二次方程 【答案】B 49.(2009 东营)若 n( )是关于 x 的方程 的根,则 m+n 的值为 ( ) (A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 【关键词】一元二次方程 【答案】D 50.(2009 年南充)方程 的解是( ) A. B. C. 或 D. 或 【关键词】解一元二次方程 【答案】D 51.(2009 年兰州)2008 年爆发的世界金融危机,是自上世纪三十年代以来世界最严重的一 场金融危机。受金融危机的影响,某商品原价为 200 元,连续两次降价 后售价为 148 元, 下面所列方程正确的是 A. B. C. D. 【关键词】一元二次方程、增长率 【答案】B x 225(1 ) 64x+ = 225(1 ) 64x− = 264(1 ) 25x+ = 264(1 ) 25x− = 2 3 1 0x x− − = 1x 2x 1 2 1 1 x x + 1 3 1 3 − 0n ≠ 2 2 0x mx n+ + = ( 3)( 1) 3x x x− + = − 0x = 3x = 3x = 1x = − 3x = 0x = %a 2200(1 %) 148a+ = 2200(1 %) 148a− = 200(1 2 %) 148a− = 2200(1 %) 148a− = 52.(2009 年济南)若 是一元二次方程 的两个根,则 的值是 ( ) A.     B.     C.    D. 【关键词】一元二次方程根与系数关系 【答案】B 53.(2009 年潍坊)已知关于 的一元二次方程 的两个实数根是 , 且 ,则 的值是( ) A.8 B. C.6 D.5 【关键词】一元二次方程根与系数之间的关系 【答案】D 54.(2009 年潍坊)关于 的方程 有实数根,则整数 的最大值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【关键词】一元二次方程根的判别法 【答案】C 55..(2009 年咸宁市)方程 的解为( ) A. B. C. D. 【关键词】一元二次方程的解 【答案】D 56.(2009 年黄石市)三角形两边的长是 3 和 4,第三边的长是方程 的 根,则该三角形的周长为( ) A.14 B.12 C.12 或 14 D.以上都不对 【关键词】解一元二次方程;三角形三边关系 【答案】B 57. (2009 年云南省)一元二次方程 的解是( ) A.x1 = 0 ,x2 = B. x1 = 0 ,x2 = C.x1 = 0 ,x2 = D. x1= 0 ,x2 = 【关键词】一元二次方程 x 2 6 1 0x x k− + + = 1 2x x, 2 2 1 2x x+ = 24 k 7− x 2( 6) 8 6 0a x x− − + = a 25 2 0x x− = 2 5 5 2 − 5 2 2 5 − 1 2x x, 2 5 6 0x x− + = 1 2x x+ 1 5 5− 6 3 ( 1) 3 3x x x+ = + 1x = 1x = − 1 20 -1x x= =, 1 21 -1x x= =, 2 12 35 0x x− + = 【答案】A 三、解答题 58.(2009 仙桃)解方程: . 【关键词】一元二次方程 【答案】解: ∴ 59.(2009 年山西省)解方程: 【关键词】解一元二次方程 【答案】解:移项,得 配方,得 ∴ ∴ 60.(2009 年赤峰市)某工厂今年 3 月份的产值为 100 万元,由于受国际金融风暴的影响, 5 月份的产值下降到 81 万元,求平均每月产值下降的百分率。 61.(2009 年 常 德 市 )常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇,北至桃源县盘塘镇创元工 业园.在这一走廊内的工业企业 2008 年完成工业总产值 440 亿元,如果要在 2010 年达到 743.6 亿元,那么 2008 年到 2010 年的工业总产值年平均增长率是多少?《常德工业走廊 建设发展规划纲要(草案)》确定 2012 年走廊内工业总产值要达到 1200 亿元,若继续保 持上面的增长率,该目标是否可以完成? 【关键词】年平均增长率 【答案】设 2008 年到 2010 年的年平均增长率为 x ,则 化简得 : , (舍去) 答:2008 年到 2010 年的工业总产值年平均增长率为 30%,若继续保持上面的增长率, 在 2012 年将达到 1200 亿元的目标. 2 2 3 0x x− − = 2 2 3x x− = , ( )21 4x − = , 1 2x − = ± , 1 21 3x x= − =, . 2440(1 ) 743.6x+ = 2(1 ) 1.69x+ = 1 20.3 30% 2.3x x= = = −, 2743.6 (1 0.3) 1256.684 1200× + = > 2 4 2 0x x+ + = 2 4 2x x+ = − ( ) 2 2 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 x x x x x + + = − + + = + = ± = ± − 1 22 2, 2 2.x x= − = − − 62.(2009 武汉)17.解方程: . 【关键词】解一元二次方程 【答案】解: , , . 63.(2009 年上海市)20.解方程组: 【关键词】解二元二次方程组 【答案】 或 63.