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- 2021-05-10 发布
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蓬街私立中学校本作业 4
1.(2014•台州)研究几何图形,我们往往先给出这类图形的定义,再研究它的性质和判
定.
定义:六个内角相等的六边形叫等角六边形.
(1)研究性质
①如图 1,等角六边形 ABCDEF 中,三组正对边 AB 与 DE,BC 与 EF,CD 与 AF 分
别有什么位置关系?证明你的结论
②如图 2,等角六边形 ABCDEF 中,如果有 AB=DE,则其余两组正对边 BC 与 EF,CD
与 AF 相等吗?证明你的结论
③如图 3,等角六边形 ABCDEF 中,如果三条正对角线 AD,BE,CF 相交于一点 O,
那么三组正对边 AB 与 DE,BC 与 EF,CD 与 AF 分别有什么数量关系?证明你的结
论.
(2)探索判定
三组正对边分别平行的六边形,至少需要几个内角为 120°,才能保证六边形一定是等角
六边形?
2.定义:如图 1,点 M,N 把线段 AB 分割成 AM,MN 和 BN,若以 AM,MN,BN 为边的三
角形是一个直角三角形,则称点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点
(1)已知点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点,若 AM=2,MN=3 求 BN 的长;
(2)如图 2,在△ABC 中,FG 是中位线,点 D,E 是线段 BC 的勾股分割点,且
EC>DE≥BD,连接 AD,AE 分别交 FG 于点 M,N,求证:点 M,N 是线段 FG 的勾股分割
点
(3)已知点 C 是线段 AB 上的一定点,其位置如图 3 所示,请在 BC 上画一点 D,使 C,
D 是线段 AB 的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画出一种情形即可)
(4)如图 4,已知点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点,MN>AM≥BN,△AMC,△MND
和△NBM 均是等边三角形,AE 分别交 CM,DM,DN 于点 F,G,H,若 H 是 DN 的中点,
试探究 , 和 的数量关系,并说明理由
AMFS∆ BENS∆ MNHGS四边形
3.(本题 12 分)
类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”。
(1)概念理解
如图 1,在四边形 ABCD 中,添加一个条件,使得四边形 ABCD 是“等邻边四边
形”,请写出你添加的一个条件;
(2)问题探究
①小红猜想:对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形,她的猜想正确吗?请说
明理由;
②如图 2,小红画了一个 Rt△ABC,其中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,并将 Rt△ABC
沿∠B 的平分线 BB’方向平移得到△A’B’C’,连结 AA’,BC’。小红要使平移后的四
边形 ABC’A’是“等邻边四边形”,应平移多少距离(即线段 BB’的长)?
(3)应用拓展
如图 3,“等邻边四边形”ABCD 中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=90°,AC,BD 为对
角线,AC= AB。试探究 BC,CD,BD 的数量关系。2
4.如图 1,点 P 为∠MON 的平分线上一点,以 P 为顶点的角的两边分别与射线 OM,ON 交
于 A,B 两点,如果∠APB 绕点 P 旋转时始终满足 ,我们就把∠APB 叫做
∠MON 的智慧角.
(1)如图 2,已知∠MON=90°,点 P 为∠MON 的平分线上一点,以点 P 为顶点的角的两
边分别与射线 OM,ON 交于 A,B 两点,且∠APB=135°. 求证:∠APB 是∠MON 的智慧
角;
(2)如图 1,已知∠MON= (0°< <90°),OP=2,若∠APB 是∠MON 的智慧角,连
结 AB,用含 的式子分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积;
(3)如图 3,C 是函数 图象上的一个动点,过点 C 的直线 CD 分别交 轴和
轴于点 A,B 两点,且满足 BC=2CA,请求出∠AOB 的智慧角∠APB 的顶点 P 的坐标.
2OPOBOA =⋅
α α
α
)0(3 >= xxy x
y
5. (2013 浙江台州,24,13 分)如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个
三角形为“好玩三角形”
(1)请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”;
(2)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°, ,求证:△ABC 是“好玩三角形”;
(3)如图 2,已知菱形 ABCD 的边长为 a, ∠ABC=2β,点 P,Q 从点 A 同时出发,以相同的速度
分别沿折线 AB-BC 和 AD-DC 向终点 C 运动,记点 P 所经过的路程为 S
①当 β=45°时,若△APQ 是“好玩三角形”,试求 的值
②当 tanβ 的取值在什么范围内,点 P,Q 在运动过程中,有且只有一个△APQ 能成为“好玩
三角形”请直接写出 tanβ 的取值范围.
(4)本小题为选做题
依据(3)中的条件,提出一个关于“在点 P,Q 的运动过程中,tanβ 的取值范围与△APQ 是“好
玩三角形”的个数关系的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为 1).
6.过平行四边形 ABCD 顶点 B 分别作边 AD,CD 所在直线的垂线,垂足分别为 E,F,连接 EF,
则△BEF 叫做平行四边形 ABCD 的特征三角形。
如果一个平行四边形是由两个全等的直角三角形拼成,则该平行四边形叫做直角平行四边形,
如果一个平形四边形是由两个全等的等腰三角形拼成,那么这个平行四边形叫做等腰平行四
边形。
2
3tan =A
s
a
A B
C
B
A
D
C
P Q
B
A
C
备用图
D
(1) 在下面空格上填写三角形的类别,使对应的两个命题都是真命题:
①命题 1:矩形的特征三角形是____________;
命题 2:菱形的特征三角形是______________。
②写出命题 1 的逆命题,并探索其是否正确,若正确,给出证明,若不正确,举出反
例。
(2)如果平行四边形 ABCD 的特征三角形是等腰三角形,证明:四边形 ABCD 是等腰平行四
边形。
(3)如果平行四边形的特征三角形是含 30°角的等腰三角形,直接写出它的邻边长的平方
的比