中考易错题分类集锦2 14页

解不等式的错解示例 一、 不等式的解集在数轴上表示不正确 例1.解不等式，并将不等式的解集表示在数轴上.‎ 正解：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎。‎ 不等式的解集表示在数轴上为图2.‎ ‎ 图2‎ 点拨：理解不等式的解集与数轴上的数的对应关系是解题的关键.‎ 二、 忽视不等式中参数的取值范围 例2. 已知关于x的不等式有解，求ɑ的取值范围和不等式的解集.‎ 正解：当时，得无解，这与已知条件矛盾.‎ 当即时，;‎ 当即时，.‎ 点拨：对于系数中含有参数的不等式，一定要注意讨论系数的正负.‎ 三、 不等式的性质3应用不当 例3.解不等式：.‎ 正解：移项，合并同类项，得,‎ ‎ 系数化为1，得.‎ 四、 移项时符号出错 ‎ 例4.解不等式：.‎ ‎ 正解：,‎ ‎ 点拨：在解这类题时，同学们应牢记不等式的基本性质.‎ 一、 去分母时，对不含分母的项处理不当 例5.解不等式.‎ 正解：去分母，得,‎ ‎ 去括号，得,‎ ‎ 移项，合并同类项，得,‎ ‎ 系数化为1，得.‎ 点拨：在做较复杂的题目时，一定要细心，每一步都要认真对应解不等式的法则.‎ ‎ 　　六、两边都乘以或除以同一个负数时，没有改变不等号的方向 例6.解不等式－2x＜10.‎ 正解：x＞－5．‎ 七、将a≥b写成b≥a 例7.解不等式6＋3x≥4x－2.‎ 正确结果应是x≤8. ‎ 八、在数轴上表示不等式的解集时，不能正确使用空心点“○”和实心点“· ” ‎ 例8.(1)例如不等式x＋3＞6的解集是x＞3，说明3不是x＋3＞6的解，所以在数轴上表示x＞3时，应在表示3的点处画空心点“○”，如图(1)．‎ ‎(2)不等式x＋3≥6的解集是x≥3，说明3是不等式x＋3≥6的解，所以在数轴上表示x≥3时，应在表示3的点处画实心点“· ”，如图(2)．‎ 纠错小结：应该注意和认识到x＞a和x≥a的区别在于a是x≥a的解，而不是x＞a的解，所以要正确使用空心点“○”和实心点“· ”．‎ 九、忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等号方向出错 例9.解关于x的不等式（－a）x＞1－‎2a．‎ 正解：将不等式变形，得(1－‎2a)x＞2(1－‎2a)．‎ ‎（1）当1－‎2a＞0，即a＜时，不等式的解集是x＞2；‎ ‎（2）当1－‎2a＝0，即a＝时，不等式无解；‎ ‎（3）当1－‎2a＜0，即a＞时，不等式的解集是x＜2．‎ 十、忽略隐含条件，考虑问题不全 例10．如果关于x的不等式(‎2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜，则关于x的不等式ax＞b的解集是_________．‎ 正解：由不等式（‎2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜，得解得所以ax＞b的解集是x＜．‎ 解不等式易错点示例 一、概念类错误 例1．已知不等式：①2≤2；②2＜3；③2＞3；④2≤3；⑤3≥3；⑥3≥2，其中成立的有（ ）‎ A.1个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 选C.‎ 例2．下面给出四个式子：①x＞2；②a≠0；③5＜3；④a≥b，其中是不等式的是（ ）‎ A. ①④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④‎ 故选D．‎ 二、性质类错误 例3．命题“若a＜b，c＜d，则ac＜bd”是否成立？‎ 故该命题不成立．‎ 例4．若a＞b， c为有理数，则下列式子中正确的是（ ）‎ ‎①ac＞bc；②ac＜bc；③ac2＞bc2；④；⑤‎ A. ④ B. ③ C. ①②⑤ D. ①②④⑤‎ 故选A．‎ 例5．已知am＞bm（m≠0），下面结论中，正确的是（ ）‎ A. a＞b B. a＜b C. D. am2＞bm2‎ C正确.‎ 例6.解不等式3x-2＞x+5.‎ 答案应为x＜.‎ 三、解集类错误 例7.由于小于6的每一个数都是不等式x-1＜6的解，所以这个不等式的解集是x＜6.这种说法对不对？‎ 故不等式x-1＜6的解集是x＜14.‎ 例8．在数轴上表示x≥-2.‎ 正解：如图.‎ 提示：注意实心圆点与空心圆圈的区别、射线的方向、数轴画的是否完整是在数轴上表示解集时易错的三个方面.‎ 四、解不等式过程中的错误 例9．解不等式2x+3+＞+x.‎ 因此正确答案应为x＞-3且x≠0.‎ 例10．