- 452.00 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2016年广东省汕头市金平区中考数学一模试卷
一、相信你,都能选择对!四个选项中只有一个是正确的.(本大题10小题,每题3分,共30分)
1.在﹣1,0,2,四个数中,最大的数是( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.
2.地球的表面积约为510000000km2,将510000000用科学记数法表示为( )
A.0.51×109 B.5.1×109 C.5.1×108 D.0.51×107
3.下列图案中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算中,结果是a6的式子是( )
A.(a3)3 B.a12﹣a6 C.a2•a3 D.(﹣a)6
5.一个多边形的每个内角均为120°,则这个多边形是( )
A.七边形 B.六边形 C.五边形 D.四边形
6.在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球,这些球除颜色外其余完全相同,摇匀后随机摸出一个,摸到红球的概率是,则n的值为( )
A.10 B.8 C.5 D.3
7.若△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,则这两个三角形的面积比为( )
A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4
8.如图,平行四边形ABCD的周长为20,AE平分∠BAD,若CE=2,则AB的长度是( )
A.10 B.8 C.6 D.4
9.若一元二次方程x2+2x+a=0有实数根,则a的取值范围是( )
A.a≤1 B.a≤4 C.a<1 D.a≥1
10.如图,直线y=﹣x+2与y轴交于点A,与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点C,过点C作CB⊥x轴于点B,AO=2BO,则反比例函数的解析式为( )
A.y= B.y=﹣ C.y= D.y=﹣
二.填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)
11.在函数y=中,自变量x的取值范围是 .
12.如图,自行车的三角形支架,这是利用三角形具有性 .
13.因式分解:x3﹣xy2= .
14.如图.将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、CB均落在对角线BD上,得折痕BE、BF,则∠EBF的大小为 .
15.有一列具有规律的数字:,,,,…则这列数字第10个数为 .
16.如图,腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°,则图中阴影部分的面积为 .
三.解答题(一)(本大题3小题,每题6分,共18分)
17.计算:()﹣2﹣|﹣1|﹣()0+2cos60°.
18.先化简,再求值:(x+1)2+x(x﹣2),其中x=.
19.已知:在△ABC中,AB=AC.
(1)尺规作图:作△ABC的角平分线AD,延长AD至E点,使得DE=AD;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接BE,CE,求证:四边形ABEC是菱形.
四.解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
20.如图,一条光纤线路从A地到B地需要经过C地,图中AC=40千米,
∠CAB=30°,∠CBA=45°,因线路整改需要,将从A地到B地之间铺设一条笔直的光纤线路.
(1)求新铺设的光纤线路AB的长度;(结果保留根号)
(2)问整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了多少千米?(结果保留根号)
21.某超市用5 000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又调拨11 000元资金购进该品种苹果,但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元,购进苹果数量是试销时的2倍.
(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?
(2)如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的苹果定价为4元,超市在这两次苹果销售中的盈利不低于4 100元,那么余下的苹果最多多少千克?
22.某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A.篮球 B.乒乓球C.羽毛球 D.足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有 人;
(2)请你将条形统计图(2)补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
五.解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
23.如图,抛物线y=﹣x2+3x+4交x轴于A、B两点(点A在B左边),交y轴于点C.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求直线BC的函数关系式;
(3)点P在抛物线的对称轴上,连接PB,PC,若△PBC的面积为4,求点P的坐标.
24.如图,AB切⊙O于点B,AD交⊙O于点C和点D,点E为的中点,连接OE交CD于点F,连接BE交CD于点G.
(1)求证:AB=AG;
(2)若DG=DE,求证:GB2=GC•GA;
(3)在(2)的条件下,若tanD=,EG=,求⊙O的半径.
25.有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°,AB=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,∠E=45°,EF=6.将这副直角三角板按如图1所示位置摆放,点A与点F重合,点E、F、A、C在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF以每秒1个单位的速度沿边AC匀速运动,DF与AB相交于点M.
