全国中考数学真题分类汇编反比例函数解析答案 44页

反比例函数 考点一、反比例函数 （3~10 分） 1、反比例函数的概念 一般地，函数 x ky  （k 是常数，k  0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 1 kxy 的形式。 自变量 x 的取值范围是 x  0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于 原点对称。由于反比例函数中自变量 x  0，函数 y  0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两 个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 反比例 函数 )0(  kx ky k 的符号 k>0 k<0 图像 y O x y O x 性质 ①x 的取值范围是 x  0， y 的取值范围是 y  0； ②当 k>0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 ①x 的取值范围是 x  0， y 的取值范围是 y  0； ②当 k<0 时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 x ky  中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值 或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数 )0(  kx ky 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM PN= xyxy  。 kSkxyx ky  ,, 。 一、 选择题 1．（2017·山东省菏泽市·3 分）如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB＝90°，反比例函数 y＝ 在第一象限的图象经过点 B，则△OAC 与△BAD 的面 积之差 S△OAC﹣S△BAD 为（ ） A．36 B．12 C．6 D．3 2．（2017·山东省济宁市·3 分）如图，O 为坐标原点，四边形 OACB 是菱形，OB 在 x 轴的正半轴上，sin∠AOB＝ ，反比例函数 y＝ 在第一象限内的图象经过点 A，与 BC 交于点 F，则△AOF 的面积等于（ ） A．60 B．80 C．30 D．40 3.（2017·福建龙岩·4 分）反比例函数 y＝﹣ 的图象上有 P1（x1，﹣2），P2（x2， ﹣3）两点，则 x1 与 x2 的大小关系是（ ） A．x1＞x2 B．x1＝x2 C．x1＜x2 D．不确定 4．（2017 贵州毕节 3 分）如图，点 A 为反比例函数 图象上一点，过 A 作 AB⊥x 轴于 点 B，连接 OA，则△ABO 的面积为（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 5．（2017 海南 3 分）某村耕地总面积为 50 公顷，且该村人均耕地面积 y（单位：公顷/ 人）与总人口 x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积 y 与总人口 x 成正比例 C．若该村人均耕地面积为 2 公顷，则总人口有 100 人 D．当该村总人口为 50 人时，人均耕地面积为 1 公顷 6．（2017 河南）如图，过反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上一点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连 接 AO，若 S△AOB＝2，则 k 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7. （2017·黑龙江龙东·3 分）已知反比例函数 y＝ ，当 1＜x＜3 时，y 的最小整数值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2017·湖北荆州·3 分）如图，在 Rt△AOB 中，两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，将 △AOB 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△A′O′B．若反比例函数 的图象恰好经过斜边 A′B 的中点 C，S△ABO＝4， tan∠BAO＝2，则 k 的值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、 填空题 1. （2017·江西·3 分）如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝ （x＞0）及 y2＝ （x＞0）的图象 分别交于点 A，B，连接 OA，OB，已知△OAB 的面积为 2，则 k1﹣k2＝ ． 2. （2017·辽宁丹东·3 分）反比例函数 y＝ 的图象经过点（2，3），则 k＝ ． 3.（2017·四川内江）如图 10，点 A 在双曲线 y＝ 5 x 上，点 B 在双曲线 y＝ 8 x 上，且 AB∥x 轴，则△OAB 的面积等于______． 3．（2017·山东省滨州市·4 分）如图，已知点 A、C 在反比例函数 y＝ 的图象 上，点 B，D 在反比例函数 y＝ 的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x 轴，AB，CD 在 x 轴的两侧，AB＝ ，CD＝ ，AB 与 CD 间的距离为 6，则 a﹣b 的值是 ． 4. （2017·云南省昆明市·3 分）如图，反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过 A，B 两点，过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C，过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D，连接 AO，连 接 BO 交 AC 于点 E，若 OC＝CD，四边形 BDCE 的面积为 2，则 k 的值为 ． 5. （2017·浙江省湖州市·4 分）已知点 P 在一次函数 y＝kx＋b（k，b 为常数，且 k ＜0，b＞0）的图象上，将点 P 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到点 Q，点 Q 也在该函数 y＝kx＋b 的图 象上． x y O 图 10 BA y＝ 8 x y＝ 5 x （1）k 的值是 ； （2）如图，该一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，且与反比例函数 y＝ 图象交于 C，D 两点（点 C 在第二象限内），过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，记 S1 为四边形 CEOB 的面积，S2 为△OAB 的面积，若 ＝ ，则 b 的 值是 ． 6. （2017·浙江省绍兴市·5 分）如图，已知直线 l：y＝﹣x，双曲线 y＝ ，在 l 上取一点 A（a，﹣a）（a＞0），过 A 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B，过 B 作 y 轴的垂 线交 l 于点 C，过 C 作 x 轴的垂线交双曲线于点 D，过 D 作 y 轴的垂线交 l 于点 E，此 时 E 与 A 重合，并得到一个正方形 ABCD，若原点 O 在正方形 ABCD 的对角线上且分这 条对角线为 1：2 的两条线段，则 a 的值为 ． 7．（2017 广西南宁 3 分）如图，在 4×4 正方形网格中，有 3 个小正方形已经涂黑， 若再涂黑任意一个白色的小正方形（2017•南宁）如图所示，反比例函数 y＝ （k≠0， x＞0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D．若矩形 OABC 的面积为 8，则 k 的值为 ． 8.（2017·黑龙江齐齐哈尔·3 分）如图，已知点 P（6，3），过点 P 作 PM⊥x 轴 于点 M，PN⊥y 轴于点 N，反比例函数 y＝ 的图象交 PM 于点 A，交 PN 于点 B．若 四边形 OAPB 的面积为 12，则 k＝ ． 9．（2017·湖北荆门·3 分）如图，已知点 A（1，2）是反比例函数 y＝ 图象上的一 点，连接 AO 并延长交双曲线的另一分支于点 B，点 P 是 x 轴上一动点；若△PAB 是等腰 三角形，则点 P 的坐标是 _______________ ． 10．（2017·湖北荆州·3 分）若 12xm﹣1y2 与 3xyn＋1 是同类项，点 P（m，n）在双曲线 上，则 a 的值为 ． 