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  • 2021-05-13 发布

2020年中考专题复习:垂直模型中的相似及变形

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垂直模型中的相似及变形 知识互联网 ‎ ‎ 题型一:模型中的相似 思路导航 模型中的相似 ‎[来源:*&^中教%网#]‎ 第 19 页 共 20 页 例题精讲 如图,是一块锐角三角形余料,边mm,高mm,要把它加工成长方形零件,使长方形的边在上,其余两个顶点分别在上.‎ ‎⑴求这个长方形零件面积的最大值;[来源:@#z%zste~*p.com]‎ ‎⑵在这个长方形零件面积最大时,能否将余下的材料剪下再拼成(不计接缝用料及损耗)与长方形大小一样的长方形?若能,试给出一种拼法;若不能,试说明理由.‎ ‎⑴ 设长方形零件的边,则.‎ ‎∵‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴[来源%:中~#&教*网]‎ ‎∴ ,解得 ‎ 所以长方形的面积 当时,. ‎ ‎(mm).‎ 所以这个长方形零件面积的最大值是. ‎ ‎⑵ ∵,‎ ‎∴从理论上说,恰能拼成一个与长方形大小一样的长方形.‎ 第 19 页 共 20 页 拼法:作的中位线,分别过、作的垂线,垂足分别为、,过作的平行线,交、的延长线于、,易知,,所以将剪下拼接到的位置,即得四边形,此四边形即为与长方形零件面积最大时大小一样的长方形.‎ 典题精练 ‎⑴ 如图,在一场羽毛球比赛中,站在场内M处的运动员 林丹把球从N点击到了对方场内的点B,已知网高 OA=1.52米,OB=4米,OM=5米,则林丹起跳后击球点N[中~国教#育出&%版网@]‎ 离地面的距离MN= 米.‎ ‎⑵ 如右图,小华为了测量所住楼房的高度,他请来同学帮 忙,测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和米.已知小华的身高为米,那么他所住楼房的高度为 米.‎ ‎⑶ 如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点,在近岸取点,,,使得,,点在上,并且点,,在同一条直线上,若测得,,,则河的宽度等于 A. B.‎ C. D.‎ ‎⑷ 如图,正方形中,为的中点,于点,‎ 则等于(  )‎ A. B. C. D.‎ 第 19 页 共 20 页 ‎⑸ 如图1,用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板,恰好能拼成如图2所示的四边形 ‎.若,,那么这个四边形的面积是_____________.‎ ‎⑴ C;⑵ ;⑶ B;⑷ D;⑸ . ‎[来*源:中^教%@网#]‎ 题型二:模型中的相似 思路导航 ‎ ‎ 在中,,于,‎ 则在这个图形中,我们可以得到个直角三角形,‎ 这个直角三角形两两相似,即 进而可以得到组比例关系,这组比例关系中,有个比例式比较特殊:‎ ‎⑴ ;⑵ ;⑶ ,‎ 这个比例式转化为乘积式为:‎ ‎⑴;⑵ ;⑶ ,‎ 这就是著名的“射影定理”‎ 第 19 页 共 20 页 典题精练 ‎[中国教^@育出~&版网%]‎ ‎⑴如图,在中,为直角,于点,,,写出其中的一对相似三角形是________和 _________;并写出它的面积比__________________.‎ ‎⑵ 如图,中,于,一定能确定 为直角三角形的条件的个数是( )‎ ‎①; ②; ③;‎ ‎④; ⑤[中国教育&出^*@版网#]‎ A.1  B.2 C.3 D.4‎ ‎[来#^&源*:@中教网]‎ ‎⑶ 如图,是斜边上的高,如果两条直角边 ‎,则_______.‎ ‎⑴ 答案不唯一,和,;⑵ C; ‎ ‎⑶ ‎ 由题意,,,‎ 则,,‎ 又,,,,,‎ 则,∴.‎ ‎[来~源:*%中国教育出#版网@]‎ 如图,已知中,,是边上中线,是边上的中线,且于点,于点,若,,求的长.‎ 连结[中&@国*教^育出版~网]‎ 第 19 页 共 20 页 ‎∵,‎ ‎∴,即,‎ 又∵,且 则,,‎ ‎∴,,‎ ‎∵是边中线,是边中线,‎ ‎∴,‎ ‎∴,∴,‎ 在中,,‎ ‎∴,∴.