• 39.38 KB
  • 2021-05-11 发布

中考数学一轮复习讲义因式分解

  • 8页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2018届中考数学一轮复习讲义 第4讲因式分解 ‎【知识巩固】‎ ‎1、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。‎ ‎2、因式分解的常用方法 ‎(1)提公因式法:‎ ‎(2)运用公式法:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3)分组分解法:‎ ‎(4)十字相乘法:‎ ‎3、因式分解的一般步骤:‎ ‎(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式。‎ ‎(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下,观察多项式的项数:2项式可以尝试运用公式法分解因式;3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式;4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 ‎(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。‎ ‎【典例解析】‎ 典例一、提取公因式 下列多项式:①a2﹣4b2;②a2+4ab+4b2;③a2b+2ab2;④a3+‎2a2b,它们的公因式是 a+2b .‎ 考点: 公因式.‎ 分析: 根据完全平方公式,平方差公式分解因式,提公因式法分解因式,然后即可确定公因式.‎ 解答: 解:①a2﹣4b2=(a+2b)(a﹣2b);‎ ‎②a2+4ab+4b2=(a+2b)2;‎ ‎③a2b+2ab2=ab(a+2b);‎ ‎④a3+‎2a2b=a2(a+2b),‎ 它故多项式:①a2﹣4b2;②a2+4ab+4b2;③a2b+2ab2;④a3+‎2a2b的公因式是a+2b.‎ 故答案为:a+2b.‎ 点评: 本题主要考查公因式的确定,先分解因式是确定公因式是解题的关键.‎ ‎【变式训练】‎ ‎(2016·江西·3分)分解因式:ax2﹣ay2= a(x+y)(x﹣y) .‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【分析】应先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.‎ ‎【解答】解:ax2﹣ay2,‎ ‎=a(x2﹣y2),‎ ‎=a(x+y)(x﹣y).‎ 故答案为:a(x+y)(x﹣y).‎ 典例二、平方差公式 ‎(2017广西河池)分解因式:x2﹣25= (x+5)(x﹣5) .‎ ‎【考点】:因式分解﹣运用公式法.‎ ‎【分析】直接利用平方差公式分解即可.‎ ‎【解答】解:x2﹣25=(x+5)(x﹣5).‎ 故答案为:(x+5)(x﹣5).‎ ‎【变式训练】‎ 化简:(x+1)(x2+1)(x4+1)…(x2015+1)(x﹣1)‎ 考点:平方差公式.‎ 分析:根据平方差公式,可得答案.‎ 解答:解:原式=(x2﹣1)(x2+1)(x4+1)…(x2015+1)‎ ‎=(x4﹣1)(x4+1)…(x2015+1)‎ ‎=(x2015﹣1)(x2015+1)‎ ‎=x4030﹣1.‎ 点评: 本题考查了平方差公式,多次利用了平方差公式.‎ 典例三、完全平方式 下列各式中,计算正确的是( )‎ A. (a﹣b)2=a2﹣b2 B. (2x﹣y)2=4x2﹣2xy+y2‎ C. (﹣a﹣b)(a+b)=a2﹣b2 D. ﹣(x﹣y)2=2xy﹣x2﹣y2‎ ‎【考点】完全平方公式.‎ ‎【分析】完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.依此计算即可求解.‎ ‎【解答】解:A、应为(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故本选项错误;‎ B、应为(2x﹣y)2=4x2﹣4xy+y2,故本选项错误;‎ C、应为(﹣a﹣b)(a+b)=﹣a2﹣2ab﹣b2,故本选项错误;‎ D、﹣(x﹣y)2=2xy﹣x2﹣y2,正确.‎ 故选:D.‎ 点评: 本题考查了完全平方公式,关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式.‎ ‎【变式训练】‎ 在单项式x2,﹣4xy,y2,2xy.4y2,4xy,﹣2xy,4x2中,可以组成不同完全平方式的个数是(  )‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【考点】完全平方式.