三、 解答题 1. （2017·湖北武汉·8 分）已知反比例函数 xy 4 ． (1) 若该反比例函数的图象与直线 y＝kx＋4（k≠0）只有一个公共点，求 k 的值； (2) 如图，反比例函数 xy 4 （1≤x≤4）的图象记为曲线 C1，将 C1 向左平移 2 个单位长度，得曲线 C2，请在图中画 出 C2，并直接写出 C1 平移至 C2 处所扫过的面积． 2. （2017·吉林·7 分）如图，在平面直径坐标系中，反比例函数 y＝ （x＞0）的图象 上有一点 A（m，4），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C， 过点 C 作 y 轴的平行线交反比例函数的图象于点 D，CD＝ （1）点 D 的横坐标为 （用含 m 的式子表示）； （2）求反比例函数的解析式． 3. （2017·四 川 泸 州 ） 如 图 ， 一 次 函 数 y＝ kx＋ b（ k＜ 0） 与 反 比 例 函 数 y＝ 的 图 象 相 交 于 A、 B 两 点 ， 一 次 函 数 的 图 象 与 y 轴 相 交 于 点 C， 已 知 点 A（ 4， 1） （ 1） 求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ； （ 2）连 接 OB（ O 是 坐 标 原 点 ），若 △BOC 的 面 积 为 3，求 该 一 次 函 数 的 解 析 式 ． 4．（2017·四川南充） 如图，直线 y＝ x＋2 与双曲线相交于点 A（m，3），与 x 轴交于点 C． （1）求双曲线解析式； （2）点 P 在 x 轴上，如果△ACP 的面积为 3，求点 P 的坐标． 5．（2017·四川攀枝花） 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边 AB 垂直与 x 轴，垂足为点 B，反比例函数 y＝ （x＞0）的图象经过 AO 的中点 C，且 与 AB 相交于点 D，OB＝4，AD＝3， （1）求反比例函数 y＝ 的解析式； （2）求 cos∠OAB 的值； （3）求经过 C、D 两点的一次函数解析式． 6．（2017·四 川 宜 宾 ）如 图 ，一 次 函 数 y＝ kx＋ b 的 图 象 与 反 比 例 函 数 y＝ （ x ＞ 0） 的 图 象 交 于 A（ 2， ﹣ 1）， B（ ， n） 两 点 ， 直 线 y＝ 2 与 y 轴 交 于 点 C． （ 1） 求 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ； （ 2） 求 △ABC 的 面 积 ． 7.（2017·湖北黄石·12 分）如图 1 所示，已知：点 A（﹣2，﹣1）在双曲线 C：y＝ 上，直线 l1：y＝﹣x＋2， 直线 l2 与 l1 关于原点成中心对称，F1（2，2），F2（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线 C 在第一象限内的交点为 B，P 是曲线 C 上第一象限内异于 B 的一动点，过 P 作 x 轴平行线分别交 l1，l2 于 M，N 两点． （1）求双曲线 C 及直线 l2 的解析式； （2）求证：PF2﹣PF1＝MN＝4； （3）如图 2 所示，△PF1F2 的内切圆与 F1F2，PF1，PF2 三边分别相切于点 Q，R，S，求证：点 Q 与点 B 重合．（参考公 式：在平面坐标系中，若有点 A（x1，y1），B（x2，y2），则 A、B 两点间的距离公式为 AB＝ ．） 8.（2017·青海西宁·2 分）如图，一次函数 y＝x＋m 的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于 A，B 两点，且与 x 轴交于点 C，点 A 的坐标为（2，1）． （1）求 m 及 k 的值； （2）求点 C 的坐标，并结合图象写出不等式组 0＜x＋m≤ 的解集． 9.（2017·广西百色·6 分）△ABC 的顶点坐标为 A（﹣2，3）、B（﹣3，1）、 C（﹣1，2），以坐标原点 O 为旋转中心，顺时针旋转 90°，得到△A′B′C′， 点 B′、C′分别是点 B、C 的对应点． （1）求过点 B′的反比例函数解析式； （2）求线段 CC′的长． 10..（2017·贵州安顺·10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx＋b（k≠0） 的图象与反比例函数 y＝ x m （m≠0）的图象交于 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（n，6），点 C 的坐标 为（﹣2，0），且 tan∠ACO＝2． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标． 11. （2017·浙江省湖州市）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为 2000 平方米的长方形鱼塘． （1）求鱼塘的长 y（米）关于宽 x（米）的函数表达式； （2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖 20 米，当鱼塘的宽是 20 米，鱼塘的长为多少米？ 12.（2017·重庆市 A 卷·10 分）在平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋b（a≠0）的图形与反比例函数 y＝ （k≠0） 的图象交于第二、四象限内的 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，过点 A 作 AH⊥y 轴，垂足为 H，OH＝3，tan∠AOH＝ ， 点 B 的坐标为（m，﹣2）． （1）求△AHO 的周长； （2）求该反比例函数和一次函数的解析式． 13. （2017·重庆市 B 卷·10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四 象限内的 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，点 B 的坐标是（m，﹣4），连接 AO，AO＝5，sin∠AOC＝ ． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接 OB，求△AOB 的面积． 14．（2017·山东省菏泽市·3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y＝ 与直线 y＝﹣2x＋2 交于点 A（﹣ 1，a）． （1）求 a，m 的值； （2）求该双曲线与直线 y＝﹣2x＋2 另一个交点 B 的坐标． 15．（2017·山东省德州市·4 分）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售 工作，已知该运动鞋每双的进价为 120 元，为寻求合适的销售价格进行了 4 天的试销，试销情况如表所示： 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 售价 x（元/双） 150 200 250 300 销售量 y（双） 40 30 24 20 （1）观察表中数据，x，y 满足什么函数关系？请求出这个函数关系式； （2）若商场计划每天的销售利润为 3000 元，则其单价应定为多少元？ 16．（2017·山东省东营市·9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 A，与反 比例函数 y＝x m 的图象在第二象限交于点 C，CE⊥x 轴，垂足为点 E，tan∠ABO＝1 2 ，OB＝4,OE＝2． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点 D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 D 作 DF⊥y 轴，垂足为点 F，连接 OD、BF，如果 S△BAF＝4S△DFO， 求点 D 的坐标. 答案 反比例函数 一、 选择题 1．（2017·山东省菏泽市·3 分）如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数 y＝ 在第一象限的图象经过点 B，则△OAC 与△BAD 的面积之差 S△OAC﹣S△BAD 为（ ） A．36 B．12 C．6 D．3 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；等腰直角三角形． 【分析】设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为 a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点 B 的坐标，根据三 角形的面积公式结合反比例函数系数 k 的几何意义以及点 B 的坐标即可得出结论． 