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  • 2021-05-13 发布

中考复习课课时39中考压轴题2

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课时39.中考压轴题(2)‎ 例1 如图,已知直线l过点A(0,1)和B(1,0),P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交l于点Q,交x轴于点M.‎ ‎(1)直接写出直线l的解析式;‎ ‎(2)设OP=t,△OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式;并求出当0<t<2时,S的最大值;‎ ‎(3)直线l1过点A且与x轴平行,问在l1上是否存在点C, 使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点C的坐标,并证明;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)y=1-x l A O M P B x y l1‎ Q ‎(2)∵ OP=t,∴ Q点的横坐标为t ‎①当0<t<1,即0<t<2时,QM=1-t,‎ ‎∴ S△OPQ=t(1-t)‎ ‎②当t≥2时,QM=|1-t|=t-1‎ ‎∴ S△OPQ=t(t-1)‎ ‎∴‎ 当0<t<1,即0<t<2时,‎ ‎∴ 当t=1时,S最大值=‎ l A O P B x y l1‎ Q C 图-1‎ ‎(3)由OA=OB=1,所以△OAB是等腰直角三角形,若在l1上存在点C,使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形,则PQ=QC,所以OQ=QC,又l1∥x轴,则C,O两点关于直线l对称,所以AC=OA=1,得C(1,1).‎ 以下证∠PQC=90°:‎ 证明:连CB,则四边形OACB是正方形.‎ ‎①当点P在线段OB上,Q在线段AB上 ‎(Q与B不重合)时,如图-1.‎ 由对称性,得∠BCQ=∠QOP,∠QPO=∠QOP ‎ ‎∴ ∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°‎ ‎∴ ∠PQC=360°-(∠QPB+∠QCB+∠PBC)=90°‎ ‎②当点P在线段OB的延长线上,如图-2、图-3.‎ ‎∵ ∠QPB=∠QCB,∠1=∠2‎ ‎∴ ∠PQC=∠PBC=90°‎ ‎③当点Q与点B重合时,显然∠PQC=∠PBC=90°‎ 综合所述∠PQC=90°‎ ‎∴ 在l1上存在点C(1,1),使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形.‎ y l A O P B x l1‎ 图-3‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ l A O P B x l1‎ 图-2‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ y 例2 如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),线段OA绕原点O顺时针旋转120°后得到线段OB.‎ ‎(1)直接写出点B的坐标;‎ ‎(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;‎ ‎(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.‎ B A O y x 解:(1)点B的坐标(1,)‎ ‎(2)设抛物线的解析式为y=ax(x+2)‎ 把B(1,)代入得=a×1×(1+2)‎ 解得a=‎ ‎∴ ‎ C B A O y x ‎(3)如图,抛物线的对称轴是直线x=-1,当点C位于对称轴与线段AB的交点时,△BOC的周长最小.‎ 设直线AB为y=kx+b ‎∴ ,解得 ‎∴ 直线AB为 D B A O y x P 当x=-1时,,‎ ‎∴ 点C的坐标为(-1,)‎ ‎(4)如图,过P作y轴的平行线交AB于D.‎ ‎ ‎ 当x=-时,△PAB的面积的最大值为,此时P(-,).‎ 例3 如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.‎ ‎(1)连接PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?‎ 解:(1)⊙P与x轴相切.‎ ‎∵ 直线y=-2x-8与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,-8).‎ ‎∴ OA=4,OB=8‎ 由题意得,OP=-k ‎∴ PB=PA=8+k 在Rt△AOP中,OA=4,OP=-k,PA=8+k ‎∴ k2+42=(8+k)2‎ 解得k=-3‎ ‎∴ OP等于⊙P的半径 ‎∴ ⊙P与x轴相切 ‎(2)设⊙P1与直线l交于C,D两点,连接P1C,P1D,‎ 当圆心P1在线段OB上时,作P1E⊥CD于E.‎ ‎∵ △P1CD为正三角形 ‎∴ DE=CD=,P1D=3,‎ ‎∴ P1E=‎ ‎∵ ∠AOB=∠P1EB=90°, ∠ABO=∠P1BE ‎∴ △AOB∽△P1EB,‎ ‎∴ ,即 ‎∴ P1B=‎ ‎∴ P1O=BO-P1B=8-‎ ‎∴ P1(0,-8)‎ ‎∴ ‎ 当圆心P2在线段OB延长线上时,‎ 同理可得P2(0,--8)‎ ‎∴ k=--8‎ ‎∴ 当k=-8或k=--8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.‎ 例4 当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B.‎ ‎(1)求该抛物线的关系式;‎ ‎(2)若点M(x,y1),N(x+1,y2)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小;‎ A B C D O x y E F ‎3‎ ‎(3)D是线段AC的中点,E为线段AC上一动点(A、C两端点除外),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F.