(1)如图2,连接ME,若∠EMA=67.5°,求证:△DEM≌△AEM;
(2)如图3,在三角板DEF移动的同时,点N从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动,当三角板DEF的顶点D移动到AB边上时,三角板DEF停止移动,点N也随之停止移动.连接FN,设四边形AFNB的面积为y,在三角板DEF运动过程中,y存在最小值,请求出y的最小值;
(3)在(2)的条件下,在三角板DEF运动过程中,是否存在某时刻,使E、M、N三点共线,若存在,请直接写出此时AF的长;若不存在,请直接回答.
2016年广东省汕头市金平区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、相信你,都能选择对!四个选项中只有一个是正确的.(本大题10小题,每题3分,共30分)
1.在﹣1,0,2,四个数中,最大的数是( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.
【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.
【解答】解:根据实数比较大小的方法,可得
﹣1<0<<2,
故在﹣1,0,2,四个数中,最大的数是2.
故选:C.
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小.
2.地球的表面积约为510000000km2,将510000000用科学记数法表示为( )
A.0.51×109 B.5.1×109 C.5.1×108 D.0.51×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于510000000有9位,所以可以确定n=9﹣1=8.
【解答】解:510 000 000=5.1×108.
故选C.
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.
3.下列图案中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
C、不是轴对称图形,因为找不到任何这样的一条直线,沿这条直线对折后它的两部分能够重合;即不满足轴对称图形的定义,是中心对称图形,故此选项错误;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,因为找不到任何这样的一点,旋转180度后它的两部分能够重合;即不满足中心对称图形的定义,故此选项错误.
故选:A.
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
4.下列运算中,结果是a6的式子是( )
A.(a3)3 B.a12﹣a6 C.a2•a3 D.(﹣a)6
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项和积的乘方进行计算即可.
【解答】解:A、(a3)3=a9,故此选项错误;
B、不能合并,故此选项错误;
C、a2•a3=a5,故此选项错误;
D、(﹣a)6=a6,故此选项正确;
故选D.
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方,掌握运算法则是解题的关键.
5.一个多边形的每个内角均为120°,则这个多边形是( )
A.七边形 B.六边形 C.五边形 D.四边形
【分析】一个多边形的每个内角都相等,根据内角与外角互为邻补角,因而就可以求出外角的度数.根据任何多边形的外角和都是360度,利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数,即多边形的边数.
【解答】解:外角是180°﹣120°=60°,
360÷60=6,则这个多边形是六边形.
故选:B.
【点评】考查了多边形内角与外角,根据外角和的大小与多边形的边数无关,由外角和求正多边形的边数,是常见的题目,需要熟练掌握.
6.在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球,这些球除颜色外其余完全相同,摇匀后随机摸出一个,摸到红球的概率是,则n的值为( )
A.10 B.8 C.5 D.3
【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程,求出n的值即可.
【解答】解:∵在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球,这些球除颜色外其余完全相同,摇匀后随机摸出一个,摸到红球的概率是,
∴=,
解得n=8.
故选:B.
【点评】本题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
7.若△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,则这两个三角形的面积比为( )
A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4
【分析】由△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,根据相似三角形的性质,即可求得答案.
【解答】解:∵△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,
∴这两个三角形的面积比为4:9.
故选C.
【点评】此题考查了相似三角形的性质.注意相似三角形的面积比等于相似比的平方.
8.如图,平行四边形ABCD的周长为20,AE平分∠BAD,若CE=2,则AB的长度是( )
A.10 B.8 C.6 D.4
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD,AD=BC,AD∥BC,推出∠DAE=∠BAE,求出∠BAE=∠AEB,推出AB=BE,设AB=CD=x,则AD=BC=x+2得出方程x+x+2=10,求出方程的解即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,
∴∠DAE=∠BAE,
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
设AB=CD=x,则AD=BC=x+2
∵▱ABCD的周长为20,
∴x+x+2=10,
解得:x=4,
即AB=4,
故选D.