【解答】解：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为 a、b， 则点 B 的坐标为（a＋b，a﹣b）． ∵点 B 在反比例函数 y＝ 的第一象限图象上， ∴（a＋b）×（a﹣b）＝a2﹣b2＝6． ∴S△OAC﹣S△BAD＝ a2﹣ b2＝ （a2﹣b2）＝ ×6＝3． 故选 D． 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出 a2﹣b2 的 值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点 的坐标是关键． 2．（2017·山东省济宁市·3 分）如图，O 为坐标原点，四边形 OACB 是菱形，OB 在 x 轴的正半轴上，sin∠AOB＝ ， 反比例函数 y＝ 在第一象限内的图象经过点 A，与 BC 交于点 F，则△AOF 的面积等于（ ） A．60 B．80 C．30 D．40 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，过点 F 作 FN⊥x 轴于点 N，设 OA＝a，BF＝b，通过解直角三角形分别找出点 A、 F 的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 a、b 的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF 的面积 等于梯形 AMNF 的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，过点 F 作 FN⊥x 轴于点 N，如图所示． 设 OA＝a，BF＝b， 在 Rt△OAM 中，∠AMO＝90°，OA＝a，sin∠AOB＝ ， ∴AM＝OA•sin∠AOB＝ a，OM＝ ＝ a， ∴点 A 的坐标为（ a， a）． ∵点 A 在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴ a× a＝ ＝48， 解得：a＝10，或 a＝﹣10（舍去）． ∴AM＝8，OM＝6． ∵四边形 OACB 是菱形， ∴OA＝OB＝10，BC∥OA， ∴∠FBN＝∠AOB． 在 Rt△BNF 中，BF＝b，sin∠FBN＝ ，∠BNF＝90°， ∴FN＝BF•sin∠FBN＝ b，BN＝ ＝ b， ∴点 F 的坐标为（10＋ b， b）． ∵点 B 在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴（10＋ b）× b＝48， 解得：b＝ ，或 b＝ （舍去）． ∴FN＝ ，BN＝ ﹣5，MN＝OB＋BN﹣OM＝ ﹣1． S△AOF＝S△AOM＋S 梯形 AMNF﹣S△OFN＝S 梯形 AMNF＝ （AM＋FN）•MN＝ （8＋ ）×（ ﹣1）＝ ×（ ＋1） ×（ ﹣1）＝40． 故选 D． 3.（2017·福建龙岩·4 分）反比例函数 y＝﹣ 的图象上有 P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则 x1 与 x2 的大小 关系是（ ） A．x1＞x2 B．x1＝x2 C．x1＜x2 D．不确定 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案． 【解答】解：∵反比例函数 y＝﹣ 的图象上有 P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点， ∴每个分支上 y 随 x 的增大而增大， ∵﹣2＞﹣3， ∴x1＞x2， 故选：A． 4．（2017 贵州毕节 3 分）如图，点 A 为反比例函数 图象上一点，过 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连接 OA，则△ABO 的面积为（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及 坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变，可计算出答案． 【解答】解：△ABO 的面积为： ×|﹣4|＝2， 故选 D． 5．（2017 海南 3 分）某村耕地总面积为 50 公顷，且该村人均耕地面积 y（单位：公顷/人）与总人口 x（单位：人） 的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积 y 与总人口 x 成正比例 C．若该村人均耕地面积为 2 公顷，则总人口有 100 人 D．当该村总人口为 50 人时，人均耕地面积为 1 公顷 【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象． 【分析】解：如图所示，人均耕地面积 y（单位：公顷/人）与总人口 x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它 的图象在第一象限，根据反比例函数的性质可推出 A，B 错误， 再根据函数解析式求出自变量的值与函数值，有可判定 C，D． 【解答】解：如图所示，人均耕地面积 y（单位：公顷/人）与总人口 x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它 的图象在第一象限， ∴y 随 x 的增大而减小， ∴A，B 错误， 设 y＝ （k＞0，x＞0），把 x＝50 时，y＝1 代入得：k＝50， ∴y＝ ， 把 y＝2 代入上式得：x＝25， ∴C 错误， 把 x＝1 代入上式得：y＝， ∴D 正确， 故答案为：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，图象，求函数值与自变量的值，根据图象找出正确信息是解题的关键． 6．（2017 河南）如图，过反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上一点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连接 AO，若 S△AOB＝2，则 k 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数的性质． 【分析】根据点 A 在反比例函数图象上结合反比例函数系数 k 的几何意义，即可得出关于 k 的含绝对值符号的一元 一次方程，解方程求出 k 值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定 k 值． 【解答】解：∵点 A 是反比例函数 y＝ 图象上一点，且 AB⊥x 轴于点 B， ∴S△AOB＝ |k|＝2， 解得：k＝±4． ∵反比例函数在第一象限有图象， ∴k＝4． 故选 C． 【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数 k 的几何意义，解题的关键是找出关于 k 的含绝对值符 号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数 k 的几何意义找出关于 k 的含绝对值符号的一元一次方程是关键． 7. （2017·黑龙江龙东·3 分）已知反比例函数 y＝ ，当 1＜x＜3 时，y 的最小整数值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】反比例函数的性质． 【分析】根据反比例函数系数 k＞0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在 x＞0 中单调递减，再结合 x 的取值范围，可得出 y 的取值范围，取其内的最小整数，本题得解． 【解答】解：在反比例函数 y＝ 中 k＝6＞0， ∴该反比例函数在 x＞0 内，y 随 x 的增大而减小， 当 x＝3 时，y＝ ＝2；当 x＝1 时，y＝ ＝6． ∴当 1＜x＜3 时，2＜y＜6． ∴y 的最小整数值是 3． 故选 A． 8．（2017·湖北荆州·3 分）如图，在 Rt△AOB 中，两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，将 △AOB 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△A′O′B．若反比例函数 的图象恰好经过斜边 A′B 的中点 C，S△ABO＝4， tan∠BAO＝2，则 k 的值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】先根据 S△ABO＝4，tan∠BAO＝2 求出 AO、BO 的长度，再根据点 C 为斜边 A′B 的中点，求出点 C 的坐标，点 C 的横纵坐标之积即为 k 值． 