中考数学试题分类汇编考点20：等腰三角形和等边三角形 12页

中考数学试题分类汇编 考点 20 等腰三角形、等边三角形和直角三角形 一．选择题（共 5 小题） 1．（2018•湖州）如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若 AB=AC， ∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（ ） A．20° B．35° C．40° D．70° 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠ CAD=40°，∠B=∠ACB= （180°﹣∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ ACE= ∠ACB=35°． 【解答】解：∵AD 是△ABC 的中线，AB=AC，∠CAD=20°， ∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB= （180°﹣∠CAB）=70°． ∵CE 是△ABC 的角平分线， ∴∠ACE= ∠ACB=35°． 故选：B． 2．（2018•宿迁）若实数 m、n 满足等式|m﹣2|+ =0，且 m、n 恰好是等腰 △ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求 m、n 的值，再根据 m、n 分别作为 等腰三角形的腰，分类求解． 【解答】解：∵|m﹣2|+ =0， ∴m﹣2=0，n﹣4=0， 解得 m=2，n=4， 当 m=2 作腰时，三边为 2，2，4，不符合三边关系定理； 当 n=4 作腰时，三边为 2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10． 故选：B． 3．（2018•扬州）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，CE 平分∠ACD 交 AB 于 E，则下列结论一定成立的是（ ） A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC 【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE 即可得出∠BEC=∠ BCE，利用等角对等边即可得出 BC=BE，此题得解． 【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°， ∴∠BCD=∠A． ∵CE 平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE． 又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BC=BE． 故选：C． 4．（2018•淄博）如图，在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC，若 AN=1，则 BC 的长为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【分析】根据题意，可以求得∠B 的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求 得 NC 的长，从而可以求得 BC 的长． 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN∥ BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC， ∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC， ∴∠ACB=2∠B，NM=NC， ∴∠B=30°， ∵AN=1， ∴MN=2， ∴AC=AN+NC=3， ∴BC=6， 故选：B． 5．（2018•黄冈）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则 CD=（ ） A．2 B．3 C．4 D．2 【分析】根据直角三角形的性质得出 AE=CE=5，进而得出 DE=3，利用勾股定理 解答即可． 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CE 为 AB 边上的中线，CE=5， ∴AE=CE=5， ∵AD=2， ∴DE=3， ∵CD 为 AB 边上的高， ∴在 Rt△CDE 中，CD= ， 故选：C． 二．填空题（共 12 小题） 6．（2018•成都）等腰三角形的一个底角为 50°，则它的顶角的度数为 80° ． 【分析】本题给出了一个底角为 50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小， 然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【解答】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°﹣50°×2=80°， ∴顶角为 80°． 故填 80°． 7．（2018•长春）如图，在△ABC 中，AB=AC．以点 C 为圆心，以 CB 长为半径 作圆弧，交 AC 的延长线于点 D，连结 BD．若∠A=32°，则∠CDB 的大小为 37 度． 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC 中可求得∠ACB= ∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD 中可求得∠ CDB=∠CBD= ∠ACB=37°． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°， ∴∠ABC=∠ACB=74°， 又∵BC=DC， ∴∠CDB=∠CBD= ∠ACB=37°． 故答案为：37． 8．（2018•哈尔滨）在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=100°，点 D 在 BC 边上，连接 AD，若△ABD 为直角三角形，则∠ADC 的度数为 130°或 90° ． 【分析】根据题意可以求得∠B 和∠C 的度数，然后根据分类讨论的数学思想即 可求得∠ADC 的度数． 【解答】解：∵在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C=40°， ∵点 D 在 BC 边上，△ABD 为直角三角形， ∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°， ∴∠ADC=130°， 当∠ADB=90°时，则 ∠ADC=90°， 故答案为：130°或 90°． 9．（2018•吉林）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰 三角形的“特征值”，记作 k，若 k= ，则该等腰三角形的顶角为 36 度． 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得 出 5∠A=180°，求出即可． 【解答】解： ∵△ABC 中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作 k， 若 k= ， ∴∠A：∠B=1：2， 即 5∠A=180°， ∴∠A=36°， 故答案为：36． 10．（2018•淮安）若一个等腰三角形的顶角等于 50°，则它的底角等于 65 °． 【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案． 【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于 50°， 又∵等腰三角形的底角相等， ∴底角等于（180°﹣50°）× =65°． 故答案为：65． 11．（2018•娄底）如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D 点，DE⊥AB 于点 E， BF⊥AC 于点 F，DE=3cm，则 BF= 6 cm． 【 分 析 】 先 利 用 HL 证 明 Rt △ ADB ≌ Rt △ ADC ， 得 出 S △ ABC=2S △ ABD=2 × AB•DE=AB•DE=3AB，又 S△ABC= AC•BF，将 AC=AB 代入即可求出 BF． 