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- 2021-05-13 发布
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垂直模型中的相似及变形
知识互联网
题型一:模型中的相似
思路导航
模型中的相似
[来源:*&^中教%网#]
第 19 页 共 20 页
例题精讲
如图,是一块锐角三角形余料,边mm,高mm,要把它加工成长方形零件,使长方形的边在上,其余两个顶点分别在上.
⑴求这个长方形零件面积的最大值;[来源:@#z%zste~*p.com]
⑵在这个长方形零件面积最大时,能否将余下的材料剪下再拼成(不计接缝用料及损耗)与长方形大小一样的长方形?若能,试给出一种拼法;若不能,试说明理由.
⑴ 设长方形零件的边,则.
∵
∴,
∴,
∴[来源%:中~#&教*网]
∴ ,解得
所以长方形的面积
当时,.
(mm).
所以这个长方形零件面积的最大值是.
⑵ ∵,
∴从理论上说,恰能拼成一个与长方形大小一样的长方形.
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拼法:作的中位线,分别过、作的垂线,垂足分别为、,过作的平行线,交、的延长线于、,易知,,所以将剪下拼接到的位置,即得四边形,此四边形即为与长方形零件面积最大时大小一样的长方形.
典题精练
⑴ 如图,在一场羽毛球比赛中,站在场内M处的运动员
林丹把球从N点击到了对方场内的点B,已知网高
OA=1.52米,OB=4米,OM=5米,则林丹起跳后击球点N[中~国教#育出&%版网@]
离地面的距离MN= 米.
⑵ 如右图,小华为了测量所住楼房的高度,他请来同学帮
忙,测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和米.已知小华的身高为米,那么他所住楼房的高度为 米.
⑶ 如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点,在近岸取点,,,使得,,点在上,并且点,,在同一条直线上,若测得,,,则河的宽度等于
A. B.
C. D.
⑷ 如图,正方形中,为的中点,于点,
则等于( )
A. B. C. D.
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⑸ 如图1,用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板,恰好能拼成如图2所示的四边形
.若,,那么这个四边形的面积是_____________.
⑴ C;⑵ ;⑶ B;⑷ D;⑸ .
[来*源:中^教%@网#]
题型二:模型中的相似
思路导航
在中,,于,
则在这个图形中,我们可以得到个直角三角形,
这个直角三角形两两相似,即
进而可以得到组比例关系,这组比例关系中,有个比例式比较特殊:
⑴ ;⑵ ;⑶ ,
这个比例式转化为乘积式为:
⑴;⑵ ;⑶ ,
这就是著名的“射影定理”
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典题精练
[中国教^@育出~&版网%]
⑴如图,在中,为直角,于点,,,写出其中的一对相似三角形是________和 _________;并写出它的面积比__________________.
⑵ 如图,中,于,一定能确定
为直角三角形的条件的个数是( )
①; ②; ③;
④; ⑤[中国教育&出^*@版网#]
A.1 B.2 C.3 D.4
[来#^&源*:@中教网]
⑶ 如图,是斜边上的高,如果两条直角边
,则_______.
⑴ 答案不唯一,和,;⑵ C;
⑶
由题意,,,
则,,
又,,,,,
则,∴.
[来~源:*%中国教育出#版网@]
如图,已知中,,是边上中线,是边上的中线,且于点,于点,若,,求的长.
连结[中&@国*教^育出版~网]
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∵,
∴,即,
又∵,且
则,,
∴,,
∵是边中线,是边中线,
∴,
∴,∴,
在中,,
∴,∴.
题型三:三垂直的应用
思路导航
三垂直模型中包括三垂直全等和三垂直相似,在解题的过程中要善于发现和使用,并要学会根据具体情况构造三垂直模型.
例题精讲
如图,在矩形中,点、分别在边、上,
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,,,,求的长.
∵
∴,∴,∴;
在中,
典题精练
[中%@#国教^育*出版网]
⑴如图,梯形中,,,为上一点,且,若,,,则= .
⑵如图,已知,,是线段的中点,且,,,那么 .
⑴ 10;⑵ 4
[来源:zz~step.^c%om]
[来&源~^:@中教网*]
⑴ 如图,正方形ABCD的边长为10,内部有6个全等的正方形,小正方形的顶点E.F、G、H分别落在边AD.AB.BC.CD上,则DE的长为 .
⑵ 如图,一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合,另两个顶点分别在正方形的两条边、
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上,那么这个正方形的面积是 . [ww@w.#zzstep~.^com*]
⑴ 2.
⑵ .
抓住相似模型.
,[中~国&^教育出%版网@]
∴
设,,∴
在中,
,∴
正方形的面积为.
⑴ 等边△ABC边长为6,P为BC边上一点,∠MPN=60°,且PM、PN分别于边AB.AC交于点E.F. 如图,若点P在BC边上运动,且∠MPN绕点P旋转,当CF=AE=2时,求PE的长. [来源:@#z%zstep~*.com]
⑵ 如图,梯形中,∥,,
,点 分别在线段上,且
,若,求长.
[来源^:中~#&教*网]
【解析】⑴ 可证△EBP∽△PCF.