【解答】解：设点 C 坐标为（x，y），作 CD⊥BO′交边 BO′于点 D， ∵tan∠BAO＝2， ∴ ＝2， ∵S△ABO＝ •AO•BO＝4， ∴AO＝2，BO＝4， ∵△ABO≌△A′O′B， ∴AO＝A′0′＝2，BO＝BO′＝4， ∵点 C 为斜边 A′B 的中点，CD⊥BO′， ∴CD＝ A′0′＝1，BD＝ BO′＝2， ∴x＝BO﹣CD＝4﹣1＝3，y＝BD＝2， ∴k＝x•y＝3•2＝6． 故选 C．． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点 C 的坐标，然后根据点 C 的横纵坐标之积等于 k 值求解即可． 二、 填空题 1. （2017·江西·3 分）如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝ （x＞0）及 y2＝ （x＞0）的图象 分别交于点 A，B，连接 OA，OB，已知△OAB 的面积为 2，则 k1﹣k2＝ 4 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】由反比例函数的图象过第一象限可得出 k1＞0，k2＞0，再由反比例函数系数 k 的几何意义即可得出 S△OAP＝ k1，S△OBP＝ k2，根据△OAB 的面积为 2 结合三角形之间的关系即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数 y1＝ （x＞0）及 y2＝ （x＞0）的图象均在第一象限内， ∴k1＞0，k2＞0． ∵AP⊥x 轴， ∴S△OAP＝ k1，S△OBP＝ k2． ∴S△OAB＝S△OAP﹣S△OBP＝ （k1﹣k2）＝2， 解得：k1﹣k2＝4． 故答案为：4． 2. （2017·辽宁丹东·3 分）反比例函数 y＝ 的图象经过点（2，3），则 k＝ 7 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 k 的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数 y＝ 的图象经过点（2，3）， ∴k﹣1＝2×3， 解得：k＝7． 故答案为：7． 3.（2017·四川内江） 如图 10，点 A 在双曲线 y＝ 5 x 上，点 B 在双曲线 y＝ 8 x 上，且 AB∥x 轴，则△OAB 的面积等 于______． [答案] 3 2 [考点]反比例函数，三角形的面积公式。 [解析]设点 A 的坐标为(a， 5 a )． ∵AB∥x 轴，∴点 B 的纵坐标为 5 a ． 将 y＝ 5 a 代入 y＝ 8 x ，求得 x＝ 8 5 a ． ∴AB＝ 8 5 a －a＝ 3 5 a ． ∴S△OAB＝ 1 2 · 3 5 a · 5 a ＝ 3 2 ． 故答案为： 3 2 ． 3．（2017·山东省滨州市·4 分）如图，已知点 A、C 在反比例函数 y＝ 的图象上，点 B，D 在反比例函数 y＝ 的 图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x 轴，AB，CD 在 x 轴的两侧，AB＝ ，CD＝ ，AB 与 CD 间的距离为 6，则 a﹣b 的值是 3 ． x y O 图 10 BA y＝ 8 x y＝ 5 x 【考点】反比例函数的性质． 【分析】设点 A、B 的纵坐标为 y1，点 C、D 的纵坐标为 y2，分别表示出来 A、B、C、D 四点的坐标，根据线段 AB、 CD 的长度结合 AB 与 CD 间的距离，即可得出 y1、y2 的值，连接 OA、OB，延长 AB 交 y 轴于点 E，通过计算三角形的 面积结合反比例函数系数 k 的几何意义即可得出结论． 【解答】解：设点 A、B 的纵坐标为 y1，点 C、D 的纵坐标为 y2， 则点 A（ ，y1），点 B（ ，y1），点 C（ ，y2），点 D（ ，y2）． ∵AB＝ ，CD＝ ， ∴2×| |＝| |， ∴|y1|＝2|y2|． ∵|y1|＋|y2|＝6， ∴y1＝4，y2＝﹣2． 连接 OA、OB，延长 AB 交 y 轴于点 E，如图所示． S△OAB＝S△OAE﹣S△OBE＝ （a﹣b）＝ AB•OE＝ × ×4＝ ， ∴a﹣b＝2S△OAB＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的结合意义以及反比例函数的性质，解题的关键是找出 a﹣b＝2S△OAB．本题 属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数系数 k 的几何意义结合三角形的面积求出反比例函数 系数 k 是关键． 4. （2017·云南省昆明市·3 分）如图，反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过 A，B 两点，过点 A 作 AC⊥x 轴， 垂足为 C，过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D，连接 AO，连接 BO 交 AC 于点 E，若 OC＝CD，四边形 BDCE 的面积为 2，则 k 的值为 ﹣ ． 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；平行线分线段成比例． 【分析】先设点 B 坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形 BDCE 的上下底边长与高，再根据四边 形 BDCE 的面积求得 ab 的值，最后计算 k 的值． 【解答】解：设点 B 坐标为（a，b），则 DO＝﹣a，BD＝b ∵AC⊥x 轴，BD⊥x 轴 ∴BD∥AC ∵OC＝CD ∴CE＝ BD＝ b，CD＝ DO＝ a ∵四边形 BDCE 的面积为 2 ∴ （BD＋CE）×CD＝2，即 （b＋ b）×（﹣ a）＝2 ∴ab＝﹣ 将 B（a，b）代入反比例函数 y＝ （k≠0），得 k＝ab＝﹣ 故答案为：﹣ 5. （2017·浙江省湖州市·4 分）已知点 P 在一次函数 y＝kx＋b（k，b 为常数，且 k＜0，b＞0）的图象上，将点 P 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到点 Q，点 Q 也在该函数 y＝kx＋b 的图象上． （1）k 的值是 ﹣2 ； （2）如图，该一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，且与反比例函数 y＝ 图象交于 C，D 两点（点 C 在第二象限内），过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，记 S1 为四边形 CEOB 的面积，S2 为△OAB 的面积，若 ＝ ，则 b 的 值是 3 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】（1）设出点 P 的坐标，根据平移的特性写出点 Q 的坐标，由点 P、Q 均在一次函数 y＝kx＋b（k，b 为常数， 且 k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于 k、m、n、b 的四元一次方程组，两式做差即可得出 k 值； （2）根据 BO⊥x 轴，CE⊥x 轴可以找出△AOB∽△AEC，再根据给定图形的面积比即可得出 ，根据一次 函数的解析式可以用含 b 的代数式表示出来线段 AO、BO，由此即可得出线段 CE、AE 的长度，利用 OE＝AE﹣AO 求出 OE 的长度，再借助于反比例函数系数 k 的几何意义即可得出关于 b 的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）设点 P 的坐标为（m，n），则点 Q 的坐标为（m﹣1，n＋2）， 依题意得： ， 解得：k＝﹣2． 故答案为：﹣2． （2）∵BO⊥x 轴，CE⊥x 轴， ∴BO∥CE， ∴△AOB∽△AEC． 又∵ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ． 令一次函数 y＝﹣2x＋b 中 x＝0，则 y＝b， ∴BO＝b； 令一次函数 y＝﹣2x＋b 中 y＝0，则 0＝﹣2x＋b， 解得：x＝ ，即 AO＝ ． ∵△AOB∽△AEC，且 ＝ ， ∴ ． ∴AE＝ AO＝ b，CE＝ BO＝ b，OE＝AE﹣AO＝ b． ∵OE•CE＝|﹣4|＝4，即 b2＝4， 解得：b＝3 ，或 b＝﹣3 （舍去）． 故答案为：3 ． 