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  • 2021-05-11 发布

中考数学试题分类大全等腰三角形

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一、选择题 1.(2010 浙江宁波) 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE 分别是△ABC、△BCD 的角平分线, 则图中的等腰三角形有 (A)5 个 (B)4 个 (C)3 个 (D)2 个 E D CB A (第 10 题) 【案】A 2.(2010 浙江义乌)如图,直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线,P 为直线 CD 上的一点,已知线段 PA=5,则线段 PB 的长度为( ▲ ) A B C D P A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】B 3.(2010 江苏无锡)下列性质中,等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是 ( ) A.两边之和大于第三边 B.有一个角的平分线垂直于这个角的对边 C.有两个锐角的和等于 90° D.内角和等于 180° 【答案】B 4.(2010 黄冈)如图,过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P,作 PE⊥AC 于 E,Q 为 BC 延长线上一点, 当 PA=CQ 时,连 PQ 交 AC 边于 D,则 DE 的长为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D.不能确定 第 15 题图 【答案】B. 5.(2010 山东烟台)如图,等腰△ ABC 中,AB=AC,∠A=20°。线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D,交 AC 于 E,连接 BE,则∠CBE 等于 A、80° B、 70° C、60° D、50° 【答案】C 6.(2010 江西)已知等腰三角形的两条边长分别是 7 和 3,则下列四个数中,第三条边的长是( ) A.8 B.7 C. 4 D.3 【答案】B 7.(2010 湖北武汉)如图,△ABC 内有一点 D,且 DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC 的 大小是( ) A.100° B.80° C.70° D.50° 【答案】A 8.(2010 山东威海)如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AC,AB 的中点, 连接 BD.若 BD 平分∠ABC,则下列结论错误的是 A D B E A.BC=2BE B.∠A=∠EDA C.BC=2AD D.BD⊥AC C 【答案】C 9.(2010 湖南株洲)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知 A 、 B 是两格点,如果C 也是图 中的格点,且使得 ABC 为等腰三角形.....,则点C 的个数是 B A 第 8 题图 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 10.(2010 云南楚雄)已知等腰三角形的一个内角为 70°,则另外两个内角的度数是( ) A.55°,55° B.70°,40° C.55°,55°或 70°,40° D.以上都不对 【答案】C 11.(2010 湖北随州)如图,过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P,作 PE⊥AC 于 E,Q 为 BC 延长线上 一点,当 PA=CQ 时,连 PQ 交 AC 边于 D,则 DE 的长为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D.不能确定 第 15 题图 【答案】B 12.(2010 湖北襄樊)已知:一等腰三角形的两边长 x、y 满足方程组 2 - 3, 3 2 8, x y x y     则此等腰三角形的周长为( ) A.5 B.4 C.3 D.5 或 4 【答案】A 13.(2010 山东东营)如图,点 C 是线段 AB 上的一个动点,△ACD 和△BCE 是在 AB 同侧的两个等边三角形, DM,EN 分别是△ACD 和△BCE 的高,点 C 在线段 AB 上沿着从点 A 向点 B 的方向移动(不与点 A,B 重合),连 接 DE,得到四边形 DMNE.这个四边形的面积变化情况为( ) (A)逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小 【答案】C 14.(2010 广东汕头)如图,把等腰直角△ABC 沿 BD 折叠,使点 A 落在边 BC 上的点 E 处.下面结论错误的是( ) A.AB=BE B.AD=DC C.AD=DE D.AD=EC 【答案】B 15.(2010 重庆江津)已知:△ABC中,AB=AC= x ,BC=6,则腰长 x 的 取值范围是( ) A. 0 3x  B. 3x  C.3 6x  D. 6x  【答案】B 16.(2010 重庆江津)如图,在Rt△ABC 中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ ADC 绕 点 A 顺时针旋转90 后,得到△ AFB ,连接 EF .下列结论中正确的个数有( ) ① 45EAF   ②△ ABE ∽△ ACD ③ EA 平分 CEF ④ 2 2 2BE DC DE  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 17.(2010 广东茂名)如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地 ABC,已知点 E、F 分别是边 AB、AC 的中点, 量得 EF=5 米,他想把四边形 BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡,则需用篱笆的长是 (第 5 题图) A、15 米 B、20 米 C、25 米 D、30 米 【答案】C 18.