∴ .
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设BP=x,则 .解得 .
∴ PE的长为4或.
⑵ 在梯形中,∥, ,,
∴
∴
∵
∴
∴
∴△∽△
∴[中~国教#育出&%版网@]
即: 解得:.
如图,在矩形中,为中点,交于,连结.
⑴与是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由.
⑵设,是否存在这样的值,使得与相似, 若存在,证明你的结论,并求出的值;若不存在,说明理由.
⑴ 相似.在矩形中,.因为,
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、、共线,所以.
又∵,[中*@^国%教育出~版网]
∴
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
⑵ 存在,由于,
∴只能是,
.
由⑴知,
∴.[www.z&^zs#tep.c*o~m]
∴.
即.
反过来,在时,,,,
,
∴.
∴.
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精讲: 相似三角形经典模型总结
【探究一】模型介绍:
⑴ A字型与反A字型;
⑵ 8字型与反8字型;
[中^国教育%出版网*]
⑶ 双垂直模型与母子型;
[来源:中教^~%网#@]
⑷ 三垂直模型与一线三等角模型;
⑸ 手拉手相似模型;
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【探究二】模型联系:
思维拓展训练(选讲)
如图,中,,于,平分
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交于,于.求证:.
由,,
∴
∴,即
又∵和中,,
∴
∴,∴
∵是的平分线,,
∴,则
已知:如图,在正方形中,,点是边上的动点(点不与端点重合),的垂直平分线分别交于点,交的延长线于点.
⑴ 设,试用含的代数式表示的值;[来@源:#*中教^网~]
⑵ 在⑴的条件下,当时,求的长.[中国教%育出版@#~&网]
⑴ 过点作,分别交于两点.
∵是线段的垂直平分线,∴.
∵,∴
∵H是AE的中点,∴M是AD的中点[中%@#国教^育*出版网]
∴是的中位线,∴.
∵四边形是正方形,∴四边形是矩形.[来源:#*中教^~网%]
∴.
∴.
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∵,
∴.
∴,即.
⑵ 过点作于点,则四边形和四边形都是矩形.
∵,解得.
∴
,.
∵,
∴,即.[来源:*中国教育~出版网@^%]
又∵
∴
解得.
∴.
已知,,,,为线段上的动点,点在射线上,且满足(如图1所示).
⑴ 当,且点与点重合时(如图2所示),求线段的长;
⑵ 在图1中,连结.当,且点在线段上时,设点之间的距离为,,其中表示的面积,表示的面积,求关于的函数解析式,并写出自变量的范围; [中国&教育#*~出版^网]
⑶ 当,且点在线段的延长线上时(如图3所示),求的大小.
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[来@源%:中*^~教网]
⑴ 中,,
∴,
∴,即,
过点作于E,如图⑴则
而
⑵ 如图⑵,过点分别作于,于点.[中^国教*~育@%出版网]
∵,[www#.~z%zst@ep^.com]
∴
∴
设,则,
∴
,,∴
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⑶ 答:
证明:如图⑶,过点分别作于,于点.
∵,
∴[中国教育*出&%^@版网]
∴
又∵,
∴
∴[来~#源%*:^中国教育出版网]
∴
∴
等腰直角中,、分别为直角边、上的点,且,过、分别作的垂线,交斜边于、.求证:.
如图,延长至,使,连接
则,于是可证[来源:zzstep%.@~co&*m]
于是
∵
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∴
∴
∴
∴[www.%@z&zst*e#p.com]
∴.
复习巩固
题型一 模型中的相似 巩固练习
如图,是一块锐角三角形余料,边长毫米,高毫米,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在上,其余两个顶点分别在、上,这个正方形零件的边长是多少?
∵四边形为正方形
∴[来^#源:%中教&@网]
∴
设边长为,,即
∴(毫米)[中国教&^~育出#*版网]
答:边长为毫米.
题型二 模型中的相似 巩固练习
如图,斜边上的高为,若,,则 , , .
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,,.
如图,中,,于,是上任意一点,连结,过作于,求证:.
∵,[来源#^:中国%教育出~*版网]
∴
又[来%源*:中^&教网#]
∴
∴,即
又∵为直角三角形,
∴
又[中国教育出版~*#%@网]
∴
∴,即
∴.
如图,在中,,,.点在斜边上,分别作,,垂足分别为、,得四边形.设,.
⑴ 用含的代数式表示为 ;
⑵ 求与之间的函数关系式,并求出的取值范围;[来#源:中教%&*网~]
⑶ 设四边形的面积为,求与之间的函数关系式,并求出的最大值.
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⑴ ;[www.z^#z~@ste%p.com]
⑵ 可证
∴
∴
∴
⑶
当时,取到最大值为.
题型三 三垂直的应用 巩固练习
如图,矩形中,,,将矩形绕点顺时针旋转得到矩形.点为线段上一点(不包括端点),且,求的面积.
如图,设,则.
∵,∴.
又,
∴.
又∵.[中国教#育出版@~^网*]
∴
∴.即.
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解得,(不符合题意,舍去).[w*ww.z@%z~step.c^om]
∴,即.
当时,,
∴,,
.
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