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- 2021-05-10 发布
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2018年上海市初中毕业统一学业考试
数学试卷
(满分150分,考试时间100分钟)
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分。下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的)
1.(4分)下列计算﹣的结果是( )
A.4 B.3 C.2 D.
2.(4分)下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断,正确的是( )
A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根
C.有且只有一个实数根 D.没有实数根
3.(4分)下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述,正确的是( )
A.开口向下 B.对称轴是y轴
C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的
4.(4分)据统计,某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是:27,30,29,25,26,28,29,那么这组数据的中位数和众数分别是( )
A.25和30 B.25和29 C.28和30 D.28和29
5.(4分)已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC
6.(4分)如图,已知∠POQ=30°,点A、B在射线OQ上(点A在点O、B之间),半径长为2的⊙A与直线OP相切,半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是( )
A.5<OB<9 B.4<OB<9 C.3<OB<7 D.2<OB<7
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.(4分)﹣8的立方根是 .
8.(4分)计算:(a+1)2﹣a2= .
9.(4分)方程组的解是 .
10.(4分)某商品原价为a元,如果按原价的八折销售,那么售价是 元.
(用含字母a的代数式表示).
11.(4分)已知反比例函数y=(k是常数,k≠1)的图象有一支在第二象限,那么k的取值范围是 .
12.(4分)某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台,已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示,那么20﹣30元这个小组的组频率是 .
13.(4分)从,π,这三个数中选一个数,选出的这个数是无理数的概率为 .
14.(4分)如果一次函数y=kx+3(k是常数,k≠0)的图象经过点(1,0),那么y的值随x的增大而 .(填“增大”或“减小”)
15.(4分)如图,已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点,联结DE并延长,与AB的延长线交于点F.设=,=那么向量用向量、表示为 .
16.(4分)通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,那么该多边形的内角和是 度.
17.(4分)如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是 .
18.(4分)对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图1),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅锤方向的边长称为该矩形的高.如图2,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的高是宽的,那么它的宽的值是 .
三、解答题(本大题共7题,满分78分)
19.(10分)解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.
20.(10分)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=.
21.(10分)如图,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.
(1)求边AC的长;
(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求的值.
22.(10分)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求y关于x的函数关系式;(不需要写定义域)
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?
23.(12分)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.
(1)求证:EF=AE﹣BE;
(2)联结BF,如课=.求证:EF=EP.
24.(12分)在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求线段CD的长;
(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.
25.(14分)已知⊙O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E.且OD⊥AC,垂足为点F.
(1)如图1,如果AC=BD,求弦AC的长;
(2)如图2,如果E为弦BD的中点,求∠ABD的余切值;
(3)联结BC、CD、DA,如果BC是⊙O的内接正n边形的一边,CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边,求△ACD的面积.
2018年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分。下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的)
1.(4分)下列计算﹣的结果是( )
A.4 B.3 C.2 D.
【分析】先化简,再合并同类项即可求解.
【解答】解:﹣
=3﹣
=2.
故选:C.
2.(4分)下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断,正确的是( )
A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根
C.有且只有一个实数根 D.没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=13>0,进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根.
【解答】解:∵a=1,b=1,c=﹣3,
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×(1)×(﹣3)=13>0,
∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根.
故选:A.
3.(4分)下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述,正确的是( )
A.开口向下 B.对称轴是y轴
C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的
【分析】A、由a=1>0,可得出抛物线开口向上,选项A不正确;
B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=,选项B不正确;
C、代入x=0求出y值,由此可得出抛物线经过原点,选项C正确;
D、由a=1>0及抛物线对称轴为直线x=,利用二次函数的性质,可得出当x>时,y随x值的增大而增大,选项D不正确.
综上即可得出结论.
【解答】解:A、∵a=1>0,
∴抛物线开口向上,选项A不正确;
B、∵﹣=,
∴抛物线的对称轴为直线x=,选项B不正确;
C、当x=0时,y=x2﹣x=0,
∴抛物线经过原点,选项C正确;
D、∵a>0,抛物线的对称轴为直线x=,
∴当x>时,y随x值的增大而增大,选项D不正确.
故选:C.