(2010 广东深圳)如图 1,△ABC 中,AC=AD=BD,∠DAC=80°。则∠B 的度数是 A.40° B.35° C.25° D.20° 【答案】C 19.(2010 贵州铜仁)如图,小红作出了边长为 1 的第 1 个正△A1B1C1,算出了正△A1B1C1 的面积,然后分 别取△A1B1C1 三边的中点 A2,B2,C2,作出了第 2 个正△A2B2C2,算出了正△A2B2C2 的面积,用同样的方法, 作出了第 3 个正△A3B3C3,算出了正△A3B3C3 的面积……,由此可得,第 8 个正△A8B8C8 的面积是( ) A. 73 1( )4 2  B. 83 1( )4 2  C. 73 1( )4 4  D. 83 1( )4 4  【答案】C 20.(2010 四川广安)等腰三角形的两边长为 4、9,则它的周长是 A.17 B.17 或 22 C.20 D.22 【答案】D 21.(2010 黑龙江绥化)如图所示,已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形,点 B、C、E 在同一条直线上,AE 与 BD 交于点 O,AE 与 CD 交于点 G,AC 与 BD 交于点 F,连结 OC、FG,则下列结论:①AE=BD ②AG =BF ③FG∥BE ④∠BOC=∠EOC,其中正确结论的个数( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】D 22.(2010 广东清远)等腰三角形的底角为 40°,则这个等腰三角形的顶角为( ) A.40° B.80° C.100° D.100°或 40° 【答案】C 二、填空题 1.如图,AD 是△ABC 的边 BC 上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是 __________________。(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①∠BAD=∠ACD ②∠BAD=∠CAD, ③AB+BD=AC+CD ④AB-BD=AC-CD 【答案】﹝2﹞﹝3﹞﹝4﹞ 2.(2010 广东广州,16,3 分)如图 4,BD 是△ABC 的角平分线,∠ABD=36°,∠C=72°,则图中的等腰三角 形有_____个. …… A B C D 【答案】3 3.(2010 江苏无锡)如图,△ABC 中,DE 垂直平分 AC 交 AB 于 E,∠A=30°, ∠ACB=80°,则∠BCE= ▲ °. (第 16 题) 【答案】50° 4.(2010 江苏泰州)等腰△ABC 的两边长分别为 2 和 5,则第三边长为 . 【答案】5 5.(2010 四川眉山)如图,将第一个图(图①)所示的正三角形连结各边中点进行分割,得到第二个图(图②); 再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,得到第三个图(图③);再将第三个图中最中 间的小正三角形按同样的方式进行分割,……,则得到的第五个图中,共有________个正三角形. 【答案】17 6.(2010 浙江绍兴)做如下操作:在等腰三角形 ABC 中,AB= AC,AD 平分∠BAC, 交 BC 于点 D.将△ABD 作关于直线 AD 的轴对称变换,所得的 像与△ACD 重合. 对于下列结论:①在同一个三角形中,等角对等边;②在同一个三角形中,等边对等角;③等腰三角形的顶角平 分线、底边上的中线 和高互相重合. 由上述操作可得出的是 (将正确结论的序号都填上). 【答案】②③ 7.(2010 江苏淮安)已知周长为 8 的等腰三角形,有一个腰长为 3,则最短的一条串位线长为 . 【答案】1.5 8.(2010 山东滨州)如图,等边△ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,M 是 AD 上的动点,E 是 AC 边上一点. 若 AE=2,EM+CM 的最小值为 . 【答案】 2 7 9.(2010 四川内江)下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点,图 1 中以格点为顶点的等腰直角三角形有 4 个, 图 2 中以格点为顶点的等腰直角三角形有 个,图 3 中以格点为顶点的等腰直角三角形有 个,图 4 中以格点为顶点的等腰直角三角形有 个. 图 2图 1 图 4图 3 【答案】10,28,50 10.(2010 湖南湘潭)△ABC 中,若∠A=80o, ∠B=50o,AC=5,则 AB= . 【答案】5 11.(2010 广西桂林)如图:已知 AB=10,点 C、D 在线段 AB 上且 AC=DB=2; P 是线段 CD 上的动点,分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB,连结 EF,设 EF 的中点为 G;当点 P 从点 C 运 动到点 D 时,则点 G 移动路径的长是________. A BC DP E F G 【答案】3 12.(2010 广西钦州市)如图,△ABC 是一个边长为 2 的等边三角形,AD0⊥BC,垂足为点 D0.过点 D0 作 D0D1 ⊥AB,垂足为点 D1;再过点 D1 作 D1D2⊥AD0,垂足为点 D2;又过点 D2 作 D2D3⊥AB,垂足为点 D3;……; 这样一直作下去,得到一组线段:D0D1,D1D2,D2D3,……,则线段 Dn-1Dn 的长为_ ▲ _(n 为正整数). 第 15 题图 BA 第 10 题 D1D5 D2 D3 D4 D0 C 全品中考网 【答案】 3( )2 n 13.(2010 年山西)如图,在△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,D 是 AB 的中点,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,则 DE 的长是 。 【答案】 60 13 14.(2010 天门、潜江、仙桃)从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发,能将其剪成两个等腰三角形纸片,则原 等腰三角形纸片的底角等于 . 【答案】72°,( 7 540 )° 15.