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- 2021-05-11 发布
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2016年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
一、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.2015年12月6日第十届全球孔子学院大会在上海召开,截止到会前,网络孔子学院注册用户达800万人,数据800万人用科学记数法表示为 人.
2.在函数y=中,自变量x的取值范围是 .
3.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB请你添加一个条件 ,使四边形DBCE是矩形.
4.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球,3个白球,2个绿球,则摸出绿球的概率是 .
5.不等式组有3个整数解,则m的取值范围是 .
6.一件服装的标价为300元,打八折销售后可获利60元,则该件服装的成本价是 元.
7.如图,MN是⊙O的直径,MN=4,∠AMN=40°,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为 .
8.小丽在手工制作课上,想用扇形卡纸制作一个圣诞帽,卡纸的半径为30cm,面积为300πcm2,则这个圣诞帽的底面半径为 cm.
9.已知:在平行四边形ABCD中,点E在直线AD上,AE=AD,连接CE交BD于点F,则EF:FC的值是 .
10.如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次変换,如果这样连续经过2016次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为 .
二、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
11.下列运算中,计算正确的是( )
A.2a•3a=6a B.(3a2)3=27a6
C.a4÷a2=2a D.(a+b)2=a2+ab+b2
12.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
13.如图,由5块完全相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,其主视图是( )
A. B. C. D.
14.一次招聘活动中,共有8人进入复试,他们的复试成绩(百分制)如下:70,100,90,80,70,90,90,80.对于这组数据,下列说法正确的是( )
A.平均数是80 B.众数是90 C.中位数是80 D.极差是70
15.如图,直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上,三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形.设穿过时间为t,正方形与三角形不重合部分的面积为s(阴影部分),则s与t的大致图象为( )
A. B. C. D.
16.关于x的分式方程=3的解是正数,则字母m的取值范围是( )
A.m>3 B.m>﹣3 C.m>﹣3 D.m<﹣3
17.若点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,则△ABC的面积为( )
A.2+B. C.2+或2﹣D.4+2或2﹣
18.已知反比例函数y=,当1<x<3时,y的最小整数值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
19.为了丰富学生课外小组活动,培养学生动手操作能力,王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳,用来做手工编织,在不造成浪费的前提下,你有几种不同的截法( )
A.1 B.2 C.3 D.4
20.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE,BF交于点G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结论正确的个数是( )
①AE=BF;②AE⊥BF;③sin∠BQP=;④S四边形ECFG=2S△BGE.
A.4 B.3 C.2 D.1
三、解答题(满分60分)
21.先化简,再求值:(1+)÷,其中x=4﹣tan45°.
22.如图,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(﹣1,3)、(﹣4,1)(﹣2,1),先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1,点B的对应点B1的坐标是(1,2),再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2,点A1的对应点为点A2.
(1)画出△A1B1C1;
(2)画出△A2B2C2;
(3)求出在这两次变换过程中,点A经过点A1到达A2的路径总长.
23.如图,二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(﹣1,0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象,写出满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围.
24.某学校为了解八年级学生的体能状况,从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试,测试结果分为A、B、C、D四个等级,请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:
(1)求本次测试共调查了多少名学生?
(2)求本次测试结果为B等级的学生数,并补全条形统计图;
(3)若该中学八年级共有900名学生,请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人?
25.甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,两车离开A城的距离y与t的对应关系如图所示:
(1)A、B两城之间距离是多少千米?
(2)求乙车出发多长时间追上甲车?
(3)直接写出甲车出发多长时间,两车相距20千米.
26.已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点.
(1)当点P与点O重合时如图1,易证OE=OF(不需证明)
(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=30°时,如图2、图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?请写出你对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明.
27.某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球,购买A种品牌的足球50个,B种品牌的足球25个,共花费4500元,已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A钟品牌的足球多花30元.
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元.
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召,决定再次购进A、B两种品牌足球共50个,正好赶上商场对商品价格进行调整,A品牌足球售价比第一次购买时提高4元,B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售,如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%,且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个,则这次学校有哪几种购买方案?