6. （2017·浙江省绍兴市·5 分）如图，已知直线 l：y＝﹣x，双曲线 y＝ ，在 l 上取一点 A（a，﹣a）（a＞0）， 过 A 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B，过 B 作 y 轴的垂线交 l 于点 C，过 C 作 x 轴的垂线交双曲线于点 D，过 D 作 y 轴的垂线交 l 于点 E，此时 E 与 A 重合，并得到一个正方形 ABCD，若原点 O 在正方形 ABCD 的对角线上且分这条对 角线为 1：2 的两条线段，则 a 的值为 或 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质． 【分析】根据点的选取方法找出点 B、C、D 的坐标，由两点间的距离公式表示出线段 OA、OC 的长，再根据两线段 的关系可得出关于 a 的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：依照题意画出图形，如图所示． ∵点 A 的坐标为（a，﹣a）（a＞0）， ∴点 B（a， ）、点 C（﹣ ， ）、点 D（﹣ ，﹣a）， ∴OA＝ ＝ a，OC＝ ＝ ． 又∵原点 O 分对角线 AC 为 1：2 的两条线段， ∴OA＝2OC 或 OC＝2OA， 即 a＝2× 或 ＝2 a， 解得：a1＝ ，a2＝﹣ （舍去），a3＝ ，a4＝﹣ （舍去）． 故答案为： 或 ． 7．（2017 广西南宁 3 分）如图，在 4×4 正方形网格中，有 3 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正 方形（2017•南宁）如图所示，反比例函数 y＝ （k≠0，x＞0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D．若矩 形 OABC 的面积为 8，则 k 的值为 2 ． 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】过 D 作 DE⊥OA 于 E，设 D（m， ），于是得到 OA＝2m，OC＝ ，根据矩形的面积列方程即可得到结论． 【解答】解：过 D 作 DE⊥OA 于 E， 设 D（m， ）， ∴OE＝m．DE＝ ， ∵点 D 是矩形 OABC 的对角线 AC 的中点， ∴OA＝2m，OC＝ ， ∵矩形 OABC 的面积为 8， ∴OA•OC＝2m• ＝8， ∴k＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键． 8.（2017·黑龙江齐齐哈尔·3 分）如图，已知点 P（6，3），过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N，反比例函 数 y＝ 的图象交 PM 于点 A，交 PN 于点 B．若四边形 OAPB 的面积为 12，则 k＝ 6 ． 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】根据点 P（6，3），可得点 A 的横坐标为 6，点 B 的纵坐标为 3，代入函数解析式分别求出点 A 的纵坐标和 点 B 的横坐标，然后根据四边形 OAPB 的面积为 12，列出方程求出 k 的值． 【解答】解：∵点 P（6，3）， ∴点 A 的横坐标为 6，点 B 的纵坐标为 3， 代入反比例函数 y＝ 得， 点 A 的纵坐标为 ，点 B 的横坐标为 ， 即 AM＝ ，NB＝ ， ∵S 四边形 OAPB＝12， 即 S 矩形 OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO＝12， 6×3﹣ ×6× ﹣ ×3× ＝12， 解得：k＝6． 故答案为：6． 9．（2017·湖北荆门·3 分）如图，已知点 A（1，2）是反比例函数 y＝ 图象上的一点，连接 AO 并延长交双曲线 的另一分支于点 B，点 P 是 x 轴上一动点；若△PAB 是等腰三角形，则点 P 的坐标是 （﹣3，0）或（5，0）或（3， 0）或（﹣5，0） ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质． 【分析】由对称性可知 O 为 AB 的中点，则当△PAB 为等腰三角形时只能有 PA＝AB 或 PB＝AB，设 P 点坐标为（x，0）， 可分别表示出 PA 和 PB，从而可得到关与 x 的方程，可求得 x，可求得 P 点坐标． 【解答】解： ∵反比例函数 y＝ 图象关于原点对称， ∴A、B 两点关于 O 对称， ∴O 为 AB 的中点，且 B（﹣1，﹣2）， ∴当△PAB 为等腰三角形时有 PA＝AB 或 PB＝AB， 设 P 点坐标为（x，0）， ∵A（1，2），B（﹣1，﹣2）， ∴AB＝ ＝2 ，PA＝ ，PB＝ ， 当 PA＝AB 时，则有 ＝2 ，解得 x＝﹣3 或 5，此时 P 点坐标为（﹣3，0）或（5，0）； 当 PB＝AB 时，则有 ＝2 ，解得 x＝3 或﹣5，此时 P 点坐标为（3，0）或（﹣5，0）； 综上可知 P 点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）， 故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）． 10．（2017·湖北荆州·3 分）若 12xm﹣1y2 与 3xyn＋1 是同类项，点 P（m，n）在双曲线 上，则 a 的值为 3 ． 【分析】先根据同类项的定义求出 m、n 的值，故可得出 P 点坐标，代入反比例函数的解析式即可得出结论． 【解答】解：∵12xm﹣1y2 与 3xyn＋1 是同类项， ∴m﹣1＝1，n＋1＝2，解得 m＝2，n＝1， ∴P（2，1）． ∵点 P（m，n）在双曲线 上， ∴a﹣1＝2，解得 a＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析 式是解答此题的关键． 三、 解答题 1. （2017·湖北武汉·8 分）已知反比例函数 xy 4 ． (1) 若该反比例函数的图象与直线 y＝kx＋4（k≠0）只有一个公共点，求 k 的值； (2) 如图，反比例函数 xy 4 （1≤x≤4）的图象记为曲线 C1，将 C1 向左平移 2 个单位长度，得曲线 C2，请在图中画 出 C2，并直接写出 C1 平移至 C2 处所扫过的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；考查了平移的性质，一元二次方程的根与系数的关系。 【答案】(1) k＝－1；(2)面积为 6 【解析】解：（1）联立 4 4 y x y kx      得 kx2＋4x－4＝0，又∵ xy 4 的图像与直线 y＝kx＋4 只有一个公共点，∴42－ 4∙k∙（—4）＝0，∴k＝－1． (2)如图： C1 平移至 C2 处所扫过的面积为 6． 2. （2017·吉林·7 分）如图，在平面直径坐标系中，反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上有一点 A（m，4），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C，过点 C 作 y 轴的平行线交反比例函数的图象于点 D， CD＝ （1）点 D 的横坐标为 m＋2 （用含 m 的式子表示）； （2）求反比例函数的解析式． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化－平移． x y O图 BAy＝ 8 xy＝ 5 x 【分析】（1）由点 A（m，4），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C，可求得点 C 的坐 标，又由过点 C 作 y 轴的平行线交反比例函数的图象于点 D，CD＝ ，即可表示出点 D 的横坐标； （2）由点 D 的坐标为：（m＋2， ），点 A（m，4），即可得方程 4m＝ （m＋2），继而求得答案． 【解答】解：（1）∵A（m，4），AB⊥x 轴于点 B， ∴B 的坐标为（m，0）， ∵将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C， ∴点 C 的坐标为：（m＋2，0）， ∵CD∥y 轴， ∴点 D 的横坐标为：m＋2； 故答案为：m＋2； （2）∵CD∥y 轴，CD＝ ， ∴点 D 的坐标为：（m＋2， ）， ∵A，D 在反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上， ∴4m＝ （m＋2）， 解得：m＝1， ∴点 a 的横坐标为（1，4）， ∴k＝4m＝4， ∴反比例函数的解析式为：y＝ ． 3. （2017·四 川 泸 州 ） 如 图 ， 一 次 函 数 y＝ kx＋ b（ k＜ 0） 与 反 比 例 函 数 y＝ 的 图 象 相 交 于 A、 B 两 点 ， 一 次 函 数 的 图 象 与 y 轴 相 交 于 点 C， 已 知 点 A（ 4， 1） （ 1） 求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ； （ 2） 连 接 OB（ O 是 坐 标 原 点 ）， 若 △BOC 的 面 积 为 3， 求 该 一 次 函 数 的 解 析 式 ． 