(2010四川攀枝花)如图8,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90 0 , 直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F.给出以下四个结论: ①BE=AF,②S△EPF的最小值为 2 1 ,③tan∠PEF= 3 3 ,④S四边形AEPF=1.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E 不与A,B重合),上述结论始终正确是 .(将正确的命题序号全部写上) C A 图 8 P E F B 【答案】①②④ 16.(2010 湖北黄石) 如图,等腰三角形 ABC 中,已知 AB=AC,∠A=30°,AB 的垂直平分线交 AC 于 D,则 ∠CBD 的度数为 . 【答案】 三、解答题 1.(2010 辽宁丹东市)如图, 已知等边三角形 ABC 中,点 D,E,F 分别为边 AB,AC,BC 的中点,M 为直线 BC 上一动点,△DMN 为等边三角形(点 M 的位置改变时, △DMN 也随之整体移动) . (1)如图①,当点 M 在点 B 左侧时,请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系?点 F 是否在直线 NE 上?都请直... 接.写出结论,不必证明或说明理由; (2)如图②,当点 M 在 BC 上时,其它条件不变,(1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?若成立, 请利用图②证明;若不成立,请说明理由; (3)若点 M 在点 C 右侧时,请你在图③中画出相应的图形,并判断(1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否 仍然成立?若成立?请直接写出结论,不必证明或说明理由. 图① 图② 图③ 第 25 题图 A · B C D E F · · · 【答案】(1)判断:EN 与 MF 相等 (或 EN=MF),点 F 在直线 NE 上, ···················· 3 分 (说明:答对一个给 2 分) (2)成立.·······························································································4 分 证明: 法一:连结 DE,DF. ··················································································· 5 分 ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=AC=BC. 又∵D,E,F 是三边的中点, ∴DE,DF,EF 为三角形的中位线.∴DE=DF=EF,∠FDE=60°. 又∠MDF+∠FDN=60°, ∠NDE+∠FDN=60°, ∴∠MDF=∠NDE. ····················································································· 7 分 在△DMF 和△DNE 中,DF=DE,DM=DN, ∠MDF=∠NDE, ∴△DMF≌△DNE. ····················································································8 分 ∴MF=NE. ···················································································9 分 法二: 延长 EN,则 EN 过点 F. ········································································· 5 分 ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=AC=BC. 又∵D,E,F 是三边的中点, ∴EF=DF=BF. ∵∠BDM+∠MDF=60°, ∠FDN+∠MDF=60°, ∴∠BDM=∠FDN.·························································································7 分 又∵DM=DN, ∠ABM=∠DFN=60°, ∴△DBM≌△DFN.······················································································· 8 分 ∴BM=FN. ∵BF=EF, ∴MF=EN.·················································································9 分 法三: 连结 DF,NF. ···························································································5 分 ∵△ABC 是等边三角形, ∴AC=BC=AC. 又∵D,E,F 是三边的中点, ∴DF 为三角形的中位线,∴DF= 2 1 AC= 2 1 AB=DB. 又∠BDM+∠MDF=60°, ∠NDF+∠MDF=60°, ∴∠BDM=∠FDN. ····················································································· 7 分 在△DBM 和△DFN 中,DF=DB, DM=DN, ∠BDM=∠NDF,∴△DBM≌△DFN. ∴∠B=∠DFN=60°.····················································································8 分 又∵△DEF 是△ABC 各边中点所构成的三角形, ∴∠DFE=60°. ∴可得点 N 在 EF 上, ∴MF=EN. ·················································································· 9 分 (3)画出图形(连出线段 NE), ·································································· 11 分 MF 与 EN 相等的结论仍然成立(或 MF=NE 成立). ············································12 分 2.