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- 2021-05-10 发布
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2013中考全国100份试卷分类汇编
圆的垂径定理
1、(2013年潍坊市)如图,⊙O的直径AB=12,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP:AP=1:5,则CD的长为( ).
A. B. C. D.
答案:D.
考点:垂径定理与勾股定理.
点评:连接圆的半径,构造直角三角形,再利用勾股定理与垂径定理解决.
2、(2013年黄石)如右图,在中,,,,以点为圆心,为半径的圆与交于点,则的长为
C
A
D
B
A. B. C. D.
答案:C
解析:由勾股定理得AB=5,则sinA=,作CE⊥AD于E,则AE=DE,在Rt△AEC中,sinA=,即,所以,CE=,AE=,所以,AD=
3、(2013河南省)如图,CD是的直径,弦于点G,直线与相切与点D,则下列结论中不一定正确的是【】
(A) (B)∥
(C)AD∥BC (D)
【解析】由垂径定理可知:(A)一定正确。由题可知:,又因为,所以∥,即(B)一定正确。因为所对的弧是劣弧,根据同弧所对的圆周角相等可知(D)一定正确。
【答案】C
4、(2013•泸州)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm或cm
D.
cm或cm
考点:
垂径定理;勾股定理.
专题:
分类讨论.
分析:
先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.
解答:
解:连接AC,AO,
∵⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,
∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴OM===3cm,
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴AC===4cm;
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,
∵OC=5cm,
∴MC=5﹣3=2cm,
在Rt△AMC中,AC===2cm.
故选C.
点评:
本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
5、(2013•广安)如图,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为点C,若AB=8cm,CD=3cm,则圆O的半径为( )
A.
cm
B.
5cm
C.
4cm
D.
cm
考点:
垂径定理;勾股定理.3718684
分析:
连接AO,根据垂径定理可知AC=AB=4cm,设半径为x,则OC=x﹣3,根据勾股定理即可求得x的值.
解答:
解:连接AO,
∵半径OD与弦AB互相垂直,
∴AC=AB=4cm,
设半径为x,则OC=x﹣3,
在Rt△ACO中,AO2=AC2+OC2,
即x2=42+(x﹣3)2,
解得:x=,
故半径为cm.
故选A.
点评:
本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容,难度一般.
6、(2013•绍兴)绍兴市著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为( )
A.
4m
B.
5m
C.
6m
D.
8m
考点:
垂径定理的应用;勾股定理.3718684
分析:
连接OA,根据桥拱半径OC为5m,求出OA=5m,根据CD=8m,求出OD=3m,根据AD=求出AD,最后根据AB=2AD即可得出答案.
解答:
解:连接OA,
∵桥拱半径OC为5m,
∴OA=5m,
∵CD=8m,
∴OD=8﹣5=3m,
∴AD===4m,
∴AB=2AD=2×4=8(m);
故选;D.
点评:
此题考查了垂径定理的应用,关键是根据题意做出辅助线,用到的知识点是垂径定理、勾股定理.
7、(2013•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
垂径定理;勾股定理
分析:
根据垂径定理可得AC=BC=AB,在Rt△OBC中可求出OB.
解答:
解:∵OC⊥弦AB于点C,
∴AC=BC=AB,
在Rt△OBC中,OB==.
故选B.
点评:
本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.
8、(2013•嘉兴)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为( )
A.
2
B.
8
C.
2
D.
2
考点:
垂径定理;勾股定理;圆周角定理.
专题:
探究型.
分析:
先根据垂径定理求出AC的长,设⊙O的半径为r,则OC=r﹣2,由勾股定理即可得出r的值,故可得出AE的长,连接BE,由圆周角定理可知∠ABE=90°,在Rt△BCE中,根据勾股定理即可求出CE的长.
解答:
解:∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,AB=8,
∴AC=AB=4,
设⊙O的半径为r,则OC=r﹣2,
在Rt△AOC中,
∵AC=4,OC=r﹣2,
∴OA2=AC2+OC2,即r2=42+(r﹣2)2,解得r=5,
∴AE=2r=10,
连接BE,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ABE=90°,
在Rt△ABE中,
∵AE=10,AB=8,
∴BE===6,
在Rt△BCE中,
∵BE=6,BC=4,
∴CE===2.