(2009 年义乌)解方程 。 【关键词】一元二次方程的解法 【答案】 ; 64 .( 2009 年 甘 肃 白 银 )( 6 分 ) 在 实 数 范 围 内 定 义 运 算 “ ”,其 法 则 为 : ,求方程(4 3) 的解. 【关键词】实数概念;一元二次方程 【答案】 本小题满分 6 分 解:∵ , ∴ . ∴ . ∴ . ∴ . 65.(2009 年甘肃庆阳)(8 分)某企业 2006 年盈利 1500 万元,2008 年克服全球金融危机 的不利影响,仍实现盈利 2160 万元.从 2006 年到 2008 年,如果该企业每年盈利的年增 长率相同,求: (1)该企业 2007 年盈利多少万元? (2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变,预计 2009 年盈利多少万元? 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】本小题满分 8 分 解:(1)设每年盈利的年增长率为 , 2 3 1 0x x− − = 1 3 1a b c= = − = − , , 2 24 ( 3) 4 1 ( 1) 13b ac∴ − = − − × × − = 1 2 3 13 3 13 2 2x x + −∴ = =, ⊕ 2 2a b a b⊕ = − ⊕ ⊕ 24x = 2 2a b a b⊕ = − 2 2 2 2(4 3) (4 3 ) 7 7x x x x⊕ ⊕ = − ⊕ = ⊕ = − 2 27 24x− = 2 25x = 5x = ± x 2 1 2 2 0 y x x xy − =  − − = , ① . ②    = −= 0 1 y x    = = 3 2 y x 2 2 2 0x x− − = 1 1 3x = + 2 1 3x = − 根据题意,得 . 解得 (不合题意,舍去). . 答:2007 年该企业盈利 1800 万元. (2) . 答:预计 2009 年该企业盈利 2592 万元. 66.(2009 年鄂州)22、关于 x 的方程 有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围。 (2)是否存在实数 k,使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在,求出 k 的值;若不 存在,说明理由 【关键词】一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用 【答案】(1)由△=(k+2)2-4k· >0 ∴k>-1 又∵k≠0 ∴k 的取值范围是 k>-1,且 k≠0 (2)不存在符合条件的实数 k 理由:设方程 kx2+(k+2)x+ =0 的两根分别为 x1、x2,由根与系数关系有: x1+x2= ,x1·x2= , 又 则 =0 ∴ 由(1)知, 时,△<0,原方程无实解 ∴不存在符合条件的 k 的值。 67.(2009 年广西梧州)解方程: 【关键词】解一元二次方程 【答案】 解: 或 21500(1 ) 2160x+ = 1 20.2 2.2x x= = −, 1500(1 ) 1500(1 0.2) 1800x∴ + = + = 2160(1 0.2) 2592+ = 0)3(2)3( 2 =−+− xxx 04)2(2 =+++ kxkkx 4 k 4 k k k 2+− 4 1 011 21 =+ xx k k 2+− 2−=k 2−=k 0)23)(3( =+−− xxx 0)33)(3( =−− xx 03 =−x 033 =−x 即 或 68.(2009 年甘肃定西)在实数范围内定义运算“ ”,其法则为: ,求方程 (4 3) 的解. 【关键词】,新定义运算;解一元二次方程. 【答案】 解:∵ , ∴ . ∴ . ∴ . ∴ ., 69.(2009 年新疆)解方程: . 【关键词】解一元二次方程 【答案】 , , 或 , 70.(2009 年天津市)如图①,要设计一幅宽 20cm,长 30cm 的矩形图案,其中有两横两 竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为 2∶3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的 三分之一,应如何设计每个彩条的宽度? 分析:由横、竖彩条的宽度比为 2∶3,可设每个横彩条的宽为 ,则每个竖彩条的 宽为 .为更好地寻找题目中的等量关系,将横、竖彩条分别集中,原问题转化为如 图②的情况,得到矩形 . 结合以上分析完成填空:如图②,用含 的代数式表示: =____________________________cm; =____________________________cm; 矩形 的面积为_____________cm ;列出方程并完成本题解答. 【关键词】一元二次方程的应用 2 2a b a b⊕ = − 2 2 2 2(4 3) (4 3 ) 7 7x x x x⊕ ⊕ = − ⊕ = ⊕ = − 2 27 24x− = 2 25x = 5x = ± 31 =x 12 =x ⊕ 2 2a b a b⊕ = − ⊕ ⊕ 24x = 2( 3) 4 ( 3) 0x x x− + − = ( 3)( 3 4 ) 0x x x− − + = ( 3)(5 3) 0x x− − = 3 0x − = 5 3 0x − = 1 2 33 5x x= =, 20cm 20cm 30cm D C A B 图②图① 30cm 2x 3x ABCD x AB AD ABCD 2 【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)根据题意,得 .