中考数学一模试卷含解析47 12页

‎2016年贵州省中考数学一模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．）‎ ‎1．﹣的相反数是（　　）‎ A．﹣ B． C． D．﹣‎ ‎2．如图，已知直线l1∥l2，∠1=30°，∠2=80°，那么∠3的大小为（　　）‎ A．70° B．80° C．90° D．100°‎ ‎3．下列运算正确的是（　　）‎ A．（a+b）（a﹣b）=a2+b2 B．（a+3）2=a2+9 C．a2+a2=2a4 D．（﹣2a2）2=4a4‎ ‎4．下列的正方体表面展开图中，折成正方体后“快”与“乐”相对的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某学习小组7位同学，为玉树地重灾区捐款，捐款金额分别为：5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（　　）‎ A．6，6 B．7，6 C．7，8 D．6，8‎ ‎7．一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（　　）‎ A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2‎ ‎8．如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（　　）‎ A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm ‎9．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：‎ ‎①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A． B．16π﹣32 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．答题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡的相应位置上．）‎ ‎11．据有关资料表明，黔东南州2015年上半年全州地区生产总值为357.27亿元，该数据用科学记数法表示为　　　　　　元．‎ ‎12．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两个实数根，则+的值是　　　　　　．‎ ‎13．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是　　　　　　 cm．‎ ‎14．如图，⊙O过点B、C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为　　　　　　．‎ ‎15．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为　　　　　　．‎ ‎16．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共8小题帮共86分．答题请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或钢笔书写在答题卡的相应位置上．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．计算：﹣|﹣2|+0﹣4cos60°+（）﹣1．‎ ‎18．先化简，再求值：﹣÷，其中x=3．‎ ‎19．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎20．如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1、3、6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．‎ ‎（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形数字的所有结果；‎ ‎（2）求分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无理数的概率．‎ ‎21．小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB=80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为45°，大厦底部B的俯角为60°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．计算结果保留根号．‎ ‎22．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．‎ ‎（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；‎ ‎（2）若OB=BG=2，求CD的长．‎ ‎23．凯里市万潮中学计划从天一商场购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用16元．且购买4块A型小黑板和3块B型小黑板共需680元．‎ ‎（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？‎ ‎（2）根据万潮中学实际情况，需从天一商场购买A、B两种型号的小黑板共50块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过4640元．并且购买A型小黑板的数量大于购买B种型号小黑板的数量的．请你通过计算，求出万潮中学从天一商场购买A、B两种型号的小黑板有哪几种购买方案？‎ ‎24．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），设抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；‎ ‎（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？‎ ‎（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年贵州省中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．）‎ ‎1．﹣的相反数是（　　）‎ A．﹣ B． C． D．﹣‎ ‎【考点】相反数．‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．‎ ‎【解答】解：﹣的相反数是，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．如图，已知直线l1∥l2，∠1=30°，∠2=80°，那么∠3的大小为（　　）‎ A．70° B．80° C．90° D．100°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠4，然后利用三角形内角和定理列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵l1∥l2，‎ ‎∴∠4=∠2=80°，‎ 根据三角形内角和定理，∠3=180°﹣∠1﹣∠4=180°﹣30°﹣80°=70°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．下列运算正确的是（　　）‎ A．（a+b）（a﹣b）=a2+b2 B．（a+3）2=a2+9 C．a2+a2=2a4 D．（﹣2a2）2=4a4‎ ‎【考点】平方差公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．‎ ‎【分析】A可用平方差公式计算；B可用完全平方公式计算；C是合并同类项；D按照积的乘方的法则进行计算，然后选取答案．‎ ‎【解答】解：A、应为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故本选项错误；‎ B、应为（a+3）2=a2+9+6a，故本选项错误；‎ C、应为a2+a2=2a2，故本选项错误；‎ D、（﹣2a2）2=4a4，故正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．下列的正方体表面展开图中，折成正方体后“快”与“乐”相对的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．‎ ‎【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题，正方体展开后不重复，共有8种图形．A，B为一种，C，D为另一种．动手折一下，出现“快”与“乐”相对即可解决了．‎ ‎【解答】解：A图折成正方体后“快”与“乐”不相对；B，D也不相对；C图折成正方体后“快”与“乐”相对．故选C．‎ ‎　‎ ‎5．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】左视图是从组合体的左面看到的，应该是两列，个数分别是2，1，据此求解．‎ ‎【解答】解：从左面看到应该有2列，正方形的个数分别为2，1，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．