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- 2021-05-13 发布
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专题三 图形折叠型题
Ⅰ、专题精讲:
折叠的规律是:关注“两点一线”在翻折过程中,我们应关注“两点”,即对称点,思考自问“哪两个点是对称点?” ;
还应关注“一线”,即折线,也就是对称轴。这是解决问题的基础.
折叠部分的图形,折叠前后,关于折痕成轴对称,两图形全等.折 叠图形中有相似三角形,常用勾股定理.
Ⅱ、典型例题剖析:
一.折叠后求度数
例1. 如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
例2. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,EM,MF为折痕(如图所示),则∠EMF的度数为
变式:已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点(与点A、B不重合)
(1)如图①,现将△PBC沿PC翻折得到△PEC;再在AD上取一点F,将△PAF沿PF翻折得到△PGF,并使得射线PE、PG重合,试问FG与CE的位置关系如何,请说明理由;
G
B
C
E
D
F
A
P
H
图②
A
B
D
P
C
C’
F
E
G
H
图③
G
F
B
A
C
D
P
E
图①
(2)在(1)中,如图②,连接FC,取FC的中点H,连接GH、EH,请你探索线段GH和线段EH的大小关系,并说明你的理由;
(3)如图③,分别在AD、BC上取点F、C’,使得∠APF=∠BPC’,与(1)中的操作相类似,即将△PAF沿PF翻折得到△PFG,并将△沿翻折得到△,连接,取的中点H,连接GH、EH,试问(2)中的结论还成立吗?请说明理由.
6
C
D
E
B
A
例3. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图(1)所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC= 度.
图 (1)
图 (2)
例4.(1)观察与发现: 小明将三角形纸片ABC(AB >AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.
(2)实践与运用:将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图③);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D′处,折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α的大小.
A
C
D
B
图①
A
C
D
B
图②
F
E
E
DD
C
F
B
A
图③
E
D
C
A
B
F
G
A
D
E
C
B
F
G
图④
图⑤
二、折叠后求面积
例5. 如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED以DE为折痕向右折叠,AE与BC交于点F,则△CEF的面积为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
例5图
例6图
例6. 如图,正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E、F分别是AB、BC的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如下右图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是( )
A.2 B.4 C.8 D.10
6
例7. 如图,ABCD中,AB=3,BC=4,如果将该沿对角线BD,求图中阴影部分的面积.
变式:如图,把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连结OB,将纸片OABC沿OB折叠点A落在A'的位置上.若OB=,BC/OC=0.5,求点A'的坐标为?
三.折叠后求长度
例8. 已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合.
(1)如果折痕FG分别与AD,AB交于点F,G(如图(1),)AF=.求DE的长.
(2)如果折痕FG分别与CD,AB,AE交于点F,G,O(如图(2),),O到BC的距离等于OE,求折痕FG的长.
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
例9. 如图,已知边长为5的等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且,则CE的长是( )
A. 10-15 B. 10-5 F
C. 5-5 D. 20-10
6
四.折叠后得图形
例10.将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是( )
A.矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形
例11. 在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,其具体操作过程是:
第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图1);
第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).
请解答以下问题:
(1)如图2,若延长MN交BC于P,△BMP是什么三角形?请证明你的结论;
(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP?
(3)设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM′为y=kx,当∠M′BC=60°时,求k的值.此时,将△ABM′沿BM′折叠,点A是否落在EF上(E、F分别为AB、CD中点),为什么?
图1 图2 图3
例12. 如图1所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得的图形是( )
例13. 如图,已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,AD⊥BC,AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平面四边形,则能拼出互不全等的四边形的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
五.折叠后得结论
例14. 一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形(如图),则矩形的长与宽的比为 .
6
六.折叠和剪切的应用
例15.在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二),请你通过计算,比较李颖同学和张丰同学的折法中,哪种菱形面积较大?
A
D
E
H
F
B
C
G
(方案一)
A
D
E
F
B
C
(方案二)
七.以折叠为背景的存在性问题
例16. 已知矩形纸片OABC的长为4,宽为3,以长OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建
立平面直角坐标系;点P是OA边上的动点(与点O、A不重合),现将△POC沿PC翻折
得到△PEC,再在AB边上选取适当的点D,将△PAD沿PD翻折,得到△PFD,使得
直线PE、PF重合.
(1)若点E落在BC边上,如图①,求点P、C、D的坐标,并求过此三点的抛物线的函数关系式;
(2)若点E落在矩形纸片OABC的内部,如图②,设OP=x,AD=y,当x为何值时,y取得最大值?
C
y
E
B
F
D
A
P
x
O
图①
A
B
D
F
E
C
O
P
x
y
图②
(3)在(1)的情况下,过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标
6
八.以折叠为背景的探索题
例17.已知:矩形纸片ABCD中,AB=26cm,BC=18.5cm,点E在AD上,且AE=6cm,点P是AB边上一动点,按如下操作:
步骤一,折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN(如图(1)所示);
步骤二,过点P作PT⊥AB交MN所在的直线于点Q,连结QE(如图(2)所示);
(1)无论点P在AB边上任何位置,都有PQ QE(填“>”、“=”、“<”号 )
(2)如图(3)所示,将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作:
①当点P在A点时,PT与MN交于点Q1, Q1点的坐标是( , );
②当PA=6cm时,PT与MN交于点Q2,Q2点的坐标是( , );
③当PA=12cm时,在图(3)中画出MN,PT(不要求写画法)并求出MN与PT的交点Q3的坐标;
(3)点P在在运动过程中,PT与MN形成一系列的交点Q1,Q2,Q3…观察,猜想:众多的交点形成的图象是什么?并直接写出该图象的函数表达式.
A
B
C
D
P
E
M
N
B
C
(P)
A
B
C
D
P
E
M
N
T
Q
(A)
B
C
D
E
N
O
6
12
18
24
6
12
18
6