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- 2021-05-13 发布
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课时39.中考压轴题(2)
例1 如图,已知直线l过点A(0,1)和B(1,0),P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交l于点Q,交x轴于点M.
(1)直接写出直线l的解析式;
(2)设OP=t,△OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式;并求出当0<t<2时,S的最大值;
(3)直线l1过点A且与x轴平行,问在l1上是否存在点C, 使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点C的坐标,并证明;若不存在,请说明理由.
解:(1)y=1-x
l
A
O
M
P
B
x
y
l1
Q
(2)∵ OP=t,∴ Q点的横坐标为t
①当0<t<1,即0<t<2时,QM=1-t,
∴ S△OPQ=t(1-t)
②当t≥2时,QM=|1-t|=t-1
∴ S△OPQ=t(t-1)
∴
当0<t<1,即0<t<2时,
∴ 当t=1时,S最大值=
l
A
O
P
B
x
y
l1
Q
C
图-1
(3)由OA=OB=1,所以△OAB是等腰直角三角形,若在l1上存在点C,使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形,则PQ=QC,所以OQ=QC,又l1∥x轴,则C,O两点关于直线l对称,所以AC=OA=1,得C(1,1).
以下证∠PQC=90°:
证明:连CB,则四边形OACB是正方形.
①当点P在线段OB上,Q在线段AB上
(Q与B不重合)时,如图-1.
由对称性,得∠BCQ=∠QOP,∠QPO=∠QOP
∴ ∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°
∴ ∠PQC=360°-(∠QPB+∠QCB+∠PBC)=90°
②当点P在线段OB的延长线上,如图-2、图-3.
∵ ∠QPB=∠QCB,∠1=∠2
∴ ∠PQC=∠PBC=90°
③当点Q与点B重合时,显然∠PQC=∠PBC=90°
综合所述∠PQC=90°
∴ 在l1上存在点C(1,1),使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形.
y
l
A
O
P
B
x
l1
图-3
Q
C
2
1
l
A
O
P
B
x
l1
图-2
Q
C
2
1
y
例2 如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),线段OA绕原点O顺时针旋转120°后得到线段OB.
(1)直接写出点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.
B
A
O
y
x
解:(1)点B的坐标(1,)
(2)设抛物线的解析式为y=ax(x+2)
把B(1,)代入得=a×1×(1+2)
解得a=
∴
C
B
A
O
y
x
(3)如图,抛物线的对称轴是直线x=-1,当点C位于对称轴与线段AB的交点时,△BOC的周长最小.
设直线AB为y=kx+b
∴ ,解得
∴ 直线AB为
D
B
A
O
y
x
P
当x=-1时,,
∴ 点C的坐标为(-1,)
(4)如图,过P作y轴的平行线交AB于D.
当x=-时,△PAB的面积的最大值为,此时P(-,).
例3 如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.
(1)连接PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?
解:(1)⊙P与x轴相切.
∵ 直线y=-2x-8与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,-8).
∴ OA=4,OB=8
由题意得,OP=-k
∴ PB=PA=8+k
在Rt△AOP中,OA=4,OP=-k,PA=8+k
∴ k2+42=(8+k)2
解得k=-3
∴ OP等于⊙P的半径
∴ ⊙P与x轴相切
(2)设⊙P1与直线l交于C,D两点,连接P1C,P1D,
当圆心P1在线段OB上时,作P1E⊥CD于E.
∵ △P1CD为正三角形
∴ DE=CD=,P1D=3,
∴ P1E=
∵ ∠AOB=∠P1EB=90°, ∠ABO=∠P1BE
∴ △AOB∽△P1EB,
∴ ,即
∴ P1B=
∴ P1O=BO-P1B=8-
∴ P1(0,-8)
∴
当圆心P2在线段OB延长线上时,
同理可得P2(0,--8)
∴ k=--8
∴ 当k=-8或k=--8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
例4 当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B.
