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- 2021-05-10 发布
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2019年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)实数2019的相反数是( )
A.2019 B.﹣2019 C. D.
2.(3分)式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x>0 B.x≥﹣1 C.x≥1 D.x≤1
3.(3分)不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球,这些球除颜色外无其他差别,随机从袋子中一次摸出3个球,下列事件是不可能事件的是( )
A.3个球都是黑球 B.3个球都是白球
C.三个球中有黑球 D.3个球中有白球
4.(3分)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性,下列美术字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.(3分)如图是由5个相同的小正方体组成的几何体,该几何体的左视图是( )
A. B.
C. D.
6.(3分)“漏壶”是一种古代计时器,在它内部盛一定量的水,不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间,用t表示漏水时间,y表示壶底到水面的高度,下列图象适合表示y与x的对应关系的是( )
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A. B.
C. D.
7.(3分)从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数,分别记为a、c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为( )
A. B. C. D.
8.(3分)已知反比例函数y=的图象分别位于第二、第四象限,A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在该图象上,下列命题:①过点A作AC⊥x轴,C为垂足,连接OA.若△ACO的面积为3,则k=﹣6;②若x1<0<x2,则y1>y2;③若x1+x2=0,则y1+y2=0,其中真命题个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9.(3分)如图,AB是⊙O的直径,M、N是(异于A、B)上两点,C是上一动点,∠ACB的角平分线交⊙O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,则C、E两点的运动路径长的比是( )
A. B. C. D.
10.(3分)观察等式:2+22=23﹣2;2+22+23=24﹣2;2+22+23+24=25﹣2…已知按一定规律排列的一组数:250、251、252、…、299、2100.若250=a,用含a的式子表示这组数的和是( )
A.2a2﹣2a B.2a2﹣2a﹣2 C.2a2﹣a D.2a2+a
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)计算的结果是 .
12.(3分)武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温(单位:℃
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),分别是25、20、18、23、27,这组数据的中位数是 .
13.(3分)计算﹣的结果是 .
14.(3分)如图,在▱ABCD中,E、F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE的大小为 .
15.(3分)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0)、B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x﹣1)2+c=b﹣bx的解是 .
16.(3分)问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.
问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=.点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 .
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)计算:(2x2)3﹣x2•x4.
18.(8分)如图,点A、B、C、D在一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF,求证:∠E=∠F.
19.(8分)为弘扬中华传统文化,某校开展“双剧进课堂”的活动,该校童威随机抽取部分学生,按四个类别:A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”,调查他们对汉剧的喜爱情况,将结果绘制成如下两幅不完整的统计图,根据图中提供的信息,解决下列问题:
(1)这次共抽取 名学生进行统计调查,扇形统计图中,D
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类所对应的扇形圆心角的大小为 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)该校共有1500名学生,估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人?
20.(8分)如图是由边长为1的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCD的顶点在格点上,点E是边DC与网格线的交点.请选择适当的格点,用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,保留连线的痕迹,不要求说明理由.
(1)如图1,过点A画线段AF,使AF∥DC,且AF=DC.
(2)如图1,在边AB上画一点G,使∠AGD=∠BGC.
(3)如图2,过点E画线段EM,使EM∥AB,且EM=AB.
21.(8分)已知AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,DC与⊙O相切于点E,分别交AM、BN于D、C两点.
(1)如图1,求证:AB2=4AD•BC;
(2)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.若∠ADE=2∠OFC,AD=1,求图中阴影部分的面积.
22.(10分)某商店销售一种商品,童威经市场调查发现:该商品的周销售量y
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(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如表:
售价x(元/件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
1000
1600
1600
注:周销售利润=周销售量×(售价﹣进价)
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品进价是 元/件;当售价是 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 元.
(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.
23.(10分)在△ABC中,∠ABC=90°,=n,M是BC上一点,连接AM.
(1)如图1,若n=1,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直,求证:BM=BN.
