数学中考总复习30讲一轮复习全等三角形 9页

第17讲 全等三角形 ‎【考点总汇】‎ 一、全等三角形的性质及判定定理 ‎1.性质 ‎（1）全等三角形的对应边 ，对应角 。‎ ‎（2）全等三角形的对应边的中线 ，对应角平分线 ，对应边上的高 ，全等三角形的周长 ，面积 。‎ ‎2.判定定理 ‎（1）三边分别 的两个三角形全等（简写“边边边”或“ ”）。 ‎ ‎（2）两边和它们的夹角分别 的两个三角形全等（简写“边角边”或“ ”）。 ‎ ‎（3）两角和它们的夹边分别 的两个三角形全等（简写“角边角”或“ ”）。 ‎ ‎（4）斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等（简写“斜边、直角边”或“ ”）。 ‎ 微拨炉：‎ 已知两边和一角判定三角形全等时，没有“SSA”定理，即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。‎ 二、角的平分线 ‎1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 。 ‎ ‎2.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 。‎ ‎3.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 。 ‎ 微拨炉：‎ ‎1.三角形的角平分线是一条线段，不是射线。‎ ‎2.角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。注意分清题设和结论。‎ 高频考点1、全等三角形的判定与性质 ‎【范例】如图，在△中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连接、、。‎ ‎（1）求证：△≌△ （2）若，求的度数 得分要领：‎ 判定全等三角形的基本思路 ‎1.已知两边：（1）找夹角（SAS）；（2）找直角（HL或SAS）；（3）找第三边（SSS）。‎ ‎2.已知两角：（1）找夹边（ASA）；（2）找一边（AAS）。‎ ‎3.已知一边一角：（1）边为角的对边，找一角（AAS）；（2）边为角的邻边①找夹边角（ASA）；②找边的对角（AAS）；③找夹角边（SAS）‎ ‎【考题回放】‎ ‎1.如图，和相交于点，，，求证：∥。‎ ‎2.如图，已知：在△和△中，点在同一直线上，，，∥。求证：。‎ ‎3.已知，如图所示：，，于点，于点，求证：。‎ 高频考点2、角平分线的性质与判定 ‎【范例】如图，是△中的平分线，于点，，，，则长是（ ）‎ A.3 B.4 C.6 D.5‎ 得分要领：‎ 解答与角平分线有关的题目时常作的辅助线：‎ ‎1.过角平分线上一点向角两边作垂线，构造相等线段。‎ ‎2.过角平分线上一点，作与角的一边平行的直线，构造等腰三角形。‎ ‎3.过角平分线上一点，作角平分线的垂线，构造等腰三角形。‎ ‎4.遇与角平分线垂直的线段时，延长垂线段与角的另一边相交，构造等腰三角形。‎ ‎【考题回放】‎ ‎1.如图，△中，，，分别是其角平分线和中线，过点作于，交，连接，则线段的长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知是的平分线，点在上，，，垂足分别为点，，则的长度为 。‎ ‎3.如图，△中，，。‎ ‎（1）用尺规作图作边上的中垂线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）。‎ ‎（2）连接，求证：平分。‎ 高频考点3、尺规作图 ‎【范例】如图，已知线段及，只用直尺和圆规，求作△，使，，（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）。‎ ‎ 得分要领：‎ 利用“尺规”作三角形的“五种类型”‎ ‎1.已知三角形的三边，求作三角形。‎ ‎2.已知三角形的两边及其夹角，求作三角形。‎ ‎3.已知三角形的两角及其夹边，求作三角形。‎ ‎4.已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形。‎ ‎5.已知直角三角形的一直角边和斜边，求作三角形。‎ ‎【考题回放】‎ ‎1.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。‎ 已知；线段，。‎ 求作：△，使，。‎ ‎2.如图，在△中，先作的角平分线交于点，再以边上的一点为圆心，过两点作⊙（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。‎ ‎3.如图，点在△的边上，且。‎ ‎（1）作的平分线，交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）。‎ ‎（2）在（1）的条件下，判断直线与直线的位置关系（不要求证明）。‎ ‎4.如图，在Rt△中，。‎ ‎（1）用尺规在边上作一点，使（不写作法，保留作图痕迹）。‎ ‎（2）连接，当为 度时，平分。‎ ‎【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边 ‎【例题】已知，如图，，点为射线，上的动点（点不与点重合），且，在的内部、△的外部有一点，且，。‎ ‎（1）求的长。 （2）求证：点在的平分线上。‎ 解：（1）过点作于点。‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ………………①‎ 在Rt△中，设，则 则有 解得：‎ ‎∵ ∴ 即 …………②‎ ‎（2）∵‎ ‎∴点在的平分线上………………………③‎ ‎【规避策略】‎ ‎1.理解定理的条件。在运用角的平分线的判定定理时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件，这是正确应用定理的前提。‎ ‎2.显现基本图形。通过作辅助线，显现出角的平分线定理的基本图形，为正确应用定理奠定基础。‎ ‎【实战演练】‎ ‎1.如图，在△中，，，是高和的交点，则的长是（ ）‎ A.4 B.6 C.8 D.9‎ ‎ ‎ 第1题 第2题 ‎2.如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）‎ A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 ‎3.如图，在△和△中，，，请你添加一个条件，使得△和△全等，并加以证明。你添加的条件是 。‎ ‎4.在Rt△中，，cm，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若cm，则 cm。‎ ‎5.如图，∥，的平分线与的平分线 相交于点，作于点。若，则两平行 线与间的距离为 。‎ ‎6.如图，Rt△中，，是边上一点，点分别是线段中点，连接。‎ 求证：△≌△。‎ ‎7.如图，在梯形中，∥，对角线平分，的平分线交于分别是的中点。‎ 求证：。‎ ‎8.不再添加其他线段，如图，△与△中，与相交 于点，，请你添加一个条件，不再标注或使用其他字母，‎ 使，并给出证明。你添加的条件是： 。‎ ‎9.如图，，请在不添加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△≌△并证明。‎ ‎（1）添加的条件是 。‎ ‎（2）证明你的结论。‎ ‎【限时小测】建议用时30分钟。总分50分 一、选择题（每小题3分，共12分）‎ ‎1.如图，已知点在同一条直线上，，，‎ 要使△≌△，还需要添加一个条件是（ ）‎ A. B. ‎ C.∥ D.‎ ‎2.如图，已知△中，，，点是高 和的交点，则线段的长度为（ ）‎ A.4 B.5 C. D. ‎ ‎3.如图，在Rt△中，，，是的平分 线，于点。cm，则△的周长是（ ）‎ A.10cm B.8cm C.12cm D.9cm ‎ ‎4.如图，在△和△中，点在边上，边交边于 点。若，，，则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每小题4分，共12分）‎ ‎5.如图，，要使△≌△，应添加的条件是 （添加一个条件即可）。‎ ‎ ‎ 第5题 第6题 ‎6.如图，在Rt△中，，的平分线交于点，，，则△的面积是 。‎ ‎7.点是△内一点，且点到三边的距离相等，，则的度数是 。‎ 三、解答题（共26分）‎ ‎8.（12分）如图，在Rt△中，，平分，于点。若，，。‎ ‎（1）求的长。 ‎ ‎（2）求△的面积。‎ ‎【培优训练】‎ ‎9.（14分）已知，如图2，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，‎ 求证：∠BAP+∠BCP＝180°。‎