【解答】解：在 Rt△ADB 与 Rt△ADC 中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△ADC， ∴S△ABC=2S△ABD=2× AB•DE=AB•DE=3AB， ∵S△ABC= AC•BF， ∴ AC•BF=3AB， ∵AC=AB， ∴ BF=3， ∴BF=6． 故答案为 6． 12．（2018•桂林）如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，BD 平分∠ABC，则图 中等腰三角形的个数是 3 ． 【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据 等腰三角形的判定：等角对等边解答，做题时要注意，从最明显的找起，由易到 难，不重不漏． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC 是等腰三角形， ∠ABC=∠ACB= =72°， BD 平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°， ∴在△ABD 中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD 是等腰三角形， 在△ABC 中，∠C=∠ABC=72°，AB=AC，△ABC 是等腰三角形， 在△BDC 中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC 是等腰三角形， 所以共有 3 个等腰三角形． 故答案为：3 13．（2018•徐州）边长为 a 的正三角形的面积等于 ． 【分析】根据正三角形的性质求解． 【解答】解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， ∵AD⊥BC ∴BD=CD= a， ∴AD= = a， 面积则是： a• a= a2． 14．（2018•黑龙江）如图，已知等边△ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1 为 边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2 的 B2C2 边上 的高 AB3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2 的面积为 S1，△B2C1B3 的面积为 S2，△B3C2B4 的面积为 S3，如此下去，则 Sn= （ ） n ． 【分析】由 AB1 为边长为 2 的等边三角形 ABC 的高，利用三线合一得到 B1 为 BC 的中点，求出 BB1 的长，利用勾股定理求出 AB1 的长，进而求出第一个等边三角 形 AB1C1 的面积，同理求出第二个等边三角形 AB2C2 的面积，依此类推，得到第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积． 【解答】解：∵等边三角形 ABC 的边长为 2，AB1⊥BC， ∴BB1=1，AB=2， 根据勾股定理得：AB1= ， ∴第一个等边三角形 AB1C1 的面积为 ×（ ）2= （ ）1； ∵等边三角形 AB1C1 的边长为 ，AB2⊥B1C1， ∴B1B2= ，AB1= ， 根据勾股定理得：AB2= ， ∴第二个等边三角形 AB2C2 的面积为 ×（ ）2= （ ）2； 依此类推，第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 （ ）n． 故答案为： （ ）n． 15．（2018•湘潭）如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则∠BAD= 30° ． 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填 空． 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC． 又点 D 是边 BC 的中点， ∴∠BAD= ∠BAC=30°． 故答案是：30°． 16．（2018•天津）如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的 中点，EF⊥AC 于点 F，G 为 EF 的中点，连接 DG，则 DG 的长为 ． 【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出 DE=2，且 DE∥AC，再利用勾股定 理以及直角三角形的性质得出 EG 以及 DG 的长． 【解答】解：连接 DE， ∵在边长为 4 的等边△ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=2，且 DE∥AC，BD=BE=EC=2， ∵EF⊥AC 于点 F，∠C=60°， ∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°， ∴FC= EC=1， 故 EF= = ， ∵G 为 EF 的中点， ∴EG= ， ∴DG= = ． 故答案为： ． 17．（2018•福建）如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，D 是 AB 的中点，则 CD= 3 ． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【解答】解：∵∠ACB=90°，D 为 AB 的中点， ∴CD= AB= ×6=3． 故答案为：3． 三．解答题（共 2 小题） 18．（2018•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题： 例 1 等腰三角形 ABC 中，∠A=110°，求∠B 的度数．（答案：35°） 例 2 等腰三角形 ABC 中，∠A=40°，求∠B 的度数，（答案：40°或 70°或 100°） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形 ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度数． （1）请你解答以上的变式题． （2）解（1）后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不 同，如果在等腰三角形 ABC 中，设∠A=x°，当∠B 有三个不同的度数时，请你探 索 x 的取值范围． 【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论； （2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即 可． 【解答】解：（1）若∠A 为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B=80°； 故∠B=50°或 20°或 80°； （2）分两种情况： ①当 90≤x＜180 时，∠A 只能为顶角， ∴∠B 的度数只有一个； ②当 0＜x＜90 时， 若∠A 为顶角，则∠B=（ ）°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B=（180﹣2x）°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B=x°． 当 ≠180﹣2x 且 180﹣2x≠x 且 ≠x， 即 x≠60 时，∠B 有三个不同的度数． 综上所述，可知当 0＜x＜90 且 x≠60 时，∠B 有三个不同的度数． 19．（2018•徐州）（A 类）已知如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，AD=CD，求证： ∠A=∠C． （B 类）已知如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD． 【分析】（A 类）连接 AC，由 AB=AC、AD=CD 知∠BAC=∠BCA、∠DAC=∠DCA， 两等式相加即可得； （B 类）由以上过程反之即可得． 【解答】证明：（A 类）连接 AC， ∵AB=AC，AD=CD， ∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA， ∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠A=∠C； （B 类）∵AB=AC， ∴∠BAC=∠BCA， 又∵∠A=∠C，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA， ∴∠DAC=∠DCA， ∴AD=CD．