【点评】本题考查了平行四边形的在,平行线的性质,等腰三角形的判定的应用,解此题的关键是能推出AB=BE,题目比较好,难度适中.
9.若一元二次方程x2+2x+a=0有实数根,则a的取值范围是( )
A.a≤1 B.a≤4 C.a<1 D.a≥1
【分析】首先得出根的判别式△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0,进一步求得不等式的解集得出答案即可.
【解答】解:∵一元二次方程x2+2x+a=0有实数根,
∴△≥0,即△=4﹣4a≥0,
∴a≤1.
故选:A.
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
10.如图,直线y=﹣x+2与y轴交于点A,与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点C,过点C作CB⊥x轴于点B,AO=2BO,则反比例函数的解析式为( )
A.y= B.y=﹣ C.y= D.y=﹣
【分析】先求出点A的坐标,然后表示出AO、BO的长度,根据AO=2BO,求出点C的横坐标,代入直线解析式求出纵坐标,用待定系数法求出反比例函数解析式.
【解答】解:∵直线y=﹣x+2与y轴交于点A,
∴A(0,2),即OA=2,
∵AO=2BO,
∴OB=1,
∴点C的横坐标为﹣1,
∵点C在直线y=﹣x+2上,
∴点C(﹣1,3),
∴反比例函数的解析式为:y=﹣.
故选:B.
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题,根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键.
二.填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)
11.在函数y=中,自变量x的取值范围是 x≥﹣ .
【分析】当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数,即2x+1≥0.
【解答】解:依题意,得2x+1≥0,
解得x≥﹣.
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.
12.如图,自行车的三角形支架,这是利用三角形具有性 稳定 .
【分析】根据三角形具有稳定性解答.
【解答】解:自行车的三角形车架,这是利用了三角形的稳定性.
故答案为:稳定性.
【点评】本题考查了三角形的稳定性,是基础题.
13.因式分解:x3﹣xy2= x(x﹣y)(x+y) .
【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
【解答】解:x3﹣xy2
=x(x2﹣y2)
=x(x﹣y)(x+y).
故答案为:x(x﹣y)(x+y).
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
14.如图.将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、CB均落在对角线BD上,得折痕BE、BF,则∠EBF的大小为 45° .
【分析】首先根据正方形的性质可得∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABC=90°,再根据折叠可得∠1=∠2=∠ABD,∠3=∠4=∠DBC,进而可得∠2+∠3=45°,即∠EBF=45°.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,
根据折叠可得∠1=∠2=∠ABD,∠3=∠4=∠DBC,
∵∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABC=90°,
∴∠2+∠3=45°,
即∠EBF=45°,
故答案为:45°.
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换,关键是找准图形翻折后,哪些角是相等的.
15.有一列具有规律的数字:,,,,…则这列数字第10个数为 .
【分析】由=, =, =, =,…找到规律即可解决问题.
【解答】解:∵ =, =, =, =,…
根据此规律第10个数为: =.
故答案为.
【点评】本题考查规律型:数字的变化类,解题的关键是掌握从一般到特殊的探究方法,找到规律,属于中考常考题型.
16.如图,腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°,则图中阴影部分的面积为 ﹣ .
【分析】由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAC=45°,∠BAB′=15°,AB′=AB=3,∠B′=∠B=90°,得出∠B′AD=30°,由三角函数求出B′D,求出△AB′D的面积,阴影部分的面积=△AB′C′的面积﹣△AB′D的面积,即可得出结果.
【解答】解:如图所示:
∵将直角边长为3cm的等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′,
∴∠BAC=45°,∠BAB′=15°,AB′=AB=3,∠B′=∠B=90°,
∴∠B′AD=45°﹣15°=30°,
∴在Rt△AB′D中,B′D=AB′•tan30°=3×=,
∴S△AB′D=AB′•B′D=×3×=,
∴阴影部分的面积=×3×3﹣=﹣;
故答案为:﹣.
