课标版数学中考第二轮专题复习分类讨论型试题含M 35页

分类讨论型问题探究 分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.‎ 例1（2005年黑龙江） 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．‎ 分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决.‎ 解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE＝25（m）‎ 由DE∥FC得，，得FC＝24（m） S△ABC= ×40×24=480（m2）‎ ‎(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S△ABC=×64×24=768（m2）‎ 图1‎ 图2‎ A 说明：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。‎ 练习一 ‎1、（2005年资阳市）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（　　）‎ A. B. C. 或 D. a+b或a-b ‎2．（2005年杭州）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )‎ ‎ (A) 1条 (B) 2条 (C) 4条 (D) 8条 ‎3（2005年潍坊市）已知圆和圆相切，两圆的圆心距为‎8cm，圆的 半径为‎3cm，则圆的半径是（ ）．‎ ‎ A．‎5cm B．‎11cm C．‎3cm D．‎5cm或‎11cm ‎4.（2005年北京） 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为____________。‎ ‎5、（2005年金华）直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝x2－x－6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.如果点M在y轴右侧的抛物线上， S△AMO＝S△COB，那么点M的坐标是　　　　　　　.‎ 例题2（2005年金华）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝2. 过D，E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F.‎ ‎（1）求tan∠ADE的值；‎ ‎（2）点G是线段AD上的一个动点，GH⊥DE，垂足为H. 设DG为x，四边形AEHG的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线 PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切. 问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径.‎ 分析：分类讨论的思考方法广泛存在于初中数学的各知识点当中，数学中的许多问题由于题设交代笼统，要进行分类讨论；由于题情复杂，包含的内容太多，也要进行讨论。‎ 解：（1）∵ 矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，AE＝2， 　‎ ‎　 ∴ tan∠ADE＝＝＝. ‎ ‎（2）∵ DE＝＝＝6， ‎ ‎∴ sin∠ADE＝＝＝，cos∠ADE＝＝＝. ‎ 在Rt△DGH中，∵ GD＝x，‎ ‎∴ DH＝DG·cos∠ADE＝x，‎ ‎∴ S△DGH＝DG·DH·sin∠ADE＝·x·x·＝x2. ‎ ‎∵ S△AED＝AD·AE＝×8×2＝8，‎ ‎∴ y＝S△AED－S△DGH＝8－x2，‎ ‎ 即y与x之间的函数关系式是y＝－x2＋8. ‎ ‎（3）满足条件的⊙O有4个. ‎ 以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下：‎ ‎∵ AD∥FN，‎ ‎∴ △AED∽△BEF. ‎ ‎∴ ∠PFN＝∠ADE. ‎ ‎∴ sin∠PFN＝sin∠ADE＝.‎ ‎∵ AE＝2BE，‎ ‎∴ △AED与△BEF的相似比为2∶1，‎ ‎∴ ＝，FB＝4.‎ 过点O作OI⊥FP，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO＝4－r.‎ ‎∵ sin∠PFN＝＝＝，‎ ‎∴ r＝1. ‎ ‎ （满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6） ‎ 说明：本题考查了三角函数、相似三角形的判定及性质，以及二次函数的有关知识，是一道涉及面较广，体现分类思想较明显的综合性题目。‎ 练习二 ‎1、（2005年河南）如图1，中，,,,点在边 上，且.‎ ‎ (1)动点在边上运动，且与点，均不重合，设 ‎ ①设与的面积之比为，求与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；‎ ‎ ②当取何值时， 是等腰三角形？写出你的理由。‎ ‎ （2）如图2，以图1中的为一组邻边的矩形中，动点在矩形边上运动一周，能使是以为顶角的等腰三角形共有多少个（直接写结果，不要求说明理由）？‎ ‎2．（2005年河南课改）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝2，DC＝2，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PC＝x，四边形ABPD的面积为y。‎ ‎⑴求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎⑵若以D为圆心、为半径作⊙D，以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。‎ ‎3、（2005年常州）已知⊙的半径为1，以为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形，顶点的坐标为（，0），顶点在轴上方，顶点在⊙‎ 上运动．