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- 2021-05-13 发布
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2009年中考数学压轴题汇编(六)
(2009年四川凉山州)26.如图,已知抛物线经过,两点,顶点为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将绕点顺时针旋转90°后,点落到点的位置,将抛物线沿轴平移后经过点,求平移后所得图象的函数关系式;
y
x
B
A
O
D
(第26题)
(3)设(2)中平移后,所得抛物线与轴的交点为,顶点为,若点在平移后的抛物线上,且满足的面积是面积的2倍,求点的坐标.
26.解:(1)已知抛物线经过,
解得
所求抛物线的解析式为. 2分
(2),,
可得旋转后点的坐标为 3分
当时,由得,
可知抛物线过点
将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点.
平移后的抛物线解析式为:. 5分
(3)点在上,可设点坐标为
y
x
C
B
A
O
N
D
B1
D1
图①
将配方得,其对称轴为. 6分
①当时,如图①,
此时
y
x
C
B
A
O
D
B1
D1
图②
N
点的坐标为. 8分
②当时,如图②
同理可得
此时
点的坐标为.
综上,点的坐标为或. 10分
(2009年武汉市)25.(本题满分12分)
y
x
O
A
B
C
如图,抛物线经过、两点,与轴交于另一点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点在第一象限的抛物线上,求点关于直线对称的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接,点为抛物线上一点,且
,求点的坐标.
25.解:(1)抛物线经过,两点,
解得
抛物线的解析式为.
y
x
O
A
B
C
D
E
(2)点在抛物线上,,
即,或.
点在第一象限,点的坐标为.
由(1)知.
设点关于直线的对称点为点.
,,且,
,
点在轴上,且.
,.
即点关于直线对称的点的坐标为(0,1).
y
x
O
A
B
C
D
E
P
F
(3)方法一:作于,于.
由(1)有:,
.
,且.
,
.
,,,
.
设,则,,
.
点在抛物线上,
,
(舍去)或,.
y
x
O
A
B
C
D
P
Q
G
H
方法二:过点作的垂线交直线于点,过点作轴于.过点作于.
.
,
又,.
,,.
由(2)知,.
,直线的解析式为.
解方程组得
点的坐标为.
(2009年鄂州市)27.如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CF—EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO
(1)试比较EO、EC的大小,并说明理由
(2)令,请问m是否为定值?若是,请求出m的值;若不是,请说明理由
(3)在(2)的条件下,若CO=1,CE=,Q为AE上一点且QF=,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在,请说明理由。
27、(1)EO>EC,理由如下:
由折叠知,EO=EF,在Rt△EFC中,EF为斜边,∴EF>EC, 故EO>EC …2分
(2)m为定值
∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)
S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO
∴ ……………………………………………………4分
(3)∵CO=1, ∴EF=EO=
∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°,
∴
∴△EFQ为等边三角形, …………………………………………5分
作QI⊥EO于I,EI=,IQ=
∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分
∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0,1), Q ,m=1
∴可求得,c=1
∴抛物线解析式为 ……………………………………7分
(4)由(3),
当时,<AB
∴P点坐标为 …………………8分
∴BP=AO
方法1:若△PBK与△AEF相似,而△AEF≌△AEO,则分情况如下:
①时,∴K点坐标为或
②时, ∴K点坐标为或…………10分
故直线KP与y轴交点T的坐标为
…………………………………………12分
方法2:若△BPK与△AEF相似,由(3)得:∠BPK=30°或60°,过P作PR⊥y轴于R,则∠RTP=60°或30°
①当∠RTP=30°时,
②当∠RTP=60°时,
∴ ……………………………12分
(2009年湖北省黄石市)24、(本题满分9分)
如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ,数量关系为 。
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。
试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由。(画图不写作法)
(3)若AC=4,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。
24、解:(1)①CF⊥BD,CF=BD
②成立,理由如下:
∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF
又 BA=CA AD=AF
∴△BAD≌△CAF
∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°
∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD …………(1分)
(2)当∠ACB=45°时可得CF⊥BC,理由如下:
如图:过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC AD=AF ………(1分)
∴△GAD≌△CAF(SAS) ∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………(2分)
(3)如图:作AQBC于Q
∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4
∵∠PCD=∠ADP=90°
∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°
∴△ADQ∽△DPC ………(1分)
∴=
设CD为x(0<x<3)则DQ=CQ-CD=4-x
则= …………(1分)
∴PC=(-x2+4x)=-(x-2)2+1≥1
当x=2时,PC最长,此时PC=1 ………(1分)