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  • 2021-05-13 发布

2019年江苏省南京市中考数学试卷

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‎2019年江苏省南京市中考数学试卷 一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)‎ ‎1.(2分)2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元.用科学记数法表示13000是(  )‎ A.0.13×105 B.1.3×104 C.13×103 D.130×102‎ ‎2.(2分)计算(a2b)3的结果是(  )‎ A.a2b3 B.a5b3 C.a6b D.a6b3‎ ‎3.(2分)面积为4的正方形的边长是(  )‎ A.4的平方根 B.4的算术平方根 ‎ C.4开平方的结果 D.4的立方根 ‎4.(2分)实数a、b、c满足a>b且ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置可以是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎5.(2分)下列整数中,与10﹣最接近的是(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎6.(2分)如图,△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的,△A'B'C还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到?下列结论:①1次旋转;②1次旋转和1次轴对称;③2次旋转;④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是(  )‎ A.①④ B.②③ C.②④ D.③④‎ 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分。不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)‎ ‎7.(2分)﹣2的相反数是   ;的倒数是   .‎ ‎8.(2分)计算﹣的结果是   .‎ ‎9.(2分)分解因式(a﹣b)2+4ab的结果是   .‎ ‎10.(2分)已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m=0的一个根,则m=   .‎ ‎11.(2分)结合图,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式:∵   ,∴a∥b.‎ ‎12.(2分)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有   cm.‎ ‎13.(2分)为了了解某区初中学生的视力情况,随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据,得到下表:‎ 视力 ‎4.7以下 ‎4.7‎ ‎4.8‎ ‎4.9‎ ‎4.9以上 人数 ‎102‎ ‎98‎ ‎80‎ ‎93‎ ‎127‎ 根据抽样调查结果,估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是   .‎ ‎14.(2分)如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,点C、D在⊙O上.若∠P=102°,则∠A+∠C=   .‎ ‎15.(2分)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长   .‎ ‎16.(2分)在△ABC中,AB=4,∠C=60°,∠A>∠B,则BC的长的取值范围是   .‎ 三、解答题(本大题共11小题,共88分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(7分)计算(x+y)(x2﹣xy+y2)‎ ‎18.(7分)解方程:﹣1=.‎ ‎19.(7分)如图,D是△ABC的边AB的中点,DE∥BC,CE∥AB,AC与DE相交于点F.求证:△ADF≌△CEF.‎ ‎20.(8分)如图是某市连续5天的天气情况.‎ ‎(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大;‎ ‎(2)根据如图提供的信息,请再写出两个不同类型的结论.‎ ‎21.(8分)某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动,要求每位学生选择两天参加活动.‎ ‎(1)甲同学随机选择两天,其中有一天是星期二的概率是多少?‎ ‎(2)乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期二的概率是   .‎ ‎22.(7分)如图,⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证:PA=PC.‎ ‎23.(8分)已知一次函数y1=kx+2(k为常数,k≠0)和y2=x﹣3.‎ ‎(1)当k=﹣2时,若y1>y2,求x的取值范围.‎ ‎(2)当x<1时,y1>y2.结合图象,直接写出k的取值范围.‎ ‎24.(8分)如图,山顶有一塔AB,塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°,从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度.‎ ‎(参考数据:tan22°≈0.40,tan27°≈0.51.)‎ ‎25.(8分)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长50m,宽40m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3:2.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?‎ ‎26.(9分)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.求作菱形DEFG,使点D在边AC上,点E、F在边AB上,点G在边BC上.‎ 小明的作法 ‎1.如图②,在边AC上取一点D,过点D作DG∥AB交BC于点G.‎ ‎2.以点D为圆心,DG长为半径画弧,交AB于点E.‎ ‎3.在EB上截取EF=ED,连接FG,则四边形DEFG为所求作的菱形.‎ ‎(1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形.‎ ‎(2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索,直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.‎ ‎27.