整理,得 .解方程,得 (不合题意,舍去).则 .答:每个横、竖彩条的宽度分别为 cm, cm. 71.(2009 年广东省)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后 就会有 81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑?若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台? 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑,依题意得: 1+ , , 或 , 或 (舍去), . 答:每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑,3 轮感染后,被感染的电脑会超过 700 台. 72.(2009 年广东省)小明用下面的方法求出方程 的解,请你仿照他的方法求 出下面另外两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的表格中. 方程 换 元 法 得 新 方程 解新方程 检验 求原方程的解 令 则 所 以 220 6 30 4 24 260 600x x x x− − − +, , 2 124 260 600 1 20 303x x  − + = − × ×   26 65 50 0x x− + = 1 2 5 106x x= =, 5 52 33 2x x= =, 5 3 5 2 x ( )1 81x x x+ + = ( )21 81x+ = 1 9x + = 1 9x + = − 1 8x = 2 10x = − ( ) ( )3 31 1 8 729 700x+ = + = > 2 3 0x − = 2 3 0x − = x t= , 2 3 0t − = 3 2t = 3 02t = > 3 2x = , 9 4x = 2 3 0x x+ − = 【关键词】解一元二次方程;换元法 【答案】解: 方程 换元法得 新方程 解新方程 检验 求原方程的解 令 ,则 ……1 分 ……2 分 (舍去) ……3 分 ,所以 . ……4 分 令 , 则 ……6 分 ……7 分 (舍去) ……8 分 ,所 以 . ……9 分 73.(2009 年兰州)用配方法解一元二次方程: 【关键词】解一元二次方程的配方法 【答案】解:移项,得 ,二次项系数化为 1,得 配方 , ,由此可得 , , 74.(2009 年包头)某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低 于成本单价,且获利不得高于 45%,经试销发现,销售量 (件)与销售单价 (元)符 合一次函数 ,且 时, ; 时, . (1)求一次函数 的表达式; (2)若该商场获得利润为 元,试写出利润 与销售单价 之间的关系式;销售单 价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 的范围. 2 4 0x x+ − − = 2 3 0x x+ − = x t= 2 2 3 0t t+ − = 1 21 3t t= = −, 1 1 0t = > , 2 3 0t = − < 1x = 1x = 2 4 0x x+ − − = 2x t− = 2 2 0t t+ − = 1 21 2t t= = −, 1 1 0t = > , 2 2 0t = − < 2 1x − = 2 1 3x x− = =, 22 1 3x x+ = 22 3 1x x− = − 2 3 1 2 2x x− = − 2 2 2 3 3 1 3 2 4 2 4x x    − + = − +       23 1 4 16x − =   3 1 4 4x − = ± 1 1x = 2 1 2x = y x y kx b= + 65x = 55y = 75x = 45y = y kx b= + W W x x 【关键词】一次函数、二次函数、最大值 解:(1)根据题意得 解得 . 所求一次函数的表达式为 . (2) , 抛物线的开口向下, 当 时, 随 的增大而增大, 而 , 当 时, . 当销售单价定为 87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是 891 元. (3)由 ,得 , 整理得, ,解得, . 由图象可知,要使该商场获得利润不低于 500 元,销售单价应在 70 元到 110 元之间, 而 ,所以,销售单价 的范围是 . 75.. (2009 年湖州)随着人民生活水平的不断提高,我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计, 某小区 2006 年底拥有家庭轿车 64 辆,2008 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆. (1) 若该小区 2006 年底到 2009 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同,求 该小区到 2009 年底家庭轿车将达到多少辆? (2) 为了缓解停车矛盾,该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位.