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  • 2021-05-10 发布

课标版数学中考第二轮专题复习分类讨论型试题含M

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分类讨论型问题探究 分类思想是解题的一种常用思想方法,它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性,使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题,学生只有掌握了分类的思想方法,在解题中才不会出现漏解的情况.‎ 例1(2005年黑龙江) 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地,腰长为40米,一条笔直的水渠从菜地穿过,这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰,水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计),请你计算这块等腰三角形菜地的面积.‎ 分析:本题是无附图的几何试题,在此情况下一般要考虑多种情况的出现,需要对题目进行分情况讨论。分类思想在中考解题中有着广泛的应用,我们在解题中应仔细分析题意,挖掘题目的题设,结论中可能出现的不同的情况,然后采用分类的思想加以解决.‎ 解:(1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1),由勾股定理得AE=25(m)‎ 由DE∥FC得,,得FC=24(m) S△ABC= ×40×24=480(m2)‎ ‎(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得,S△ABC=×64×24=768(m2)‎ 图1‎ 图2‎ A 说明:本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。‎ 练习一 ‎1、(2005年资阳市)若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的半径为(  )‎ A. B. C. 或 D. a+b或a-b ‎2.(2005年杭州)在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )‎ ‎ (A) 1条 (B) 2条 (C) 4条 (D) 8条 ‎3(2005年潍坊市)已知圆和圆相切,两圆的圆心距为‎8cm,圆的 半径为‎3cm,则圆的半径是( ).‎ ‎ A.‎5cm B.‎11cm C.‎3cm D.‎5cm或‎11cm ‎4.(2005年北京) 在△ABC中,∠B=25°,AD是BC边上的高,并且,则∠BCA的度数为____________。‎ ‎5、(2005年金华)直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=x2-x-6与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.如果点M在y轴右侧的抛物线上, S△AMO=S△COB,那么点M的坐标是       .‎ 例题2(2005年金华)如图,在矩形ABCD中,AD=8,点E是AB边上的一点,AE=2. 过D,E两点作直线PQ,与BC边所在的直线MN相交于点F.‎ ‎(1)求tan∠ADE的值;‎ ‎(2)点G是线段AD上的一个动点,GH⊥DE,垂足为H. 设DG为x,四边形AEHG的面积为y,试写出y与x之间的函数关系式;‎ ‎(3)如果AE=2EB,点O是直线MN上的一个动点,以O为圆心作圆,使⊙O与直线 PQ相切,同时又与矩形ABCD的某一边相切. 问满足条件的⊙O有几个?并求出其中一个圆的半径.‎ 分析:分类讨论的思考方法广泛存在于初中数学的各知识点当中,数学中的许多问题由于题设交代笼统,要进行分类讨论;由于题情复杂,包含的内容太多,也要进行讨论。‎ 解:(1)∵ 矩形ABCD中,∠A=90°,AD=8,AE=2,  ‎ ‎  ∴ tan∠ADE===. ‎ ‎(2)∵ DE===6, ‎ ‎∴ sin∠ADE===,cos∠ADE===. ‎ 在Rt△DGH中,∵ GD=x,‎ ‎∴ DH=DG·cos∠ADE=x,‎ ‎∴ S△DGH=DG·DH·sin∠ADE=·x·x·=x2. ‎ ‎∵ S△AED=AD·AE=×8×2=8,‎ ‎∴ y=S△AED-S△DGH=8-x2,‎ ‎ 即y与x之间的函数关系式是y=-x2+8. ‎ ‎(3)满足条件的⊙O有4个. ‎ 以⊙O在AB的左侧与AB相切为例,求⊙O半径如下:‎ ‎∵ AD∥FN,‎ ‎∴ △AED∽△BEF. ‎ ‎∴ ∠PFN=∠ADE. ‎ ‎∴ sin∠PFN=sin∠ADE=.‎ ‎∵ AE=2BE,‎ ‎∴ △AED与△BEF的相似比为2∶1,‎ ‎∴ =,FB=4.‎ 过点O作OI⊥FP,垂足为I,设⊙O的半径为r,那么FO=4-r.‎ ‎∵ sin∠PFN===,‎ ‎∴ r=1. ‎ ‎ (满足条件的⊙O还有:⊙O在AB的右侧与AB相切,这时r=2;⊙O在CD的左侧与CD相切,这时r=3;⊙O在CD的右侧与CD相切,这时r=6) ‎ 说明:本题考查了三角函数、相似三角形的判定及性质,以及二次函数的有关知识,是一道涉及面较广,体现分类思想较明显的综合性题目。‎ 练习二 ‎1、(2005年河南)如图1,中,,,,点在边 上,且.‎ ‎ (1)动点在边上运动,且与点,均不重合,设 ‎ ①设与的面积之比为,求与之间的函数关系式(写出自变量的取值范围);‎ ‎ ②当取何值时, 是等腰三角形?写出你的理由。‎ ‎ (2)如图2,以图1中的为一组邻边的矩形中,动点在矩形边上运动一周,能使是以为顶角的等腰三角形共有多少个(直接写结果,不要求说明理由)?‎ ‎2.(2005年河南课改)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=2,DC=2,点P在边BC上运动(与B、C不重合),设PC=x,四边形ABPD的面积为y。‎ ‎⑴求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎⑵若以D为圆心、为半径作⊙D,以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P,当x为何值时,⊙D与⊙P相切?