故选D.
点评:
本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
9、(2013•莱芜)将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
圆锥的计算.
分析:
过O点作OC⊥AB,垂足为D,交⊙O于点C,由折叠的性质可知OD为半径的一半,而OA为半径,可求∠A=30°,同理可得∠B=30°,在△AOB中,由内角和定理求∠AOB,然后求得弧AB的长,利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径,最后利用勾股定理求得其高即可.
解答:
解:过O点作OC⊥AB,垂足为D,交⊙O于点C,
由折叠的性质可知,OD=OC=OA,
由此可得,在Rt△AOD中,∠A=30°,
同理可得∠B=30°,
在△AOB中,由内角和定理,
得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°
∴弧AB的长为=2π
设围成的圆锥的底面半径为r,
则2πr=2π
∴r=1cm
∴圆锥的高为=2
故选A.
点评:
本题考查了垂径定理,折叠的性质,特殊直角三角形的判断.关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形.
10、(2013•徐州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则⊙O的半径为( )
A.
10
B.
8
C.
5
D.
3
考点:
垂径定理;勾股定理.
专题:
探究型.
分析:
连接OC,先根据垂径定理求出PC的长,再根据勾股定理即可得出OC的长.
解答:
解:连接OC,
∵CD⊥AB,CD=8,
∴PC=CD=×8=4,
在Rt△OCP中,
∵PC=4,OP=3,
∴OC===5.
故选C.
点评:
本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC是
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
12、(2013•宜昌)如图,DC 是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,连接BC,DB,则下列结论错误的是( )
A.
B.
AF=BF
C.
OF=CF
D.
∠DBC=90°
考点:
垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.
分析:
根据垂径定理可判断A、B,根据圆周角定理可判断D,继而可得出答案.
解答:
解:∵DC是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,
∴点D是优弧AB的中点,点C是劣弧AB的中点,
A、=,正确,故本选项错误;
B、AF=BF,正确,故本选项错误;
C、OF=CF,不能得出,错误,故本选项错误;
D、∠DBC=90°,正确,故本选项错误;
故选C.
点评:
本题考查了垂径定理及圆周角定理,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容,难度一般.
13、(2013•毕节地区)如图在⊙O中,弦AB=8,OC⊥AB,垂足为C,且OC=3,则⊙O的半径( )
A.
5
B.
10
C.
8
D.
6
考点:
垂径定理;勾股定理.
专题:
探究型.
分析:
连接OB,先根据垂径定理求出BC的长,在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度.
解答:
解:连接OB,
∵OC⊥AB,AB=8,
∴BC=AB=×8=4,
在Rt△OBC中,OB===.
故选A.
点评:
本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
14、(2013•南宁)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,则⊙O的半径为( )
A.
4
B.
5
C.
4
D.
3
考点:
垂径定理;勾股定理;圆周角定理.3718684
专题:
探究型.
分析:
先根据∠BAC=∠BOD可得出=,故可得出AB⊥CD,由垂径定理即可求出DE的长,再根据勾股定理即可得出结论.
解答:
解:∵∠BAC=∠BOD,
∴=,
∴AB⊥CD,
∵AE=CD=8,
∴DE=CD=4,
设OD=r,则OE=AE﹣r=8﹣r,
在RtODE中,OD=r,DE=4,OE=8﹣r,
∵OD2=DE2+OE2,即r2=42+(8﹣r)2,解得r=5.
故选B.
点评:
本题考查的是垂径定理及圆周角定理,熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.
15、(2013年佛山)半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是( )
A.3 B.4 C. D.
分析:过点O作OD⊥AB于点D,由垂径定理可求出BD的长,在Rt△BOD中,利用勾股定理即可得出OD的长.
解:如图所示:
过点O作OD⊥AB于点D,
∵OB=3,AB=3,OD⊥AB,
∴BD=AB=×4=2,
在Rt△BOD中,OD===.
故选C.
点评:本题考查的是垂径定理,根据题意画出图形,利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键
16、(2013甘肃兰州4分、12)如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8cm,水面最深地方的高度为2cm,则该输水管的半径为( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
考点:垂径定理的应用;勾股定理.
