中考数学压轴题二次函数与圆 23页

第四讲：二次函数与圆综合 中考要求 板块 考试要求 A级要求 B级要求 C级要求 二次函数 ‎1.能根据实际情境了解二次函数的意义；‎ ‎2.会利用描点法画出二次函数的图像；‎ ‎1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；‎ ‎2.能从函数图像上认识函数的性质；‎ ‎3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；‎ ‎4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；‎ ‎1.能用二次函数解决简单的实际问题； ‎ ‎2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；‎ 例题精讲 一、二次函数与圆综合 【例1】 已知：抛物线与轴相交于两点，‎ 且．‎ ‎（Ⅰ）若，且为正整数，求抛物线的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；‎ ‎（Ⅳ）若直线过点，与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式．‎ ‎【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，．‎ 解得，．‎ 为正整数，∴．∴．‎ 解法二：由题意知，当时，．‎ ‎（以下同解法一）‎ 解法三：，‎ ‎．‎ 又．∴．（以下同解法一．）‎ 解法四：令，即，‎ ‎∴．（以下同解法三．）‎ ‎（Ⅱ）解法一：．‎ ‎，即． ‎ ‎，‎ ‎∴．解得：．‎ ‎∴的取值范围是．‎ 解法二：由题意知，当时，‎ ‎． ‎ 解得：．‎ ‎∴的取值范围是．‎ 解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，．‎ ‎∴‎ ‎∴．∴的取值范围是．‎ ‎（Ⅲ）存在．‎ 解法一：因为过两点的圆与轴相切于点，所以两点在轴的同侧，‎ ‎∴． ‎ 由切割线定理知，，‎ 即．∴，‎ ‎∴∴．‎ 解法二：连接．圆心所在直线， ‎ 设直线与轴交于点，圆心为，‎ 则．‎ ‎，‎ ‎∴‎ 在中， ．‎ 即．解得 ．‎ ‎（Ⅳ）设，则．‎ 过分别向轴引垂线，垂足分别为． 则．‎ 所以由平行线分线段成比例定理知，．‎ 因此，，即．‎ 过分别向轴引垂线，垂足分别为，‎ 则．所以．．‎ ‎．． ‎ ‎，或． ‎ 当时，点．直线过，‎ ‎ 解得 当时，点．直线过，‎ ‎ 解得 故所求直线的解析式为：，或． ‎ 【例1】 已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 ‎ 并且线段CM的长为 ‎（1）求抛物线的解析式。‎ ‎（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。‎ ‎（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。‎ ‎【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线．过点C（0,2），‎ 所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，‎ 所以，解得或 若，点C、M重合，不合题意，舍去，所以．即M 过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在 所以，，解得，。‎ ‎∴所求抛物线为：或以下同下。‎ 解法二：由题意得,设点M的坐标为 ‎∵点M在直线上，∴‎ 由勾股定理得，∵‎ ‎∴=，即 解方程组，得，‎ ‎∴或 当时，设抛物线解析式为，∵抛物线过点，‎ ‎∴，∴‎ 当时，设抛物线解析式为 ‎∵抛物线过点，∴，∴‎ ‎∴所求抛物线为： 或 ‎（2）∵抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴不合题意，舍去。‎ ‎∴抛物线应为：‎ 抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴，得 ‎（3）∵AB是⊙N的直径，∴r = ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN = 4‎ 设直线与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴‎ ‎，作NG⊥CM于G，在= r ‎ 即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径．