【 考 点 】 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题 ． 【 分 析 】（ 1） 由 点 A 的 坐 标 结 合 反 比 例 函 数 系 数 k 的 几 何 意 义 ， 即 可 求 出 m 的 值 ； （ 2）设 点 B 的 坐 标 为（ n， ），将 一 次 函 数 解 析 式 代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 中 ，利 用 根 与 系 数 的 关 系 可 找 出 n、k 的 关 系 ， 由 三 角 形 的 面 积 公 式 可 表 示 出 来 b、 n 的 关 系 ， 再 由 点 A 在 一 次 函 数 图 象 上 ， 可 找 出 k、 b 的 关 系 ， 联 立 3 个 等 式 为 方 程 组 ， 解 方 程 组 即 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） ∵点 A（ 4， 1） 在 反 比 例 函 数 y＝ 的 图 象 上 ， ∴m＝ 4×1＝ 4， ∴反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y＝ ． （ 2） ∵点 B 在 反 比 例 函 数 y＝ 的 图 象 上 ， ∴设 点 B 的 坐 标 为 （ n， ）． 将 y＝ kx＋ b 代 入 y＝ 中 ， 得 ： kx＋ b＝ ， 整 理 得 ： kx 2 ＋ bx﹣ 4＝ 0， ∴4n＝ ﹣ ， 即 nk＝ ﹣ 1①． 令 y＝ kx＋ b 中 x＝ 0， 则 y＝ b， 即 点 C 的 坐 标 为 （ 0， b）， ∴S △ B O C ＝ bn＝ 3， ∴bn＝ 6②． ∵点 A（ 4， 1） 在 一 次 函 数 y＝ kx＋ b 的 图 象 上 ， ∴1＝ 4k＋ b③． 联 立 ①②③成 方 程 组 ， 即 ， 解 得 ： ， ∴该 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y＝ ﹣ x＋ 3． 4．（2017·四川南充） 如图，直线 y＝ x＋2 与双曲线相交于点 A（m，3），与 x 轴交于点 C． （1）求双曲线解析式； （2）点 P 在 x 轴上，如果△ACP 的面积为 3，求点 P 的坐标． 【分析】（1）把 A 坐标代入直线解析式求出 m 的值，确定出 A 坐标，即可确定出双曲线解析式； （2）设 P（x，0），表示出 PC 的长，高为 A 纵坐标，根据三角形 ACP 面积求出 x 的值，确定出 P 坐标即可． 【解答】解：（1）把 A（m，3）代入直线解析式得：3＝ m＋2，即 m＝2， ∴A（2，3）， 把 A 坐标代入 y＝ ，得 k＝6， 则双曲线解析式为 y＝ ； （2）对于直线 y＝ x＋2，令 y＝0，得到 x＝﹣4，即 C（﹣4，0）， 设 P（x，0），可得 PC＝|x＋4|， ∵△ACP 面积为 3， ∴ |x＋4|3＝3，即|x＋4|＝2， 解得：x＝﹣2 或 x＝﹣6， 则 P 坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）． 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形 性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 5．（2017·四川攀枝花） 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边 AB 垂直与 x 轴，垂足为点 B， 反比例函数 y＝ （x＞0）的图象经过 AO 的中点 C，且与 AB 相交于点 D，OB＝4，AD＝3， （1）求反比例函数 y＝ 的解析式； （2）求 cos∠OAB 的值； （3）求经过 C、D 两点的一次函数解析式． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）设点 D 的坐标为（4，m）（m＞0），则点 A 的坐标为（4，3＋m），由点 A 的坐标表示出点 C 的坐标， 根据 C、D 点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 k、m 的二元一次方程，解方程 即可得出结论； （2）由 m 的值，可找出点 A 的坐标，由此即可得出线段 OB、AB 的长度，通过解直角三角形即可得出结论； （3）由 m 的值，可找出点 C、D 的坐标，设出过点 C、D 的一次函数的解析式为 y＝ax＋b，由点 C、D 的坐标利用待 定系数法即可得出结论． 【解答】解：（1）设点 D 的坐标为（4，m）（m＞0），则点 A 的坐标为（4，3＋m）， ∵点 C 为线段 AO 的中点， ∴点 C 的坐标为（2， ）． ∵点 C、点 D 均在反比例函数 y＝ 的函数图象上， ∴ ，解得： ． ∴反比例函数的解析式为 y＝ ． （2）∵m＝1， ∴点 A 的坐标为（4，4）， ∴OB＝4，AB＝4． 在 Rt△ABO 中，OB＝4，AB＝4，∠ABO＝90°， ∴OA＝ ＝4 ，cos∠OAB＝ ＝ ＝ ． （3））∵m＝1， ∴点 C 的坐标为（2，2），点 D 的坐标为（4，1）． 设经过点 C、D 的一次函数的解析式为 y＝ax＋b， 则有 ，解得： ． ∴经过 C、D 两点的一次函数解析式为 y＝﹣ x＋3． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及待定 系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）由反比例函数图象上点的坐标特征找出关于 k、m 的二元一次方程组； （2）求出点 A 的坐标；（2）求出点 C、D 的坐标．本题属于基础题，难度不大，但考查的知识点较多，解决该题 型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组，通过解方程组得出点的坐标，再利用待定系数法求出 函数解析式即可． 6． （2017·四 川 宜 宾 ） 如 图 ， 一 次 函 数 y＝ kx＋ b 的 图 象 与 反 比 例 函 数 y＝ （ x＞ 0） 的 图 象 交 于 A（ 2， ﹣ 1）， B（ ， n） 两 点 ， 直 线 y＝ 2 与 y 轴 交 于 点 C． （ 1） 求 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ； （ 2） 求 △ABC 的 面 积 ． 【 考 点 】 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题 ． 【 分 析 】（ 1） 把 A 坐 标 代 入 反 比 例 解 析 式 求 出 m 的 值 ，确 定 出 反 比 例 解 析 式 ，再 将 B 坐 标 代 入 求 出 n 的 值 ，确 定 出 B 坐 标 ，将 A 与 B 坐 标 代 入 一 次 函 数 解 析 式 求 出 k 与 b 的 值 ，即 可 确 定 出 一 次 函 数 解 析 式 ； （ 2）利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 求 出 AB 的 长 ，利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 出 点 C 到 直 线 AB 的 距 离 ， 即 可 确 定 出 三 角 形 ABC 面 积 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 把 A（ 2， ﹣ 1） 代 入 反 比 例 解 析 式 得 ： ﹣ 1＝ ， 即 m＝ ﹣ 2， ∴反 比 例 解 析 式 为 y＝ ﹣ ， 把 B（ ， n） 代 入 反 比 例 解 析 式 得 ： n＝ ﹣ 4， 即 B（ ， ﹣ 4）， 把 A 与 B 坐 标 代 入 y＝ kx＋ b 中 得 ： ， 解 得 ： k＝ 2， b＝ ﹣ 5， 则 一 次 函 数 解 析 式 为 y＝ 2x﹣ 5； （ 2） ∵A（ 2， ﹣ 1）， B（ ， ﹣ 4）， 直 线 AB 解 析 式 为 y＝ 2x﹣ 5， ∴AB＝ ＝ ，原 点（ 0，0）到 直 线 y＝ 2x﹣ 5 的 距 离 d＝ ＝ ， 则 S △ A B C ＝ AB•d＝ ． 7.（2017·湖北黄石·12 分）如图 1 所示，已知：点 A（﹣2，﹣1）在双曲线 C：y＝ 上，直线 l1：y＝﹣x＋2， 直线 l2 与 l1 关于原点成中心对称，F1（2，2），F2（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线 C 在第一象限内的交点为 B，P 是曲线 C 上第一象限内异于 B 的一动点，过 P 作 x 轴平行线分别交 l1，l2 于 M，N 两点． （1）求双曲线 C 及直线 l2 的解析式； （2）求证：PF2﹣PF1＝MN＝4； （3）如图 2 所示，△PF1F2 的内切圆与 F1F2，PF1，PF2 三边分别相切于点 Q，R，S，求证：点 Q 与点 B 重合．