4.(4分)据统计,某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是:27,30,29,25,26,28,29,那么这组数据的中位数和众数分别是( )
A.25和30 B.25和29 C.28和30 D.28和29
【分析】根据中位数和众数的概念解答.
【解答】解:对这组数据重新排列顺序得,25,26,27,28,29,29,30,
处于最中间是数是28,
∴这组数据的中位数是28,
在这组数据中,29出现的次数最多,
∴这组数据的众数是29,
故选:D.
5.(4分)已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC
【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.
【解答】解:A、∠A=∠B,∠A+∠B=180°,所以∠A=∠B=90°,可以判定这个平行四边形为矩形,正确;
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形,错误;
C、AC=BD,对角线相等,可推出平行四边形ABCD是矩形,故正确;
D、AB⊥BC,所以∠B=90°,可以判定这个平行四边形为矩形,正确;
故选:B.
6.(4分)如图,已知∠POQ=30°,点A、B在射线OQ上(点A在点O、B之间),半径长为2的⊙A与直线OP相切,半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是( )
A.5<OB<9 B.4<OB<9 C.3<OB<7 D.2<OB<7
【分析】作半径AD,根据直角三角形30度角的性质得:OA=4,再确认⊙B与⊙A相切时,OB的长,可得结论.
【解答】解:设⊙A与直线OP相切时切点为D,连接AD,
∴AD⊥OP,
∵∠O=30°,AD=2,
∴OA=4,
当⊙B与⊙A相内切时,设切点为C,如图1,
∵BC=3,
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5;
当⊙A与⊙B相外切时,设切点为E,如图2,
∴OB=OA+AB=4+2+3=9,
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是:5<OB<9,
故选:A.
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.(4分)﹣8的立方根是 ﹣2 .
【分析】利用立方根的定义即可求解.
【解答】解:∵(﹣2)3=﹣8,
∴﹣8的立方根是﹣2.
故答案为:﹣2.
8.(4分)计算:(a+1)2﹣a2= 2a+1 .
【分析】原式利用完全平方公式化简,合并即可得到结果.
【解答】解:原式=a2+2a+1﹣a2=2a+1,
故答案为:2a+1
9.(4分)方程组的解是 , .
【分析】方程组中的两个方程相加,即可得出一个一元二次方程,求出方程的解,再代入求出y即可.
【解答】解:
②+①得:x2+x=2,
解得:x=﹣2或1,
把x=﹣2代入①得:y=﹣2,
把x=1代入①得:y=1,
所以原方程组的解为,,
故答案为:,.
10.(4分)某商品原价为a元,如果按原价的八折销售,那么售价是 0.8a 元.(用含字母a的代数式表示).
【分析】根据实际售价=原价×即可得.
【解答】解:根据题意知售价为0.8a元,
故答案为:0.8a.
11.(4分)已知反比例函数y=(k是常数,k≠1)的图象有一支在第二象限,那么k的取值范围是 k<1 .
【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限,故k﹣1<0,求出k的取值范围即可.
【解答】解:∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限,
∴k﹣1<0,
解得k<1.
故答案为:k<1.
12.(4分)某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台,已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示,那么20﹣30元这个小组的组频率是 0.25 .
【分析】根据“频率=频数÷总数”即可得.
【解答】解:20﹣30元这个小组的组频率是50÷200=0.25,
故答案为:0.25.
13.(4分)从,π,这三个数中选一个数,选出的这个数是无理数的概率为 .
【分析】由题意可得共有3种等可能的结果,其中无理数有π、共2种情况,则可利用概率公式求解.
【解答】解:∵在,π,这三个数中,无理数有π,这2个,
∴选出的这个数是无理数的概率为,
故答案为:.
14.(4分)如果一次函数y=kx+3(k是常数,k≠0)的图象经过点(1,0),那么y的值随x的增大而 减小 .(填“增大”或“减小”)
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值,再利用一次函数的性质即可得出结论.
【解答】解:∵一次函数y=kx+3(k是常数,k≠0)的图象经过点(1,0),
∴0=k+3,
∴k=﹣3,
∴y的值随x的增大而减小.
故答案为:减小.
