中考专题图形折叠型题 6页

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  • 2021-05-13 发布

中考专题图形折叠型题

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专题三 图形折叠型题 Ⅰ、专题精讲:‎ 折叠的规律是:关注“两点一线”在翻折过程中,我们应关注“两点”,即对称点,思考自问“哪两个点是对称点?” ;‎ 还应关注“一线”,即折线,也就是对称轴。这是解决问题的基础.‎ 折叠部分的图形,折叠前后,关于折痕成轴对称,两图形全等.折 叠图形中有相似三角形,常用勾股定理.‎ Ⅱ、典型例题剖析:‎ 一.折叠后求度数 例1. 如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于(  )‎ A.50° B.55°   C.60° D.65°‎ ‎ ‎ 例2. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,EM,MF为折痕(如图所示),则∠EMF的度数为 ‎ 变式:已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点(与点A、B不重合)‎ ‎(1)如图①,现将△PBC沿PC翻折得到△PEC;再在AD上取一点F,将△PAF沿PF翻折得到△PGF,并使得射线PE、PG重合,试问FG与CE的位置关系如何,请说明理由;‎ G B C E D F A P H 图②‎ A B D P C C’‎ F E G H 图③‎ G F B A C D P E 图①‎ ‎(2)在(1)中,如图②,连接FC,取FC的中点H,连接GH、EH,请你探索线段GH和线段EH的大小关系,并说明你的理由;‎ ‎(3)如图③,分别在AD、BC上取点F、C’,使得∠APF=∠BPC’,与(1)中的操作相类似,即将△PAF沿PF翻折得到△PFG,并将△沿翻折得到△,连接,取的中点H,连接GH、EH,试问(2)中的结论还成立吗?请说明理由.‎ 6‎ C D E B A 例3. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图(1)所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC=  度.‎ 图 (1)‎ 图 (2)‎ 例4.(1)观察与发现: 小明将三角形纸片ABC(AB >AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.‎ ‎(2)实践与运用:将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图③);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D′处,折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α的大小.‎ A C D B 图①‎ A C D B 图②‎ F E E DD C F B A 图③‎ E D C A B F G A D E C B F G 图④‎ 图⑤‎ 二、折叠后求面积 例5. 如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED以DE为折痕向右折叠,AE与BC交于点F,则△CEF的面积为(  )‎ A.4 B.6 C.8 D.10‎ 例5图 例6图 例6. 如图,正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E、F分别是AB、BC的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如下右图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是( )‎ A.2 B.4 C.8 D.10‎ 6‎ 例7. 如图,ABCD中,AB=3,BC=4,如果将该沿对角线BD,求图中阴影部分的面积.‎ 变式:如图,把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连结OB,将纸片OABC沿OB折叠点A落在A'的位置上.若OB=,BC/OC=0.5,求点A'的坐标为?‎ 三.折叠后求长度 例8. 已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合.‎ ‎(1)如果折痕FG分别与AD,AB交于点F,G(如图(1),)AF=.求DE的长.‎ ‎(2)如果折痕FG分别与CD,AB,AE交于点F,G,O(如图(2),),O到BC的距离等于OE,求折痕FG的长.‎ A B C D E F G A B C D E F G 例9. 如图,已知边长为5的等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且,则CE的长是( )‎ A. 10-15 B. 10-5 F C. 5-5 D. 20-10 6‎ 四.折叠后得图形 例10.将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是( )‎ A.矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形 例11. 在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,其具体操作过程是:‎ 第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图1);‎ 第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).‎ 请解答以下问题:‎ ‎(1)如图2,若延长MN交BC于P,△BMP是什么三角形?请证明你的结论;‎ ‎(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP?‎ ‎(3)设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM′为y=kx,当∠M′BC=60°时,求k的值.此时,将△ABM′沿BM′折叠,点A是否落在EF上(E、F分别为AB、CD中点),为什么?‎ 图1 图2 图3‎ 例12. 如图1所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得的图形是( )‎ 例13. 如图,已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,AD⊥BC,AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平面四边形,则能拼出互不全等的四边形的个数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 五.折叠后得结论 ‎ 例14. 一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形(如图),则矩形的长与宽的比为 .‎ 6‎ 六.折叠和剪切的应用 例15.在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二),请你通过计算,比较李颖同学和张丰同学的折法中,哪种菱形面积较大?‎ A D E H F B C G ‎(方案一)‎ A D E F B C ‎(方案二)‎ 七.以折叠为背景的存在性问题 例16. 已知矩形纸片OABC的长为4,宽为3,以长OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建 立平面直角坐标系;点P是OA边上的动点(与点O、A不重合),现将△POC沿PC翻折 得到△PEC,再在AB边上选取适当的点D,将△PAD沿PD翻折,得到△PFD,使得 直线PE、PF重合.‎ ‎(1)若点E落在BC边上,如图①,求点P、C、D的坐标,并求过此三点的抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)若点E落在矩形纸片OABC的内部,如图②,设OP=x,AD=y,当x为何值时,y取得最大值?‎ C y E B F D A P x O 图①‎ A B D F E C O P x y 图②‎ ‎(3)在(1)的情况下,过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标 6‎ 八.以折叠为背景的探索题 例17.已知:矩形纸片ABCD中,AB=26cm,BC=18.5cm,点E在AD上,且AE=6cm,点P是AB边上一动点,按如下操作:‎ 步骤一,折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN(如图(1)所示);‎ 步骤二,过点P作PT⊥AB交MN所在的直线于点Q,连结QE(如图(2)所示);‎ ‎(1)无论点P在AB边上任何位置,都有PQ QE(填“>”、“=”、“<”号 )‎ ‎(2)如图(3)所示,将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作:‎ ‎①当点P在A点时,PT与MN交于点Q1, Q1点的坐标是( , );‎ ‎②当PA=6cm时,PT与MN交于点Q2,Q2点的坐标是( , );‎ ‎③当PA=12cm时,在图(3)中画出MN,PT(不要求写画法)并求出MN与PT的交点Q3的坐标;‎ ‎(3)点P在在运动过程中,PT与MN形成一系列的交点Q1,Q2,Q3…观察,猜想:众多的交点形成的图象是什么?并直接写出该图象的函数表达式.‎ A B C D P E M N B C ‎(P)‎ A B C D P E M N T Q ‎(A)‎ B C D E N O ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎24‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ 6‎