(1)求该抛物线的关系式;
(2)若点M(x,y1),N(x+1,y2)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小;
A
B
C
D
O
x
y
E
F
3
(3)D是线段AC的中点,E为线段AC上一动点(A、C两端点除外),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F.问:是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,则说明理由.
解:(1)由题意可设抛物线的关系式为y=a(x-2)2-1
∵ 点C(0,3)在抛物线上
∴ 3= a(0-2)2-1,解得a=1
∴ 抛物线的关系式为y=(x-2)2-1=x2-4x+3
(2)∵ 点M(x,y1),N(x+1,y2)都在该抛物线上
∴ y1-y2=(x2-4x+3)-[(x+1)2-4(x+1)+3]=3-2 x
当3-2 x>0,即时,y1>y2
当3-2 x=0,即时,y1=y2
当3-2 x<0,即时,y1<y2
(3)令y=0,即x2-4x+3=0,解得x1=3,x2=1
∴ A(3,0),B(1,0)
∴ D(,)
∴ 直线AC的函数关系式为y=-x+3
因为△AOC是等腰直角三角形,所以,要使△DEF与△AOC相似,△DEF也必须是等腰直角三角形.由于EF∥OC,因此∠DEF=45°,所以,在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点.
①当F为直角顶点时,DF⊥EF,此时△DEF∽△ACO,DF所在直线为y=
由x2-4x+3=,解得x1=,x2=>3 (舍去)
将x=代入y=-x+3,解得y= ∴ E(,)
②当D为直角顶点时,DF⊥AC,此时△DEF∽△OAC,由于点D为线段AC的中点,因此,DF所在直线过原点O,其关系式为y=x.
由x2-4x+3=x,解得x1=,x2=>3 (舍去)
将x=代入y=-x+3,解得y=
∴ E(,)
A
B
C
D
O
x
y
E
F
3
图①
A
B
C
D
O
x
y
E
F
3
图②
例5 如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形ABDE的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
解:(1)∵ 抛物线与y轴交于点(0,3)
∴ 设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0)
根据题意,得,解得
∴ 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
(2)设对称轴与x轴的交点为F
由y=-x2+2x+3得顶点D的坐标为(1,4)
∴ S四边形ABDE=S△ABO+S梯形BOFD+SDFE
=AO·BO+(BO+DF)·OF+EF·DF
=×1×3+(3+4)×1+×2×4
=9
(3)△AOB∽△DBE
证明:连接BE,作BG⊥DF,则BG=DG=1=
∴ BD===,
BE===3
DE===2
∵ BD2+BE2=20,DE2=20
∴ BD2+BE2=DE2
∴ △BDE是直角三形
∴ ∠AOB=∠DBE=90°,且==
∴ △AOB∽△DBE
例6 如图,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4),矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图①所示的位置沿x轴的正方向匀速平行
移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒
(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图②所示).
①当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意,可设抛物线关系式为y=a(x-2)2+4
∵ 抛物线经过O(0,0)
∴ 有a(0-2)2+4=0,解得a=-1
∴ 该抛物线的函数关系式为y=-(x-2)2+4,即y=-x2+4x
(2)① 点P不在直线ME上.
理由如下:
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0)
又M的坐标为(2,4),设直线ME的关系式为y=kx+b.
∴ ,解得
∴ 直线ME的关系式为y=-2x+8
由已知条件易得,当t=时,OA=AP=
∴ P(,)
∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8
∴ 当t=时,点P不在直线ME上.
② S存在最大值. 理由如下:
∵ 点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上
∴ OA=AP=t
∴ 点P、N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t)
∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3)
∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3t=t(3-t)≥0
∴ PN=-t 2+3t
㈠当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD.
∴ S=CD·AD=×3×2=3
㈡当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD,AD⊥CD
∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3t)]×2=-t 2+3t+3=-(t-)2+ (0<t<3)
∵ a=-1,0<<3
∴ 当t=时,S最大=
综上所述,当t=时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积有最大值,这个最大值为.