分析:过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,由垂径定理可知AD=AB,设OA=r,则OD=r﹣2,在Rt△AOD中,利用勾股定理即可求r的值.
解答:解:如图所示:过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,
∵OD⊥AB,
∴AD=AB=×8=4cm,
设OA=r,则OD=r﹣2,
在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,即r2=(r﹣2)2+42,
解得r=5cm.
故选C.
点评:本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
17、(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为 24 .
考点:
一次函数综合题.
分析:
根据直线y=kx﹣3k+4必过点D(3,4),求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,再求出OD的长,再根据以原点O为圆心的圆过点A(13,0),求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.
解答:
解:∵直线y=kx﹣3k+4必过点D(3,4),
∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,
∵点D的坐标是(3,4),
∴OD=5,
∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0),
∴圆的半径为13,
∴OB=13,
∴BD=12,
∴BC的长的最小值为24;
故答案为:24.
点评:
此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.
18、(13年安徽省4分、10)如图,点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点,在以下判断中,不正确的是( )
A、当弦PB最长时,ΔAPC是等腰三角形。
B、当ΔAPC是等腰三角形时,PO⊥AC。
C、当PO⊥AC时,∠ACP=300.
D、当∠ACP=300,ΔPBC是直角三角形。
19、(2013•宁波)如图,AE是半圆O的直径,弦AB=BC=4,弦CD=DE=4,连结OB,OD,则图中两个阴影部分的面积和为 10π .
考点:
扇形面积的计算;勾股定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系.
专题:
综合题.
分析:
根据弦AB=BC,弦CD=DE,可得∠BOD=90°,∠BOD=90°,过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,在四边形OFCG中可得∠FCD=135°,过点C作CN∥OF,交OG于点N,判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形,分别求出NG、ON,继而得出OG,在Rt△OGD中求出OD,即得圆O的半径,代入扇形面积公式求解即可.
解答:
解:
∵弦AB=BC,弦CD=DE,
∴点B是弧AC的中点,点D是弧CE的中点,
∴∠BOD=90°,
过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,
则BF=FG=2,CG=GD=2,∠FOG=45°,
在四边形OFCG中,∠FCD=135°,
过点C作CN∥OF,交OG于点N,
则∠FCN=90°,∠NCG=135°﹣90°=45°,
∴△CNG为等腰三角形,
∴CG=NG=2,
过点N作NM⊥OF于点M,则MN=FC=2,
在等腰三角形MNO中,NO=MN=4,
∴OG=ON+NG=6,
在Rt△OGD中,OD===2,
即圆O的半径为2,
故S阴影=S扇形OBD==10π.
故答案为:10π.
点评:
本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系,综合考察的知识点较多,解答本题的关键是求出圆0的半径,此题难度较大.
20、(2013•宁夏)如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 2 cm.
考点:
垂径定理;勾股定理.3718684
分析:
通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD的长求出,通过垂径定理可求出AB的长.
解答:
解:过点O作OD⊥AB交AB于点D,
∵OA=2OD=2cm,
∴AD===cm,
∵OD⊥AB,
∴AB=2AD=cm.
点评:
本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用.
21、(2013•包头)如图,点A、B、C、D在⊙O上,OB⊥AC,若∠BOC=56°,则∠ADB= 28 度.
考点:
圆周角定理;垂径定理.3718684
分析:
根据垂径定理可得点B是中点,由圆周角定理可得∠ADB=∠BOC,继而得出答案.
解答:
解:∵OB⊥AC,
∴=,
∴∠ADB=∠BOC=28°.
故答案为:28.
点评:
此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
22、(2013•株洲)如图AB是⊙O的直径,∠BAC=42°,点D是弦AC的中点,则∠DOC的度数是 48 度.
考点:
垂径定理.
分析:
根据点D是弦AC的中点,得到OD⊥AC,然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案.
解答:
解:∵AB是⊙O的直径,
∴OA=OC
∵∠A=42°
∴∠ACO=∠A=42°
∵D为AC的中点,
∴OD⊥AC,
∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°.
故答案为:48.
点评:
本题考查了垂径定理的知识,解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线.
23、(2013•黄冈)如图,M是CD的中点,EM⊥CD,若CD=4,EM=8,则所在圆的半径为 .