15.(4分)如图,已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点,联结DE并延长,与AB的延长线交于点F.设=,=那么向量用向量、表示为 +2 .
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形,则DC=BF,故AF=2AB=2DC,结合三角形法则进行解答.
【解答】解:如图,连接BD,FC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,DC=AB.
∴△DCE∽△FBE.
又E是边BC的中点,
∴==,
∴EC=BE,即点E是DF的中点,
∴四边形DBFC是平行四边形,
∴DC=BF,故AF=2AB=2DC,
∴=+=+2=+2.
故答案是:+2.
16.(4分)通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,那么该多边形的内角和是 540 度.
【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形,然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和.
【解答】解:从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,则将多边形分割为3个三角形.
所以该多边形的内角和是3×180°=540°.
故答案为540.
17.(4分)如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是 .
【分析】作AH⊥BC于H,交GF于M,如图,先利用三角形面积公式计算出AH=3,设正方形DEFG的边长为x,则GF=x,MH=x,AM=3﹣x,再证明△AGF∽△ABC,则根据相似三角形的性质得=,然后解关于x的方程即可.
【解答】解:作AH⊥BC于H,交GF于M,如图,
∵△ABC的面积是6,
∴BC•AH=6,
∴AH==3,
设正方形DEFG的边长为x,则GF=x,MH=x,AM=3﹣x,
∵GF∥BC,
∴△AGF∽△ABC,
∴=,即=,解得x=,
即正方形DEFG的边长为.
故答案为.
18.(4分)对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图1),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅锤方向的边长称为该矩形的高.如图2,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的高是宽的,那么它的宽的值是 .
【分析】先根据要求画图,设矩形的宽AF=x,则CF=x,根据勾股定理列方程可得结论.
【解答】解:在菱形上建立如图所示的矩形EAFC,
设AF=x,则CF=x,
在Rt△CBF中,CB=1,BF=x﹣1,
由勾股定理得:BC2=BF2+CF2,
,
解得:x=或0(舍),
即它的宽的值是,
故答案为:.
三、解答题(本大题共7题,满分78分)
19.(10分)解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分就是不等式组的解集.
【解答】解:
解不等式①得:x>﹣1,
解不等式②得:x≤3,
则不等式组的解集是:﹣1<x≤3,
不等式组的解集在数轴上表示为:
20.(10分)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=.
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式,再将a的值代入计算可得.
【解答】解:原式=[﹣]÷
=•
=,
当a=时,
原式===5﹣2.
21.(10分)如图,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.
(1)求边AC的长;
(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求的值.
【分析】(1)过A作AE⊥BC,在直角三角形ABE中,利用锐角三角函数定义求出AC的长即可;
(2)由DF垂直平分BC,求出BF的长,利用锐角三角函数定义求出DF的长,利用勾股定理求出BD的长,进而求出AD的长,即可求出所求.
【解答】解:(1)作A作AE⊥BC,
在Rt△ABE中,tan∠ABC==,AB=5,
∴AE=3,BE=4,
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1,
在Rt△AEC中,根据勾股定理得:AC==;
(2)∵DF垂直平分BC,
∴BD=CD,BF=CF=,
∵tan∠DBF==,
∴DF=,
在Rt△BFD中,根据勾股定理得:BD==,
∴AD=5﹣=,
则=.
22.(10分)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求y关于x的函数关系式;(不需要写定义域)
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?
【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式,再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5升时行驶的路程,此题得解.
【解答】解:(1)设该一次函数解析式为y=kx+b,
将(150,45)、(0,60)代入y=kx+b中,
,解得:,
∴该一次函数解析式为y=﹣x+60.
(2)当y=﹣x+60=8时,
解得x=520.
即行驶520千米时,油箱中的剩余油量为8升.
530﹣520=10千米,
油箱中的剩余油量为8升时,距离加油站10千米.
∴在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是10千米.
23.(12分)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.
(1)求证:EF=AE﹣BE;
(2)联结BF,如课=.求证:EF=EP.
【分析】(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论;
(2)利用=和AF=BE得到=,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.