据测算, 建造费用分别为室内车位 5000 元/个,露天车位 1000 元/个,考虑到实际因素,计划露 天车位的数量不少于室内车位的 2 倍,但不超过室内车位的 2.5 倍,求该小区最多可 建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案. 【关键词】一元二次方程解决应用题,二元一次方程及不等式解决问题,方案题 【答案】(1)设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 ,则: , 解得: %, (不合题意,舍去), . 65 55 75 45. k b k b + =  + = , 1 120k b= − =, 120y x= − + ( 60) ( 120)W x x= − − + 2 180 7200x x= − + − 2( 90) 900x= − − +  ∴ 90x < W x 60 87x≤ ≤ ∴ 87x = 2(87 90) 900 891W = − − + = ∴ 500W = 2500 180 7200x x= − + − 2 180 7700 0x x− + = 1 270 110x x= =, 60 87x≤ ≤ x 70 87x≤ ≤ x ( )264 1 100x+ = 1 1 254x = = 2 9 4x = − ( )100 1 25% 125∴ + = 答:该小区到 2009 年底家庭轿车将达到 125 辆. (2)设该小区可建室内车位 个,露天车位 个,则: 由①得: =150-5 代入②得: , 是正整数, =20 或 21, 当 时 ,当 时 . 方案一:建室内车位 20 个,露天车位 50 个;方案二:室内车位 21 个,露天车位 45 个. 76.(2009 年中山)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就 会有 81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电 脑?若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台? 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑,依题意得: , , 或 , (舍去), . 答:每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑,3 轮感染后,被感染的电脑会超过 700 台. 77.(2009 年宁波市)2009 年 4 月 7 日,国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施 方案(2009~2011 年》,某市政府决定 2009 年投入 6000 万元用于改善医疗卫生服务,比 2008 年增加了 1250 万元.投入资金的服务对象包括“需方”(患者等)和“供方”(医疗 卫生机构等),预计 2009 年投入“需方”的资金将比 2008 年提高 30%,投入“供方”的 资金将比 2008 年提高 20%. (1)该市政府 2008 年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元? (2)该市政府 2009 年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元? (3)该市政府预计 2011 年将有 7260 万元投入改善医疗卫生服务,若从 2009~2011 年 a b 0.5 0.1 15 2 2.5 a b a b a + =   ① ≤ ≤ ② b a 20 a 150≤ ≤ 7 a a∴ 20a = 50b = 21a = 45b = ∴ x 1 (1 ) 81x x x+ + + = 2(1 ) 81x+ = 1 9x + = 1 9x + = − 1 28 10x x= = −, 3 3(1 ) (1 8) 729 700x+ = + = > 每年的资金投入按相同的增长率递增,求 2009~2011 年的年增长率. 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】解:(1)该市政府 2008 年投入改善医疗服务的资金是: (万元) (2)设市政府 2008 年投入“需方” 万元,投入“供方” 万元, 由题意得 解得 2009 年投入“需方”资金为 (万元), 2009 年投入“供方”资金为 (万元). 答:该市政府 2009 年投入“需方”3900 万元,投入“供方”2100 万元. (3)设年增长率为 ,由题意得 , 解得 , (不合实际,舍去) 答:从 2009~2011 年的年增长率是 10%. 78.(2009 年潍坊)要对一块长 60 米、宽 40 米的矩形荒地 进行绿化和硬化. (1)设计方案如图①所示,矩形 P、Q 为两块绿地,其余为硬化路面,P、Q 两块绿 地周围的硬化路面宽都相等,并使两块绿地面积的和为矩形 面积的 ,求 P、 Q 两块绿地周围的硬化路面的宽. (2)某同学有如下设想:设计绿化区域为相外切的两等圆,圆心分别为 和 ,且 到 的距离与 到 的距离都相等,其余为硬化地面, 如图②所示,这个设想是否成立?