∴直线CM与⊙N相切 【例1】 已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，抛物线经过，两点．‎ ‎⑴试用含的代数式表示；‎ ‎⑵设抛物线的顶点为，以为圆心，为半径的圆被轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙内，它所在的圆恰与相切，求⊙半径的长及抛物线的解析式；‎ ‎⑶设点是满足()中条件的优弧上的一个动点，抛物线在轴上方的部分上是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】⑴解法一：∵一次函数的图象与轴交于点 ‎∴点的坐标为(，)‎ ‎∵抛物线经过、两点 ‎∴，，∴ ‎ 解法二：∵一次函数的图象与轴交于点 ‎∴点的坐标为()‎ ‎∵抛物线经过、两点 ‎∴抛物线的对称轴为直线 ‎∴，∴‎ ‎⑵由抛物线的对称性可知，‎ ‎∴点在⊙上，且 又由()知抛物线的解析式为 ‎∴点的坐标为()‎ ‎①当时，‎ 如图，设⊙被轴分得的劣弧为，它沿轴翻折后所得劣弧为，显然 所在的圆与⊙关于轴对称，设它的圆心为 ‎∴点与点也关于轴对称 ‎∵点在⊙上，且与⊙相切 ‎∴点为切点，∴‎ ‎∴‎ ‎∴为等腰直角三角形，∴‎ ‎∴点的纵坐标为，∴‎ ‎∴‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎②当时，‎ 同理可得：‎ 抛物线的解析式为 综上，⊙半径的长为，抛物线的解析式为或 ‎⑶ 抛物线在轴上方的部分上存在点，使得 设点的坐标为()，且 ‎①当点在抛物线上时(如图)‎ ‎∵点是⊙的优弧上的一点 ‎∴，∴‎ 过点作轴于点，∴，‎ ‎∴，∴‎ 由解得：(舍去)‎ ‎∴点的坐标为 ‎ ‎②当点在抛物线上时(如图)，同理可得，‎ 由解得：(舍去)‎ ‎∴点的坐标为 ‎ 综上，存在满足条件的点，点的坐标为：或 点评：本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿轴翻折后的弧所在圆⊙，并充分利用轴对称的性质．本题考点：1．直线与圆的位置关系(切线的性质)；2．轴对称；3．等腰直角三角形的性质，4．三角函数；5．二次函数解析式的确定．‎ 【例1】 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆交轴正半轴于点， ‎ 是的切线．动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，且动点、从点和点同时出发，设运动时间为(秒)．‎ ‎⑴当时，得到、两点，求经过、、三点的抛物线解析式及对称轴；‎ ‎⑵当为何值时，直线与相切？并写出此时点和点的坐标；‎ ‎⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴上存在一点，使最小，求出点N的坐标并说明理由．‎ ‎【解析】⑴ 由题意得，，的坐标分别为，，．‎ 设抛物线解析式为，则 ‎∴，，．‎ ‎∴所求抛物线为．‎ 对称轴为直线：．‎ ‎⑵ 设时，与⊙切于点．‎ 连结，，，则，．‎ 又，分别平分和 而，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴∽‎ ‎∴即，∴‎ 由于时间只能取正数，所以 即当运动时间时，与⊙相切 此时：，，，‎ ‎⑶ 点关于直线的对称点为，‎ 则直线的解析式为：‎ ‎∴直线交直线于，，此时最小，∴，‎ 【例1】 如图，点，以点为圆心、为半径的圆与轴交于点．已知抛物过点和，与轴交于点． ⑴ 求点的坐标，并画出抛物线的大致图象．‎ ‎⑵ 点在抛物线上，点为此抛物线对称轴上一个动点，求 最小值．‎ ‎⑶ 是过点的的切线，点是切点，求所在直线的解析式．‎ ‎【解析】⑴由已知，得，，‎ ‎∵抛物线过点和，‎ 则，解得 ‎ 则抛物线的解析式为，故．‎ ‎(说明：抛物线的大致图象要过点、、，其开口方向、顶点和对称轴相对准确)‎ ‎⑵如图①，抛物线对称轴是　．‎ ‎∵，抛物线上，∴．‎ 过点作轴于点，则，，‎ ‎∴． ‎ 又∵与关于对称轴l对称，‎ ‎∴的最小值．‎ C A M B x y O D E Q P K 图①‎ l ‎　　‎C A M B x y O D E 图②‎ ‎⑵当在第四象限时，如图②，连结和．‎ 由已知，得　．‎ 是的切线，∴，则．‎ 又∵，∴．‎ ‎∴．‎ 又在和中，‎ ‎，则． ‎ 设所在直线的解析式为，过点，，‎ ‎∴，解得 直线的解析式为．‎ 又∵直线过原点，且，则的解析式为．‎ 当在第一象限时，易得四边形为矩形，此时，‎ ‎∴直线的解析式为 点评：本题难度不大，第⑵问中，求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题；第⑶问需注意，过圆外一点引圆的切线有两条．考点：1．二次函数解析式的确定；2．