(2)过点B作BP⊥AM,P为垂足,连接CP并延长交AB于点Q.
①如图2,若n=1,求证:=.
②如图3,若M是BC的中点,直接写出tan∠BPQ的值.(用含n的式子表示)
24.(12分)已知抛物线C1:y=(x﹣1)2﹣4和C2:y=x2
(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?
(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=﹣x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B.请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q,连接AQ.
①若AP=AQ,求点P的横坐标;
②若PA=PQ,直接写出点P的横坐标.
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(3)如图2,△MNE的顶点M、N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点,ME、NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M、N两点的横坐标分别为m、n,求m与n的数量关系.
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2019年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)实数2019的相反数是( )
A.2019 B.﹣2019 C. D.
【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案.
【解答】解:实数2019的相反数是:﹣2009.
故选:B.
【点评】此题主要考查了相反数,正确把握相反数的定义是解题关键.
2.(3分)式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x>0 B.x≥﹣1 C.x≥1 D.x≤1
【分析】根据被开方数是非负数,可得答案.
【解答】解:由题意,得
x﹣1≥0,
解得x≥1,
故选:C.
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件,利用被开方数是非负数得出不等式组是解题关键.
3.(3分)不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球,这些球除颜色外无其他差别,随机从袋子中一次摸出3个球,下列事件是不可能事件的是( )
A.3个球都是黑球 B.3个球都是白球
C.三个球中有黑球 D.3个球中有白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型.
【解答】解:A、3个球都是黑球是随机事件;
B、3个球都是白球是不可能事件;
C、三个球中有黑球是必然事件;
D、3个球中有白球是随机事件;
故选:B.
【点评】
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本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
4.(3分)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性,下列美术字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】利用轴对称图形定义判断即可.
【解答】解:四个汉字中,可以看作轴对称图形的是,
故选:D.
【点评】此题考查了轴对称图形,熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键.
5.(3分)如图是由5个相同的小正方体组成的几何体,该几何体的左视图是( )
A. B.
C. D.
【分析】找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【解答】解:从左面看易得下面一层有2个正方形,上面一层左边有1个正方形,如图所示:.
故选:A.
【点评】本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.
6.(3分)“漏壶”是一种古代计时器,在它内部盛一定量的水,不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间,用t表示漏水时间,y表示壶底到水面的高度,下列图象适合表示y与x的对应关系的是( )
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A. B.
C. D.
【分析】根据题意,可知y随的增大而减小,符合一次函数图象,从而可以解答本题.
【解答】解:∵不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,t表示漏水时间,y表示壶底到水面的高度,
∴y随t的增大而减小,符合一次函数图象,
故选:A.
【点评】本题考查函数图象,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
7.(3分)从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数,分别记为a、c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使ac≤4的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:画树状图得:
由树形图可知:一共有12种等可能的结果,其中使ac≤4的有6种结果,
∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为,
故选:C.
【点评】
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本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
8.(3分)已知反比例函数y=的图象分别位于第二、第四象限,A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在该图象上,下列命题:①过点A作AC⊥x轴,C为垂足,连接OA.若△ACO的面积为3,则k=﹣6;②若x1<0<x2,则y1>y2;③若x1+x2=0,则y1+y2=0,其中真命题个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可.
【解答】解:过点A作AC⊥x轴,C为垂足,连接OA.
∵△ACO的面积为3,
∴|k|=6,
∵反比例函数y=的图象分别位于第二、第四象限,
∴k<0,
∴k=﹣6,正确,是真命题;
②∵反比例函数y=的图象分别位于第二、第四象限,
∴在所在的每一个象限y随着x的增大而增大,
若x1<0<x2,则y1>0>y2,正确,是真命题;
③当A、B两点关于原点对称时,x1+x2=0,则y1+y2=0,正确,是真命题,
真命题有3个,
故选:D.