【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质、三角函数.此题难度不大,注意掌握旋转前后图形的对应关系,注意掌握数形结合思想的应用.
三.解答题(一)(本大题3小题,每题6分,共18分)
17.计算:()﹣2﹣|﹣1|﹣()0+2cos60°.
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用绝对值的代数意义化简,第三项利用零指数幂法则计算,最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
【解答】解:原式=4﹣1﹣1+1=3.
【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.先化简,再求值:(x+1)2+x(x﹣2),其中x=.
【分析】先对所求的式子化简,然后再将x=代入化简后的式子求值即可解答本题.
【解答】解:(x+1)2+x(x﹣2)
=x2+2x+1+x2﹣2x
=2x2+1,
当x=时,
原式==+1=.
【点评】本题考查整式的混合运算﹣﹣化简求值,解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法,会分母有理化.
19.已知:在△ABC中,AB=AC.
(1)尺规作图:作△ABC的角平分线AD,延长AD至E点,使得DE=AD;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接BE,CE,求证:四边形ABEC是菱形.
【分析】(1)直接利用角平分线的作法得出E点位置进而得出答案;
(2)利用菱形的判定方法得出答案.
【解答】(1)解:如图所示:AD,DE为所求;
(2)证明:∵AB=AC,AD平分∠CAB,
∴CD=BD,AD⊥BC,
∵AD=DE,
∴四边形ABEC是菱形.
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及复杂作图,正确把握菱形的判定方法是解题关键.
四.解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
20.如图,一条光纤线路从A地到B地需要经过C地,图中AC=40千米,
∠CAB=30°,∠CBA=45°,因线路整改需要,将从A地到B地之间铺设一条笔直的光纤线路.
(1)求新铺设的光纤线路AB的长度;(结果保留根号)
(2)问整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了多少千米?(结果保留根号)
【分析】(1)过C作CD⊥AB,交AB于点D,利用∠CAD的正弦和余弦分别求出CD、AD,再利用∠CBA的正切求出BD,然后根据AB=AD+BD计算即可得解;
(2)利用勾股定理列式求出BC,然后列式计算即可得解.
【解答】解:(1)过C作CD⊥AB,交AB于点D,
在Rt△ACD中,CD=AC•sin∠CAD=AC•sin30°=40×=20(千米),
AD=AC•cos∠CAD=AC•cos30°=40×=20(千米),
在Rt△BCD中,BD====20(千米),
∴AB=AD+DB=20+20=20(+1)(千米),
则新铺设的光纤线路AB的长度20(+1)(千米);
(2)在Rt△BCD中,根据勾股定理得:BC===20(千米),
所以AC+CB﹣AB=40+20﹣20(+1)=20(1+﹣)(千米),
则整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了20(1+﹣)千米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用,主要利用了锐角三角函数,作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.
21.某超市用5 000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又调拨11 000元资金购进该品种苹果,但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元,购进苹果数量是试销时的2倍.
(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?
(2)如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的苹果定价为4元,超市在这两次苹果销售中的盈利不低于4 100元,那么余下的苹果最多多少千克?
【分析】(1)设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元,则实际进货价为(0.5+x)元,根据这次购进苹果数量是试销时的2倍,列方程求解;
(2)设余下的苹果为y千克,求出总购进的苹果数量,根据超市在这两次苹果销售中的盈利不低于4 100元,列不等式求解.
【解答】解:(1)设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元,则实际进货价为(0.5+x)元,
由题意得,×2=,
解得:x=5,
经检验,x=5是原分式方程的解,且符合题意,
答:试销时该品种苹果的进货价是每千克5元;
(2)由(1)得,总共购进苹果:5000÷5×3=3000(kg),
设余下的苹果为y千克,
由题意得,7+4y﹣5000﹣11000≥4 100,
解得:y≤300.