轴对称；3．切线的性质；4．一次函数解析式的确定．‎ 【例1】 在平面直角坐标系中，已知直线经过点和点，直线的函数表达式为，与相交于点．是一个动圆，圆心在直线上运动，设圆心的横坐标是．过点作轴，垂足是点．‎ ‎⑴ 填空：直线的函数表达式是 ，交点的坐标是 ，的度数是 ；‎ ‎⑵ 当和直线相切时，请证明点到直线的距离等于的半径，并写出 时的值．‎ ‎⑶ 当和直线不相离时，已知的半径，记四边形的面积为(其中点是直线与的交点)．是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】⑴ ，，‎ ‎⑵ 设和直线相切时的一种情况如图甲所示，是切点，连接，则．‎ 过点作的垂线，垂足为，‎ 则， 所以． ‎ 当点在射线上，和直线相切时，同理可证．‎ 取时，，或．‎ ‎⑶ 当和直线不相离时，则，由⑵知，分两种情况讨论：‎ ‎① 如图乙，当时，‎ ‎， ‎ 当时，(满足)，有最大值．‎ 此时(或)．‎ ‎② 当时，‎ 显然和直线相切，即时，最大．‎ 此时． ‎ 综合以上①和②，当或时，存在S的最大值，其最大面积为 ‎ 点评：本题共3问，这3问之间难度递增，且环环相扣，解决后面的问题时要注意应用前面的结论，解决第⑶问时要先确定的取值范围，然后分类讨论．考点：1．一次函数解析式的确定；2．等边三角形的判定及性质；3．直线与圆的位置关系；4．全等三角形；5．两函数图象交点坐标的确定；6．二次函数的最值．‎ ‎【答案】（1），，；（2）或；（3）当或时，存在S的最大值，其最大面积为 【例1】 已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与 ‎ 二次函数的图象交于两点(在的左侧)，且点坐标为．平行于轴的直线过点．‎ ‎⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；‎ ‎⑵ 判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；‎ ‎⑶ 把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？‎ ‎【考点】二次函数与圆综合，直线与圆位置关系的确定，切线的性质及判定 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2006年，山东潍坊 ‎【解析】⑴ 把代入得，‎ ‎∴一次函数的解析式为； ‎ ‎∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，‎ ‎∴设二次函数解析式为，‎ ‎∴把代入得，∴二次函数解析式为．‎ ‎⑵ 由，解得或，∴，，‎ 过点分别作直线的垂线，垂足为，，‎ 则，‎ ‎∴直角梯形的中位线长为，‎ 过作垂直于直线于点，则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴的长等于中点到直线的距离的2倍，‎ ‎∴以为直径的圆与直线相切．‎ ‎⑶ 平移后二次函数解析式为，‎ 令，得，，，‎ ‎∵过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，‎ ‎∴要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，‎ 此时，半径为2，面积为，‎ 设圆心为中点为，连，则，‎ 在三角形中，，‎ ‎∴，而，∴‎ ‎∴当时，过三点的圆面积最小，最小面积为 点评：本题综合了函数与圆的有关知识，题目设计比较新颖，本题亮点在第(2)(3)问，这两问都需要确定圆心位置，要求学生较好的掌握圆的有关性质，并能灵活运用．考点：1．一次函数，二次函数解析式的确定；2．直线与圆的位置关系，3．二次函数图象的平移；4．圆心的性质；5．点到直线垂线段最短．‎ ‎【答案】（1）一次函数的解析式为；二次函数解析式为．（2）以为直径的圆与直线相切．（3）当时，过三点的圆面积最小，最小面积为 【例1】 如图1，的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在上运动．‎ ‎⑴ 当点运动到与点、在同一条直线上时，试证明直线与相切；‎ ‎⑵ 当直线与相切时，求所在直线对应的函数关系式；‎ ‎⑶ 设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．‎ ‎【考点】二次函数与圆综合，切线的性质及判定，坐标与面积 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2008年，江苏宿迁 ‎【解析】⑴ ∵四边形为正方形，∴‎ ‎∵、、在同一条直线上，∴，∴直线与相切；‎ ‎⑵ 直线与相切分两种情况：‎ ‎①如图2， 设点在第二象限时，过作轴于点，设此时的正方形的边长为，则，解得或(舍去)．