若成立,求出圆的半径;若不成立,说明理由. 解:(1)设 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 米,根据题意,得: 解之,得: 经检验, 不符合题意,舍去. ABCD ABCD 1 4 1O 2O 1O AB BC AD、 、 2O CD BC AD、 、 P Q、 x 1(60 3 ) (40 2 ) 60 40 4x x− × − = × × 1 210 30x x= =, 2 30x = 6000 1250 4750− = x y 4750 (1 30%) (1 20%) 6000. x y x y + =  + + + = , 3000 1750. x y =  = , ∴ (1 30%) 1.3 3000 3900x+ = × = (1 20%) 1.2 1750 2100y+ = × = x 26000(1 ) 7260x+ = 1 0.1x = 2 1.1x = − 所以,两块绿地周围的硬化路面宽都为 10 米. (2)设想成立.设圆的半径为 米, 到 的距离为 米,根据题意,得: 解得: .符合实际. 所以,设想成立,此时,圆的半径是 10 米. 79.(2009 年广东省)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后 就会有 81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑?若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台? 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑,依题意得: 1+ , , 或 , 或 (舍去), . 答:每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑,3 轮感染后,被感染的电脑会超过 700 台. 80.(2009 年广东省)小明用下面的方法求出方程 的解,请你仿照他的方法求 出下面另外两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的表格中. 方程 换元法得 新方程 解新方程 检验 求原方程的解 令 则 所 以 r 1O AB y 2 40 2 2 60 y y r =  + = 20 10y r= =, x ( )1 81x x x+ + = ( )21 81x+ = 1 9x + = 1 9x + = − 1 8x = 2 10x = − ( ) ( )3 31 1 8 729 700x+ = + = > 2 3 0x − = 2 3 0x − = x t= , 2 3 0t − = 3 2t = 3 02t = > 3 2x = , 9 4x = 2 3 0x x+ − = 【关键词】解一元二次方程;换元法 【答案】解: 方程 换元法得 新方程 解新方程 检验 求原方程的解 令 ,则 ……1 分 ……2 分 (舍去) ……3 分 ,所以 . ……4 分 令 , 则 ……6 分 ……7 分 (舍去) ……8 分 ,所 以 . ……9 分 81.(2009 年山西省)解方程: 【关键词】解一元二次方程 【答案】解:移项,得 配方,得 ∴ ∴ (注:此题还可用公式法,分解因式法求解,请参照给分) 82(2009 年衢州)2009 年 5 月 17 日至 21 日,甲型 H1N1 流感在日本迅速蔓延,每天的 新增病例和累计确诊病例人数如图所示. (1) 在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中,日本新增甲型 H1N1 流感病例最多的是哪一 天?该天增加了多少人? (2) 在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中,日本平均每天新增加甲型 H1N1 流感确诊病 例多少人?如果接下来的 5 天中,继续按这个平均数增加,那么到 5 月 26 日,日本甲 型 H1N1 流感累计确诊病例将会达到多少人? (3) 甲型 H1N1 流感病毒的传染性极强,某地因 1 人患了甲型 H1N1 流感没有及时隔 离治疗,经过两天传染后共有 9 人患了甲型 H1N1 流感,每天传染中平均一个人传染 2 2 3 0x x− − = 2 2 3x x− = , ( )21 4x − = , 1 2x − = ± , 1 21 3x x= − =, . 2 4 0x x+ − − = 2 3 0x x+ − = x t= 2 2 3 0t t+ − = 1 21 3t t= = −, 1 1 0t = > , 2 3 0t = − < 1x = 1x = 2 4 0x x+ − − = 2x t− = 2 2 0t t+ − = 1 21 2t t= = −, 1 1 0t = > , 2 2 0t = − < 2 1x − = 2 1 3x x− = =, 了几个人?如果按照这个传染速度,再经过 5 天的传染后,这个地区一共将会有多少 人患甲型 H1N1 流感? 【关键词】折线统计图 【答案】解:(1) 18 日新增甲型 H1N1 流感病例最多,增加了 75 人; (2) 平均每天新增加 人, 继续按这个平均数增加,到 5 月 26 日可达 52.6×5+267=530 人; (3) 设每天传染中平均一个人传染了 x 个人,则 , , 解得 (x = -4 舍去). 