解不等式＜0.3.‎ 正解：＜0.3即＜0.3，2x＜6.5，故x＜3.25.‎ 例11．解不等式4-3x＜7x.‎ 正解：移项，得-3x-7x＜-4，合并，得-10x＜-4，两边同除以-10，得x＞.‎ 解一元一次不等式组错解示例 一、误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分．‎ 例1 解不等式组 正解：由①得x＞1．由②得x＜－2，所以此不等式组无解．‎ 二、误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个” ‎ 例2 解不等式组 ‎ 正解：解不等式①，得x＞－．解不等式②，得x＞5．‎ 所以不等式组的解集为x＞5．‎ 三、混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法．‎ 例3 解不等式组 正解：由不等式①，得x≥－17，即x≥－．‎ 由不等式②，得x≤－3，即 x≤－．‎ 所以原不等式组的解集为－≤x≤－．‎ 四、在去分母时，漏乘常数项．‎ 例4 解不等式组 正解：由①，得x＜2．在＋2≥－x的两边同乘2，得x－1＋4≥－2x ‎．于是有x≥－1，所以原不等式组的解集为－1≤x＜2．‎ 五、寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况．‎ 例5若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________________．‎ 正解：由 得又因为不等式组无解，所以a的取值范围是a≥3．‎ 答案：a≥3‎ 例6 已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则 a的取值范围是_________．‎ 正解：由解得又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a≤x＜2．又知这5个整数解为－3，－2，－1，0，1．故a的取值范围是－4＜a≤－3．‎ 答案：－4＜a≤－3‎ ‎ 与点的坐标有关的错解示例 ‎ 一、例1 求点P（-2，3）到两坐标轴的距离.‎ 正解：点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2.‎ 二、例2 已知点P(m,n)到x轴的距离为2,到y轴的距离等于3,则点P的坐标是_____.‎ 这样的P点应有4个，而错解中只写了1个,漏掉了3个.‎ 正解: 点P的坐标可以是(3,2),(-3,2),(3,-2),(-3,-2).‎ 三、例3 已知点P(m,‎2m-1)在x轴上,则P点的坐标是_______.‎ 正解：由‎2m-1=0，得m=.所以点P的坐标是（,0）.‎ 四、例4 已知点A的坐标为(3, -2)，将点A水平向右平移4个单位长度得到的点B的坐标是多少？‎ 正解：点B的坐标为（7，﹣2）.‎ 一次函数错解示例 一、忽视一次函数定义中k≠0这一条件 例 1 已知一次函数y = (m-2)x + m2‎-3m-2的图象与y轴的交点为（0, -4)，求m的值.‎ 正解：把点（0，-4)代入已知的函数关系式中，得.解得. 因为k≠0，而当m = 2时，m-2 =0，因此m = 1.‎ 二、忽视一次函数中自变量的取值范围 例2 下列函数的图象与y = x的图象完全相同的是（ ）‎ ‎(A)①②③④ （B)①②④ (C)①②③ （D)①‎ 故应选D.‎ 正解：选D.‎ 三、忽视题设条件 例 3 若一次函数y=(1+ ‎2m)x-m-的函数值y随x的增大而减小，且此函数图象不经过第三象限，求m的取值范围.‎ 正解：由题意知1+‎2m<0且≥0，即m<且,所以m<.‎ 四、考虑问题不全面 例4 已知直线y=-x+5与x轴交于A点，直线上有一点P,满足△POA的面积为10, ‎ 求点P的坐标.‎ 正解：设P(x,y),则解得,‎ ‎∴分别代入y=－x+5,得 ‎∴P点的坐标为（1,4)或（9, -4).‎ 五、遗漏附加条件出现错误 例5 若一次函数的图象经过第一象限，则m的值是 .‎ 故正确答案是 .‎ 六、缺少分类讨论出现错误 例6当= 时，函数是一次函数.‎ 正确答案是：或或.‎ 七、不熟悉函数的性质出现错误 例7若一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则这个函数的关系式是 .‎ 故所求函数的关系式是或.