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- 2021-05-11 发布
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2018届中考数学一轮复习讲义 第4讲因式分解
【知识巩固】
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法
(1)提公因式法:
(2)运用公式法:
(3)分组分解法:
(4)十字相乘法:
3、因式分解的一般步骤:
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式。
(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下,观察多项式的项数:2项式可以尝试运用公式法分解因式;3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式;4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【典例解析】
典例一、提取公因式
下列多项式:①a2﹣4b2;②a2+4ab+4b2;③a2b+2ab2;④a3+2a2b,它们的公因式是 a+2b .
考点: 公因式.
分析: 根据完全平方公式,平方差公式分解因式,提公因式法分解因式,然后即可确定公因式.
解答: 解:①a2﹣4b2=(a+2b)(a﹣2b);
②a2+4ab+4b2=(a+2b)2;
③a2b+2ab2=ab(a+2b);
④a3+2a2b=a2(a+2b),
它故多项式:①a2﹣4b2;②a2+4ab+4b2;③a2b+2ab2;④a3+2a2b的公因式是a+2b.
故答案为:a+2b.
点评: 本题主要考查公因式的确定,先分解因式是确定公因式是解题的关键.
【变式训练】
(2016·江西·3分)分解因式:ax2﹣ay2= a(x+y)(x﹣y) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】应先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
【解答】解:ax2﹣ay2,
=a(x2﹣y2),
=a(x+y)(x﹣y).
故答案为:a(x+y)(x﹣y).
典例二、平方差公式
(2017广西河池)分解因式:x2﹣25= (x+5)(x﹣5) .
【考点】:因式分解﹣运用公式法.
【分析】直接利用平方差公式分解即可.
【解答】解:x2﹣25=(x+5)(x﹣5).
故答案为:(x+5)(x﹣5).
【变式训练】
化简:(x+1)(x2+1)(x4+1)…(x2015+1)(x﹣1)
考点:平方差公式.
分析:根据平方差公式,可得答案.
解答:解:原式=(x2﹣1)(x2+1)(x4+1)…(x2015+1)
=(x4﹣1)(x4+1)…(x2015+1)
=(x2015﹣1)(x2015+1)
=x4030﹣1.
点评: 本题考查了平方差公式,多次利用了平方差公式.
典例三、完全平方式
下列各式中,计算正确的是( )
A. (a﹣b)2=a2﹣b2 B. (2x﹣y)2=4x2﹣2xy+y2
C. (﹣a﹣b)(a+b)=a2﹣b2 D. ﹣(x﹣y)2=2xy﹣x2﹣y2
【考点】完全平方公式.
【分析】完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.依此计算即可求解.
【解答】解:A、应为(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故本选项错误;
B、应为(2x﹣y)2=4x2﹣4xy+y2,故本选项错误;
C、应为(﹣a﹣b)(a+b)=﹣a2﹣2ab﹣b2,故本选项错误;
D、﹣(x﹣y)2=2xy﹣x2﹣y2,正确.
故选:D.
点评: 本题考查了完全平方公式,关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式.
【变式训练】
在单项式x2,﹣4xy,y2,2xy.4y2,4xy,﹣2xy,4x2中,可以组成不同完全平方式的个数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【考点】完全平方式.
【分析】根据完全平方公式的公式结构解答即可.
【解答】解:x2+2xy+y2=(x+y)2,
x2﹣2xy+y2=(x﹣y)2,
4x2+4xy+y2=(2x+y)2,
x2+4xy+4y2=(x+2y)2,
4x2﹣4xy+y2=(2x﹣y)2,
x2﹣4xy+4y2=(x﹣2y)2,
所以,共可以组成6个不同的完全平方式.
故选C.
点评: 本题考查了完全平方公式,熟记公式结构是解题的关键.
典例四、提取公因式与公式法的综合应用
(2017毕节)分解因式:2x2﹣8xy+8y2= 2(x﹣2y)2 .
【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】首先提取公因式2,进而利用完全平方公式分解因式即可.
【解答】解:2x2﹣8xy+8y2
=2(x2﹣4xy+4y2)
=2(x﹣2y)2.
故答案为:2(x﹣2y)2.
【变式训练】
(2017广东)分解因式:a2+a= a(a+1) .
【考点】53:因式分解﹣提公因式法.
【分析】直接提取公因式分解因式得出即可.
【解答】解:a2+a=a(a+1).
故答案为:a(a+1).
典例五、因式分解的应用
(2017贵州安顺)已知x+y=,xy=,则x2y+xy2的值为 3 .
【考点】59:因式分解的应用.
【分析】根据x+y=,xy=,可以求得x2y+xy2的值.
【解答】解:∵x+y=,xy=,
∴x2y+xy2
=xy(x+y)
=
=
=3,
故答案为:.
【变式训练】
因式分解a2b﹣b的正确结果是( )
A.b(a+1)(a﹣1) B.a(b+1)(b﹣1) C.b(a2﹣1) D.b(a﹣1)2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【专题】因式分解.
【分析】先提取公因式b,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
【解答】解:a2b﹣b
=b(a2﹣1)
=b(a+1)(a﹣1).
故选:A.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
【能力检测】
1.
2. (2017浙江湖州)把多项式x2﹣3x因式分解,正确的结果是 x(x﹣3) .