再经过 5 天的传染后,这个地区患甲型 H1N1 流感的人数为 (1+2)7=2 187(或 1+2+6+18+54+162+486+1 458=2 187), 即一共将会有 2 187 人患甲型 H1N1 流感. 83.(2009 年舟山)2009 年 5 月 17 日至 21 日,甲型 H1N1 流感在日本迅速蔓延,每天的 新增病例和累计确诊病例人数如图所示. (1) 在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中,日本新增甲型 H1N1 流感病例最多的是哪一 天?该天增加了多少人? (2) 在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中,日本平均每天新增加甲型 H1N1 流感确诊病 例多少人?如果接下来的 5 天中,继续按这个平均数增加,那么到 5 月 26 日,日本甲 型 H1N1 流感累计确诊病例将会达到多少人? (3) 甲型 H1N1 流感病毒的传染性极强,某地因 1 人患了甲型 H1N1 流感没有及时隔 离治疗,经过两天传染后共有 9 人患了甲型 H1N1 流感,每天传染中平均一个人传染 267 4 52.65 − = 1 ( 1) 9x x x+ + + = 2( 1) 9x + = 2=x 累计确诊病例人数 新增病例人数 0 4 21 96 163 193 267 17 75 67 30 74 16 17 18 19 20 21 日本 2009 年 5 月 16 日至 5 月 21 日 甲型 H1N1 流感疫情数据统计图人数(人) 0 50 100 150 200 250 300 日期 了几个人?如果按照这个传染速度,再经过 5 天的传染后,这个地区一共将会有多少 人患甲型 H1N1 流感? 【关键词】折线统计图 【答案】解:(1) 18 日新增甲型 H1N1 流感病例最多,增加了 75 人; (2) 平均每天新增加 人, 继续按这个平均数增加,到 5 月 26 日可达 52.6×5+267=530 人; (3) 设每天传染中平均一个人传染了 x 个人,则 , , 解得 (x = -4 舍去). 再经过 5 天的传染后,这个地区患甲型 H1N1 流感的人数为 (1+2)7=2 187(或 1+2+6+18+54+162+486+1 458=2 187), 即一共将会有 2 187 人患甲型 H1N1 流感. 84.(2009 年益阳市)如图 11,△ABC 中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC 于 D,BD=2,DC =3,求 AD 的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路,探究并解答下列问题: (1)分别以 AB、AC 为对称轴,画出△ABD、△ACD 的轴对称图形,D 点的对称点为 E、F,延长 EB、FC 相交于 G 点,证明四边形 AEGF 是正方形; (2)设 AD=x,利用勾股定理,建立关于 x 的方程模型,求出 x 的值. 267 4 52.65 − = 1 ( 1) 9x x x+ + + = 2( 1) 9x + = 2=x 累计确诊病例人数 新增病例人数 0 4 21 96 163 193 267 17 75 67 30 74 16 17 18 19 20 21 日本 2009 年 5 月 16 日至 5 月 21 日 甲型 H1N1 流感疫情数据统计图人数(人) 0 50 100 150 200 250 300 日期 【关键词】轴对称、一元二次方程 【答案】(1)证明:由题意可得:△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF . ∴∠DAB=∠EAB ,∠DAC=∠FAC,又∠BAC=45°, ∴∠EAF=90°. 又∵AD⊥BC ∴∠E=∠ADB=90°∠F=∠ADC=90°. 又∵AE=AD,AF=AD ∴AE=AF. ∴四边形 AEGF 是正方形. (2)解:设 AD=x,则 AE=EG=GF=x. ∵BD=2,DC=3 ∴BE=2 ,CF=3 ∴BG=x-2,CG=x-3. 在 Rt△BGC 中,BG2+CG2=BC2 ∴( x-2)2+(x-3)2=52. 化简得,x2-5x-6=0 解得 x1=6,x2=-1(舍) 所以 AD=x=6. 85.(09 湖北宜昌)【实际背景】 预警方案确定: B C A E G D F 图 11 设 .如果当月 W<6,则下个月要采取措施防止“猪贱伤 农”. 【数据收集】 今年 2 月~5 月玉米、猪肉价格统计表 月 份 2 3 4 5 玉米价格(元/500 克) 0.7 0.8 0.9 1 猪肉价格(元/500 克) 7.5 m 6.25 6 【问题解决】 (1)若今年 3 月的猪肉价格比上月下降的百分数与 5 月的猪肉价格比上月下降的百分数 相等,求 3 月的猪肉价格 m; (2)若今年 6 月及以后月份,玉米价格增长的规律不变,而每月的猪肉价格按照 5 月的 猪肉价格比上月下降的百分数继续下降,请你预测 7 月时是否要采取措施防止“猪贱伤 农”; (3)若今年 6 月及以后月份,每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的 2 倍,而每 月的猪肉价格增长率都为 a,则到 7 月时只用 5.5 元就可以买到 500 克猪肉和 500 克玉 米.