答:余下的苹果最多为300千克.
【点评】本题考查了一元一次不等式和分式方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程求解,注意检验.
22.某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A.篮球 B.乒乓球C.羽毛球 D.足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有 200 人;
(2)请你将条形统计图(2)补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
【分析】(1)由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数;
(2)由总人数减去喜欢A,B及D的人数求出喜欢C的人数,补全统计图即可;
(3)根据题意列出表格,得出所有等可能的情况数,找出满足题意的情况数,即可求出所求的概率.
【解答】解:(1)根据题意得:20÷=200(人),
则这次被调查的学生共有200人;
(2)补全图形,如图所示:
(3)列表如下:
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
(乙,甲)
(丙,甲)
(丁,甲)
乙
(甲,乙)
﹣﹣﹣
(丙,乙)
(丁,乙)
丙
(甲,丙)
(乙,丙)
﹣﹣﹣
(丁,丙)
丁
(甲,丁)
(乙,丁)
(丙,丁)
﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种,其中符合要求的只有2种,
则P==.
【点评】此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及列表法与树状图法,弄清题意是解本题的关键.
五.解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
23.如图,抛物线y=﹣x2+3x+4交x轴于A、B两点(点A在B左边),交y轴于点C.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求直线BC的函数关系式;
(3)点P在抛物线的对称轴上,连接PB,PC,若△PBC的面积为4,求点P的坐标.
【分析】(1)令y=0得﹣x2+3x+4=0解得方程的解即为A、B两点坐标;
(2)令x=0,解得抛物线y=﹣x2+3x+4与y轴交点C的坐标,设直线BC的函数关系式y=kx+b,解得k和b的值即可得出直线BC的函数关系式;
(3)求得抛物线y=﹣x2+3x+4的对称轴,设对称轴与直线BC的交点记为D,求得D点坐标,设点P的坐标,表示出PD,再根据三角形的面积公式得出点P的坐标.
【解答】解:(1)由﹣x2+3x+4=0解得x=﹣1或x=4,
所以A、B两点坐标为(﹣1,0)和(4,0);
(2)抛物线y=﹣x2+3x+4与y轴交点C坐标为(0,4),由(1)得,B(4,0),
设直线BC的函数关系式y=kx+b,
∴,
解得,
∴直线BC的函数关系式为y=﹣x+4;
(3)抛物线y=﹣x2+3x+4的对称轴为x=,
对称轴与直线BC的交点记为D,则D点坐标为(,).
∵点P在抛物线的对称轴上,
∴设点P的坐标为(,m),
∴PD=|m﹣|,
∴S△PBC=OB•PD=4.
∴×4×|m﹣|=4,
∴m=或m=.
∴点P的坐标为(,)或(,).
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题,待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质,是一道综合性的题目,难度不大,是中考的常见题型.
24.如图,AB切⊙O于点B,AD交⊙O于点C和点D,点E为的中点,连接OE交CD于点F,连接BE交CD于点G.
(1)求证:AB=AG;
(2)若DG=DE,求证:GB2=GC•GA;
(3)在(2)的条件下,若tanD=,EG=,求⊙O的半径.
【分析】(1)由AB为⊙O切线,得到OB⊥AB,根据垂径定理得到OE⊥CD,根据等腰三角形的性质得到∠OBG=∠OEG,等量代换得到∠ABG=∠BGA,即可得到结论;
(2)根据等腰三角形的性质得到∠DGE=∠DEG,根据已知条件得到∠A=∠D,等量代换得到∠GBC=∠A,推出△GBC∽△GAB,根据相似三角形的性质即可得到结论;
(3)在Rt△DEF中,tanD=,设EF=3x,则DF=4x,由勾股定理得DE=5x,根据勾股定理列方程得到x=1,设⊙O半径为r,根据勾股定理列方程即可得到结论.
【解答】(1)证明:如图,连接OB.