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金?
28.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点B在x轴的正半轴上.∠OAB=90°且OA=AB,OB,OC的长分别是一元二次方程x2﹣11x+30=0的两个根(OB>OC).
(1)求点A和点B的坐标.
(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O,B重合),过点P的直线l与y轴平行,直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t,线段QR的长度为m.已知t=4时,直线l恰好过点C.当0<t<3时,求m关于t的函数关系式.
(3)当m=3.5时,请直接写出点P的坐标.
2016年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.2015年12月6日第十届全球孔子学院大会在上海召开,截止到会前,网络孔子学院注册用户达800万人,数据800万人用科学记数法表示为 8×106 人.
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将800万用科学记数法表示为:8×106.
故答案为:8×106.
2.在函数y=中,自变量x的取值范围是 x≥2 .
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据被开方数是非负数,可得答案.
【解答】解:由题意,得
3x﹣6≥0,
解得x≥2,
故答案为:x≥2.
3.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB请你添加一个条件 EB=DC ,使四边形DBCE是矩形.
【考点】矩形的判定;平行四边形的性质.
【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形,结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可.
【解答】解:添加EB=DC.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC,
∴DE∥BC,
又∵DE=AD,
∴DE=BC,
∴四边形DBCE为平行四边形.
又∵EB=DC,
∴四边形DBCE是矩形.
故答案是:EB=DC.
4.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球,3个白球,2个绿球,则摸出绿球的概率是 .
【考点】概率公式.
【分析】由在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球,3个白球,2个绿球,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球,3个白球,2个绿球,
∴摸出绿球的概率是: =.
故答案为:.
5.不等式组有3个整数解,则m的取值范围是 2<x≤3 .
【考点】一元一次不等式组的整数解.
【分析】首先确定不等式组的整数解,然后根据只有这三个整数解即可确定.
【解答】解:不等式的整数解是0,1,2.则m的取值范围是2<x≤3.
故答案是:2<x≤3.
6.一件服装的标价为300元,打八折销售后可获利60元,则该件服装的成本价是 180 元.
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】设该件服装的成本价是x元.根据“利润=标价×折扣﹣进价”即可得出关于x的一元一次方程,解方程即可得出结论.
【解答】解:设该件服装的成本价是x元,
依题意得:300×﹣x=60,
解得:x=180.
∴该件服装的成本价是180元.
故答案为:180.
7.如图,MN是⊙O的直径,MN=4,∠AMN=40°,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为 2 .
【考点】轴对称-最短路线问题;圆周角定理.
【分析】过A作关于直线MN的对称点A′,连接A′B,由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值,由对称的性质可知=,再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数,再由勾股定理即可求解.
【解答】解:过A作关于直线MN的对称点A′,连接A′B,由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值,
连接OB,OA′,AA′,
∵AA′关于直线MN对称,
∴=,
∵∠AMN=40°,
∴∠A′ON=80°,∠BON=40°,
∴∠A′OB=120°,
过O作OQ⊥A′B于Q,
在Rt△A′OQ中,OA′=2,
∴A′B=2A′Q=2,
即PA+PB的最小值2.
故答案为:2.
8.小丽在手工制作课上,想用扇形卡纸制作一个圣诞帽,卡纸的半径为30cm,面积为300πcm2,则这个圣诞帽的底面半径为 10 cm.
【考点】圆锥的计算.
【分析】由圆锥的几何特征,我们可得用半径为30cm,面积为300πcm2的扇形卡纸制作一个圣诞帽,则圆锥的底面周长等于扇形的弧长,据此求得圆锥的底面圆的半径.
【解答】解:设卡纸扇形的半径和弧长分别为R、l,圣诞帽底面半径为r,
则由题意得R=30,由Rl=300π得l=20π;
由2πr=l得r=10cm.
故答案是:10.