请你预测 8 月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”. 【关键词】分式方程、一元二次方程解法及应用、阅读理解题、一次函数的实际问题 【答案】解:(1)由题意, , 解得: m=7.2. (2)从 2 月~5 月玉米的价格变化知,后一个月总是比前一个月价格每 500 克增长 0.1 元. (或:设 y=kx+b,将(2,0.7),(3,0.8)代入,得到 y=0.1x+0.5,把(4,0.9), ∴6 月玉米的价格是:1.1 元/500 克; ∵5 月增长率: ,∴6 月猪肉的价格:6(1- )=5.76 元/500 克. ∴W= =5.24<6, 要采取措施. (3)7 月猪肉价格是: 元/500 克; 7 月玉米价格是: 元/500 克; 00 00 W= 月的5 克 肉价格 月的5 克玉米价格 当 猪 当 7.5 6 6.25 7.5 6.25 m − −= 6 6.25 1 6.25 25 − = − 1 25 5.76 1.1 26(1 )a+ 21(1 2 )a+ 由题意, + =5.5, 解得, . 不合题意,舍去. ∴ , ,∴不(或:不一定)需要采取措施. 86.(09 湖南怀化)如图 11,已知二次函数 的图象与 轴相交于两 个不同的点 、 ,与 轴的交点为 .设 的外接圆的圆心为点 . (1)求 与 轴的另一个交点 D 的坐标; (2)如果 恰好为 的直径,且 的面积等于 ,求 和 的值. 【关键词】分式方程、一元二次方程解法及应用、阅读理 解题、一次函数的实际问题 【答案】解 (1)易求得点 的坐标为 由题设可知 是方程 即 的两根,所以 , 所 如图 3,∵⊙P 与 轴的另一个交点为 D,由于 AB、CD 是⊙P 的 两 条 相 交 弦 , 设 它 们 的 交 点 为 点 O , 连 结 DB , ∴△AOC∽△DOC ,则 由题意知点 在 轴的负半轴上,从而点 D 在 轴的正半轴上, 所以点 D 的坐标为(0,1) (2)因为 AB⊥CD, AB 又恰好为⊙P 的直径,则 C、D 关于点 O 对称, 所以点 的坐标为 ,即 ) 22)( mkmxy −++= x 1( 0)A x, 2( 0)B x , y C ABC△ P P⊙ y AB P⊙ ABC△ 5 m k (0 )k, 0)( 22 =−++ mkmx 022 =++ kmxx 2 1 2 2 ( 2 ) 4 2 m m kx − ± − −=, 1 2 1 22x x m x x k+ = − • =, y .121 ===×= k k k xx OC OBOAOD y y (0 1)−, 1−=k 26(1 )a+ 21(1 2 )a+ 1 3 10 2 a a= − = −或 3 2 a = − 2 2 16(1 ) 10 11(1 ) 5 W − − = ( 7.59) 6W ≈ > C 1 2x x, C C 又 , 所以 解得 87.(09 湖南怀化)如图 12,在直角梯形 OABC 中, OA∥CB,A、B 两点的坐标分别为 A(15,0),B(10, 12),动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发,点 P 以每秒 2 个 单位的速度沿 OA 向终点 A 运动,点 Q 以每秒 1 个单位 的速度沿 BC 向 C 运动,当点 P 停止运动时,点 Q 也 同时停止运动.线段 OB、PQ 相交于点 D,过点 D 作 DE∥OA,交 AB 于点 E,射线 QE 交 轴于点 F.设动点 P、Q 运动时间为 t(单位: 秒). (1)当 t 为何值时,四边形 PABQ 是等腰梯形,请写出推理过程; (2)当 t=2 秒时,求梯形 OFBC 的面积; (3)当 t 为何值时,△PQF 是等腰三角形?请写出推理过程. 【关键词】一元二次方程解法及应用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的 判定 【答案】解:(1)如图 4,过 B 作 则 过 Q 作 则 要使四边形 PABQ 是等腰梯形,则 , 即 或 (此时 是平行四边形,不合题意, 舍去) (2)当 时, 。 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2( ) 4 ( 2 ) 4 2 2 1AB x x x x x x m k m k m= − = + − = − − = − = + 21 1 2 1 1 52 2ABCS AB OC m= × = × + × =△ .2±=m x BG OA G⊥ 于 , 2 2 2 212 15 10 169 13AB BG GA= + = + − = =( ) ,于HOAQH ⊥ 2 2 2 2 212 10 2 ) 144 (10 3 )QP QH PH t t t= + = + − − = + −( ,13)310(144 2 =−+ t t∴ 5 3 = 5t = PABQ 2=t 4 10 2 8 2OP CQ QB= = − = =, , 1 .2 QB QE QD QBCB DE OF AF EF DP OP ∴ = = = = ∥ ∥ , 2 2 2 4 15 4 19.AF QB OF∴ = = × = ∴ = + =, AB QP= (3)①当 时,则 ②当 时, 即 ③当 时, 综上,当 时,△PQF 是等腰三角形. 