问:是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,则说明理由.‎ 解:(1)由题意可设抛物线的关系式为y=a(x-2)2-1‎ ‎∵ 点C(0,3)在抛物线上 ‎∴ 3= a(0-2)2-1,解得a=1‎ ‎∴ 抛物线的关系式为y=(x-2)2-1=x2-4x+3‎ ‎(2)∵ 点M(x,y1),N(x+1,y2)都在该抛物线上 ‎∴ y1-y2=(x2-4x+3)-[(x+1)2-4(x+1)+3]=3-2 x ‎ 当3-2 x>0,即时,y1>y2‎ 当3-2 x=0,即时,y1=y2‎ 当3-2 x<0,即时,y1<y2‎ ‎(3)令y=0,即x2-4x+3=0,解得x1=3,x2=1‎ ‎∴ A(3,0),B(1,0)‎ ‎∴ D(,)‎ ‎∴ 直线AC的函数关系式为y=-x+3 ‎ 因为△AOC是等腰直角三角形,所以,要使△DEF与△AOC相似,△DEF也必须是等腰直角三角形.由于EF∥OC,因此∠DEF=45°,所以,在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点.‎ ‎①当F为直角顶点时,DF⊥EF,此时△DEF∽△ACO,DF所在直线为y=‎ 由x2-4x+3=,解得x1=,x2=>3 (舍去)‎ 将x=代入y=-x+3,解得y= ∴ E(,)‎ ‎②当D为直角顶点时,DF⊥AC,此时△DEF∽△OAC,由于点D为线段AC的中点,因此,DF所在直线过原点O,其关系式为y=x.‎ 由x2-4x+3=x,解得x1=,x2=>3 (舍去)‎ 将x=代入y=-x+3,解得y=‎ ‎∴ E(,)‎ A B C D O x y E F ‎3‎ 图①‎ A B C D O x y E F ‎3‎ 图②‎ 例5 如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)设抛物线顶点为D,求四边形ABDE的面积;‎ ‎(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。‎ 解:(1)∵ 抛物线与y轴交于点(0,3)‎ ‎∴ 设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0)‎ 根据题意,得,解得 ‎∴ 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3‎ ‎(2)设对称轴与x轴的交点为F 由y=-x2+2x+3得顶点D的坐标为(1,4)‎ ‎∴ S四边形ABDE=S△ABO+S梯形BOFD+SDFE ‎ =AO·BO+(BO+DF)·OF+EF·DF ‎=×1×3+(3+4)×1+×2×4‎ ‎=9‎ ‎(3)△AOB∽△DBE 证明:连接BE,作BG⊥DF,则BG=DG=1=‎ ‎∴ BD===,‎ BE===3‎ DE===2‎ ‎∵ BD2+BE2=20,DE2=20‎ ‎∴ BD2+BE2=DE2‎ ‎∴ △BDE是直角三形 ‎∴ ∠AOB=∠DBE=90°,且==‎ ‎∴ △AOB∽△DBE 例6 如图,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4),矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.‎ ‎(1)求该抛物线所对应的函数关系式;‎ ‎(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图①所示的位置沿x轴的正方向匀速平行 移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒 ‎(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图②所示).‎ ‎①当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;‎ ‎②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由题意,可设抛物线关系式为y=a(x-2)2+4‎ ‎∵ 抛物线经过O(0,0)‎ ‎∴ 有a(0-2)2+4=0,解得a=-1‎ ‎∴ 该抛物线的函数关系式为y=-(x-2)2+4,即y=-x2+4x ‎(2)① 点P不在直线ME上.‎ 理由如下:‎ 根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0)‎ 又M的坐标为(2,4),设直线ME的关系式为y=kx+b.‎ ‎∴ ,解得 ‎∴ 直线ME的关系式为y=-2x+8‎ 由已知条件易得,当t=时,OA=AP=‎ ‎∴ P(,)‎ ‎∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8‎ ‎∴ 当t=时,点P不在直线ME上.‎ ‎② S存在最大值. 理由如下:‎ ‎∵ 点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上 ‎∴ OA=AP=t ‎∴ 点P、N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t)‎ ‎∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3)‎ ‎∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3t=t(3-t)≥0‎ ‎∴ PN=-t 2+3t ㈠当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD.‎ ‎∴ S=CD·AD=×3×2=3‎ ㈡当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形 ‎∵ PN∥CD,AD⊥CD ‎∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3t)]×2=-t 2+3t+3=-(t-)2+ (0<t<3)‎ ‎∵ a=-1,0<<3‎ ‎∴ 当t=时,S最大=‎ 综上所述,当t=时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积有最大值,这个最大值为.‎