‎ 一次函数的应用常见失误示例 一、忽视实际情形中的限制出现错误 例1已知等腰三角形的周长是‎16cm，底边长是ycm，腰长是cm，求y与的函数关系式，并写出函数自变量的取值范围.‎ 正确的答案是：与的函数关系式是，自变量的取值范围是.‎ 二、忽视点的坐标与线段长之间的区别出现错误 例2 已知一次函数的图像经过点（3,0），且与坐标轴围成的三角形面积为6，求这个一次函数的关系式.‎ 所以所求一次函数的关系式有两个，即或.‎ 三、混淆坐标与距离（长度）‎ 例3直线过点，且与轴交于点，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的关系式.‎ 正解：设点的坐标是，则，.‎ ‎ ∴S△AOB，∴，‎ ‎ ∴点B的坐标为（0，3）或（0，3）.‎ ‎ ∴直线的关系式为或.‎ 四、忽视自变量的实际意义 例4一辆汽车由内江匀速驶往成都，下列图像中能大致反映汽车距离成都的路程（千米）和行驶时间（小时）的关系的是（ ）.‎ 故应选B.‎ 五、忽视隐含条件 例5 小明等同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，得到下表一组数据： ‎ 砝码的质量（克）‎ ‎0‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ 弹簧的长度（厘米）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7.5‎ ‎7.5‎ ‎7.5‎ 根据表格中的数据信息画出相应的一次函数图像.‎ 正解：设，将，和，，代入可得，，所以，当时，.所以所画的函数图像如图2所示.‎ 反比例函数错解示例 一、 忽视隐含条件“k≠0”出错 ‎ 例1.当m =————————时，函数是反比例函数 正解：由题意，得 , 解得,因此=3，‎ 即当3时此函数是反比例函数.‎ 二、忽视实际问题中自变量的取值范围出错 ‎ 三、例2.三角形的面积为8，这时底边上的高y()与底边x（）之间的函数关系的图象大致是（ ）‎ 正解： 选D.由三角形的面积公式，得 ‎（x>0），故选D.‎ 四、 忽视比例系数的不同出错 ‎ 例3.已知y与成正比例，与成反比例，求y与z的函数关系式 正解： y与成正比例，与成反比例 ‎ ， （均不等于0），‎ 五、 忽视反比例函数的性质成立的条件出错 ‎ 例4.在函数（m为常数）的图象上有三点(-3,),(-1 ,) ,(3 ,) 则函数值的大小关系是（ ）‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 正解： ，‎ 图象分布在第二、四象限内，且在各象限内，y随x的增大而增大，由题知点(-3,),(-1 ,) 在第二象限分支上，又因为 -3<-1,所以，而 点(3 ,)在第四象限的分支上，所以<0，因此有 ，故应选D.‎ 说明:本题宜采用数形结合法求解，即画出函数的图象，然后大致描出这三点，即可判断其大小关系.‎ 六、忽视分类讨论出错 ‎ 例5．已知反比例函数的图象上有两点A（） ,B（），且，则的值是（ ）‎ A 正数 B负数 C 非负数 D不能确定 正解：（1）当时，如图1，则有，所以<0，即是负数.‎ ‎（2）当时，如图2，则有，所以>0，即是正数.‎ ‎（3）当时，如图3，则有，所以<0，即是负数.‎ 综合（1），（2），（3）应选D.‎ 反比例函数的应用错解示例 忽视实际问题中自变量的取值范围而出错 例 甲、乙两地相距‎100 km，一辆汽车从甲地驶往乙地，汽车的平均速度是x km/h，汽车从甲地到乙地所用的时间是yh.下列图象中能大致表示y与x关系的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 故选C.‎ 二次函数常见错解示例 一、忽略二次项系数不等于0‎ 例1已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围 是（　）‎ ‎（A）k ＜3 (B) k＜3 且k ≠0　(C) k ≤3 　(D) k≤3 且k ≠0‎ 正解: 选D.由题意,得△=－4 k×3≥0且k ≠0,即k≤3 且k ≠0,故应选D.‎ 二、忽略隐含条件 例2如图,已知二次函数的图象与y轴交于点A, 与x轴正半轴交于B,C两点,且BC＝2, ＝3,则b的值为(　　　)‎ ‎（A）-5　　　(B)4或-4　　　 (C) 4　　　(D)-4‎ 正解: 选D.‎ 例3 若y关于x的函数y=(a-2)x2-(‎2a-1)x+a 的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值是多少？