88.(09 湖南邵阳)如图(十二),直线 的解析式为 ,它与 轴、 轴分别相 交于 两点.平行于直线 的直线 从原点 出发,沿 轴的正方形以每秒 1 个单位 长 度 的 速 度 运 动 , 它 与 轴 、 轴 分 别 相 交 于 两 点 , 设 运 动 时 间 为 秒 ( ). (1)求 两点的坐标; (2)用含 的代数式表示 的面积 ; (3)以 为对角线作矩形 ,记 和 重合部分的面积为 , ①当 时,试探究 与 之间的函数关系式; ②在直线 的运动过程中,当 为何值时, 为 面积的 ? 【关键词】直角坐标系、一元二次方程解法及应用 【答案】解 (1)当 时, ;当 时, . ; (2) , ; (3)①当 时,易知点 在 的 外 面 , 则 点 的 坐 标 为 , .1741219102 1 =×+=∴ )(梯形OFBCS 2 212 (10 2 ) 15 2 2t t t t+ − − = + − , .3 19 3 1 ==∴ tt 或 222222 )]10(215[1212)210(12 ttFHtt −−++=+=−−+则 2 2 2 2 512 (10 3 ) 12 (5 3 ) 6t t t+ − = + + ∴ =, 2 2 4 1412 (5 3 ) 15 ( .3 3t t t+ + = ∴ = = −则 , 或 舍去) 1 19 5 4 3 3 6 3t t t t= = = =, , , QP PF= QP QF= QF PF= l 4y x= − + x y A B、 l m O x x y M N、 t 0 4t< ≤ A B、 t MON△ 1S MN OMPN MPN△ OAB△ 2S 2 t< ≤4 2S t m t 2S OAB△ 5 16 0x = 4y = 0y = 4x = (4 0) 0 4A B∴ ,,( ,) 1OM OAMN AB ON OB ∴ = = ∥ , 2 1 1 1 2 2OM ON t S OM ON t∴ = = ∴ = =, · 2 4t< ≤ P OAB△ P ( )t t, O M A PN yl m x B O M A PN yl m x B E P F 图十二 点的坐标满足 即 , 同理 ,则 , 所以 ; ②当 时, , 解得 两个都不合题意,舍去; 当 时, ,解得 , 综上得,当 或 时, 为 的面积的 . 89.(2009 年新疆乌鲁木齐市)有一批图形计算器,原售价为每台 800 元,在甲、乙两家 公司销售.甲公司用如下方法促销:买一台单价为 780 元,买两台每台都为 760 元.依此 类推,即每多买一台则所买各台单价均再减 20 元,但最低不能低于每台 440 元;乙公司 一律按原售价的 75%促销.某单位需购买一批图形计算器: (1)若此单位需购买 6 台图形计算器,应去哪家公司购买花费较少? (2)若此单位恰好花费 7 500 元,在同一家公司购买了一定数量的图形计算器,请问 是在哪家公司购买的,数量是多少? 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】解:(1)在甲公司购买 6 台图形计算器需要用 (元);在乙公司购买需要用 (元) (元).应去乙公 司购买;∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 (2)设该单位买 台,若在甲公司购买则需要花费 元;若在乙公司购买 则需要花费 元; ①若该单位是在甲公司花费 7 500 元购买的图形计算器, 则有 ,解之得 . 当 时,每台单价为 ,符合题意, F 4 x t y t =  = − + , , ( 4 )F t t−, (4 )E t t− , 2 4PF PE t t t= = − = −( 4- ) 2 MPN PEF OMN PEFS S S S S= − = −△ △ △ △ 2 2 21 1 1 1 32 4 2 4 8 82 2 2 2 2t PE PF t t t t t= − = − − − = − + −· ( ) ( ) 0 2t< ≤ 2 2 2 1 1 5 1 54 42 2 16 2 2S t t= = × × × =, 1 25 0 5 2t t= − < = >, , 2 4t< ≤ 2 2 3 58 82 2S t t= − + − = 3 4 73 3t t= =, 7 3t = 3t = 2S OAB△ 5 16 6 (800 20 6) 4 080× − × = 75% 800 6 3 600× × = 4 080< x (800 20 )x x− 75% 800 600x x× = (800 20 )x x− 7 500= 15 25x x= =, 15x = 800 20 15 500 440− × = > 当 时,每台单价为 ,不符合题意,舍去. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 ②若该单位是在乙公司花费 7 500 元购买的图形计算器,则有 ,解之得 ,不符合题意,舍去. 故该单位是在甲公司购买的图形计算器,买了 15 台.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 25x = 800 20 25 300 440− × = < 600 7 500x = 12.5x =