【点评】本题考查了反比例函数的性质及命题与定理的知识,解题的关键是了解反比例函数的比例系数的几何意义等知识,难度不大.
9.(3分)如图,AB是⊙O的直径,M、N是(异于A、B)上两点,C是上一动点,∠ACB的角平分线交⊙O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,则C、E两点的运动路径长的比是( )
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A. B. C. D.
【分析】如图,连接EB.设OA=r.易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上,运动轨迹是,点C的运动轨迹是,由题意∠MON=2∠GDF,设∠GDF=α,则∠MON=2α,利用弧长公式计算即可解决问题.
【解答】解:如图,连接EB.设OA=r.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵E是△ACB的内心,
∴∠AEB=135°,
∵∠ACD=∠BCD,
∴=,
∴AD=DB=r,
∴∠ADB=90°,
易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上,运动轨迹是,点C的运动轨迹是,
∵∠MON=2∠GDF,设∠GDF=α,则∠MON=2α
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∴==.
故选:A.
【点评】本题考查弧长公式,圆周角定理,三角形的内心等知识,解题的关键是理解题意,正确寻找点的运动轨迹,属于中考选择题中的压轴题.
10.(3分)观察等式:2+22=23﹣2;2+22+23=24﹣2;2+22+23+24=25﹣2…已知按一定规律排列的一组数:250、251、252、…、299、2100.若250=a,用含a的式子表示这组数的和是( )
A.2a2﹣2a B.2a2﹣2a﹣2 C.2a2﹣a D.2a2+a
【分析】由等式:2+22=23﹣2;2+22+23=24﹣2;2+22+23+24=25﹣2,得出规律:2+22+23+…+2n=2n+1﹣2,那么250+251+252+…+299+2100=(2+22+23+…+2100)﹣(2+22+23+…+249),将规律代入计算即可.
【解答】解:∵2+22=23﹣2;
2+22+23=24﹣2;
2+22+23+24=25﹣2;
…
∴2+22+23+…+2n=2n+1﹣2,
∴250+251+252+…+299+2100
=(2+22+23+…+2100)﹣(2+22+23+…+249)
=(2101﹣2)﹣(250﹣2)
=2101﹣250,
∵250=a,
∴2101=(250)2•2=2a2,
∴原式=2a2﹣a.
故选:C.
【点评】本题是一道找规律的题目,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.解决本题的难点在于得出规律:2+22+23+…+2n=2n+1﹣2.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
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11.(3分)计算的结果是 4 .
【分析】根据二次根式的性质求出即可.
【解答】解:=4,
故答案为:4.
【点评】本题考查了二次根式的性质和化简,能熟练地运用二次根式的性质进行化简是解此题的关键.
12.(3分)武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温(单位:℃),分别是25、20、18、23、27,这组数据的中位数是 23℃ .
【分析】根据中位数的概念求解可得.
【解答】解:将数据重新排列为18、20、23、25、27,
所以这组数据的中位数为23℃,
故答案为:23℃.
【点评】此题考查了中位数,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
13.(3分)计算﹣的结果是 .
【分析】异分母分式相加减,先通分变为同分母分式,然后再加减.
【解答】解:原式=
=
=
=.
故答案为:
【点评】此题考查了分式的加减运算,分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母.
14.(3分)如图,在▱ABCD中,E、F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE的大小为 21° .
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【分析】设∠ADE=x,由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE=∠ADE=x,DE=AF=AE=EF,得出DE=CD,证出∠DCE=∠DEC=2x,由平行四边形的性质得出∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x,得出方程,解方程即可.
【解答】解:设∠ADE=x,
∵AE=EF,∠ADF=90°,
∴∠DAE=∠ADE=x,DE=AF=AE=EF,
∵AE=EF=CD,
∴DE=CD,
∴∠DCE=∠DEC=2x,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠BCA=x,
∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x,
∴2x=63°﹣x,
解得:x=21°,
即∠ADE=21°;
故答案为:21°.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识;根据角的关系得出方程是解题的关键.