‎ 由得 ‎∴，，∴，‎ 故直线的函数关系式为；‎ ‎②如图3，设点在第四象限时，过作轴于点，设此时的正方形的边长为，则，解得或(舍去)．‎ 由得 ‎∴，，‎ ‎∴，故直线的函数关系式为．‎ ‎⑶ 设，则，由得 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴．‎ ‎【答案】（1）直线与相切；（2）或；（3），‎ 【例1】 如图，已知点从出发，以个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：‎ ‎⑴ 点的坐标（用含的代数式表示）；‎ ‎⑵ 当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．‎ ‎【考点】二次函数与圆综合，动点与几何，切线的性质及判定 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2008年，江苏无锡 ‎【解析】⑴ 过作轴于，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴点的坐标为． ‎ ‎⑵ ①当与相切时（如图1），切点为，此时，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴． （4分）‎ ‎②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，‎ 过作于，则，‎ ‎∴，∴． ‎ ‎③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，‎ 则，∴，‎ ‎∴． ‎ 过作轴于，则，‎ ‎∴，‎ 化简，得，‎ 解得，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴所求的值是，和． ‎ ‎【答案】（1）点的坐标为；（2）所求的值是，和．‎ 【例1】 已知：抛物线，顶点，与轴交于、两点，．‎ ‎⑴ 求这条抛物线的解析式．‎ ‎⑵ 如图，以为直径作圆，与抛物线交于点，与抛物线对称轴交于点，依次连接、、、，点为线段上一个动点(与、两点不重合)，过点作于，于，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．‎ ‎⑶ 在⑵的条件下，若点是线段上一点，过点作，分别与边、相交于点、(与、不重合，与、不重合)，请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数与圆综合 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2008年，山东济南 ‎【解析】⑴ 设抛物线的解析式为 将代入：，∴‎ ‎∴抛物线的解析式为，即：‎ ‎⑵ 是定值，‎ ‎∵为直径，∴，∵，∴‎ ‎∴，∴ ①‎ 同理： ② ‎ ‎① + ②： ‎ ‎⑶ ∵直线为抛物线对称轴，∴ 垂直平分 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴为等腰直角三角形．‎ ‎∴ 7分 如图，过点作于，‎ 由已知及作法可知，四边形是矩形，‎ ‎∴且 在和中 ‎∵，‎ ‎∴‎ 且 ‎∴‎ ‎∴ ① 8分 在和中，‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴ 　　　　②‎ 由①、②知：‎ ‎【答案】（1）；（2）是定值，；（3）成立 【例1】 如图，已知点的坐标是，点的坐标是，以为直径作，交轴的负半轴于点，连接、，过、、三点作抛物线．‎ ‎⑴ 求抛物线的解析式；‎ ‎⑵ 点是延长线上一点，的平分线交于点，连结，求直线的解析式；‎ ‎⑶ 在⑵的条件下，抛物线上是否存在点，使得？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数与圆综合 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2008年，四川资阳 ‎【解析】⑴ ∵以为直径作，交轴的负半轴于点，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴， ‎ ‎∴．‎ 又∵，，‎ ‎∴，解得 (负值舍去)．‎ ‎∴， 3分 设抛物线解析式为，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴二次函数的解析式为，即． ‎ ‎⑵ ∵为的直径，且，，‎ ‎∴，， ‎ ‎∵点是延长线上一点，的平分线交于点，‎ ‎∴，‎ 连结交于点，则，，．