考点:
垂径定理;勾股定理.3481324
专题:
探究型.
分析:
首先连接OC,由M是CD的中点,EM⊥CD,可得EM过⊙O的圆心点O,然后设半径为x,由勾股定理即可求得:(8﹣x)2+22=x2,解此方程即可求得答案.
解答:
解:连接OC,
∵M是CD的中点,EM⊥CD,
∴EM过⊙O的圆心点O,
设半径为x,
∵CD=4,EM=8,
∴CM=CD=2,OM=8﹣OE=8﹣x,
在Rt△OEM中,OM2+CM2=OC2,
即(8﹣x)2+22=x2,
解得:x=.
∴所在圆的半径为:.
故答案为:.
点评:
此题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
24、(2013•绥化)如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为 2 .
考点:
垂径定理;勾股定理.
专题:
计算题.
分析:
连接OA,由AB垂直平分OC,求出OD的长,再利用垂径定理得到D为AB的中点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD的长,即可确定出AB的长.
解答:
解:连接OA,由AB垂直平分OC,得到OD=OC=1,
∵OC⊥AB,
∴D为AB的中点,
则AB=2AD=2=2=2.
故答案为:2.
点评:
此题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
25、(2013哈尔滨)如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥
AB,若⊙O 的半径为,CD=4,则弦AC的长为 .
考点:垂径定理;勾股定理。切线的性质。
分析::本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键。
解答:连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2,由于CD∥AB得EOA三点共线,连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,从而AE=4,再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=
26、(2013•张家界)如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD= 80° .
考点:
圆周角定理;垂径定理.3718684
分析:
根据垂径定理可得点B是中点,由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC,继而得出答案.
解答:
解:∵,⊙O的直径AB与弦CD垂直,
∴=,
∴∠BOD=2∠BAC=80°.
故答案为:80°.
点评:
此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
27、(2013•遵义)如图,OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,点P在⊙O上,∠APC=26°,则∠BOC= 52° 度.
考点:
圆周角定理;垂径定理.3718684
分析:
由OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,根据垂径定理的即可求得:=,又由圆周角定理,即可求得答案.
解答:
解:∵OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,
∴=,
∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°.
故答案为:52°.
点评:
此题考查了垂径定理与圆周角定理.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.
28
C
A
B
C
G
H
E
F
第16题图
、(2013陕西)如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,
且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,
直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为7,
则GE+FH的最大值为 .
考点:此题一般考查的是与圆有关的计算,考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系,及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。
解析:本题考查圆心角与圆周角的关系应用,中位线及最值问题。连接OA,OB,
因为∠ACB=30°,所以∠AOB=60°,所以OA=OB=AB=7,因为E、F中AC、BC的中点,
所以EF==3.5,因为GE+FH=GH-EF,要使GE+FH最大,而EF为定值,所以GH取最大值时GE+FH有最大值,所以当GH为直径时,GE+FH的最大值为14-3.5=10.5
29、(2013年广州市)如图7,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,与轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),的半径为,则点P的坐标为 ____________.
分析:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,先由垂径定理求出OD的长,再根据勾股定理求出PD的长,故可得出答案.
解:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,
∵A(6,0),PD⊥OA,
∴OD=OA=3,
在Rt△OPD中,
∵OP=,OD=3,
∴PD===2,
∴P(3,2).
故答案为:(3,2).
点评:本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键
30、(2013年深圳市)如图5所示,该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米,测得其影长为2.4米,同时测得EG的长为3米,HF的长为1米,测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离,即MN的长)为2米,求小桥所在圆的半径。
解析:
(2013•白银)如图,在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为点E.
(1)若OC=5,AB=8,求tan∠BAC;
(2)若∠DAC=∠BAC,且点D在⊙O的外部,判断直线AD与⊙O的位置关系,并加以证明.
考点:
切线的判定;勾股定理;垂径定理.
专题:
计算题.
分析:
(1)根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB,AE=AB=4,再根据勾股定理计算出OE=3,则EC=2,然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值;
(2)根据垂径定理得到AC弧=BC弧,再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC,由于∠DAC=∠BAC,所以∠AOC=∠BAD,利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°,然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线.