‎ ‎【分析】根据完全平方公式的公式结构解答即可.‎ ‎【解答】解:x2+2xy+y2=(x+y)2,‎ x2﹣2xy+y2=(x﹣y)2,‎ ‎4x2+4xy+y2=(2x+y)2,‎ x2+4xy+4y2=(x+2y)2,‎ ‎4x2﹣4xy+y2=(2x﹣y)2,‎ x2﹣4xy+4y2=(x﹣2y)2,‎ 所以,共可以组成6个不同的完全平方式.‎ 故选C.‎ 点评: 本题考查了完全平方公式,熟记公式结构是解题的关键.‎ 典例四、提取公因式与公式法的综合应用 ‎(2017毕节)分解因式:2x2﹣8xy+8y2= 2(x﹣2y)2 .‎ ‎【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【分析】首先提取公因式2,进而利用完全平方公式分解因式即可.‎ ‎【解答】解:2x2﹣8xy+8y2‎ ‎=2(x2﹣4xy+4y2)‎ ‎=2(x﹣2y)2.‎ 故答案为:2(x﹣2y)2.‎ ‎【变式训练】‎ ‎(2017广东)分解因式:a2+a= a(a+1) .‎ ‎【考点】53:因式分解﹣提公因式法.‎ ‎【分析】直接提取公因式分解因式得出即可.‎ ‎【解答】解:a2+a=a(a+1).‎ 故答案为:a(a+1).‎ 典例五、因式分解的应用 ‎(2017贵州安顺)已知x+y=,xy=,则x2y+xy2的值为 3 .‎ ‎【考点】59:因式分解的应用.‎ ‎【分析】根据x+y=,xy=,可以求得x2y+xy2的值.‎ ‎【解答】解:∵x+y=,xy=,‎ ‎∴x2y+xy2‎ ‎=xy(x+y)‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=3,‎ 故答案为:.‎ ‎【变式训练】‎ 因式分解a2b﹣b的正确结果是(  )‎ A.b(a+1)(a﹣1) B.a(b+1)(b﹣1) C.b(a2﹣1) D.b(a﹣1)2‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【专题】因式分解.‎ ‎【分析】先提取公因式b,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.‎ ‎【解答】解:a2b﹣b ‎=b(a2﹣1)‎ ‎=b(a+1)(a﹣1).‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.‎ ‎【能力检测】‎ ‎1.‎ ‎2. (2017浙江湖州)把多项式x2﹣3x因式分解,正确的结果是 x(x﹣3) .‎ ‎【考点】53:因式分解﹣提公因式法.‎ ‎【分析】直接提公因式x即可.‎ ‎【解答】解:原式=x(x﹣3),‎ 故答案为:x(x﹣3).‎ ‎3. (2017贵州安顺)分解因式:x3﹣9x= x(x+3)(x﹣3) .‎ ‎【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【分析】根据提取公因式、平方差公式,可分解因式.‎ ‎【解答】解:原式=x(x2﹣9)‎ ‎=x(x+3)(x﹣3),‎ 故答案为:x(x+3)(x﹣3).‎ ‎4. 已知(a+b)2=7,(a﹣b)2=4,则ab的值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 考点:完全平方公式.‎ 分析:两个式子相减,根据完全平方公式展开,合并同类项,再系数化为1即可求解.‎ 解答:解:(a+b)2﹣(a﹣b)2‎ ‎=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2‎ ‎=4ab ‎=7﹣4‎ ‎=3,‎ ab=.‎ 故选:C.‎ 点评:本题考查了完全平方公式,关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式.‎ ‎5. 已知= 6 .‎ 考点: 完全平方公式.‎ 分析: 把a﹣=2两边平方,然后整理即可得到a2+的值.‎ 解答: 解:∵(a﹣)2=a2﹣2+=4,‎ ‎∴a2+=4+2=6.‎ 点评: 本题主要考查了完全平方式的运用,利用好乘积二倍项不含字母是个常数,是解题的关键.‎ ‎6. 若(﹣‎7m+A)(4n+B)=16n2﹣‎49m2‎,则A= 4n ,B= ‎7m .‎ 考点:因式分解-运用公式法.‎ 分析:直接利用平方差公式因式分解,进而得出A,B的值.‎ 解答:解:∵(﹣‎7m+A)(4n+B)=16n2﹣‎49m2‎,‎ ‎∴16n2﹣‎49m2‎=(4n+‎7m)(4n﹣‎7m),‎ ‎∴A=4n,B=‎7m,‎ 故答案为:4n,‎7m.