(11分)【概念认识】‎ 城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点A(x1,y1)和B(x2,y2),用以下方式定义两点间距离:d(A,B)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.‎ ‎【数学理解】‎ ‎(1)①已知点A(﹣2,1),则d(O,A)=   .‎ ‎②函数y=﹣2x+4(0≤x≤2)的图象如图①所示,B是图象上一点,d(O,B)=3,则点B的坐标是   .‎ ‎(2)函数y=(x>0)的图象如图②所示.求证:该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.‎ ‎(3)函数y=x2﹣5x+7(x≥0)的图象如图③所示,D是图象上一点,求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐标.‎ ‎【问题解决】‎ ‎(4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图④,道路以M为起点,先沿MN方向到某处,再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短?(要求:建立适当的平面直角坐标系,画出示意图并简要说明理由)‎ ‎2019年江苏省南京市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)‎ ‎1.(2分)2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元.用科学记数法表示13000是(  )‎ A.0.13×105 B.1.3×104 C.13×103 D.130×102‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:13000=1.3×104‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎2.(2分)计算(a2b)3的结果是(  )‎ A.a2b3 B.a5b3 C.a6b D.a6b3‎ ‎【分析】根据积的乘方法则解答即可.‎ ‎【解答】解:(a2b)3=(a2)3b3=a6b3.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查了幂的运算,熟练掌握法则是解答本题的关键.积的乘方,等于每个因式乘方的积.‎ ‎3.(2分)面积为4的正方形的边长是(  )‎ A.4的平方根 B.4的算术平方根 ‎ C.4开平方的结果 D.4的立方根 ‎【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根;‎ ‎【解答】解:面积为4的正方形的边长是,即为4的算术平方根;‎ 故选:B.‎ ‎【点评】‎ 本题考查算术平方根;熟练掌握正方形面积与边长的关系,算术平方根的意义是解题的关键.‎ ‎4.(2分)实数a、b、c满足a>b且ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置可以是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】根据不等式的性质,先判断c的正负.再确定符合条件的对应点的大致位置.‎ ‎【解答】解:因为a>b且ac<bc,‎ 所以c<0.‎ 选项A符合a>b,c<0条件,故满足条件的对应点位置可以是A.‎ 选项B不满足a>b,选项C、D不满足c<0,故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质.解决本题的关键是根据不等式的性质判断c的正负.‎ ‎5.(2分)下列整数中,与10﹣最接近的是(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【分析】由于9<13<16,可判断与4最接近,从而可判断与10﹣最接近的整数为6.‎ ‎【解答】解:∵9<13<16,‎ ‎∴3<<4,‎ ‎∴与最接近的是4,‎ ‎∴与10﹣最接近的是6.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题考查了估算无理数的大小,熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键.‎ ‎6.(2分)如图,△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的,△A'B'C还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到?下列结论:①1次旋转;②1次旋转和1次轴对称;③2次旋转;④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是(  )‎ A.①④ B.②③ C.②④ D.③④‎ ‎【分析】依据旋转变换以及轴对称变换,即可使△ABC与△A'B'C'重合.‎ ‎【解答】解:先将△ABC绕着B'C的中点旋转180°,再将所得的三角形绕着B'C'的中点旋转180°,即可得到△A'B'C';‎ 先将△ABC沿着B'C的垂直平分线翻折,再将所得的三角形沿着B'C'的垂直平分线翻折,即可得到△A'B'C';‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查了几何变换的类型,在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线(段)或者平行,或者交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分.在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角.‎ 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分。不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)‎ ‎7.(2分)﹣2的相反数是 2 ;的倒数是 2 .‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,乘积为的两个数互为倒数,可得答案.‎ ‎【解答】解:﹣2的相反数是 2;的倒数是 2,‎ 故答案为:2,2.‎ ‎【点评】本题考查了倒数,分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键.‎ ‎8.(2分)计算﹣的结果是 0 .‎ ‎【分析】先分母有理化,然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可.‎ ‎【解答】解:原式=2﹣2=0.‎ 故答案为0.‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.‎ ‎9.(2分)分解因式(a﹣b)2+4ab的结果是 (a+b)2 .‎ ‎【分析】直接利用多项式乘法去括号,进而合并同类项,再利用公式法分解因式得出答案.‎ ‎【解答】解:(a﹣b)2+4ab ‎=a2﹣2ab+b2+4ab ‎=a2+2ab+b2‎ ‎=(a+b)2.‎ 故答案为:(a+b)2.