(2010 福建晋江)(13 分)如图,在等边 ABC 中,线段 AM 为 BC 边上的中线. 动点 D 在直线..AM 上时, 以CD 为一边且在CD 的下方作等边 CDE ,连结 BE . (1) 填空: ______ACB  度; (2) 当点 D 在线段..AM 上(点 D 不运动到点 A )时,试求出 BE AD 的值; (3)若 8AB ,以点C 为圆心,以 5 为半径作⊙C 与直线 BE 相交于点 P 、Q 两点,在点 D 运动的过程中(点 D 与点 A 重合除外),试求 PQ 的长. 【答案】26.(本小题 13 分) (1)60;…………………………………………(3 分) (2)∵ ABC 与 DEC 都是等边三角形 ∴ BCAC  , CECD  ,  60DCEACB ∴ BCEDCBDCBACD  ∴ BCEACD  ……………………………(5 分) ∴ ACD ≌ BCE  SAS N C A B FM D E N C A B FM D E E B M A C D A B C 备用图(1) A B C 备用图(2) ∴ BEAD  ,∴ 1 BE AD .………………………(7 分) (3)①当点 D 在线段 AM 上(不与点 A 重合)时,由(2)可知 ACD ≌ BCE ,则  30CADCBE ,作 BECH  于点 H ,则 HQPQ 2 ,连结CQ ,则 5CQ . 在 CBHRt 中,  30CBH , 8 ABBC ,则 42 1830sin  BCCH . 在 CHQRt 中,由勾股定理得: 345 2222  CHCQHQ ,则 62  HQPQ .……………………… (9 分) ②当点 D 在线段 AM 的延长线上时,∵ ABC 与 DEC 都 是等边三角形 ∴ BCAC  , CECD  ,  60DCEACB ∴ DCEDCBDCBACB  ∴ BCEACD  ∴ ACD ≌ BCE  SAS ∴  30CADCBE , 同 理 可 得 : 6PQ .…………………………(11 分) ③当点 D 在线段 MA 的延长线上时, ∵ ABC 与 DEC 都是等边三角形 ∴ BCAC  , CECD  ,  60DCEACB ∴  60ACEBCEACEACD ∴ BCEACD  ∴ ACD ≌ BCE  SAS ∴ CADCBE  ∵  30CAM ∴  150CADCBE ∴  30CBQ . 同理可得: 6PQ . 综上, PQ 的长是 6. ………………………(13 分) 3.(2010 山东济南)(1)如图,已知 AB AC AD AE , .求证 BD CE . A CEDB 【答案】证明:∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AEC ∴180O -∠ADE=180O -∠AEC 即∠ADB=∠AEC 在△ABD 和△ACE 中 ∵AB=AC ∠B=∠C ∠ADB=∠AEC ∴△ABD≌△ACE ∴BD=CE 4.(2010 湖南衡阳)已知:如图,在等边三角形 ABC 的 AC 边上取中点 D,BC 的延长线上取一点 E,使 CE = CD.求证:BD = DE. 、【答案】∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵D 为 AC 中点,∴∠DBC=30°,∵CE = CD, ∴∠E=30°,∴∠DBC=∠E,∴BD = DE. 5.(2010 山东省德州)如图,点 E,F 在 BC 上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF 与 DE 交于点 O. (1)求证:AB=DC; (2)试判断△OEF 的形状,并说明理由. A D B E F C O 第 18 题图 P Q E B M A D C P Q E B M A D C 【答案】证明:(1) ∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF, 即 BF=CE. 又∵∠A=∠D,∠B=∠C, ∴△ABF≌△DCE(AAS), ∴AB=DC. (2)△OEF 为等腰三角形 理由如下:∵△ABF≌△DCE, ∴∠AFB=∠DEC. ∴OE=OF. ∴△OEF 为等腰三角形. 6.(2010 江苏常州)如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AC、AB 上,BD=CE, ∠DBC=∠ECB。 求证:AB=AC。 【答案】 7.(2010 四川内江)如图,△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE 交 DC 于 F,BD 分别交 CE,AE 于点 G、H. 试猜测线段 AE 和 BD 的位置和数量关系,并说明理由. F G H 【答案】解:猜测 AE=BD,AE⊥BD.···································································2 分 理由如下: ∵∠ACD=∠BCE=90°, ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB.·········································3 分 ∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形, ∴AC=CD,CE=CB.······················································································· 4 分 ∴△ACE≌△DCB(S.A.S.)················································································5 分 ∴AE=BD,····································································································6 分 ∠CAE=∠CDB,.