‎ 点评: 此题主要考查了平方差公式的应用,熟练掌握平方差公式的形式是解题关键.‎ ‎7. (2017哈尔滨)把多项式4ax2﹣9ay2分解因式的结果是 a(2x+3y)(2x﹣3y) .‎ ‎【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【分析】原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.‎ ‎【解答】解:原式=a(4x2﹣9y2)=a(2x+3y)(2x﹣3y),‎ 故答案为:a(2x+3y)(2x﹣3y)‎ ‎8. 因式分解:x3﹣4xy2= x(x+2y)(x﹣2y) .‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】先提公因式x,再利用平方差公式继续分解因式.‎ ‎【解答】解:x3﹣4xy2,‎ ‎=x(x2﹣4y2),‎ ‎=x(x+2y)(x﹣2y).‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,提取公因式后继续进行二次因式分解是关键,注意分解因式要彻底.‎ ‎9. 分解因式:2x3﹣4x2+2x= 2x(x﹣1)2 .‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【分析】先提取公因式2x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.‎ ‎【解答】解:2x3﹣4x2+2x,‎ ‎=2x(x2﹣2x+1),‎ ‎=2x(x﹣1)2.‎ 故答案为:2x(x﹣1)2.‎ ‎【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.‎ ‎10. (2017山东聊城)因式分解:2x2﹣32x4= 2x2(1+4x)(1﹣4x) .‎ ‎【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【分析】此多项式有公因式,应先提取公因式,再对余下的多项式进行观察,有2项,可采用平方差公式继续分解.‎ ‎【解答】解:2x2﹣32x4‎ ‎=2x2(1﹣16x2)‎ ‎=2x2(1+4x)(1﹣4x).‎ 故答案为:2x2(1+4x)(1﹣4x).‎ ‎11. ①一个多项式除以‎2m得1﹣m+m2,这个多项式为 ‎2m﹣‎2m2‎+‎2m3‎ .‎ ‎② 6x2+5x﹣6 ÷(2x+3)=(3x﹣2).‎ ‎③小玉和小丽做游戏,两人各报一个整式,小玉报一个被除式,小丽报一个除式,要求商必须是3ab.若小玉报的是‎3a2b﹣ab2,则小丽报的是 a﹣b ;若小丽报的是‎9a2b,则小玉报的整式是 ‎27a3b2 .‎ ‎④如图甲、乙两个农民共有4块地,今年他们决定共同投资搞饲养业,为此他们准备将这4块地换成宽为(a+b)cm的地,为了使所换到的面积与原来地的总面积相等,交换之后的地的长应为 a+c  m.‎ 考点: 整式的混合运算.‎ 分析: ①利用‎2m乘1﹣m+m2计算即可;‎ ‎②把除式和商相乘即可;‎ ‎③根据被除式÷商=除式,被除式=除式×商列式计算即可;‎ ‎④利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等,而原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab,得到4块土地换成一块地后面积为(a2+bc+ac+ab)米,又此块地的宽为(a+b)米,根据矩形的面积公式得到此块地的长=(a2+bc+ac+ab)÷(a+b),把被除式分解后再进行除法运算即可得到结论.‎ 解答: 解:①‎2m(1﹣m+m2)=‎2m﹣‎2m2‎+‎2m3‎;‎ ‎②(2x+3)(3x﹣2)=6x2+5x﹣6;‎ ‎③(‎3a2b﹣ab2)÷3ab=a﹣b,‎ ‎3ab•‎9a2b=‎27a3b2;‎ ‎④∵原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab,‎ ‎∴将这4块土地换成一块地后面积为(a2+bc+ac+ab)米,‎ 而此块地的宽为(a+b)米,‎ ‎∴此块地的长=(a2+bc+ac+ab)÷(a+b)‎ ‎=(a2+ac+bc+ab)÷(a+b)‎ ‎=[a(a+c)+b(a+c)÷(a+b)]‎ ‎=(a+b)(a+c)÷(a+b)‎ ‎=a+c.‎ 故答案为:‎2m﹣‎2m2‎+‎2m3‎;6x2+5x﹣6;a﹣b,‎27a3b2;a+c.‎ 点评: 此题考查整式的混合运算,掌握计算方法是解决问题的关键.‎