15.(3分)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0)、B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x﹣1)2+c=b﹣bx的解是 x1=﹣2,x2=5 .
【分析】由于抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y=a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c,从而得到抛物线y=a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c与x轴的两交点坐标为(﹣2,0),(5,0),然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0的解.
【解答】解:关于x的一元二次方程a(x﹣1)2+c=b﹣bx变形为a(x﹣1)2+b(x﹣
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1)+c=0,
把抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y=a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c,
因为抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0)、B(4,0),
所以抛物线y=a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c与x轴的两交点坐标为(﹣2,0),(5,0),
所以一元二方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0的解为x1=﹣2,x2=5.
故答案为x1=﹣2,x2=5.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.
16.(3分)问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.
问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=.点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 2 .
【分析】(1)在BC上截取BG=PD,通过三角形求得证得AG=AP,得出△AGP是等边三角形,得出∠AGC=60°=∠APG,即可求得∠APE=60°,连接EC,延长BC到F,使CF=PA,连接EF,证得△ACE是等边三角形,得出AE=EC=AC,然后通过证得△APE≌△ECF(SAS),得出PE=PF,即可证得结论;
(2)以MG为边作等边三角形△MGD,以OM为边作等边△OME.连接ND,可证△GMO≌△DME,可得GO=DE,则MO+NO+GO=NO+OE+DE,即当D、E、O、N四点共线时,MO+NO+GO值最小,最小值为ND的长度,根据勾股定理先求得MF、DF,然后求ND的长度,即可求MO+NO+GO的最小值.
【解答】(1)证明:如图1,在BC上截取BG=PD,
在△ABG和△ADP中
,
∴△ABG≌△ADP(SAS),
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∴AG=AP,∠BAG=∠DAP,
∵∠GAP=∠BAD=60°,
∴△AGP是等边三角形,
∴∠AGC=60°=∠APG,
∴∠APE=60°,
∴∠EPC=60°,
连接EC,延长BC到F,使CF=PA,连接EF,
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,
∴∠EAC=60°,∠EPC=60°,
∵AE=AC,
∴△ACE是等边三角形,
∴AE=EC=AC,
∵∠PAE+∠APE+∠AEP=180°,∠ECF+∠ACE+∠ACB=180°,∠ACE=∠APE=60°,∠AED=∠ACB,
∴∠PAE=∠ECF,
在△APE和△ECF中
∴△APE≌△ECF(SAS),
∴PE=PF,
∴PA+PC=PE;
(2)解:如图2:以MG为边作等边三角形△MGD,以OM为边作等边△OME.连接ND,作DF⊥NM,交NM的延长线于F.
∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE=OM=ME,∠DMG=∠OME=60°,MG=MD,
∴∠GMO=∠DME
在△GMO和△DME中
∴△GMO≌△DME(SAS),
第29页(共29页)
∴OG=DE
∴NO+GO+MO=DE+OE+NO
∴当D、E、O、M四点共线时,NO+GO+MO值最小,
∵∠NMG=75°,∠GMD=60°,
∴∠NMD=135°,
∴∠DMF=45°,
∵MG=.
∴MF=DF=4,
∴NF=MN+MF=6+4=10,
∴ND===2,
∴MO+NO+GO最小值为2,
故答案为2,
【点评】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理,最短路径问题,构造等边三角形是解答本题的关键.
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)计算:(2x2)3﹣x2•x4.
【分析】先算乘方与乘法,再合并同类项即可.
【解答】解:(2x2)3﹣x2•x4
=8x6﹣x6
=7x6.
【点评】本题考查了整式的混合运算,掌握运算性质和法则是解题的关键.
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18.(8分)如图,点A、B、C、D在一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF,求证:∠E=∠F.
【分析】根据平行线的性质可得∠ACE=∠D,又∠A=∠1,利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出∠E=∠F.