解答:
解:(1)∵半径OC垂直于弦AB,
∴AE=BE=AB=4,
在Rt△OAE中,OA=5,AE=4,
∴OE==3,
∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2,
在Rt△AEC中,AE=4,EC=2,
∴tan∠BAC===;
(2)AD与⊙O相切.理由如下:
∵半径OC垂直于弦AB,
∵AC弧=BC弧,
∴∠AOC=2∠BAC,
∵∠DAC=∠BAC,
∴∠AOC=∠BAD,
∵∠AOC+∠OAE=90°,
∴∠BAD+∠OAE=90°,
∴OA⊥AD,
∴AD为⊙O的切线.
点评:
本题考查了切线的判定定理:过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理.
31、(2013•黔西南州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,
(1)求证:CB∥PD;
(2)若BC=3,sin∠P=,求⊙O的直径.
考点:
圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;锐角三角函数的定义.
专题:
几何综合题.
分析:
(1)要证明CB∥PD,可以求得∠1=∠P,根据=
可以确定∠C=∠P,又知∠1=∠C,即可得∠1=∠P;
(2)根据题意可知∠P=∠CAB,则sin∠CAB=,即=,所以可以求得圆的直径.
解答:
(1)证明:∵∠C=∠P
又∵∠1=∠C
∴∠1=∠P
∴CB∥PD;
(2)解:连接AC
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
又∵CD⊥AB,
∴=,
∴∠P=∠CAB,
∴sin∠CAB=,
即=,
又知,BC=3,
∴AB=5,
∴直径为5.
点评:
本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质,解题时细心是解答好本题的关键.
32、(2013•恩施州)如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CD⊥AB于点D,CD交AE于点F,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.
(1)求证:CG是⊙O的切线.
(2)求证:AF=CF.
(3)若∠EAB=30°,CF=2,求GA的长.
考点:
切线的判定;等腰三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.3718684
专题:
证明题.
分析:
(1)连结OC,由C是劣弧AE的中点,根据垂径定理得OC⊥AE,而CG∥AE,所以CG⊥OC,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)连结AC、BC,根据圆周角定理得∠ACB=90°,∠B=∠1,而CD⊥AB,则∠CDB=90°,根据等角的余角相等得到∠B=∠2,所以∠1=∠2,于是得到AF=CF;
(3)在Rt△ADF中,由于∠DAF=30°,FA=FC=2,根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1,AD=,再由AF∥CG,根据平行线分线段成比例得到DA:AG=DF:CF
然后把DF=1,AD=,CF=2代入计算即可.
解答:
(1)证明:连结OC,如图,
∵C是劣弧AE的中点,
∴OC⊥AE,
∵CG∥AE,
∴CG⊥OC,
∴CG是⊙O的切线;
(2)证明:连结AC、BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠2+∠BCD=90°,
而CD⊥AB,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴∠B=∠2,
∵AC弧=CE弧,
∴∠1=∠B,
∴∠1=∠2,
∴AF=CF;
(3)解:在Rt△ADF中,∠DAF=30°,FA=FC=2,
∴DF=AF=1,
∴AD=DF=,
∵AF∥CG,
∴DA:AG=DF:CF,即:AG=1:2,
∴AG=2.
点评:
本题考查了圆的切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定.
33、(2013•资阳)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.
(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA的度数.
考点:
垂径定理;含30度角的直角三角形;圆周角定理;翻折变换(折叠问题).
分析:
(1)过点O作OE⊥AC于E,根据垂径定理可得AE=AC,再根据翻折的性质可得OE=r,然后在Rt△AOE中,利用勾股定理列式计算即可得解;
(2)连接BC,根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB,根据直角三角形两锐角互余求出∠B,再根据翻折的性质得到所对的圆周角,然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角,计算即可得解.
解答:
解:(1)如图,过点O作OE⊥AC于E,
则AE=AC=×2=1,
∵翻折后点D与圆心O重合,
∴OE=r,
在Rt△AOE中,AO2=AE2+OE2,
即r2=12+(r)2,
解得r=;
(2)连接BC,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°,
根据翻折的性质,所对的圆周角等于所对的圆周角,
∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°.
点评:
本题考查了垂径定理,勾股定理的应用,翻折的变换的性质,以及圆周角定理,(1)作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键,(2)根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键.