9.已知:在平行四边形ABCD中,点E在直线AD上,AE=AD,连接CE交BD于点F,则EF:FC的值是 或 .
【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【分析】分两种情况:①当点E在线段AD上时,由四边形ABCD是平行四边形,可证得△EFD∽△CFB,求出DE:BC=2:3,即可求得EF:FC的值;
②当当点E在射线DA上时,同①得:△EFD∽△CFB,求出DE:BC=4:3,即可求得EF:FC的值.
【解答】解:∵AE=AD,
∴分两种情况:
①当点E在线段AD上时,如图1所示
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴△EFD∽△CFB,
∴EF:FC=DE:BC,
∵AE=AD,
∴DE=2AE=AD=BC,
∴DE:BC=2:3,
∴EF:FC=2:3;
②当点E在线段DA的延长线上时,如图2所示:
同①得:△EFD∽△CFB,
∴EF:FC=DE:BC,
∵AE=AD,
∴DE=4AE=AD=BC,
∴DE:BC=4:3,
∴EF:FC=4:3;
综上所述:EF:FC的值是或;
故答案为:或.
10.如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次変换,如果这样连续经过2016次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为 .
【考点】翻折变换(折叠问题);等边三角形的性质;坐标与图形变化-平移.
【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方,然后求出点A纵坐标,再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标,最后写出即可.
【解答】解:解:∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2,
∴点C到x轴的距离为1+2×=+1,
横坐标为2,
∴A(2, +1),
第2016次变换后的三角形在x轴上方,
点A的纵坐标为+1,
横坐标为2+2016×1=2018,
所以,点A的对应点A′的坐标是,
故答案为:.
二、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
11.下列运算中,计算正确的是( )
A.2a•3a=6a B.(3a2)3=27a6
C.a4÷a2=2a D.(a+b)2=a2+ab+b2
【考点】整式的混合运算.
【分析】分别利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式、单项式乘以单项式运算法则化简求出答案.
【解答】解:A、2a•3a=6a2,故此选项错误;
B、(3a2)3=27a6,正确;
C、a4÷a2=2a2,故此选项错误;
D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故此选项错误;
故选:B.
12.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形;轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、是轴对称图形.不是中心对称图形,因为找不到任何这样的一点,旋转180度后它的两部分能够重合;即不满足中心对称图形的定义,故此选项错误;
B、是轴对称图形.不是中心对称图形,因为找不到任何这样的一点,旋转180度后它的两部分能够重合;即不满足中心对称图形的定义,故此选项错误;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;
D、是轴对称图形,又是中心对称图形.故此选项正确.
故选:D.
13.如图,由5块完全相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,其主视图是( )
A. B. C. D.
【考点】由三视图判断几何体;简单组合体的三视图.
【分析】由已知条件可知,主视图有2列,每列小正方数形数目分别为3,1,从而确定正确的选项.
【解答】解:由分析得该组合体的主视图为:
故选B.
14.一次招聘活动中,共有8人进入复试,他们的复试成绩(百分制)如下:70,100,90,80,70,90,90,80.对于这组数据,下列说法正确的是( )
A.平均数是80 B.众数是90 C.中位数是80 D.极差是70
【考点】极差;算术平均数;中位数;众数.
【分析】根据表中数据,分别利用中位数、众数、极差、平均数的定义即可求出它们,然后就可以作出判断.
【解答】解:依题意得众数为90;
中位数为(80+90)=85;
极差为100﹣70=30;
平均数为(70×2+80×2+90×3+100)=83.75.故B正确.
故选B.
15.如图,直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上,三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形.设穿过时间为t,正方形与三角形不重合部分的面积为s(阴影部分),则s与t的大致图象为( )
A. B. C. D.
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】根据直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上,三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形可知,当0≤t≤时,以及当<t≤2时,当2<t≤3时,求出函数关系式,即可得出答案.