【解答】解:∵CE∥DF,
∴∠ACE=∠D,
∵∠A=∠1,
∴180°﹣∠ACE﹣∠A=180°﹣∠D﹣∠1,
又∵∠E=180°﹣∠ACE﹣∠A,∠F=180°﹣∠D﹣∠1,
∴∠E=∠F.
【点评】本题考查了平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.也考查了三角形内角和定理.
19.(8分)为弘扬中华传统文化,某校开展“双剧进课堂”的活动,该校童威随机抽取部分学生,按四个类别:A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”,调查他们对汉剧的喜爱情况,将结果绘制成如下两幅不完整的统计图,根据图中提供的信息,解决下列问题:
(1)这次共抽取 50 名学生进行统计调查,扇形统计图中,D类所对应的扇形圆心角的大小为 72° ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)该校共有1500名学生,估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人?
【分析】(1)这次共抽取:12÷24%=50(人),D类所对应的扇形圆心角的大小360°×
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=72°;
(2)A类学生:50﹣23﹣12﹣10=5(人),据此补充条形统计图;
(3)该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×=690(人).
【解答】解:(1)这次共抽取:12÷24%=50(人),
D类所对应的扇形圆心角的大小360°×=72°,
故答案为50,72°;
(2)A类学生:50﹣23﹣12﹣10=5(人),
条形统计图补充如下
该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×=690(人),
答:该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人;
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
20.(8分)如图是由边长为1的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCD的顶点在格点上,点E是边DC与网格线的交点.请选择适当的格点,用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,保留连线的痕迹,不要求说明理由.
(1)如图1,过点A画线段AF,使AF∥DC,且AF=DC.
(2)如图1,在边AB上画一点G,使∠AGD=∠BGC.
(3)如图2,过点E画线段EM,使EM∥AB,且EM=AB.
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【分析】(1)作平行四边形AFCD即可得到结论;
(2)根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论;
(3)作平行四边形AEMB即可得到结论.
【解答】解:(1)如图所示,线段AF即为所求;
(2)如图所示,点G即为所求;
(3)如图所示,线段EM即为所求.
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图,平行线四边形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,对顶角的性质,正确的作出图形是解题的关键.
21.(8分)已知AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,DC与⊙O相切于点E,分别交AM、BN于D、C两点.
(1)如图1,求证:AB2=4AD•BC;
(2)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.若∠ADE=2∠OFC,AD=1,求图中阴影部分的面积.
【分析】(1)连接OC、OD,证明△AOD∽△BCO,得出=,即可得出结论;
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(2)连接OD,OC,证明△COD≌△CFD得出∠CDO=∠CDF,求出∠BOE=120°,由直角三角形的性质得出BC=3,OB=,图中阴影部分的面积=2S△OBC﹣S扇形OBE,即可得出结果.
【解答】(1)证明:连接OC、OD,如图1所示:
∵AM和BN是它的两条切线,
∴AM⊥AB,BN⊥AB,
∴AM∥BN,
∴∠ADE+∠BCE=180°
∵DC切⊙O于E,
∴∠ODE=∠ADE,∠OCE=∠BCE,
∴∠ODE+∠OCE=90°,
∴∠DOC=90°,
∴∠AOD+∠COB=90°,
∵∠AOD+∠ADO=90°,
∴∠AOD=∠OCB,
∵∠OAD=∠OBC=90°,
∴△AOD∽△BCO,
∴=,
∴OA2=AD•BC,
∴(AB)2=AD•BC,
∴AB2=4AD•BC;
(2)解:连接OD,OC,如图2所示:
∵∠ADE=2∠OFC,
∴∠ADO=∠OFC,
∵∠ADO=∠BOC,∠BOC=∠FOC,
∴∠OFC=∠FOC,
∴CF=OC,
∴CD垂直平分OF,
∴OD=DF,
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在△COD和△CFD中,,
∴△COD≌△CFD(SSS),
∴∠CDO=∠CDF,
∵∠ODA+∠CDO+∠CDF=180°,
∴∠ODA=60°=∠BOC,
∴∠BOE=120°,
在Rt△DAO,AD=OA,
Rt△BOC中,BC=OB,
∴AD:BC=1:3,
∵AD=1,
∴BC=3,OB=,
∴图中阴影部分的面积=2S△OBC﹣S扇形OBE=2×××3﹣=3﹣π.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式、直角三角形的性质等知识;证明三角形相似和三角形全等是解题的关键.