某学习小组7位同学，为玉树地重灾区捐款，捐款金额分别为：5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（　　）‎ A．6，6 B．7，6 C．7，8 D．6，8‎ ‎【考点】中位数；众数．‎ ‎【分析】首先把所给数据按从小到大的顺序重新排序，然后利用中位数和众数的定义就可以求出结果．‎ ‎【解答】解：把已知数据按从小到大的顺序排序后为5元，6元，6元，7元，8元，9元，10元，‎ ‎∴中位数为7‎ ‎∵6这个数据出现次数最多，‎ ‎∴众数为6．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（　　）‎ A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2‎ ‎【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．‎ ‎【解答】解：设m、n是方程x2+kx﹣3=0的两个实数根，且m=x=1；‎ 则有：mn=﹣3，即n=﹣3；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（　　）‎ A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm ‎【考点】垂径定理；勾股定理．‎ ‎【分析】先连接OA，由CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M可知AB=2AM，再根据CD=5cm，OM：OD=3：5可求出OM的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可求出AB的长．‎ ‎【解答】解：连接OA，‎ ‎∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，‎ ‎∴AB=2AM，‎ ‎∵CD=5cm，‎ ‎∴OD=OA=CD=×5=cm，‎ ‎∵OM：OD=3：5，‎ ‎∴OM=OD=×=，‎ ‎∴在Rt△AOM中，AM===2，‎ ‎∴AB=2AM=2×2=4cm．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：‎ ‎①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．‎ ‎【解答】解：①图象开口向下，能得到a＜0；‎ ‎②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；‎ ‎③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；‎ ‎④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A． B．16π﹣32 C． D．‎ ‎【考点】扇形面积的计算．‎ ‎【分析】设半圆与底边的交点是D，连接AD．根据直径所对的圆周角是直角，得到AD⊥BC，再根据等腰三角形的三线合一，得到BD=CD=6，根据勾股定理即可求得AD的长，则阴影部分的面积是以AB为直径的圆的面积减去三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：设半圆与底边的交点是D，连接AD．‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴AD⊥BC．‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴BD=CD=6．‎ 根据勾股定理，得 AD==2．‎ ‎∵阴影部分的面积的一半=以AB为直径的半圆的面积﹣三角形ABD的面积 ‎=以AC为直径的半圆的面积﹣三角形ACD的面积，‎ ‎∴阴影部分的面积=以AB为直径的圆的面积﹣三角形ABC的面积=16π﹣×12×2=16π﹣12．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．答题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡的相应位置上．）‎ ‎11．据有关资料表明，黔东南州2015年上半年全州地区生产总值为357.27亿元，该数据用科学记数法表示为　3.5727×1010　元．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：357.27亿=35727000000=3.5727×1010．‎ 故答案为：3.5727×1010．‎ ‎　‎ ‎12．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两个实数根，则+的值是　．　．‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再根据+=即可解答．‎ ‎【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+2=0的两个实数根是x1、x2，‎ ‎∴x1+x2=3，x1•x2=2，‎ ‎∴+==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是　5　 cm．‎ ‎【考点】三角形中位线定理．‎ ‎【分析】由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长．‎ ‎【解答】解：如上图所示，‎ ‎∵D、E分别是AB、BC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE=AC，‎ 同理有EF=AB，DF=BC，‎ ‎∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．‎ 故答案为5．‎ ‎　‎ ‎14．如图，⊙O过点B、C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为　　．‎ ‎【考点】垂径定理；勾股定理．‎ ‎【分析】过O作OD⊥BC，由垂径定理可知BD=CD=BC，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的长，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的长．‎ ‎【解答】解：过O作OD⊥BC，‎ ‎∵BC是⊙O的一条弦，且BC=6，‎ ‎∴BD=CD=BC=×6=3，‎ ‎∴OD垂直平分BC，又AB=AC，‎ ‎∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ABC=45°，‎ ‎∴△ABD也是等腰直角三角形，‎ ‎∴AD=BD=3，‎ ‎∵OA=1，‎ ‎∴OD=AD﹣OA=3﹣1=2，‎ 在Rt△OBD中，‎ OB===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为　x＜﹣1　．‎ ‎【考点】一次函数与一元一次不等式．‎ ‎【分析】由图象可以知道，当x=﹣1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x＞k1x+b解集．‎ ‎【解答】解：两个条直线的交点坐标为（﹣1，3），且当x＞﹣1时，直线l1在直线l2的上方，故不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．‎ 故本题答案为：x＜﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是　y=2（x+1）2+3　．‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换．‎ ‎【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．‎ ‎【解答】解：原抛物线的顶点为（0，﹣1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；‎ 可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共8小题帮共86分．答题请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或钢笔书写在答题卡的相应位置上．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．计算：﹣|﹣2|+0﹣4cos60°+（）﹣1．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据实数的运算，即可解答．‎ ‎【解答】解：原式=2﹣（2﹣）+1﹣4×+3‎ ‎=2﹣2++1﹣2+3‎ ‎=3．‎ ‎　‎ ‎18．先化简，再求值：﹣÷，其中x=3．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】先算除法，再算减法，最后把x的值代入进行计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=﹣•‎ ‎=﹣•‎ ‎=﹣‎ ‎=‎ ‎=﹣．‎ 当x=3时，原式=﹣．‎ ‎　‎ ‎19．