（参考公 式：在平面坐标系中，若有点 A（x1，y1），B（x2，y2），则 A、B 两点间的距离公式为 AB＝ ．） 【分析】（1）利用点 A 的坐标求出 a 的值，根据原点对称的性质找出直线 l2 上两点的坐标，求出解析式； （2）设 P（x， ），利用两点距离公式分别求出 PF1、PF2、PM、PN 的长，相减得出结论； （3）利用切线长定理得出 ，并由（2）的结论 PF2﹣PF1＝4 得出 PF2﹣PF1＝QF2﹣QF1＝4，再由两点间距 离公式求出 F1F2 的长，计算出 OQ 和 OB 的长，得出点 Q 与点 B 重合． 【解答】解：（1）解：把 A（﹣2，﹣1）代入 y＝ 中得： a＝（﹣2）×（﹣1）＝2， ∴双曲线 C：y＝ ， ∵直线 l1 与 x 轴、y 轴的交点分别是（2，0）、（0，2），它们关于原点的对称点分别是（﹣2，0）、（0，﹣2）， ∴l2：y＝﹣x﹣2 （2）设 P（x， ）， 由 F1（2，2）得：PF1 2＝（x﹣2）2＋（ ﹣2）2＝x2﹣4x＋ ﹣ ＋8， ∴PF1 2＝（x＋ ﹣2）2， ∵x＋ ﹣2＝ ＝ ＞0， ∴PF1＝x＋ ﹣2， ∵PM∥x 轴 ∴PM＝PE＋ME＝PE＋EF＝x＋ ﹣2， ∴PM＝PF1， 同理，PF2 2＝（x＋2）2＋（ ＋2）2＝（x＋ ＋2）2， ∴PF2＝x＋ ＋2， PN＝x＋ ＋2 因此 PF2＝PN， ∴PF2﹣PF1＝PN﹣PM＝MN＝4， （3）△PF1F2 的内切圆与 F1F2，PF1，PF2 三边分别相切于点 Q，R，S， ∴ ⇒PF2﹣PF1＝QF2﹣QF1＝4 又∵QF2＋QF1＝F1F2＝4 ，QF1＝2 ﹣2， ∴QO＝2， ∵B（ ， ）， ∴OB＝2＝OQ， 所以，点 Q 与点 B 重合． 【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及反比例函数的性质等知识，将代数与几何融合在一起，注意函数中线段 的长可以利用本题给出的两点距离公式解出，也可以利用勾股定理解出；解答本题需要我们熟练各部分的内容，对 学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 8.（2017·青海西宁·2 分）如图，一次函数 y＝x＋m 的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于 A，B 两点，且与 x 轴 交于点 C，点 A 的坐标为（2，1）． （1）求 m 及 k 的值； （2）求点 C 的坐标，并结合图象写出不等式组 0＜x＋m≤ 的解集． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）把点 A 坐标代入一次函数 y＝x＋m 与反比例函数 y＝ ，分别求得 m 及 k 的值； （2）令直线解析式的函数值为 0，即可得出 x 的值，从而得出点 C 坐标，根据图象即可得出不等式组 0＜x＋m≤ 的解集． 【解答】解：（1）由题意可得：点 A（2，1）在函数 y＝x＋m 的图象上， ∴2＋m＝1 即 m＝﹣1， ∵A（2，1）在反比例函数 的图象上， ∴ ， ∴k＝2； （2）∵一次函数解析式为 y＝x﹣1，令 y＝0，得 x＝1， ∴点 C 的坐标是（1，0）， 由图象可知不等式组 0＜x＋m≤ 的解集为 1＜x≤2． 9.（2017·广西百色·6 分）△ABC 的顶点坐标为 A（﹣2，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2），以坐标原点 O 为旋转中 心，顺时针旋转 90°，得到△A′B′C′，点 B′、C′分别是点 B、C 的对应点． （1）求过点 B′的反比例函数解析式； （2）求线段 CC′的长． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化－旋转． 【分析】（1）据图形旋转方向以及旋转中心和旋转角度得出对应点，根据待定系数法，即可 求出解． （2）根据勾股定理求得 OC，然后根据旋转的旋转求得 OC′，最后根据勾股定理即可求得． 【解答】解：（1）如图所示：由图知 B 点的坐标为（﹣3，1），根据旋转中心 O，旋转方向顺时针，旋转角度 90°， 点 B 的对应点 B′的坐标为（1，3）， 设过点 B′的反比例函数解析式为 y＝ ， ∴k＝3×1＝3， ∴过点 B′的反比例函数解析式为 y＝ ． （2）∵C（﹣1，2）， ∴OC＝ ＝ ， ∵△ABC 以坐标原点 O 为旋转中心，顺时针旋转 90°， ∴OC′＝OC＝ ， ∴CC′＝ ＝ ． 10..（2017·贵州安顺·10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数 y ＝ x m （m≠0）的图象交于 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（n，6），点 C 的坐标为（﹣2，0），且 tan∠ACO ＝2． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标． 【分析】（1）先过点 A 作 AD⊥x 轴，根据 tan∠ACO＝2，求得点 A 的坐标，进而根据待定系数法计算两个函数解析 式；（2）先联立两个函数解析式，再通过解方程求得交点 B 的坐标即可． 【解答】解：（1）过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D 由 A（n，6），C（﹣2，0）可得， OD＝n，AD＝6，CO＝2 ∵tan∠ACO＝2 ∴ ＝2，即 ＝2 ∴n＝1 ∴A（1，6） 将 A（1，6）代入反比例函数，得 m＝1×6＝6 ∴反比例函数的解析式为 将 A（1，6），C（﹣2，0）代入一次函数 y＝kx＋b，可得 解得 ∴一次函数的解析式为 y＝2x＋4 （2）由 可得， 解得 x1＝1，x2＝﹣3 ∵当 x＝﹣3 时，y＝﹣2 ∴点 B 坐标为（﹣3，﹣2） 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求 反比例函数与一次函数的交点坐标时，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，若方 程组无解，则两者无交点． 11. （2017·浙江省湖州市）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为 2000 平方米的长方形鱼塘． （1）求鱼塘的长 y（米）关于宽 x（米）的函数表达式； （2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖 20 米，当鱼塘的宽是 20 米，鱼塘的长为多少米？ 【考点】反比例函数的应用． 【分析】（1）根据矩形的面积＝长×宽，列出 y 与 x 的函数表达式即可； （2）把 x＝20 代入计算求出 y 的值，即可得到结果． 【解答】解：（1）由长方形面积为 2000 平方米，得到 xy＝2000，即 y＝ ； （2）当 x＝20（米）时，y＝ ＝100（米）， 则当鱼塘的宽是 20 米时，鱼塘的长为 100 米． 12.（2017·重庆市 A 卷·10 分）在平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋b（a≠0）的图形与反比例函数 y＝ （k≠0） 的图象交于第二、四象限内的 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，过点 A 作 AH⊥y 轴，垂足为 H，OH＝3，tan∠AOH＝ ， 点 B 的坐标为（m，﹣2）． （1）求△AHO 的周长； （2）求该反比例函数和一次函数的解析式． 【分析】（1）根据正切函数，可得 AH 的长，根据勾股定理，可得 AO 的长，根据三角形的周长，可得答案； （2）根据待定系数法，可得函数解析式． 【解答】解：（1）由 OH＝3，tan∠AOH＝ ，得 AH＝4．即 A（﹣4，3）． 由勾股定理，得 AO＝ ＝5， △AHO 的周长＝AO＋AH＋OH＝3＋4＋5＝12； （2）将 A 点坐标代入 y＝ （k≠0），得 k＝﹣4×3＝﹣12， 反比例函数的解析式为 y＝ ； 当 y＝﹣2 时，﹣2＝ ，解得 x＝6，即 B（6，﹣2）． 将 A、B 点坐标代入 y＝ax＋b，得 ， 解得 ， 一次函数的解析式为 y＝﹣ x＋1． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法是解题关键． 