‎ 题型三:三垂直的应用 思路导航 三垂直模型中包括三垂直全等和三垂直相似,在解题的过程中要善于发现和使用,并要学会根据具体情况构造三垂直模型.‎ 例题精讲 如图,在矩形中,点、分别在边、上,‎ 第 19 页 共 20 页 ‎,,,,求的长. ‎ ‎∵‎ ‎∴,∴,∴;‎ 在中,‎ 典题精练 ‎[中%@#国教^育*出版网]‎ ‎⑴如图,梯形中,,,为上一点,且,若,,,则= .‎ ‎⑵如图,已知,,是线段的中点,且,,,那么 . ‎ ‎⑴ 10;⑵ 4‎ ‎[来源:zz~step.^c%&#om]‎ ‎[来&源~^:@中教网*]‎ ‎⑴ 如图,正方形ABCD的边长为10,内部有6个全等的正方形,小正方形的顶点E.F、G、H分别落在边AD.AB.BC.CD上,则DE的长为 .‎ ‎⑵ 如图,一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合,另两个顶点分别在正方形的两条边、‎ 第 19 页 共 20 页 上,那么这个正方形的面积是 . [ww@w.#zzstep~.^com*]‎ ‎⑴ 2.‎ ‎⑵ .‎ 抓住相似模型.‎ ‎,[中~国&^教育出%版网@]‎ ‎∴‎ 设,,∴‎ 在中,‎ ‎,∴‎ 正方形的面积为.‎ ‎⑴ 等边△ABC边长为6,P为BC边上一点,∠MPN=60°,且PM、PN分别于边AB.AC交于点E.F. 如图,若点P在BC边上运动,且∠MPN绕点P旋转,当CF=AE=2时,求PE的长. [来源:@#z%zstep~*.com]‎ ‎⑵ 如图,梯形中,∥,,‎ ‎,点 分别在线段上,且 ‎,若,求长.‎ ‎[来源^:中~#&教*网]‎ ‎【解析】⑴ 可证△EBP∽△PCF.‎ ‎∴ .‎ 第 19 页 共 20 页 设BP=x,则 .解得 .‎ ‎∴ PE的长为4或.‎ ‎⑵ 在梯形中,∥, ,,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴△∽△‎ ‎∴[中~国教#育出&%版网@]‎ 即: 解得:.‎ 如图,在矩形中,为中点,交于,连结.‎ ‎⑴与是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由.‎ ‎⑵设,是否存在这样的值,使得与相似, 若存在,证明你的结论,并求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎⑴ 相似.在矩形中,.因为,‎ 第 19 页 共 20 页 ‎、、共线,所以.‎ 又∵,[中*@^国%教育出~版网]‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎⑵ 存在,由于,‎ ‎∴只能是,‎ ‎.‎ 由⑴知,‎ ‎∴.[www.z&^zs#tep.c*o~m]‎ ‎∴.‎ 即.‎ 反过来,在时,,,,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 第 19 页 共 20 页 精讲: 相似三角形经典模型总结 ‎【探究一】模型介绍:‎ ‎⑴ A字型与反A字型;‎ ‎⑵ 8字型与反8字型;‎ ‎[中^国教育%出版&#网*]‎ ‎⑶ 双垂直模型与母子型;‎ ‎[来源:中教^~%网#@]‎ ‎⑷ 三垂直模型与一线三等角模型;‎ ‎⑸ 手拉手相似模型;‎ 第 19 页 共 20 页 ‎【探究二】模型联系: ‎ 思维拓展训练(选讲)‎ 如图,中,,于,平分 第 19 页 共 20 页 交于,于.求证:.‎ 由,,‎ ‎∴‎ ‎∴,即 又∵和中,,‎ ‎∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∵是的平分线,,‎ ‎∴,则 已知:如图,在正方形中,,点是边上的动点(点不与端点重合),的垂直平分线分别交于点,交的延长线于点.‎ ‎⑴ 设,试用含的代数式表示的值;[来@源:#*中教^网~]‎ ‎⑵ 在⑴的条件下,当时,求的长.[中国教%育出版@#~&网]‎ ‎⑴ 过点作,分别交于两点.‎ ‎∵是线段的垂直平分线,∴.‎ ‎∵,∴‎ ‎∵H是AE的中点,∴M是AD的中点[中%@#国教^育*出版网]‎ ‎∴是的中位线,∴.