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- 2021-05-11 发布
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中考数学专题
共圆在中考解题中的应用
一、知识储备
1、 圆可以看作是到定点距离等于定长的所有点的集合。
2、 的圆周角所对的弦是直径。
3、 四边形对解互补时,这四个顶点在同一个圆上。(人教九上数学P119 探究四点共圆的条件)
二、 热身训练
1、如图,矩形ABCD,求证:它的的四个顶点在同一个圆上
2、如图,RtΔABC与RtΔADC共斜边,问D点是否在RtΔABC的外接圆上?你找到了A、B、C、D四点共圆的方法吗
三、自主探究
例1、如图,,矩形ABCD中,延长CB到E。使CE=CA。 F为AE中点,求证BF ⊥ FD
分析;突破已知条件和从结论反推,猜想,是解几何问题的重要手段,此题证法较多.
方法1、利用证明来解决问题
本题方法2、抓住ΔACE是等腰三角形,F是底边AE的中点,故考虑连接CF,则CF⊥AE,ΔACF与ΔACD是共斜边的两个直角三角形,则A、D、C、F共圆,即F在的ΔACD外接圆上,又B也在的ΔACD外接圆上,则D、C、B、F四点共圆,在利用圆内接四边形定理即可解决;
方法3、利用矩形的对角线的性质和三角形的中位线得OB=OC=OD=OF证明B、C、D、F四点共圆,也可以很快找到思路
例2、在,
P是内一动点,且,则CP的最小值是多少?
三、练习提升
1.四边形ABCD中,∠ADB=∠ACB=90°,试判断∠ACD与∠ABD的数量关系
2.如图,已知矩形ABCD中,AC、BD相交于O,E是CB延长线上一点,CF⊥AE,垂足为F,
求证:DF⊥BF
3.如图,为正方形边上任一点,于点,在的延长线上取点,使,连接,.(1)求证:;(2)的平分线交于点,连接,求证:∠AND=45°;(提示:证明A、D、C、N四点共圆,原命题是求证ND+NB=NA)