并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。‎ ‎3、(2005年常州)已知⊙的半径为1,以为原点,建立如图所示的直角坐标系.有一个正方形,顶点的坐标为(,0),顶点在轴上方,顶点在⊙‎ 上运动.‎ ‎(1)当点运动到与点、在一条直线上时,与⊙相切吗?如果相切,请说明理由,并求出所在直线对应的函数表达式;如果不相切,也请说明理由;‎ ‎(2)设点的横坐标为,正方形的面积为,求出与的函数关系式,并求出的最大值和最小值.‎ ‎4、(2005年安徽)在一次课题学习中活动中,老师提出了如下一个问题:‎ 点P是正方形ABCD内的一点,过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N,使点P是线段MN的三等分点,这样的直线能够画几条?‎ 经过思考,甲同学给出如下画法:‎ 如图1,过点P画PE⊥AB于E,在EB上取点M,使EM=2EA,画直线MP交AD于N,则直线MN就是符合条件的直线l.‎ 根据以上信息,解决下列问题:‎ ‎(1)甲同学的画法是否正确?请说明理由.‎ ‎(2)在图1中,能否画出符合题目条件的直线?如果能,请直接在图1中画出.‎ ‎(3)如图2,A1、C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点,且A‎1C1∥AD.当点P在线段A‎1C1上时,能否画出符合题目条件的直线?如果能,可以画出几条?‎ ‎(4)如图3,正方形ABCD边界上的A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在边的三等分点.当点P在正方形ABCD内的不同位置时,试讨论,符合题目条件的直线l的条数的情况.‎ ‎5、(2005年上海)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E,作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F。‎ ‎(1)如图8,求证:△ADE∽△AEP;‎ ‎(2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;‎ ‎(3)当BF=1时,求线段AP的长.‎ 能力训练 ‎1、(2005年河北课改)图15―1至15―7中的网格图均是20×‎ ‎20的等距网格图(每个小方格的边长均为1个单位长)。侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况。当5个单位长的列车(图中的)以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时,列车将阻挡王凯的部分视线,在区域MNCD内形成盲区(不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙)。设列车车头运行到M点的时刻为0,列车从M点向N点方向运行的时间为t(秒)。‎ ‎⑴在区域MNCD内,请你针对图15―1,图15―2,图15―3,图15―4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区,并在盲区内涂上阴影。‎ ‎⑵只考虑在区域ABCD内形成的盲区。设在这个区域内的盲区面积是y(平方单位)。‎ ‎①如图15―5,当5≤t≤10时,请你求出用t表示y的函数关系式;‎ ‎②如图15―6,当10≤t≤15时,请你求出用t表示y的函数关系式;‎ ‎③如图15―7,当15≤t≤20时,请你求出用t表示y的函数关系式;‎ ‎④根据①~③中得到的结论,请你简单概括y随t的变化而变化的情况。‎ ‎⑶根据上述研究过程,请你按不同的时段,就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想(问题⑶是额外加分,加分幅度为1~4分)。‎ ‎ ‎ ‎2、(2005年锦州)如图,在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC,∠AOC=90°,AB∥OC,OC在x轴上,过A、B、C三点的抛物线表达式为. ‎ ‎  (1)求A、B、C三点的坐标; ‎ ‎  (2)如果在梯形OABC内有一矩形MNPO,使M在y轴上,N在BC边上,P在OC边上,当MN为多少时,矩形MNPO的面积最大?最大面积是多少? ‎ ‎  (3)若用一条直线将梯形OABC分为面积相等的两部分,试说明你的分法. ‎ ‎  注:基总结出一般规律得满分,若用特例说明,有四种正确得满分. ‎ ‎ ‎ ‎3.(2005年徐州)有一根直尺的短边长2㎝,长边长10㎝,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板,它的斜边长‎12cm..如图12,将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合,且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图13),设平移的长度为xcm(0≤x≤10),直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S㎝2.‎ ‎(1)当x=0时(如图12),S=_____________;当x = 10时,S =______________.‎ ‎(2) 当0<x≤4时(如图13),求S关于x的函数关系式;‎ x F E G A B C D ‎(图13)‎ 不妨用直尺和三角板做一做模拟实验,问题就容易解决了!‎ ‎(3)当4<x<10时,求S关于x的函数关系式,并求出S的最大值(同学可在图14、图15中画草图).‎ ‎(图12)‎ ‎(D)‎ E F C B A A B C ‎(图14)‎ A B C ‎(图15)‎ ‎4、(2005年四川)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A(x1,0)和B(x2,0),与y轴的正半轴交于点C。如果x1、x2是方程x2―x―6=0的两个根(x1AC,所以边AC的对角不可能直角 ‎(4)以点O,点A(或点O,点C)为矩形的个顶点,第三个点落在矩形这一边OA(或OC)的对边上,如图2,此时未知顶点坐标D(-1,-2),以点A,点C为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上,如图3,此时未知顶点坐标是E。‎