【解答】解:∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上,三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形.设穿过时间为t,正方形与三角形不重合部分的面积为s,
∴s关于t的函数大致图象应为:三角形进入正方形以前s增大,
当0≤t≤时,s=×1×1+2×2﹣=﹣t2;
当<t≤2时,s=×12=;
当2<t≤3时,s=﹣(3﹣t)2=t2﹣3t,
∴A符合要求,故选A.
16.关于x的分式方程=3的解是正数,则字母m的取值范围是( )
A.m>3 B.m>﹣3 C.m>﹣3 D.m<﹣3
【考点】分式方程的解.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程解为正数确定出m的范围即可.
【解答】解:分式方程去分母得:2x﹣m=3x+3,
解得:x=﹣m﹣3,
由分式方程的解为正数,得到﹣m﹣3>0,且﹣m﹣3≠﹣1,
解得:m<﹣3,
故选D
17.若点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,则△ABC的面积为( )
A.2+B. C.2+或2﹣D.4+2或2﹣
【考点】三角形的外接圆与外心;等腰三角形的性质.
【分析】根据题意可以画出相应的图形,然后根据不同情况,求出相应的边的长度,从而可以求出不同情况下△ABC的面积,本题得以解决.
【解答】解:由题意可得,如右图所示,
存在两种情况,
当△ABC为△A1BC时,连接OB、OC,
∵点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,OB=OC,
∴△OBC为等边三角形,OB=OC=BC=2,OA1⊥BC于点D,
∴CD=1,OD=,
∴=2﹣,
当△ABC为△A2BC时,连接OB、OC,
∵点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,OB=OC,
∴△OBC为等边三角形,OB=OC=BC=2,OA1⊥BC于点D,
∴CD=1,OD=,
∴S△A2BC===2+,
由上可得,△ABC的面积为或2+,
故选C.
18.已知反比例函数y=,当1<x<3时,y的最小整数值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】反比例函数的性质.
【分析】根据反比例函数系数k>0,结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在x>0中单调递减,再结合x的取值范围,可得出y的取值范围,取其内的最小整数,本题得解.
【解答】解:在反比例函数y=中k=6>0,
∴该反比例函数在x>0内,y随x的增大而减小,
当x=3时,y==2;当x=1时,y==6.
∴当1<x<3时,2<y<6.
∴y的最小整数值是3.
故选A.
19.为了丰富学生课外小组活动,培养学生动手操作能力,王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳,用来做手工编织,在不造成浪费的前提下,你有几种不同的截法( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】二元一次方程的应用.
【分析】截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长9米时,不造成浪费,设截成2米长的彩绳x根,1米长的y根,由题意得到关于x与y的方程,求出方程的正整数解即可得到结果.
【解答】解:截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5米时,不造成浪费,
设截成2米长的彩绳x根,1米长的y根,
由题意得,2x+y=5,
因为x,y都是正整数,所以符合条件的解为:
、、,
则共有3种不同截法,
故选:C.
20.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE,BF交于点G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结论正确的个数是( )
①AE=BF;②AE⊥BF;③sin∠BQP=;④S四边形ECFG=2S△BGE.
A.4 B.3 C.2 D.1
【考点】四边形综合题.
【分析】首先证明△ABE≌△BCF,再利用角的关系求得∠BGE=90°,即可得到①AE=BF;②AE⊥BF;△BCF沿BF对折,得到△BPF,利用角的关系求出QF=QB,解出BP,QB,根据正弦的定义即可求解;根据AA可证△BGE与△BCF相似,进一步得到相似比,再根据相似三角形的性质即可求解.
【解答】解:∵E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,
∴CF=BE,
在△ABE和△BCF中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS),
∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故①正确;
又∵∠BAE+∠BEA=90°,
∴∠CBF+∠BEA=90°,
∴∠BGE=90°,
∴AE⊥BF,故②正确;
根据题意得,FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=90°
∵CD∥AB,
∴∠CFB=∠ABF,
∴∠ABF=∠PFB,
∴QF=QB,
令PF=k(k>0),则PB=2k
在Rt△BPQ中,设QB=x,
∴x2=(x﹣k)2+4k2,
∴x=,
∴sin=∠BQP==,故③正确;
∵∠BGE=∠BCF,∠GBE=∠CBF,
∴△BGE∽△BCF,
∵BE=BC,BF=BC,
∴BE:BF=1:,
∴△BGE的面积:△BCF的面积=1:5,
∴S四边形ECFG=4S△BGE,故④错误.