‎ ‎∴． ‎ ‎∴设直线的解析式为 ‎ ‎∴ ‎ 解得 ‎∴直线的解析式为． ‎ ‎⑶ 假设在抛物线上存在点，使得，‎ 方法一：设射线交于点，则．‎ 分两种情况(如答案图1所示)：‎ ‎①∵，，，．‎ ‎∴把点、绕点逆时针旋转，使点与点重合，则点与点重合，‎ 因此，点符合，‎ ‎∵，，‎ ‎∴用待定系数法可求出直线解析式为． ‎ 解方程组得 ‎ ‎∴点坐标为，[坐标为不符合题意，舍去]．‎ ‎②∵，‎ ‎∴点关于轴对称的点的坐标为也符合．‎ ‎∵，．‎ ‎∴用待定系数法可求出直线解析式为． ‎ 解方程组得 ‎ ‎∴点坐标为，[坐标为不符合题意，舍去]． ‎ ‎∴符合条件的点有两个：，．‎ 方法二：分两种情况(如答案图2所示)：‎ ‎①当时，能使．‎ ‎∵，．‎ ‎∴用待定系数法可求出直线解析式为．‎ 又∵，∴设直线的解析式为．‎ 把代入可求，‎ ‎∴直线解析式为． ‎ 解方程组 得 ‎ ‎∴点坐标为，[坐标为不符合题意，舍去]．‎ ‎②在线段上取一点，使时，得，∴．‎ 由①知，直线解析式为．‎ 取，得，∴，∴，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴直线解析式为． ‎ 解方程组得 ‎ ‎∴点坐标为，[坐标为不符合题意，舍去]．‎ ‎∴符合条件的点有两个：，．‎ 方法三：分两种情况(如答案图3所示)：‎ ‎①求点坐标同解法二． ‎ ‎②过点作的平行线，交圆于，‎ 此时，．‎ 由⑵题知直线的解析式为，‎ 又∵ ‎ ‎∴可求得的解析式为，‎ 设，作轴交与轴与，‎ 连结，在中，利用勾股定理可得，，‎ 由与可得，‎ 的解析式为， ‎ 解方程组得 ‎ ‎∴点坐标为，[坐标为不符合题意，舍去]．‎ ‎∴符合条件的点有两个：，．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）符合条件的点有两个：，‎ 【例1】 已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，‎ ‎⑴ 求的值及抛物线顶点坐标；‎ ‎⑵ 过的三点的交轴于另一点，连结并延长交于点，过点的的切线分别交轴、轴于点，求直线的解析式；‎ ‎⑶ 在条件⑵下，设为上的动点(不与重合)，连结交轴于点，问是否存在一个常数，始终满足，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数与圆综合，‎ ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2005年，荆门 ‎【解析】⑴ 由抛物线可知，点的坐标为，且．‎ 设，，，．则有 又是的斜边上的高，∴　∴ ‎ ‎∴，即 ‎∴，解得或，而，故只能取 这时，‎ 故抛物线的顶点坐标为 ‎⑵ 解法一：由已知得：‎ ‎∵抛物线的对称轴是，也是的对称轴，连结 ‎∵是的直径，∴‎ ‎∴直线，垂直平分，‎ ‎∴点的坐标为 ‎∵‎ 且，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴‎ 又，∴‎ 由两点的坐标易求直线的解析式为：‎ 可设直线的解析式为，把代入求得 故直线的解析式为 解法二：令，解得 即，‎ 根据圆的对称性，易知：半径为，‎ 在中，‎ ‎∴，同理，．‎ 而，∴‎ ‎∵，　∴‎ ‎∴‎ 在中，，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴点的坐标为 在中，‎ ‎∴点的坐标为 ‎∴直线的解析式为 ‎⑶ 解法一：‎ 存在常数，满足 连结 由垂径定理可知，∴‎ ‎(或利用) ‎ 又∵，∴‎ ‎∴　即 在中，‎ ‎(或利用 ‎∴‎ 解法二：‎ 存在常数，满足 设 由相交弦定理得，即 化简得：，即 ‎【答案】（1），；（2）；（3）存在常数，满足 【例1】 已知二次函数的图象经过点，并与轴交于点和点，顶点为．‎ ‎⑴ 求这个二次函数的解析式，并在直角坐标系中画出该二次函数的图象；‎ ‎⑵ 设为线段上的一点，满足，求点的坐标；‎ ‎⑶ 在轴上是否存在一点，使以为圆心的圆与所在的直线及轴都相切？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数与圆综合，切线的性质及判定 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2004年，山西 ‎【解析】⑴ ∵二次函数的图象过点，‎ 得 ，解得 ‎∴这个二次函数的解析式为：‎ 由解析式可求，‎ 画出二次函数的图象 ‎⑵ 解法一：易证：‎ 又已知：‎ ‎∴，∴‎ 易求 ‎∴，∴，∴‎ ‎ 解法二：过作轴，垂足为．‎ 设抛物线的对称轴交轴于．‎ 亦可证，∴．‎ 易求：‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎⑶ 存在．