5部分省市中考数学试题分类汇编 全等三角形 7页

‎2010年部分省市中考数学试题分类汇编 全等三角形 ‎1. （2010年河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O．连结BB’.‎ ‎(1)请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；‎ ‎(2)求证：△A B’O≌△CDO.‎ ‎【答案】（1）△ABB′, △AOC和△BB′C. ‎ ‎ （2）在平行四边形ABCD中，AB = DC,∠ABC = ∠D ‎ 由轴对称知AB′= AB，∠ABC = ∠AB′C ‎ ∴AB′= CD, ∠AB′O = ∠D ‎ ‎ 在△AB′O 和△CDO中，‎ ‎ ‎ ‎ ∴△AB′O ≌△CDO ‎2、(2010年福建省德化县)（本题满分10分）已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF.‎ ‎(1)求证:AE=AF.‎ ‎(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，‎ 求证: △AEF为等边三角形.‎ ‎【关键词】三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质 ‎【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D. ……1分 ‎ 又∵BE=DF，∴≌. ……3分 ∴AE=AF. …… 4分 ‎(2)连接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD. ……6分 ‎∵AB=BC=CD=DA , ∴△ABC和△ACD都是等边三角形. ……7分 ‎ ∴, .‎ ‎ ∴.……9分 ‎ 又∵AE=AF ∴是等边三角形. ……10分 B E C F A D ‎3、(2010年燕山)已知：如图，四点B、E、C、F顺次在同一条直线上，‎ A、D两点在直线BC的同侧，BE＝CF，AB∥DE，‎ ‎∠ACB＝∠DFE．‎ 求证：AC＝DF．‎ ‎【关键词】利用角边角判定三角形全等和三角形全等的性质 ‎【答案】证明：∵ AB∥DE， ∴∠ABC =∠DEF. ……………………………………………1分 ‎ ∵ BE=CF，‎ ‎ ∴BE+CE= CF+CE，即BC=EF. ……………………………………2分 在△ABC和△DEF中， ‎ 又∵∠ACB =∠DFE， ‎ ‎∴△ABC≌△DEF. ……………………………………………3分 ‎∴ AC=DF . ………………………………………4分 ‎4．（2010年北京顺义）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分，‎ ‎，垂足为E．‎ 求证：AD=AE．‎ 证明：∵ AB=AC，点D是BC的中点，‎ ‎∴ ∠ADB=90°． ………………… 1分21世纪教育网 ‎∵ AE⊥AB，‎ ‎∴ ∠E=90°=∠ADB． ………………… 2分 ‎∵ AB平分，‎ ‎∴ ∠1=∠2．……………………… 3分 在△ADB和△AEB中，‎ ‎∴ △ADB≌△AEB．………………………… 4分 ‎∴ AD=AE．……………………… 5分 ‎5、（2010年福建福州中考）17.（每题7分，共14分）‎ ‎（1）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D。‎ 求证：△ABC≌△DEF。‎ ‎（2）如图，在矩形OABC中，点B的坐标为（－2，3）。画出矩形OABC绕点O顺时针旋转90°后的矩形OA1B1C1,并直接写出的坐标A1、B1、C1的坐标。‎ ‎6、（2010年辽宁省丹东市） 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=‎4cm，矩形ABCD的周长为‎32cm，求AE的长．‎ ‎【关键词】全等三角形的判定与性质、矩形的性质 第20题图 B C A E D F ‎【答案】解：在Rt△AEF和Rt△DEC中， ‎ ‎∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°， ‎ ‎∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，‎ ‎∴∠AEF=∠ECD． ‎ 又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC ‎∴Rt△AEF≌Rt△DCE． ‎ AE=CD． AD=AE+4．‎ ‎∵矩形ABCD的周长为‎32 cm， ‎ ‎∴2（AE+AE+4）=32． ‎ 解得， AE=6 （cm）． ‎ ‎18（2010年浙江省东阳县）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．‎ A B C D F E ‎(1)请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论．‎ ‎（2）连接BF、CE，若四边形BFCE是菱形，则△ABC中应 添加一个条件 ‎ ‎【关键词】‎ ‎【答案】（1）AD是△ABC的中线 理由如下：∵ＢＥ⊥ＡＤ，ＣＦ⊥ＡＤ，∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°‎ 又∵ＢＥ＝ＣＦ，∠ＢＤＥ＝∠ＣＦＤ　∴△ＢＤＥ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）‎ ‎（２）ＡＢ＝ＡＣ或∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ或ＡＤ⊥ＢＣ或ＡＤ平分∠ＢＡＣ ‎7．（2010日照市）一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的的点C最多有 个． ‎ 答案：4‎ ‎8、（2010重庆潼南县）19.（6分）画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）.‎ 已知：‎ ‎ 求作：‎ 答案：已知：线段a、h ‎ 求作：一个等腰△ABC使底边BC=a，底边BC上的高为h ‎ 画图（保留作图痕迹图略）‎ ‎9、(2010重庆市潼南县) 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.‎ ‎（1）证明：△ABE≌△DAF；‎ ‎（2）若∠AGB=30°，求EF的长.