故选:B.
三、解答题(满分60分)
21.先化简,再求值:(1+)÷,其中x=4﹣tan45°.
【考点】分式的化简求值;特殊角的三角函数值.
【分析】先算括号里面的,再算除法,求出x的值代入进行计算即可.
【解答】解:原式=•
=,
当x=4﹣tan45°=4﹣1=3时,原式==.
22.如图,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(﹣1,3)、(﹣4,1)(﹣2,1),先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1,点B的对应点B1的坐标是(1,2),再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2,点A1的对应点为点A2.
(1)画出△A1B1C1;
(2)画出△A2B2C2;
(3)求出在这两次变换过程中,点A经过点A1到达A2的路径总长.
【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.
【分析】(1)由B点坐标和B1的坐标得到△ABC向右平移5个单位,再向上平移1个单位得到△A1B1C1,则根据点平移的规律写出A1和C1的坐标,然后描点即可得到△A1B1C1;
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2,点B1的对应点为点B2,点C1的对应点为点C2,从而得到△A2B2C2;
(3)先利用勾股定理计算平移的距离,再计算以OA1为半径,圆心角为90°的弧长,然后把它们相加即可得到这两次变换过程中,点A经过点A1到达A2的路径总长.
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所作;
(2)如图,△A2B2C2为所作;
(3)OA==4,
点A经过点A1到达A2的路径总长=+=+2π.
23.如图,二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(﹣1,0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象,写出满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围.
【考点】二次函数与不等式(组);待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式.
【分析】(1)先利用待定系数法先求出m,再求出点B坐标,利用方程组求出太阳还是解析式.
(2)根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围.
【解答】解:(1)∵抛物线y=(x+2)2+m经过点A(﹣1,0),
∴0=1+m,
∴m=﹣1,
∴抛物线解析式为y=(x+2)2﹣1=x2+4x+3,
∴点C坐标(0,3),
∵对称轴x=﹣2,B、C关于对称轴对称,
∴点B坐标(﹣4,3),
∵y=kx+b经过点A、B,
∴,解得,
∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1,
(2)由图象可知,写出满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围为x<﹣4或x>﹣1.
24.某学校为了解八年级学生的体能状况,从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试,测试结果分为A、B、C、D四个等级,请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:
(1)求本次测试共调查了多少名学生?
(2)求本次测试结果为B等级的学生数,并补全条形统计图;
(3)若该中学八年级共有900名学生,请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)设本次测试共调查了x名学生,根据总体、个体、百分比之间的关系列出方程即可解决.
(2)用总数减去A、C、D中的人数,即可解决,画出条形图即可.
(3)用样本估计总体的思想解决问题.
【解答】解:(1)设本次测试共调查了x名学生.
由题意x•20%=10,
x=50.
∴本次测试共调查了50名学生.
(2)测试结果为B等级的学生数=50﹣10﹣16﹣6=18人.
条形统计图如图所示,
(3)∵本次测试等级为D所占的百分比为=12%,
∴该中学八年级共有900名学生中测试结果为D等级的学生有900×12%=108人.
25.甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,两车离开A城的距离y与t的对应关系如图所示:
(1)A、B两城之间距离是多少千米?
(2)求乙车出发多长时间追上甲车?
(3)直接写出甲车出发多长时间,两车相距20千米.
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)根据图象即可得出结论.
(2)先求出甲乙两人的速度,再列出方程即可解决问题.
(3)根据y甲﹣y乙=20或y乙﹣y甲=20,列出方程即可解决.