‎ ‎【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式,正确应用公式是解题关键.‎ ‎10.(2分)已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m=0的一个根,则m= 1 .‎ ‎【分析】把x=2+代入方程得到关于m的方程,然后解关于m的方程即可.‎ ‎【解答】解:把x=2+代入方程得(2+)2﹣4(2+)+m=0,‎ 解得m=1.‎ 故答案为1.‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.‎ ‎11.(2分)结合图,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式:∵ ∠1+∠3=180° ,∴a∥b.‎ ‎【分析】两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.‎ ‎【解答】解:∵∠1+∠3=180°,‎ ‎∴a∥b(同旁内角互补,两直线平).‎ 故答案为:∠1+∠3=180°.‎ ‎【点评】本题主要考查了平行的判定,两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.‎ ‎12.(2分)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm.‎ ‎【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度,进而得出答案.‎ ‎【解答】解:由题意可得:‎ 杯子内的筷子长度为:=15,‎ 则筷子露在杯子外面的筷子长度为:20﹣15=5(cm).‎ 故答案为:5.‎ ‎【点评】此题主要考查了勾股定理的应用,正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键.‎ ‎13.(2分)为了了解某区初中学生的视力情况,随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据,得到下表:‎ 视力 ‎4.7以下 ‎4.7‎ ‎4.8‎ ‎4.9‎ ‎4.9以上 人数 ‎102‎ ‎98‎ ‎80‎ ‎93‎ ‎127‎ 根据抽样调查结果,估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 7200 .‎ ‎【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得.‎ ‎【解答】解:估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000×=7200(人),‎ 故答案为:7200.‎ ‎【点评】本题主要考查用样本估计总体,用样本的数字特征估计总体的数字特征(主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ).一般来说,用样本去估计总体时,样本越具有代表性、容量越大,这时对总体的估计也就越精确.‎ ‎14.(2分)如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,点C、D在⊙O上.若∠P=102°,则∠A+∠C= 219° .‎ ‎【分析】连接AB,根据切线的性质得到PA=PB,根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=(180°﹣102°)=39°,由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C=180°,于是得到结论.‎ ‎【解答】解:连接AB,‎ ‎∵PA、PB是⊙O的切线,‎ ‎∴PA=PB,‎ ‎∵∠P=102°,‎ ‎∴∠PAB=∠PBA=(180°﹣102°)=39°,‎ ‎∵∠DAB+∠C=180°,‎ ‎∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°,‎ 故答案为:219°.‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质,圆内接四边形的性质,等腰三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.‎ ‎15.(2分)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长  .‎ ‎【分析】证出∠ACD=∠DCB=∠B,证明△ACD∽△ABC,得出=,即可得出结果.‎ ‎【解答】解:∵BC的垂直平分线MN交AB于点D,‎ ‎∴CD=BD=3,‎ ‎∴∠B=∠DCB,AB=AD+BD=5,‎ ‎∵CD平分∠ACB,‎ ‎∴∠ACD=∠DCB=∠B,‎ ‎∵∠A=∠A,‎ ‎∴△ACD∽△ABC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AC2=AD×AB=2×5=10,‎ ‎∴AC=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识;熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.‎ ‎16.(2分)在△ABC中,AB=4,∠C=60°,∠A>∠B,则BC的长的取值范围是 4<BC≤ .‎ ‎【分析】作△ABC的外接圆,求出当∠BAC=90°时,BC是直径最长=;当∠BAC=∠ABC时,△ABC是等边三角形,BC=AC=AB=4,而∠BAC>∠ABC,即可得出答案.‎ ‎【解答】解:作△ABC的外接圆,如图所示:‎ ‎∵∠BAC>∠ABC,AB=4,‎ 当∠BAC=90°时,BC是直径最长,‎ ‎∵∠C=60°,‎ ‎∴∠ABC=30°,‎ ‎∴BC=2AC,AB=AC=4,‎ ‎∴AC=,‎ ‎∴BC=;‎ 当∠BAC=∠ABC时,△ABC是等边三角形,BC=AC=AB=4,‎ ‎∵∠BAC>∠ABC,‎ ‎∴BC长的取值范围是4<BC≤;‎ 故答案为:4<BC≤.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质;作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键.‎ 三、解答题(本大题共11小题,共88分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(7分)计算(x+y)(x2﹣xy+y2)‎ ‎【分析】根据多项式乘以多项式的法则,可表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,计算即可.‎ ‎【解答】解:(x+y)(x2﹣xy+y2),‎ ‎=x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3,‎ ‎=x3+y3.‎ 故答案为:x3+y3.‎ ‎【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则.注意不要漏项,漏字母,有同类项的合并同类项.‎ ‎18.(7分)解方程:﹣1=.