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- 2021-05-10 发布
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备战中考—数学中考中容易出现漏解的题型分析
“数学是锻炼思维的体操”,解数学题不仅能训练思维的灵活性,亦能培养思维的周密性。近几年各省市的中考数学命题注意了对学生思维周密性的考查,可是许多学生在解题时往往只满足于求出一解而导致解题不完整,出现漏解。因此,剖析解数学题时出现漏解的常见原因,对于培养同学们的思维品质、提高解题能力具有重要的意义。本文以中考试题为例,剖析产生漏解的几种常见原因,供复习时参考。
一、思维定势干扰
例1. 直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于____________。
错解:由勾股定理得,该直角三角形的斜边。而直角三角形的外接圆的直径就是它的斜边,所以这个三角形的外接圆的半径等于5。
剖析:这里受勾股定理中常见的勾股数6,8,10的影响,把6,8作为直角边,实际上8也可以作为斜边,即:
(1)当6,8分别为直角边时,第三边即斜边为10;
(2)当6为直角边,8为斜边时,第三边是另一直角边为。
所以这个三角形的外接圆的半径等于5或
例2. 已知实数a、b满足,求的值。
错解:由题意知,a、b是方程的两个实数根,根据韦达定理得,。
剖析:此种解答受根与系数的关系的影响,认为a、b一定是方程的两个不等实根,实际上a与b的值也可以相等。
(1)当时,解答如上所述。
(2)的根是
当时
当时
二、审题草率
例3. 一组数据5,7,7,x的中位数与平均数相等,则x的值为_____________。
错解:由题意得
剖析:这组数据的中位数不一定是7,应根据x的大小位置分类讨论求解。
(1)当x>7时,解法同上。
(2)当时,这组数据排列为5,x,7,7。
依题意得
解得
(3)当x<5时,这组数据排列为x,5,7,7
依题意得
解得x=5,这与x<5矛盾
综上所述,x的值为5或9
例4. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是,相应函数值的取值范围是,则这个函数的解析式为_______________________。
错解:依题意可知,当x=6时,
当时,
则有
解得
∴这个函数的解析式为
剖析:错解只考虑了当k>0时的情况,实际上当k<0时,题设条件也能成立,即当x=6时,;当时,。利用待定系数法可求得此时,。所以这个函数的解析式为或。
三、忽视了数学的一些规定
例5. 当a取什么数时,关于未知数x的方程只有正实数根?
错解:由题意得
解得
剖析:误认为这一定是一元二次方程。正确解法是
当a=0时,原方程是关于x的一次方程,只有正实根;当时,原方程是关于x的一元二次方程,时只有正实根。
所以,a的取值范围是
四、忽视图形的位置或形状
例6. 若圆O的直径AB为2,弦AC为,弦AD为,则(其中)为_________________________。
错解:如图1所示,过O点分别做OE⊥AC,OF⊥AD
则,,
由此可得,∠AOE=45°,∠AOF=60°
于是∠COD=∠AOD-∠AOC=2∠AOF-2∠AOE=120°-90°=30°
图1
剖析:上述解法只考虑了一种情况,即弦AC和弦AD在圆心的同侧,而忽略了弦AC和弦AD在圆心O的两侧的情况。如图2所示,同上述作法,可求∠COD=150°,从而求得,综上所述,的面积为或。
图2
例7. 为美化环境,计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块边长为10m的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
错解:分两种情况计算,不妨设AB=10m,过点C作CD⊥AB,垂足为D
(1)当AB为底边时,AD=DB=5(m)(如图3所示)
由
得CD=6(m)
图3
(2)当AB为腰时(如图4所示)
AC=AB=10(m)
则
图4
剖析:上述解法虽然进行了分类计算,看似正确,其实仍然漏掉了一种情况:当AB为腰且三角形为钝角三角形时(如图5所示),AB=BC=10(m),AD=AB+BD=18(m)
图5
五、忽视了比例线段之间的不同对应关系
例8. (江西)如图6所示,已知△ABC内接于圆O,AE切圆O于点A,BC//AE。
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)设AB=10cm,BC=8cm,点P是射线AE上的点,若以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似,求AP的长。
图6
错解:(1)略
(2)过点C作AB的平行线交AE于点P(如图6所示)
由得AP:BC=AC:BA
又由(1)知AC=BA
剖析:错解遗漏了另一种情况,如图7所示,过点C作圆O的切线交AE于点P2,则AP2=CP2。
图7