【解答】解:(1)由图象可知A、B两城之间距离是300千米.
(2)设乙车出发x小时追上甲车.
由图象可知,甲的速度==60千米/小时.
乙的速度==75千米/小时.
由题意(75﹣60)x=60
解得x=4小时.
(3)设y甲=kx+b,则解得,
∴y甲=60x﹣300,
设y乙=k′x+b′,则,解得,
∴y乙=100x﹣600,
∵两车相距20千米,
∴y甲﹣y乙=20或y乙﹣y甲=20或y甲=20或y甲=280,
即60x﹣300﹣=20或100x﹣600﹣(60x﹣300)=20或60x﹣300=20或60x﹣300=280
解得x=7或8或或,
∵7﹣5=2,8﹣5=3,﹣5=,﹣5=
∴甲车出发2小时或3小时或小时或小时,两车相距20千米.
26.已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点.
(1)当点P与点O重合时如图1,易证OE=OF(不需证明)
(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=30°时,如图2、图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?请写出你对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)由△AOE≌△COF即可得出结论.
(2)图2中的结论为:CF=OE+AE,延长EO交CF于点G,只要证明△EOA≌△GOC,△OFG是等边三角形,即可解决问题.
图3中的结论为:CF=OE﹣AE,延长EO交FC的延长线于点G,证明方法类似.
【解答】解:(1)∵AE⊥PB,CF⊥BP,
∴∠AEO=∠CFO=90°,
在△AEO和△CFO中,
,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF.
(2)图2中的结论为:CF=OE+AE.
图3中的结论为:CF=OE﹣AE.
选图2中的结论证明如下:
延长EO交CF于点G,
∵AE⊥BP,CF⊥BP,
∴AE∥CF,
∴∠EAO=∠GCO,
在△EOA和△GOC中,
,
∴△EOA≌△GOC,
∴EO=GO,AE=CG,
在RT△EFG中,∵EO=OG,
∴OE=OF=GO,
∵∠OFE=30°,
∴∠OFG=90°﹣30°=60°,
∴△OFG是等边三角形,
∴OF=GF,
∵OE=OF,
∴OE=FG,
∵CF=FG+CG,
∴CF=OE+AE.
选图3的结论证明如下:
延长EO交FC的延长线于点G,
∵AE⊥BP,CF⊥BP,
∴AE∥CF,
∴∠AEO=∠G,
在△AOE和△COG中,
,
∴△AOE≌△COG,
∴OE=OG,AE=CG,
在RT△EFG中,∵OE=OG,
∴OE=OF=OG,
∵∠OFE=30°,
∴∠OFG=90°﹣30°=60°,
∴△OFG是等边三角形,
∴OF=FG,
∵OE=OF,
∴OE=FG,
∵CF=FG﹣CG,
∴CF=OE﹣AE.
27.某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球,购买A种品牌的足球50个,B种品牌的足球25个,共花费4500元,已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A钟品牌的足球多花30元.
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元.
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召,决定再次购进A、B两种品牌足球共50个,正好赶上商场对商品价格进行调整,A品牌足球售价比第一次购买时提高4元,B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售,如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%,且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个,则这次学校有哪几种购买方案?
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金?
【考点】一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设A种品牌足球的单价为x元,B种品牌足球的单价为y元,根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用,以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组,解方程组即可得出结论;
(2)设第二次购买A种足球m个,则购买B中足球(50﹣m)个,根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用,以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组,解不等式组可得出m的取值范围,由此即可得出结论;
(3)分析第二次购买时,A、B种足球的单价,即可得出那种方案花钱最多,求出花费最大值即可得出结论.
【解答】解:(1)设A种品牌足球的单价为x元,B种品牌足球的单价为y元,
依题意得:,解得:.
答:购买一个A种品牌的足球需要50元,购买一个B种品牌的足球需要80元.
(2)设第二次购买A种足球m个,则购买B中足球(50﹣m)个,
依题意得:,
解得:25≤m≤27.