‎ 解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ‎ ‎ ∴AB=AD 在△ABE和△DAF中 ‎∴△ABE≌△DAF-----------------------4分 ‎（2）∵四边形ABCD是正方形 ‎∴∠1+∠4=900‎ ‎∵∠3=∠4‎ ‎∴∠1+∠3=900‎ ‎∴∠AFD=900----------------------------6分 在正方形ABCD中， AD∥BC ‎∴∠1=∠AGB=300‎ 在Rt△ADF中，∠AFD=900 AD=2 ‎ ‎∴AF= DF =1----------------------------------------8分 由(1)得△ABE≌△ADF ‎∴AE=DF=1‎ ‎∴EF=AF-AE= ------------------------10分 ‎10、(2010年浙江省绍兴市) (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,‎ CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.‎ 求证：BE＝CF.‎ 第23题图1‎ 第23题图2‎ ‎(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,‎ BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF ‎＝4.求GH的长.‎ ‎(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,‎ ‎∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：‎ ‎①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；‎ ‎ ②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).‎ 第23题图4‎ 第23题图3‎ 第23题图1‎ ‎【答案】(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ‎ ‎∴ ∠EAB+∠AEB=90°.‎ ‎∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,‎ 第23题图2‎ O′‎ N M ‎∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC， ‎ ‎∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． ‎ ‎(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，‎ 过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，‎ 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ‎ ‎∴ EF=BN,GH=AM， ‎ ‎∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,‎ 故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN，‎ ‎∴ GH=EF=4． ‎ ‎(3) ① 8．② 4n． ‎ ‎11、（2010年宁德市）（本题满分8分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明.‎ B D C A E F ‎【答案】解法一：添加条件：AE＝AF， ‎ 证明：在△AED与△AFD中，‎ ‎∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，‎ ‎∴△AED≌△AFD（SAS）.‎ 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，‎ 证明：在△AED与△AFD中，‎ ‎ ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA，‎ ‎ ∴△AED≌△AFD（ASA）. ‎ ‎12、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.‎ ‎⑴ 求证：△AMB≌△ENB；‎ ‎⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；‎ ‎②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；‎ ‎⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.‎ E A D B C N M ‎【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，‎ ‎∴BA＝BE，∠ABE＝60°.‎ ‎∵∠MBN＝60°，‎ ‎∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.‎ 即∠BMA＝∠NBE.‎ 又∵MB＝NB，‎ ‎∴△AMB≌△ENB（SAS）.‎ ‎⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.‎ F E A D B C N M ‎②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，‎ AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，‎ ‎∴AM＝EN.‎ ‎∵∠MBN＝60°，MB＝NB，‎ ‎∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴BM＝MN.‎ ‎∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ‎ 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ‎∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.‎ ‎⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，‎ ‎∴∠EBF＝90°－60°＝30°.‎ 设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.‎ 在Rt△EFC中，‎ ‎∵EF2＋FC2＝EC2，‎ ‎∴（）2＋（x＋x）2＝. ‎ 解得，x＝（舍去负值）.‎ ‎∴正方形的边长为. ‎