‎ ‎①过作，垂足分别为，‎ 设交轴于，的延长线交轴于 ‎∵是等腰直角三角形，是的内切圆圆心，‎ ‎∴‎ 又∵且 ‎∴，得，∴‎ ‎②在轴的负半轴上，存在一点M′‎ 同理，，得 ‎ ‎∴‎ 即在轴上存在满足条件的两个点．‎ 点评：本题综合了二次函数，圆与相似等知识，解决第(2)问时需注意为等腰直角三角形，于是，从而利用相似可以求解；第(3)问需注意分类讨论．考点：1．二次函数解析式的确定；2．抛物线顶点坐标；3．直线与圆的位置关系；4．三角形内心．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）在轴上存在满足条件的两个点．，‎ 【例1】 已知⊙的半径为，以为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形，顶点的坐标为，顶点在轴上方，顶点在⊙上运动．‎ ‎⑴ 当点运动到与点、在一条直线上时，与⊙相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；‎ ‎⑵ 设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值．‎ ‎【考点】二次函数与圆综合，坐标与面积 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2005年，常州 ‎【解析】⑴ 与相切．‎ ‎∵在一直线上，，‎ ‎∴，所以是的切线 与相切时，有两种情况：‎ ‎①切点在第二象限时(如图①)，‎ 设正方形的边长为，则，‎ 解得，或(舍去)‎ 过点作于，则，‎ ‎∴，∴，‎ ‎，所以点的坐标是(，) ‎ ‎∴所在直线对应的函数表达式为．‎ ‎②切点在第四象限时(如图②)，‎ 设正方形的边长为，则，‎ 解得 (舍去)，或 ‎ 过点作于，则，‎ ‎∴，∴，，‎ ‎∴点的坐标是(，)‎ ‎∴所在直线对应的函数表达式为 ‎⑵ 如图③，‎ 过点作于，连接，‎ 则 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∵，∴的最大值为，的最小值为 点评：本题是一道正方形，圆，函数的综合题，难度不大，第(1)问注意分类讨论，第(2)问应注意利用正方形的面积等于对角线平方的一半这个性质．考点：1．正方形的性质；2．切线的判定；3．相似三角形；4．一次函数解析式的确定；5．一次函数的最值；6．勾股定理．‎ ‎【答案】（1）与相切．（2），的最大值为，的最小值为 【例1】 如图，将置于平面直角坐标系中，其中点为坐标原点，点的坐标为，．‎ ‎⑴ 若的外接圆与轴交于点，求点坐标．‎ ‎⑵ 若点的坐标为，试猜想过的直线与的外接圆的位置关系，并加以说明．‎ ‎⑶ 二次函数的图象经过点和且顶点在圆上，求此函数的解析式．‎ ‎【考点】二次函数与圆综合，三角形的外接圆及外心，直线与圆位置关系的确定 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2008年，四川达州 ‎【解析】⑴ 连结，则 在中，‎ 所以 ‎ 所以点的坐标是 ‎⑵ 猜想是与圆相切 ‎∵是直角，所以是圆的直径 又∵，‎ ‎∴即 ‎∴切外接圆于点 ‎⑶ 依题意可设二次函数的解析式为： ‎ 由此得顶点坐标的横坐标为：；‎ 即顶点在的垂直平分线上，作的垂直平分线，‎ 则得 得到，可得一个顶点坐标为 同理可得另一个顶点坐标为 分别将两顶点代入可解得的值分别为，‎ 则得到二次函数的解析式是或 ‎【答案】（1）；（2）切外接圆于点；（3）或 【例1】 如图，直角坐标系中，已知两点，，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点．‎ ‎⑴ 求两点的坐标；‎ ‎⑵ 求直线的函数解析式；‎ ‎⑶ 设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长．试探究：的最大面积？‎ ‎【考点】二次函数与圆综合，坐标与面积 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2008，浙江嘉兴 ‎【解析】⑴ ∵，∴．‎ 作于，‎ ‎∵为正三角形，‎ ‎∴，．‎ ‎∴．‎ 连，∵，，‎ ‎∴．‎ ‎∴． ‎ ‎⑵ ∵，∴是圆的直径，‎ 又∵是圆的切线，∴．‎ ‎∴，．‎ ‎∴．‎ 设直线的函数解析式为，‎ 则，解得．‎ ‎∴直线的函数解析式为．‎ ‎⑶ ∵，，，，‎ ‎∴四边形的周长．‎ 设，的面积为，‎ 则，．‎ ‎∵．‎ ‎∴当时，．‎ ‎∵点分别在线段上，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∵满足，∴的最大面积为．‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）当时，的最大面积为