‎ ‎∵四边形是正方形,∴四边形是矩形.[来源:#*中教^~网%]‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 第 19 页 共 20 页 ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴,即. ‎ ‎⑵ 过点作于点,则四边形和四边形都是矩形.‎ ‎∵,解得.‎ ‎∴‎ ‎,.‎ ‎∵,‎ ‎∴,即.[来源:*中国教育~出版网@^%]‎ 又∵‎ ‎∴‎ 解得.‎ ‎∴. ‎ 已知,,,,为线段上的动点,点在射线上,且满足(如图1所示).‎ ‎⑴ 当,且点与点重合时(如图2所示),求线段的长;‎ ‎⑵ 在图1中,连结.当,且点在线段上时,设点之间的距离为,,其中表示的面积,表示的面积,求关于的函数解析式,并写出自变量的范围; [中国&教育#*~出版^网]‎ ‎⑶ 当,且点在线段的延长线上时(如图3所示),求的大小. ‎ 第 19 页 共 20 页 ‎[来@源%:中*^~教网]‎ ‎⑴ 中,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即,‎ 过点作于E,如图⑴则 而 ‎⑵ 如图⑵,过点分别作于,于点.[中^国教*~育@%出版网]‎ ‎∵,[www#.~z%zst@ep^.com]‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 设,则,‎ ‎∴‎ ‎,,∴‎ 第 19 页 共 20 页 ‎⑶ 答:‎ 证明:如图⑶,过点分别作于,于点.‎ ‎∵,‎ ‎∴[中国教育*出&%^@版网]‎ ‎∴‎ 又∵,‎ ‎∴‎ ‎∴[来~#源%*:^中国教育出版网]‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 等腰直角中,、分别为直角边、上的点,且,过、分别作的垂线,交斜边于、.求证:.‎ 如图,延长至,使,连接 则,于是可证[来源:zzstep%.@~co&*m]‎ 于是 ‎∵‎ 第 19 页 共 20 页 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴[www.%@z&zst*e#p.com]‎ ‎∴.‎ 复习巩固 题型一 模型中的相似 巩固练习 如图,是一块锐角三角形余料,边长毫米,高毫米,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在上,其余两个顶点分别在、上,这个正方形零件的边长是多少?‎ ‎∵四边形为正方形 ‎∴[来^#源:%中教&@网]‎ ‎∴‎ 设边长为,,即 ‎∴(毫米)[中国教&^~育出#*版网]‎ 答:边长为毫米.‎ 题型二 模型中的相似 巩固练习 如图,斜边上的高为,若,,则 , , .‎ 第 19 页 共 20 页 ‎,,.‎ 如图,中,,于,是上任意一点,连结,过作于,求证:.‎ ‎∵,[来源#^:中国%教育出~*版网]‎ ‎∴‎ 又[来%源*:中^&教网#]‎ ‎∴‎ ‎∴,即 又∵为直角三角形,‎ ‎∴‎ 又[中国教育出版~*#%@网]‎ ‎∴‎ ‎∴,即 ‎∴.‎ 如图,在中,,,.点在斜边上,分别作,,垂足分别为、,得四边形.设,.‎ ‎⑴ 用含的代数式表示为 ;‎ ‎⑵ 求与之间的函数关系式,并求出的取值范围;[来#源:中教%&*网~]‎ ‎⑶ 设四边形的面积为,求与之间的函数关系式,并求出的最大值.‎ 第 19 页 共 20 页 ‎⑴ ;[www.z^#z~@ste%p.com]‎ ‎⑵ 可证 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎⑶ ‎ 当时,取到最大值为.‎ 题型三 三垂直的应用 巩固练习 如图,矩形中,,,将矩形绕点顺时针旋转得到矩形.点为线段上一点(不包括端点),且,求的面积.‎ ‎ ‎ 如图,设,则.‎ ‎∵,∴.‎ 又,‎ ‎∴.‎ 又∵.[中国教#育出版@~^网*]‎ ‎∴‎ ‎∴.即. ‎ 第 19 页 共 20 页 解得,(不符合题意,舍去).[w*ww.z@%z~step.c^om]‎ ‎∴,即. ‎ 当时,,‎ ‎∴,,‎ ‎. ‎ ‎ ‎ 第 19 页 共 20 页