故这次学校购买足球有三种方案:
方案一:购买A种足球25个,B种足球25个;
方案二:购买A种足球26个,B种足球24个;
方案三:购买A种足球27个,B种足球23个.
(3)∵第二次购买足球时,A种足球单价为50+4=54(元),B种足球单价为80×0.9=72(元),
∴当购买方案中B种足球最多时,费用最高,即方案一花钱最多.
∴25×54+25×72=3150(元).
答:学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金.
28.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点B在x轴的正半轴上.∠OAB=90°且OA=AB,OB,OC的长分别是一元二次方程x2﹣11x+30=0的两个根(OB>OC).
(1)求点A和点B的坐标.
(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O,B重合),过点P的直线l与y轴平行,直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t,线段QR的长度为m.已知t=4时,直线l恰好过点C.当0<t<3时,求m关于t的函数关系式.
(3)当m=3.5时,请直接写出点P的坐标.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)先利用因式分解法解方程x2﹣11x+30=0可得到OB=6,OC=5,则B点坐标为(6,0),作AM⊥x轴于M,如图,利用等腰直角三角形的性质得OM=BM=AM=OB=3,于是可写出B点坐标;
(2)作CN⊥x轴于N,如图,先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为(4,﹣3),再利用待定系数法分别求出直线OC的解析式为y=﹣x,直线OA的解析式为y=x,则根据一次函数图象上点的坐标特征得到Q(t,t),R(t,﹣t),所以QR=t﹣(﹣t),从而得到m关于t的函数关系式.
(3)利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+6,直线BC的解析式为y=x﹣9,然后分类讨论:当0<t<3时,利用t=3.5可求出t得到P点坐标;
当3≤t<4时,则Q(t,﹣t+6),R(t,﹣t),于是得到﹣t+6﹣(﹣t)=3.5,解得t=10,不满足t的范围舍去;当4≤t<6时,则Q(t,﹣t+6),R(t, t﹣9),所以﹣t+6﹣(t﹣9)=3.5,然后解方程求出t得到P点坐标.
【解答】解:(1)∵方程x2﹣11x+30=0的解为x1=5,x2=6,
∴OB=6,OC=5,
∴B点坐标为(6,0),
作AM⊥x轴于M,如图,
∵∠OAB=90°且OA=AB,
∴△AOB为等腰直角三角形,
∴OM=BM=AM=OB=3,
∴B点坐标为(3,3);
(2)作CN⊥x轴于N,如图,
∵t=4时,直线l恰好过点C,
∴ON=4,
在Rt△OCN中,CN===3,
∴C点坐标为(4,﹣3),
设直线OC的解析式为y=kx,
把C(4,﹣3)代入得4k=﹣3,解得k=﹣,
∴直线OC的解析式为y=﹣x,
设直线OA的解析式为y=ax,
把A(3,3)代入得3a=3,解得a=1,
∴直线OA的解析式为y=x,
∵P(t,0)(0<t<3),
∴Q(t,t),R(t,﹣t),
∴QR=t﹣(﹣t)=t,
即m=t(0<t<3);
(3)设直线AB的解析式为y=px+q,
把A(3,3),B(6,0)代入得,解得,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6,
同理可得直线BC的解析式为y=x﹣9,
当0<t<3时,m=t,若m=3.5,则t=3.5,解得t=2,此时P点坐标为(2,0);
当3≤t<4时,Q(t,﹣t+6),R(t,﹣t),
∴m=﹣t+6﹣(﹣t)=﹣t+6,若m=3.5,则﹣t+6=3.5,解得t=10(不合题意舍去);
当4≤t<6时,Q(t,﹣t+6),R(t, t﹣9),
∴m=﹣t+6﹣(t﹣9)=﹣t+15,若m=3.5,则﹣t+15=3.5,解得t=,此时P点坐标为(,0),
综上所述,满足条件的P点坐标为(2,0)或(,0).
2016年7月12日