······························································································ 7 分 ∵∠AFC=∠DFH, ∴∠DHF=∠ACD=90°,················································································ 8 分 ∴AE⊥BD.··································································································· 9 分 8.(2010 福建三明)如图, BCDACB  和 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D 为 AB 边上一点。 全品中考网 (1)求证:△ACE≌△BCD;(5 分) (2)若 AD=5,BD=12,求 DE 的长。(5 分) 【答案】(1)证明: ECDACB  和 都是等腰直角三角形 ∴AC=BC,EC=DC …………2 分   90 , ECDACB DCAACBBCDDCADCEACE A D B E F C O BCDACE  …………3 分 在 BCDACE  和 中,AC=BC EC=DC BCDACE  ACE ≌ BCD …………3 分 (2)解:由(1)可得 AE=BD,  45DBCEAC 又  45BAC  90BACEACEAD ,即 EAD 是直角三角形…………8 分 1322  ADAEDE …………10 分 9.(2010 湖北襄樊) 如图 5,点 E、C 在 BF 上,BF=FC,∠ABC=∠DEF=45°,∠A=∠D=90°. (1)求证:AB=DE; (2)若 AC 交 DE 于 M,且 AB= 3 ,ME= 2 ,将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转,使点 E 旋转到 AB 上的 G 处,求旋转角∠ECG 的度数. M A B C D F E G 图 5 【答案】(1)∵BE=FC,∴BC=EF. 又∵∠ABC=∠DEF,∠A=∠D, ∴△ABC≌△DEF. ∴AB=DE. (2)∵∠DEF=∠B=45°,∴DE//AB.∴∠CME=∠A=90°. ∴AC=AB= 3 ,MC=ME= 2 . ∴CG=CE=2. 在 Rt△CAG 中,cos∠ACG= 3 2 AC CG  ,∴∠ACG=30°. ∴∠ECG=∠ACB-∠ACG=45°-30°=15°. 10.(2010 内蒙古包头)如图,已知 ABC△ 中, 10AB AC  厘米, 8BC  厘米,点 D 为 AB 的中点. (1)如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点 运动. ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后, BPD△ 与 CQP△ 是否全等,请说明理由; ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使 BPD△ 与 CQP△ 全 等? (2)若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发,点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发,都逆时针沿 ABC△ 三 边运动,求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC△ 的哪条边上相遇? 【答案】解:(1)①∵ 1t  秒, ∴ 3 1 3BP CQ    厘米, ∵ 10AB  厘米,点 D 为 AB 的中点, ∴ 5BD  厘米. 又∵ 8PC BC BP BC  , 厘米, ∴ 8 3 5PC    厘米, ∴ PC BD . 又∵ AB AC , ∴ B C   , ∴ BPD CQP△ ≌△ .·············································································· (4 分) ②∵ P Qv v , ∴ BP CQ , 又∵ BPD CQP△ ≌△ , B C   ,则 4 5BP PC CQ BD   , , ∴点 P ,点Q 运动的时间 4 3 3 BPt   秒, ∴ 5 15 4 4 3 Q CQv t    厘米/秒.··································································· (7 分) (2)设经过 x 秒后点 P 与点Q 第一次相遇, 由题意,得15 3 2 104 x x   , 解得 80 3x  秒. ∴点 P 共运动了 80 3 803   厘米. ∵80 2 28 24   , ∴点 P 、点Q 在 AB 边上相遇, A Q C D B P A Q C D B P ∴经过 80 3 秒点 P 与点Q 第一次在边 AB 上相遇. (12 分) 11.(2010 湖北十堰)如 图 ,△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC, CE⊥AB. 求证:BD=CE. A B C DE (第 19 题) 【答案】证明:∵BD⊥AC,CE⊥AB ∴∠ADB=∠AEC=90° 在△ABD 和△AEC 中,∠ADB=∠AEC=90°,∠A=∠A,AB=AC ∴△ABD≌△AEC ∴BD=CE. 12.(2010 广东深圳)如图 8,△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,D 在 AB 上。 (1)求证:△AOC≌△BOD;(4 分) (2)若 AD=1,BD=2,求 CD 的长。(3 分) 【答案】(1)证明:如右图, 图 8 1 90 3, 2 90 3         , 1 2   又 ,OC OD OA OE  , AOC BOD   (2)由 AOC BOD   有: 2AC BD  , 45CAO DBO     , 90CAB   ,故 2 2 2 22 1 5CD AC AD    