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- 2021-05-13 发布
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2016年北京专题---新定义
东城29. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A,B两点,在P,A,B三点中,位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时,则称点P为⊙C 的相邻点,直线l为⊙C关于点P的相邻线.
(1)当⊙O的半径为1时,
分别判断在点D(,),E(0,-),F(4,0)中,是⊙O的相邻点有__________;
请从中的答案中,任选一个相邻点,在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线,并说明你的作图过程.
点P在直线上,若点P为⊙O的相邻点,求点P横坐标的取值范围;
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线与x轴,y轴分别交于点M,N,若线段MN上存在⊙C的相邻点P,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.
东城29.解:(1)①D,E. …………2分 ②连接OD,过D作OD的垂线交⊙O于A,B两点. …………4分
(2) ∵⊙O的半径为1,所以点P到⊙O的距离小于等于3,且不等于1时时,符合题意.
∵ 点P在直线上,∴. …………6分
(3). …………8分
房山29.在平面直角坐标系xoy中,对于任意三点A,B,C给出如下定义:如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在正方形的内部或边界上,那么称该正方形为点A,B,C的外延正方形,在点A,B,C所有的外延正方形中,面积最小的正方形称为点A,B,C的最佳外延正方形.例如,图1中的正方形A1B1C1D1,A2B2C2D2 ,A3B3CD3都是点A,B,C的外延正方形,正方形A3B3CD3是点A,B,C的最佳外延正方形.
(1)如图1,点A(-1,0),B(2,4),C(0,t)(t为整数).
① 如果t=3,则点A,B,C的最佳外延正方形的面积是 ;
② 如果点A,B,C的最佳外延正方形的面积是25,且使点C在最佳外延正方形的一边上,请写出一个符合题意的t值 ;
图一 图二
(图3 ) (图4)
(2)如图3,已知点M(3,0),N(0,4),P(x,y)是抛物线y=x2-2x-3上一点,求点M,N,P的最佳外延正方形的面积以及点P的横坐标x的取值范围;
(3)如图4,已知点E(m,n)在函数(x>0)的图象上,且点D的坐标为(1,1),设点O,D,E的最佳外延正方形的边长为,请直接写出的取值范围.
房山29.解:(1)① 16 ;-----------2分 ② 5或-1 ; ---------3分
(2) 以ON为一边在第一象限作正方形OKIN,如图3①
点M在正方形OKIN的边界上,抛物线一部分在正方形OKIN内,P是抛物线上一点,
∴正方形OKIN是点M,N,P的一个面积最小的最佳外延正方形
∴点M,N,P的最佳外延正方形的面积的最小值是16;
∴点M,N,P的最佳外延正方形的面积S的取值范围是:S16 -------------5分
满足条件的点P的横坐标的取值范围是3 ------------6分
(3) -----------------8分
丰台29. 如图,点P( x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点. 当a ≤ x ≤ b时,有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,则称这两个函数在a ≤ x ≤ b上是“相邻函数”,否则称它们在a ≤ x ≤ b上是“非相邻函数”. 例如,点P(x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点,当-3 ≤ x ≤ -1时,y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2,通过构造函数y = x + 2并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性质,得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1,所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”.
(1)判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在-2 ≤ x≤ 0上是否为“相邻函数”,并说明理由;
(2)若函数y = x2 - x与y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”,求a的取值范围;
(3)若函数y =与y =-2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.
丰台29.解:(1)是“相邻函数”. ------- 1分
理由如下: ,构造函数.
∵在上随着的增大而增大,
∴当时,函数有最大值1,当时,函数有最小值-1,即.∴.--- 3分
即函数与在上是“相邻函数”.
(2),构造函数.
∵,∴顶点坐标为.
又∵抛物线的开口向上,
∴当时,函数有最小值,当或时,函数有最大值,即,
∵函数与在上是 “相邻函数”,
∴,即∴. --- 6分
(3)的最大值是2,的最小值1. -------- 8分
海淀29.在平面直角坐标系中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的限距点的定义如下:若为直线PC与⊙C的一个交点,满足,则称为点P关于⊙C的限距点,右图为点P及其关于⊙C的限距点的示意图.
(1) 当⊙O的半径为1时.
①分别判断点M ,N,T 关于⊙O的限距点是否存在?若存在,求其坐标;
②点D的坐标为(2,0),DE,DF分别切⊙O于点E,点F,点P在△DEF的边上.若点P关于⊙O的限距点存在,求点的横坐标的取值范围;
(2)保持(1)中D,E,F三点不变,点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动,⊙C的圆心C的坐标为(1,0),半径为r.请从下面两个问题中任选一个作答.
温馨提示:答对问题1得2分,答对问题2得1分,两题均答不重复计分.