22.(10分)某商店销售一种商品,童威经市场调查发现:该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如表:
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售价x(元/件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
1000
1600
1600
注:周销售利润=周销售量×(售价﹣进价)
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品进价是 40 元/件;当售价是 70 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 1800 元.
(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.
【分析】(1)①依题意设y=kx+b,解方程组即可得到结论;
②该商品进价是50﹣1000÷100=40,设每周获得利润w=ax2+bx+c:解方程组即可得到结论;
(2)根据题意得,w=(x﹣40﹣m)(﹣2x+200)=﹣2x2+(280+2m)x﹣800﹣200m,由于对称轴是x=,根据二次函数的性质即可得到结论.
【解答】解:(1)①依题意设y=kx+b,
则有
解得:
所以y关于x的函数解析式为y=﹣2x+200;
②该商品进价是50﹣1000÷100=40,
设每周获得利润w=ax2+bx+c:
则有,
解得:,
∴w=﹣2x2+280x﹣8000=﹣2(x﹣70)2+1800,
∴当售价是70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1800元;
故答案为:40,70,1800;
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(2)根据题意得,w=(x﹣40﹣m)(﹣2x+200)=﹣2x2+(280+2m)x﹣8000﹣200m,
∵对称轴x=,
∴①当<65时(舍),②当≥65时,x=65时,w求最大值1400,
解得:m=5.
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用,重点是掌握求最值的问题.注意:数学应用题来源于实践,用于实践,在当今社会市场经济的环境下,应掌握一些有关商品价格和利润的知识,总利润等于总收入减去总成本,然后再利用二次函数求最值.
23.(10分)在△ABC中,∠ABC=90°,=n,M是BC上一点,连接AM.
(1)如图1,若n=1,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直,求证:BM=BN.
(2)过点B作BP⊥AM,P为垂足,连接CP并延长交AB于点Q.
①如图2,若n=1,求证:=.
②如图3,若M是BC的中点,直接写出tan∠BPQ的值.(用含n的式子表示)
【分析】(1)如图1中,延长AM交CN于点H.想办法证明△ABM≌△CBN(ASA)即可.
(2)①如图2中,作CH∥AB交BP的延长线于H.利用全等三角形的性质证明CH=BM,再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
②如图3中,作CH∥AB交BP的延长线于H,作CN⊥BH于N.不妨设BC=2m,则AB=2mn.想办法求出CN,PN(用m,n表示),即可解决问题.
【解答】(1)证明:如图1中,延长AM交CN于点H.
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∵AM⊥CN,
∴∠AHC=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠BAM+∠AMB=90°,∠BCN+∠CMH=90°,
∵∠AMB=∠CMH,
∴∠BAM=∠BCN,
∵BA=BC,∠ABM=∠CBN=90°,
∴△ABM≌△CBN(ASA),
∴BM=BN.
(2)①证明:如图2中,作CH∥AB交BP的延长线于H.
∵BP⊥AM,
∴∠BPM=∠ABM=90°,
∵∠BAM+∠AMB=90°,∠CBH+∠BMP=90°,
∴∠BAM=∠CBH,
∵CH∥AB,
∴∠HCB+∠ABC=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABM=∠BCH=90°,
∵AB=BC,
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∴△ABM≌△BCH(ASA),
∴BM=CH,
∵CH∥BQ,
∴==.