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】首先解每个不等式，然后把每个解集在数轴上表示出来，确定不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得，x≥﹣2，‎ 由②得，x≤3．‎ ‎∴不等式组的解集是﹣2≤x≤3．‎ ‎　‎ ‎20．如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1、3、6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．‎ ‎（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形数字的所有结果；‎ ‎（2）求分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无理数的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）转动2次的数字均为1，3，6，可用树状图列举出所有情况；‎ ‎（2）看指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无理数的情况占总情况的多少即可．‎ ‎【解答】解：（1）树形图如下：‎ ‎（2）数字之和分别为：2，4，7，4，6，9，7，9，12，‎ 算术平方根分别是：，2，，2，，3，，3，，‎ 设两数字之和的算术平方根为无理数是事件A．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎21．小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB=80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为45°，大厦底部B的俯角为60°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．计算结果保留根号．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】利用所给角的三角函数用CD表示出AD、BD；根据AB=AD+BD=80米，即可求得居民楼与大厦的距离．‎ ‎【解答】解：设CD=x．‎ 在Rt△ACD中，tan45°==1，‎ ‎∴AD=CD=x，‎ 在Rt△BCD中，tan60°==，‎ ‎∴BD=CD=x，‎ ‎∵AD+BD=80，‎ ‎∴x+x=80，．解得：x=40﹣40，‎ 答：小英家所在居民楼与大厦的距离CD是（40﹣40）米．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．‎ ‎（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；‎ ‎（2）若OB=BG=2，求CD的长．‎ ‎【考点】切线的判定；解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）相切．连接OC，证OC⊥FG即可．根据题意AF⊥FG，证∠FAC=∠ACO可得OC∥AF，从而OC⊥FG，得证；‎ ‎（2）根据垂径定理可求CE后求解．在Rt△OCG中，根据三角函数可得∠COG=60°．结合OC=2求CE，从而得解．‎ ‎【解答】解：（1）直线FC与⊙O相切．‎ 理由如下：连接OC．‎ ‎∵OA=OC，∴∠1=∠2．‎ 由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．‎ ‎∴∠2=∠3，∴OC∥AF．‎ ‎∴∠OCG=∠F=90°．‎ ‎∴直线FC与⊙O相切．‎ ‎（2）在Rt△OCG中，，‎ ‎∴∠COG=60°．‎ 在Rt△OCE中，．‎ ‎∵直径AB垂直于弦CD，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎23．凯里市万潮中学计划从天一商场购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用16元．且购买4块A型小黑板和3块B型小黑板共需680元．‎ ‎（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？‎ ‎（2）根据万潮中学实际情况，需从天一商场购买A、B两种型号的小黑板共50块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过4640元．并且购买A型小黑板的数量大于购买B种型号小黑板的数量的．请你通过计算，求出万潮中学从天一商场购买A、B两种型号的小黑板有哪几种购买方案？‎ ‎【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】（1）设购买一块A型小黑板需要x元，一块B型小黑板为y元，根据购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用16元．且购买4块A型小黑板和3块B型小黑板共需680元可列方程组求解．‎ ‎（2）设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板（50﹣m）块，根据需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共50块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过4640元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的，可列不等式组求解．‎ ‎【解答】解：（1）设购买一块A型小黑板需x元，一块B型小黑板y元，‎ 根据题意得：，‎ 解得：‎ 答：购买一块A型小黑板需要104元，一块B型小黑板需要88元；‎ ‎（2）设购买A型小黑板需m块，B型小黑板（50﹣m）块，‎ 根据题意得：，‎ 解得：12.5＜m≤15，‎ ‎∵m为正整数 ‎∴m的值为13、14、15．‎ ‎∴共有3种购买方案：‎ 方案一：购买A型小黑板需13块，B型小黑板37块；‎ 方案二：购买A型小黑板需14块，B型小黑板36块；‎ 方案三：购买A型小黑板需15块，B型小黑板35块．‎ ‎　‎ ‎24．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），设抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；‎ ‎（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？‎ ‎（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式，进而可用配方法或公式法求得顶点D的坐标．‎ ‎（2）根据B、C、D的坐标，可求得△BCD三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可．‎ ‎（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得△BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 由抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），可知c=﹣3，‎ 即抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣3，‎ 把A（﹣1，0）、B（3，0）代入，‎ 得 解得a=1，b=﹣2．‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，‎ ‎∴顶点D的坐标为（1，﹣4）．‎ ‎（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形，‎ 理由如下：‎ 过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．‎ 在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，‎ ‎∴BC2=18，‎ 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，‎ ‎∴CD2=2，‎ 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，‎ ‎∴BD2=20，‎ ‎∴BC2+CD2=BD2，故△BCD为直角三角形．‎ ‎（3）连接AC，则容易得出△COA∽△CAP，又△PCA∽△BCD，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）．‎ 过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，‎ 求得符合条件的点为．‎ 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，‎ 求得符合条件的点为P2（9，0）．‎ ‎∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）．‎