问题1
问题2
若点P关于⊙C的限距点存在,且随点P的运动所形成的路径长为,则r的最小值为__________.
若点P关于⊙C的限距点不存在,则r的取值范围为________.
海淀29.解:(1)①点M,点T关于⊙的限距点不存在;点N关于⊙的限距点存在,坐标为(1,0).
②∵点的坐标为(2,0),⊙半径为1,,分别切⊙于点,点,
∴切点坐标为,…3分
如图所示,不妨设点的坐标为,点的坐标为,EO,FO的延长线分别交⊙于点,,则,.
设点关于⊙的限距点的横坐标为.
Ⅰ.当点在线段上时,直线与的交点满足,故点关于⊙的限距点存在,其横坐标满足.
Ⅱ.当点在线段,(不包括端点)上时,直线PO与⊙O的交点满足或,故点P关于⊙的限距点不存在.
Ⅲ.当点与点重合时,直线PO与⊙O的交点满足,故点P关于⊙的限距点存在,其横坐标=1.
综上所述,点关于⊙的限距点的横坐标的范围为或=1. ……………………6分
(1) 问题1: . 问题2:0 < r < .
怀柔29.给出如下规定:两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值时,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的“近距离”;如果线段PQ的长度存在最大值时,就称该最大值为两个图形G1和G2之间的“远距离” .
请你在学习,理解上述定义的基础上,解决下面问题:
在平面直角坐标系xOy中,点A(-4, 3),B(-4,-3),C(4,-3),D(4, 3).
(1)请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD,直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”.
(2)设直线(b>0)与x轴,y轴分别交于点E,F,若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1,求它们的“远距离” ;
(3)在平面直角坐标系xOy中,有一个矩形GHMN,若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心,2为半径的圆上,其余各点可能在圆上或圆内.将四边形ABCD绕着点O旋转一周,在旋转的过程中,它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是 ;“近距离”的最小值是 .
怀柔29.解:(1)画图. ………………………………1分
“近距离”是 8 . …………………2分 “远距离”是 10 . ……………………3分
(2)①当EF在矩形ABCD内部时,∵“近距离”=1,∴F(0,2).
把F(0,2)代入中,∴b=2.∴直线EF的表达式为.∴E(,0).
∵EC=, FC=,∴FC >EC.∴“远距离”为 . …………5分
②当EF在矩形ABCD外部时,
由题意可知:E(,0), F(0,10),
∴EC=, FC=.∴FC >EC.∴远距离”为 . ……………6分
综上所述,“远距离”为或 .
(1) 最大值是 7 .………7分 最小值是 1 .……………8分
门头沟29.如图1,P为∠MON平分线OC上一点,以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点,如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA·OB=OP2,我们就把∠APB叫做∠MON的关联角.
图1 图2 图3 图4
(1)如图2,P为∠MON平分线OC上一点,过P作PB⊥ON于B,AP⊥OC于P,那么∠APB ∠MON的关联角(填“是”或“不是”).
(2)① 如图3,如果∠MON=60°,OP=2,∠APB是∠MON的关联角,连接AB,求△AOB的面积和∠APB的度数;
② 如果∠MON=α°(0°<α°<90°),OP=m,∠APB是∠MON的关联角,直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积.
(3)如图4,点C是函数(x>0)图象上一个动点,过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A,B两点,且满足BC=2CA,直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标.
门头沟29.(本小题满分8分)
解:(1)是.………………………………………………1分
(2)① 如图,过点A作AH⊥OB于点H.
∵∠APB是∠MON的关联角,OP=2,∴OA·OB=OP2=4.
在Rt△AOH中,∠AOH=90°,∴,∴.
∴S△AOB,
.…………………………3分
∵∠APB是∠MON的关联角,∴OA·OB=OP2,即.
∵点P为∠MON的平分线上一点,∴ ∠AOP=∠BOP=.
∴△AOP∽△POB.∴∠OAP=∠OPB.∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-30°=150°.
② S△AOB.…………6分 (3)P点的坐标为,.…………8分
平谷29.对于两个已知图形G1,G2,在G1上任取一点P,在G2上任取一点Q,当线段PQ的长度最小时,我们称这个最小长度为G1,G2的“密距”,用字母d表示;当线段PQ的长度最大时,我们称这个最大的长度为图形G1,G2的“疏距”,用字母f表示.例如,当,时,点O与线段MN的“密距”为,点O与线段MN的“疏距”为.
(1)已知,在平面直角坐标系xOy中,,,,,
①点O与线段AB的“密距”为,“疏距”为;②线段AB与△COD的“密距”为,“疏距”为;
(2)直线与x轴,y轴分别交于点E,F,以为圆心,1为半径作圆,当⊙C与线段EF的“密距”0