【解答】证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵BE⊥AP,DF⊥AP,
∴∠BEA=∠AFD=90°,
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
在△ABE和△DAF中
,
∴△ABE≌△DAF,
∴BE=AF,
∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE;
(2)如图,∵=,
而AF=BE,
∴=,
∴=,
∴Rt△BEF∽Rt△DFA,
∴∠4=∠3,
而∠1=∠3,
∴∠4=∠1,
∵∠5=∠1,
∴∠4=∠5,
即BE平分∠FBP,
而BE⊥EP,
∴EF=EP.
24.(12分)在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求线段CD的长;
(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.
【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)利用配方法得到y=﹣(x﹣2)2+,则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2,如图,设CD=t,则D(2,﹣t),根据旋转性质得∠PDC=90°,DP=DC=t,则P(2+t,﹣t),然后把P(2+t,﹣t)代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程,从而解方程可得到CD的长;
(3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,),利用抛物线的平移规律确定E点坐标为(2,﹣2),设M(0,m),当m>0时,利用梯形面积公式得到•(m++2)•2=8当m<0时,利用梯形面积公式得到•(﹣m++2)•2=8,然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标.
【解答】解:(1)把A(﹣1,0)和点B(0,)代入y=﹣x2+bx+c得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+;
(2)∵y=﹣(x﹣2)2+,
∴C(2,),抛物线的对称轴为直线x=2,
如图,设CD=t,则D(2,﹣t),
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处,
∴∠PDC=90°,DP=DC=t,
∴P(2+t,﹣t),
把P(2+t,﹣t)代入y=﹣x2+2x+得﹣(2+t)2+2(2+t)+=﹣t,
整理得t2﹣2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,
∴线段CD的长为2;
(3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,),
∵抛物线平移,使其顶点C(2,)移到原点O的位置,
∴抛物线向左平移2个单位,向下平移个单位,
而P点(4,)向左平移2个单位,向下平移个单位得到点E,
∴E点坐标为(2,﹣2),
设M(0,m),
当m>0时,•(m++2)•2=8,解得m=,此时M点坐标为(0,);
当m<0时,•(﹣m++2)•2=8,解得m=﹣,此时M点坐标为(0,﹣);
综上所述,M点的坐标为(0,)或(0,﹣).
25.(14分)已知⊙O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E.且OD⊥AC,垂足为点F.
(1)如图1,如果AC=BD,求弦AC的长;
(2)如图2,如果E为弦BD的中点,求∠ABD的余切值;
(3)联结BC、CD、DA,如果BC是⊙O的内接正n边形的一边,CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边,求△ACD的面积.
【分析】(1)由AC=BD知+=+,得=,根据OD⊥AC知=,从而得==,即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°,利用AF=AOsin∠AOF可得答案;
(2)连接BC,设OF=t,证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t,由DF=1﹣t可得t=,即可知BC=DF=,继而求得EF=AC=,由余切函数定义可得答案;
(3)先求出BC、CD、AD所对圆心角度数,从而求得BC=AD=、OF=,从而根据三角形面积公式计算可得.
【解答】解:(1)∵OD⊥AC,
∴=,∠AFO=90°,
又∵AC=BD,
∴=,即+=+,
∴=,
∴==,
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°,
∵AB=2,
∴AO=BO=1,
∴AF=AOsin∠AOF=1×=,
则AC=2AF=;
(2)如图1,连接BC,
∵AB为直径,OD⊥AC,
∴∠AFO=∠C=90°,
∴OD∥BC,
∴∠D=∠EBC,
∵DE=BE、∠DEF=∠BEC,
∴△DEF≌△BEC(ASA),
∴BC=DF、EC=EF,
又∵AO=OB,
∴OF是△ABC的中位线,
设OF=t,则BC=DF=2t,
∵DF=DO﹣OF=1﹣t,
∴1﹣t=2t,
解得:t=,
则DF=BC=、AC===,
∴EF=FC=AC=,
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠D,
则cot∠ABD=cot∠D===;
(3)如图2,
∵BC是⊙O的内接正n边形的一边,CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边,
∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=,
则+2×=180,
解得:n=4,
∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°,
∴BC=AC=,
∵∠AFO=90°,
∴OF=AOcos∠AOF=,
则DF=OD﹣OF=1﹣,
∴S△ACD=AC•DF=××(1﹣)=.