∵AB为⊙O切线,
∴OB⊥AB,
∴∠ABG+∠OBG=90°,
∵点E为的中点,
∴OE⊥CD,
∴∠OEG+∠FGE=90°,
又∵OB=OE,
∴∠OBG=∠OEG,
∴∠ABG=∠FGE,
∵∠BGA=∠FGE,
∴∠ABG=∠BGA,
∴AB=AG;
(2)证明:连接BC,
∵DG=DE,
∴∠DGE=∠DEG,
由(1)得∠ABG=∠BGA,
又∵∠BGA=∠DGE,
∴∠A=∠D,
∵∠GBC=∠D,
∴∠GBC=∠A,
∵∠BGC=∠AGB,
∴△GBC∽△GAB,
∴,
∴GB2=GC•GA;
(3)连接OD,在Rt△DEF中,tanD=,
∴设EF=3x,则DF=4x,由勾股定理得DE=5x,
∵DG=DE,
∴DG=5x,
∴GF=DG﹣DF=x.
在Rt△EFG中,由勾股定理得GF2+EF2=EG2,
即(3x)2+x2=()2,解得x=1,
设⊙O半径为r,在Rt△ODF中,OD=r,OF=r﹣3x=r﹣3,DF=4x=4,
由勾股定理得:OF2+FD2=OD2,即(r﹣3)2+(4)2=r2,
解得r=,
∴⊙O的半径为.
【点评】本题考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的性质,垂径定理,连接BC构造相似三角形是解决(2)的关键.
25.有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°,AB=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,∠E=45°,EF=6.将这副直角三角板按如图1所示位置摆放,点A与点F重合,点E、F、A、C在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF以每秒1个单位的速度沿边AC匀速运动,DF与AB相交于点M.
(1)如图2,连接ME,若∠EMA=67.5°,求证:△DEM≌△AEM;
(2)如图3,在三角板DEF移动的同时,点N从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动,当三角板DEF的顶点D移动到AB边上时,三角板DEF停止移动,点N也随之停止移动.连接FN,设四边形AFNB的面积为y,在三角板DEF运动过程中,y存在最小值,请求出y的最小值;
(3)在(2)的条件下,在三角板DEF运动过程中,是否存在某时刻,使E、M、N三点共线,若存在,请直接写出此时AF的长;若不存在,请直接回答.
【分析】(1)只要证明∠MED=∠MEA=22.5°,即可利用AAS证明△DEM≌△AEM.
(2)如图2中,作FG⊥CB,垂足为G.设AF=x,则CN=2x,想办法构建二次函数,利用二次函数性质解决问题.
(3)不存在.假设存在,推出矛盾即可.
【解答】(1)证明:如图2中,∵∠EMA=67.5°,∠BAE=90°
∴∠MEA=90°﹣∠EMA=90°﹣67.5°=22.5°,
∴∠MED=∠DEA﹣∠EMA=45°﹣22.5°=22.5°=∠MEA,
在△EMD和△EMA中,
,
∴△DEM≌△AEM.
(2)解:如图2中,作FG⊥CB,垂足为G.设AF=x,则CN=2x.
在Rt△ABC中,∠C=60°,AB=6,∴AC===2,
∴CF=2﹣x,
在Rt△CFG中,FG=CF•sin60°=2﹣x)•=3﹣x,
∴y=S△ABC﹣S△CFN=AC•AB﹣CN•FG,
=•2×6﹣•2x•(3﹣x)
=x2﹣3x+6
=(x﹣)2+,
∴y的最小值为.
(3)不存在.理由:
解:如图3中,作NH⊥NH于H.
当E、M、N共线时,∵NH∥AM,
∴=,
∴=,
解得t=﹣2,不合题意.
∴不存在某时刻,使E、M、N三点共线.
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、二次函数、勾股定理、平行线性质等知识,灵活运用这些知识是解题的关键,学会条件辅助线构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
2016年6月17日