‎ ‎（1）当点运动到与点、在一条直线上时，与⊙相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；‎ ‎（2）设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值．‎ ‎4、（2005年安徽）在一次课题学习中活动中,老师提出了如下一个问题:‎ 点P是正方形ABCD内的一点,过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N,使点P是线段MN的三等分点,这样的直线能够画几条?‎ 经过思考,甲同学给出如下画法:‎ 如图1,过点P画PE⊥AB于E,在EB上取点M,使EM=2EA,画直线MP交AD于N,则直线MN就是符合条件的直线l.‎ 根据以上信息,解决下列问题:‎ ‎(1)甲同学的画法是否正确?请说明理由.‎ ‎(2)在图1中,能否画出符合题目条件的直线?如果能,请直接在图1中画出.‎ ‎(3)如图2,A1、C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点,且A‎1C1∥AD.当点P在线段A‎1C1上时,能否画出符合题目条件的直线?如果能,可以画出几条?‎ ‎(4)如图3,正方形ABCD边界上的A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在边的三等分点.当点P在正方形ABCD内的不同位置时,试讨论,符合题目条件的直线l的条数的情况.‎ ‎5、（2005年上海）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。‎ ‎(1)如图8，求证：△ADE∽△AEP；‎ ‎(2)设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎(3)当BF＝1时，求线段AP的长.‎ 能力训练 ‎1、（2005年河北课改）图15―1至15―7中的网格图均是20×‎ ‎20的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长）。侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况。当5个单位长的列车（图中的）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）。设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）。‎ ‎⑴在区域MNCD内，请你针对图15―1，图15―2，图15―3，图15―4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影。‎ ‎⑵只考虑在区域ABCD内形成的盲区。设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）。‎ ‎①如图15―5，当5≤t≤10时，请你求出用t表示y的函数关系式；‎ ‎②如图15―6，当10≤t≤15时，请你求出用t表示y的函数关系式；‎ ‎③如图15―7，当15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式；‎ ‎④根据①~③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况。‎ ‎⑶根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想（问题⑶是额外加分，加分幅度为1~4分）。‎ ‎ ‎ ‎2、（2005年锦州）如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x轴上，过A、B、C三点的抛物线表达式为. ‎ ‎　　(1)求A、B、C三点的坐标； ‎ ‎　　(2)如果在梯形OABC内有一矩形MNPO，使M在y轴上，N在BC边上，P在OC边上，当MN为多少时，矩形MNPO的面积最大？最大面积是多少？ ‎ ‎　　(3)若用一条直线将梯形OABC分为面积相等的两部分，试说明你的分法. ‎ ‎　　注：基总结出一般规律得满分，若用特例说明，有四种正确得满分. ‎ ‎ ‎ ‎3．（2005年徐州）有一根直尺的短边长2㎝，长边长10㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长‎12cm..如图12，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图13)，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S㎝2.‎ ‎(1)当x=0时(如图12)，S=_____________；当x = 10时，S =______________.‎ ‎(2) 当0＜x≤4时(如图13)，求S关于x的函数关系式；‎ x F E G A B C D ‎(图13)‎ 不妨用直尺和三角板做一做模拟实验，问题就容易解决了！‎ ‎(3)当4＜x＜10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值(同学可在图14、图15中画草图).‎ ‎(图12)‎ ‎(D)‎ E F C B A A B C ‎(图14)‎ A B C ‎(图15)‎ ‎4、（2005年四川）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A(x1，0)和B(x2，0)，与y轴的正半轴交于点C。如果x1、x2是方程x2―x―6=0的两个根(x1AC，所以边AC的对角不可能直角 ‎（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的个顶点，第三个点落在矩形这一边OA（或OC）的对边上，如图2，此时未知顶点坐标D（-1，-2），以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图3，此时未知顶点坐标是E。‎