13. （2017·重庆市 B 卷·10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四 象限内的 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，点 B 的坐标是（m，﹣4），连接 AO，AO＝5，sin∠AOC＝ ． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接 OB，求△AOB 的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，设反比例函数解析式为 y＝ ．通过解直角三角形求出线段 AE、OE 的长度， 即求出点 A 的坐标，再由点 A 的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）由点 B 在反比例函数图象上可求出点 B 的坐标，设直线 AB 的解析式为 y＝ax＋b，由点 A、B 的坐标利用待定 系数法求出直线 AB 的解析式，令该解析式中 y＝0 即可求出点 C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：（1）过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，如图所示． 设反比例函数解析式为 y＝ ． ∵AE⊥x 轴， ∴∠AEO＝90°． 在 Rt△AEO 中，AO＝5，sin∠AOC＝ ，∠AEO＝90°， ∴AE＝AO•sin∠AOC＝3，OE＝ ＝4， ∴点 A 的坐标为（﹣4，3）． ∵点 A（﹣4，3）在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴3＝ ，解得：k＝﹣12． ∴反比例函数解析式为 y＝﹣ ． （2）∵点 B（m，﹣4）在反比例函数 y＝﹣ 的图象上， ∴﹣4＝﹣ ，解得：m＝3， ∴点 B 的坐标为（3，﹣4）． 设直线 AB 的解析式为 y＝ax＋b， 将点 A（﹣4，3）、点 B（3，﹣4）代入 y＝ax＋b 中得： ，解得： ， ∴一次函数解析式为 y＝﹣x﹣1． 令一次函数 y＝﹣x﹣1 中 y＝0，则 0＝﹣x﹣1， 解得：x＝﹣1，即点 C 的坐标为（﹣1，0）． S△AOB＝ OC•（yA﹣yB）＝ ×1×[3﹣（﹣4）]＝ ． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的 关键是：（1）求出点 A 的坐标；（2）求出直线 AB 的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时， 根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 14．（2017·山东省菏泽市·3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y＝ 与直线 y＝﹣2x＋2 交于点 A（﹣ 1，a）． （1）求 a，m 的值； （2）求该双曲线与直线 y＝﹣2x＋2 另一个交点 B 的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）将 A 坐标代入一次函数解析式中即可求得 a 的值，将 A（﹣1，4）坐标代入反比例解析式中即可求得 m 的值； （2）解方程组 ，即可解答． 【解答】解：（1）∵点 A 的坐标是（﹣1，a），在直线 y＝﹣2x＋2 上， ∴a＝﹣2×（﹣1）＋2＝4， ∴点 A 的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数 y＝ ， ∴m＝﹣4． （2）解方程组 解得： 或 ， ∴该双曲线与直线 y＝﹣2x＋2 另一个交点 B 的坐标为（2，﹣2）． 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象上点的坐标特征，待定 系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 15．（2017·山东省德州市·4 分）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售 工作，已知该运动鞋每双的进价为 120 元，为寻求合适的销售价格进行了 4 天的试销，试销情况如表所示： 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 售价 x（元/双） 150 200 250 300 销售量 y（双） 40 30 24 20 （1）观察表中数据，x，y 满足什么函数关系？请求出这个函数关系式； （2）若商场计划每天的销售利润为 3000 元，则其单价应定为多少元？ 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）由表中数据得出 xy＝6000，即可得出结果； （2）由题意得出方程，解方程即可，注意检验． 【解答】解：（1）由表中数据得：xy＝6000， ∴y＝ ， ∴y 是 x 的反比例函数， 故所求函数关系式为 y＝ ； （2）由题意得：（x﹣120）y＝3000， 把 y＝ 代入得：（x﹣120）• ＝3000， 解得：x＝240； 经检验，x＝240 是原方程的根； 答：若商场计划每天的销售利润为 3000 元，则其单价应定为 240 元． 【点评】本题考查了反比例函数的应用、列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式和列出方程是解决问题的 关键． 16．（2017·山东省东营市·9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 A，与反 比例函数 y＝x m 的图象在第二象限交于点 C，CE⊥x 轴，垂足为点 E，tan∠ABO＝1 2 ，OB＝4,OE＝2． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点 D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 D 作 DF⊥y 轴，垂足为点 F，连接 OD、BF，如果 S△BAF＝4S△DFO， 求点 D 的坐标. 【知识点】锐角三角函数——锐角三角函数的求法、平面直角坐标系——利用图形变化确定点的坐标、反比例函数 ——反比例函数的表达式及反比例函数的图像及性质（k 的几何意义） 【思路分析】（1）先由 tan∠ABO＝CE BE ＝1 2 及 OB＝4,OE＝2 求出 CE 的长度，从而得到点 C 的坐标，再将点 C 的坐标代 入 y＝x m 即可求得反比例函数的解析式． （2）先由反比例函数 y＝x k 的 k 的几何意义得出 S△DFO，由 S△BAF＝4S△DFO 得到 S△BAF，根据 S△BAF＝1 2 AF•OB 得出 AF 的长度， 用 AF－OA 求出 OF 的长，据此可先得出点 D 的纵坐标，再求 D 得横坐标. 【解答】(l)∵OB＝4，OE＝2，∴BE＝OB＋OE＝6. ∵CE⊥x 轴,∴∠CEB＝90°. 在 Rt△BEC 中，∵tan∠ABO＝1 2 ，∴CE BE ＝1 2 ．即CE 6 ＝1 2 ，解得 CE＝3. 结合图象可知 C 点的坐标为（一 2，3）， 将 C（―2，3）代入反比例函数解析式可得 3＝ m －2 .解得 m＝－6． 反比例函数解析式为 y＝－6 x ． (2)解：方法一：∵点 D 是 y＝－6 x 的图象上的点，且 DF⊥y 轴， ∴S△DFO＝1 2 ×|－6|＝3. ∴S△BAF＝4S△DFO＝4×3＝12.∴1 2 AF•OB＝12.∴1 2 ×AF×4＝12. ∴AF＝6.∴EF＝AF－OA＝6－2＝4. ∴点 D 的纵坐标为－4. 把 y＝－4 代入 y＝－6 x ，得 －4＝－6 x .∴x＝3 2 . ∴D（3 2 ，一 4）． 方法二：设点 D 的坐标为（a，b）. ∵S△BAF＝4S△DFO，∴1 2 AF•OB＝4×1 2 OF•FD.∴(AO＋OF) OB＝4OF•FD. ∴[2＋（－b）]×4＝－4ab.∴8－4b＝－4ab. 又∵点 D 在反比例函数图象上，∴b＝－6 a .∴ab＝－6.∴8－4b＝24.解得：b＝－4. 把 b＝－4 代 ab＝－6 中，解得：a＝3 2 . ∴D（3 2 ，一 4）． 【方法总结】要确定反比例函数的表达式，只需根据题目提供的条件求出其图像上某一个点的坐标即可解决；反比 例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数 y＝k x (k≠0)图象上任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，两垂 线与两坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及 坐标原点所构成的直角三角形的面积是定值1 2 |k|，且保持不变．