【考点】53:因式分解﹣提公因式法.
【分析】直接提公因式x即可.
【解答】解:原式=x(x﹣3),
故答案为:x(x﹣3).
3. (2017贵州安顺)分解因式:x3﹣9x= x(x+3)(x﹣3) .
【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】根据提取公因式、平方差公式,可分解因式.
【解答】解:原式=x(x2﹣9)
=x(x+3)(x﹣3),
故答案为:x(x+3)(x﹣3).
4. 已知(a+b)2=7,(a﹣b)2=4,则ab的值为( )
A. B. C. D.
考点:完全平方公式.
分析:两个式子相减,根据完全平方公式展开,合并同类项,再系数化为1即可求解.
解答:解:(a+b)2﹣(a﹣b)2
=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2
=4ab
=7﹣4
=3,
ab=.
故选:C.
点评:本题考查了完全平方公式,关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式.
5. 已知= 6 .
考点: 完全平方公式.
分析: 把a﹣=2两边平方,然后整理即可得到a2+的值.
解答: 解:∵(a﹣)2=a2﹣2+=4,
∴a2+=4+2=6.
点评: 本题主要考查了完全平方式的运用,利用好乘积二倍项不含字母是个常数,是解题的关键.
6. 若(﹣7m+A)(4n+B)=16n2﹣49m2,则A= 4n ,B= 7m .
考点:因式分解-运用公式法.
分析:直接利用平方差公式因式分解,进而得出A,B的值.
解答:解:∵(﹣7m+A)(4n+B)=16n2﹣49m2,
∴16n2﹣49m2=(4n+7m)(4n﹣7m),
∴A=4n,B=7m,
故答案为:4n,7m.
点评: 此题主要考查了平方差公式的应用,熟练掌握平方差公式的形式是解题关键.
7. (2017哈尔滨)把多项式4ax2﹣9ay2分解因式的结果是 a(2x+3y)(2x﹣3y) .
【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式=a(4x2﹣9y2)=a(2x+3y)(2x﹣3y),
故答案为:a(2x+3y)(2x﹣3y)
8. 因式分解:x3﹣4xy2= x(x+2y)(x﹣2y) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【专题】计算题.
【分析】先提公因式x,再利用平方差公式继续分解因式.
【解答】解:x3﹣4xy2,
=x(x2﹣4y2),
=x(x+2y)(x﹣2y).
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,提取公因式后继续进行二次因式分解是关键,注意分解因式要彻底.
9. 分解因式:2x3﹣4x2+2x= 2x(x﹣1)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】先提取公因式2x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解:2x3﹣4x2+2x,
=2x(x2﹣2x+1),
=2x(x﹣1)2.
故答案为:2x(x﹣1)2.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
10. (2017山东聊城)因式分解:2x2﹣32x4= 2x2(1+4x)(1﹣4x) .
【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】此多项式有公因式,应先提取公因式,再对余下的多项式进行观察,有2项,可采用平方差公式继续分解.
【解答】解:2x2﹣32x4
=2x2(1﹣16x2)
=2x2(1+4x)(1﹣4x).
故答案为:2x2(1+4x)(1﹣4x).
11. ①一个多项式除以2m得1﹣m+m2,这个多项式为 2m﹣2m2+2m3 .
② 6x2+5x﹣6 ÷(2x+3)=(3x﹣2).
③小玉和小丽做游戏,两人各报一个整式,小玉报一个被除式,小丽报一个除式,要求商必须是3ab.若小玉报的是3a2b﹣ab2,则小丽报的是 a﹣b ;若小丽报的是9a2b,则小玉报的整式是 27a3b2 .
④如图甲、乙两个农民共有4块地,今年他们决定共同投资搞饲养业,为此他们准备将这4块地换成宽为(a+b)cm的地,为了使所换到的面积与原来地的总面积相等,交换之后的地的长应为 a+c m.
考点: 整式的混合运算.
分析: ①利用2m乘1﹣m+m2计算即可;
②把除式和商相乘即可;
③根据被除式÷商=除式,被除式=除式×商列式计算即可;
④利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等,而原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab,得到4块土地换成一块地后面积为(a2+bc+ac+ab)米,又此块地的宽为(a+b)米,根据矩形的面积公式得到此块地的长=(a2+bc+ac+ab)÷(a+b),把被除式分解后再进行除法运算即可得到结论.
解答: 解:①2m(1﹣m+m2)=2m﹣2m2+2m3;
②(2x+3)(3x﹣2)=6x2+5x﹣6;
③(3a2b﹣ab2)÷3ab=a﹣b,
3ab•9a2b=27a3b2;
④∵原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab,
∴将这4块土地换成一块地后面积为(a2+bc+ac+ab)米,
而此块地的宽为(a+b)米,
∴此块地的长=(a2+bc+ac+ab)÷(a+b)
=(a2+ac+bc+ab)÷(a+b)
=[a(a+c)+b(a+c)÷(a+b)]
=(a+b)(a+c)÷(a+b)
=a+c.
故答案为:2m﹣2m2+2m3;6x2+5x﹣6;a﹣b,27a3b2;a+c.
点评: 此题考查整式的混合运算,掌握计算方法是解决问题的关键.