‎ 正解：当函数y是关于x的一次函数时，a=2,函数的解析式为y=-3x+2，函数图象与y轴的交点坐标为(0,2)，与x轴的交点坐标为(,0).所以a=2符合题意.‎ 当函数y是关于x的二次函数时，函数y=(a-2)x2-(‎2a-1)x+a的图象与y轴有一个交点(0,a)，与坐标轴共有两个交点，所以与x轴只有一个交点，则关于x的一元二次方程y=(a-2)x2-(‎2a-1)x+a有两个相等的实数根，所以判别式 ‎△=[-(‎2a-1)]2-4×(a-2)a=0，解得a=-.‎ 而当a=0时，与y轴的交点为原点，此时，y=-2x2+x与x轴还有一个交点(,0).‎ 综上可得a=2或a=0或a=-.‎ 四、忽略数形结合思想方法的应用 例4 求二次函数y=+4x+5(-3≤x≤0)的最大值和最小值.‎ 正解:∵y=+4x+5= +1,∴对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,1),画出大致的图象,如图是抛物线位于-3≤x≤0的一段,显然图象上最高点是C,最低点是顶点B而不是端点A,所以当-3≤x≤0时, y最大值为5, y最小值为1.‎ 五、求顶点坐标时混淆符号 例5 求二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标.‎ 正解：（1）用配方法 y=-x2+2x-2=-(x-1) 2 -1‎ 所以二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标为(1,-1).‎ ‎（2）用公式法 -，‎ 所以二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标为(1,-1).‎ 六、忽视根的判别式的作用 例6 已知抛物线y=-x2+(6-)x+m-3与x轴有两个交点A，B，且A，B关于y轴对称，求此抛物线解析式.‎ 正解：因为A与B关于y轴对称，所以抛物线对称轴为y轴，即直线x=-=- ，解得m=6,或者m=-6.‎ 当m=6时，抛物线解析式为y=-x2+3. ‎ 此时，b2‎-4ac=02-4×(-)×3=6>0，方程-x2+3=0有两个不相等的实数根，抛物线y=-x2+3与x轴有两个交点，符合题意.‎ 当m=-6时，方程抛物线解析式为y=-x2-9.此时，b2‎-4ac=02-4× (-)×(-9)=-18<0，方程-x2-9=0没有实数根，抛物线y=-x2-9与x轴有两个交点，不符合题意，舍去.‎ 因此所求抛物线解析式为y=-x2+3.‎ 二次函数常见错解示例 忽略自变量的取值范围 例1 如图,五边形ABCDE为一块土地的示意图,四边形AFDE为矩形,AE=‎130米,DE=‎100米,BC截∠F交AF,FD分别于点B,C，且BF=FC=‎10米，现要在此土地上划出一块矩形土地NPME作为安置区，且点P在线段BC上，若设PM的长为x米，矩形NPME的面积为y平方米，求y与x的函数关系式，并求当x为何值时，安置区的面积y最大，最大面积为多少？　 ‎ 错解:延长MP交AF于点H,则△BPH是等腰直角三角形,‎ ‎∴BH=PH=130-x,DM=HF=10-BH=x-120,EM=220-x.‎ ‎∴y=PM·EM=x (220-x)=-+220x.‎ 又∵a=-1＜0，‎ ‎∴当x ==110时，y取得最大值，且其最大值为=12 ‎100平方米.‎ 错解分析:上面的解法错在忽略了自变量的取值范围,在研究实际问题的最大(小)值时,自变量的取值范围往往起着决定作用,但学生常因重视不够而犯错.本题必须考虑实际含义0≤PH≤10,得120≤x≤130,又抛物线y=-+220x的对称轴为x ==110,且它的开口向下, ∴当120≤x≤130时, y随着x的增大而减小. ∴当x=120时, y取得最大值,且其最大值为12 ‎000平方米.‎ 例2 某公司1-8月份的每月纯利润(万元)是关于月份x(月)的二次函数.下表是公司每月纯利润报表的一部分：‎ 月份x(月)‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ 纯利润(万元)‎ ‎16.8‎ ‎18.2‎ ‎19.2‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式；‎ ‎(2)在1-8月份中，哪个月的纯利润最大？ ‎ 正解： (1)设y =ax2+bx+c(a≠0)，由已知得，解得a=-,b=1,c=15.即y=-x2+x+15(1≤x≤8且x为整数).‎ ‎(2)∵a=‎