②解:如图3中,作CH∥AB交BP的延长线于H,作CN⊥BH于N.不妨设BC=2m,则AB=2mn.
则BM=CM=m,CH=,BH=,AM=m,
∵•AM•BP=•AB•BM,
∴PB=,
∵•BH•CN=•CH•BC,
∴CN=,
∵CN⊥BH,PM⊥BH,
∴MP∥CN,∵CM=BM,
∴PN=BP=,
∵∠BPQ=∠CPN,
∴tan∠BPQ=tan∠CPN===.
【点评】
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本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.
24.(12分)已知抛物线C1:y=(x﹣1)2﹣4和C2:y=x2
(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?
(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=﹣x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B.请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q,连接AQ.
①若AP=AQ,求点P的横坐标;
②若PA=PQ,直接写出点P的横坐标.
(3)如图2,△MNE的顶点M、N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点,ME、NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M、N两点的横坐标分别为m、n,求m与n的数量关系.
【分析】(1)y=(x﹣1)2﹣4向左评移1个单位长度,再向上平移4个单位长度即可得到y=x2;
(2)易求点A(3,0),b=4,联立方程﹣x+4=(x﹣1)2﹣4,可得B(﹣,);设P(t,﹣t+4),Q(t,t2﹣2t﹣3),
①当AP=AQ时,则有﹣4+t=t2﹣2t﹣3,求得t=;
②当AP=PQ时,PQ=t2+t+7,PA=(3﹣t),则有t2+t+7=(3﹣t),求得t=﹣;
(3)设经过M与N的直线解析式为y=k(x﹣m)+m2,
∴,则可知△=k2﹣4km+4m2=(k﹣2m)2=0,求得k=2m,
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求出直线ME的解析式为y=2mx﹣m2,直线NE的解析式为y=2nx﹣n2,则可求E(,mn),
再由面积[(n2﹣mn)+(m2﹣mn)]×(m﹣n)﹣(n2﹣mn)×(﹣n)﹣(m2﹣mn)×(m﹣)=2,可得(m﹣n)3=8,即可求解;
【解答】解:(1)y=(x﹣1)2﹣4向左评移1个单位长度,再向上平移4个单位长度即可得到y=x2;
(2)y=(x﹣1)2﹣4与x轴正半轴的交点A(3,0),
∵直线y=﹣x+b经过点A,
∴b=4,
∴y=﹣x+4,
y=﹣x+4与y=(x﹣1)2﹣4的交点为﹣x+4=(x﹣1)2﹣4的解,
∴x=3或x=﹣,
∴B(﹣,),
设P(t,﹣t+4),且﹣<t<3,
∵PQ∥y轴,
∴Q(t,t2﹣2t﹣3),
①当AP=AQ时,
|4﹣t|=|t2﹣2t﹣3|,
则有﹣4+t=t2﹣2t﹣3,
∴t=,
∴P点横坐标为;
②当AP=PQ时,
PQ=﹣t2+t+7,PA=(3﹣t),
∴﹣t2+t+7=(3﹣t),
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∴t=﹣;
∴P点横坐标为﹣;
(3)设经过M与N的直线解析式为y=k(x﹣m)+m2,
∴,
则有x2﹣kx+km﹣m2=0,
△=k2﹣4km+4m2=(k﹣2m)2=0,
∴k=2m,
直线ME的解析式为y=2mx﹣m2,直线NE的解析式为y=2nx﹣n2,
∴E(,mn),
∴[(n2﹣mn)+(m2﹣mn)]×(m﹣n)﹣(n2﹣mn)×(﹣n)﹣(m2﹣mn)×(m﹣)=2,
∴(m﹣n)3﹣=4,
∴(m﹣n)3=8,
∴m﹣n=2;
【点评】本题考查二次函数的图象及性质;是二次函数的综合题,熟练掌握直线与二次函数的交点求法,借助三角形面积列出等量关系是解决m与n的关系的关键.
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