‎ ‎【分析】方程两边都乘以最简公分母(x+1)(x﹣1)化为整式方程,然后解方程即可,最后进行检验.‎ ‎【解答】解:方程两边都乘以(x+1)(x﹣1)去分母得,‎ x(x+1)﹣(x2﹣1)=3,‎ 即x2+x﹣x2+1=3,‎ 解得x=2‎ 检验:当x=2时,(x+1)(x﹣1)=(2+1)(2﹣1)=3≠0,‎ ‎∴x=2是原方程的解,‎ 故原分式方程的解是x=2.‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的求解,(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.‎ ‎(2)解分式方程一定注意要验根.‎ ‎19.(7分)如图,D是△ABC的边AB的中点,DE∥BC,CE∥AB,AC与DE相交于点F.求证:△ADF≌△CEF.‎ ‎【分析】依据四边形DBCE是平行四边形,即可得出BD=CE,依据CE∥AD,即可得出∠A=∠ECF,∠ADF=∠E,即可判定△ADF≌△CEF.‎ ‎【解答】证明:∵DE∥BC,CE∥AB,‎ ‎∴四边形DBCE是平行四边形,‎ ‎∴BD=CE,‎ ‎∵D是AB的中点,‎ ‎∴AD=BD,‎ ‎∴AD=EC,‎ ‎∵CE∥AD,‎ ‎∴∠A=∠ECF,∠ADF=∠E,‎ ‎∴△ADF≌△CEF(ASA).‎ ‎【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定,两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.‎ ‎20.(8分)如图是某市连续5天的天气情况.‎ ‎(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大;‎ ‎(2)根据如图提供的信息,请再写出两个不同类型的结论.‎ ‎【分析】(1)方差:一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差;‎ ‎(2)用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况,这个结果叫方差,通常用s2来表示,计算公式是:‎ s2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2](可简单记忆为“方差等于差方的平均数”).‎ ‎【解答】解:(1)这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是 ‎==24,==18,‎ 方差分别是 ‎==0.8,‎ ‎==8.8,‎ ‎∴<,‎ ‎∴该市这5天的日最低气温波动大;‎ ‎(2)25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴,空气质量依次良、优、优,说明下雨后空气质量改善了.‎ ‎【点评】本题考查了方差,正确理解方差的意义是解题的关键.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.‎ ‎21.(8分)某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动,要求每位学生选择两天参加活动.‎ ‎(1)甲同学随机选择两天,其中有一天是星期二的概率是多少?‎ ‎(2)乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期二的概率是  .‎ ‎【分析】(1)由树状图得出共有12个等可能的结果,其中有一天是星期二的结果有6个,由概率公式即可得出结果;‎ ‎(2)乙同学随机选择连续的两天,共有3个等可能的结果,即(星期一,星期二),(星期二,星期三),(星期三,星期四);其中有一天是星期二的结果有2个,由概率公式即可得出结果.‎ ‎【解答】解:(1)画树状图如图所示:共有12个等可能的结果,其中有一天是星期二的结果有6个,‎ ‎∴甲同学随机选择两天,其中有一天是星期二的概率为=;‎ ‎(2)乙同学随机选择连续的两天,共有3个等可能的结果,即(星期一,星期二),(星期二,星期三),(星期三,星期四);‎ 其中有一天是星期二的结果有2个,即(星期一,星期二),(星期二,星期三),‎ ‎∴乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期二的概率是;‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.‎ ‎22.(7分)如图,⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证:PA=PC.‎ ‎【分析】连接AC,由圆心角、弧、弦的关系得出=,进而得出=,根据等弧所对的圆周角相等得出∠C=∠A,根据等角对等边证得结论.‎ ‎【解答】证明:连接AC,‎ ‎∵AB=CD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴+=+,即=,‎ ‎∴∠C=∠A,‎ ‎∴PA=PC.‎ ‎【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,等腰三角形的判定等,熟练掌握性质定理是解题的关键.‎ ‎23.(8分)已知一次函数y1=kx+2(k为常数,k≠0)和y2=x﹣3.‎ ‎(1)当k=﹣2时,若y1>y2,求x的取值范围.‎ ‎(2)当x<1时,y1>y2.结合图象,直接写出k的取值范围.‎ ‎【分析】(1)解不等式﹣2x+2>x﹣3即可;‎ ‎(2)先计算出x=1对应的y2的函数值,然后根据x<1时,一次函数y1=kx+2(k为常数,k≠0)的图象在直线y2=x﹣3的上方确定k的范围.‎ ‎【解答】解:(1)k=﹣2时,y1=﹣2x+2,‎ 根据题意得﹣2x+2>x﹣3,‎ 解得x<;‎ ‎(2)当x=1时,y=x﹣3=﹣2,把(1,﹣2)代入y1=kx+2得k+2=﹣2,解得k=﹣4,‎ 当﹣4≤k<0时,y1>y2;‎ 当0<k≤1时,y1>y2.‎ ‎【点评】‎ 本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.‎ ‎24.(8分)如图,山顶有一塔AB,塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°,从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度.‎ ‎(参考数据:tan22°≈0.40,tan27°≈0.51.)‎ ‎【分析】延长AB交CD于H,利用正切的定义用CH表示出AH、BH,根据题意列式求出CH,计算即可.‎ ‎【解答】解:延长AB交CD于H,‎ 则AH⊥CD,‎ 在Rt△AHD中,∠D=45°,‎ ‎∴AH=DH,‎ 在Rt△AHC中,tan∠ACH=,‎ ‎∴AH=CH•tan∠ACH≈0.51CH,‎ 在Rt△BHC中,tan∠BCH=,‎ ‎∴BH=CH•tan∠BCH≈0.4CH,‎ 由题意得,0.51CH﹣0.4CH=33,‎ 解得,CH=300,‎ ‎∴EH=CH﹣CE=220,BH=120,‎ ‎∴AH=AB+BH=153,‎ ‎∴DH=AH=153,‎ ‎∴HF=DH﹣DF=103,‎ ‎∴EF=EH+FH=323,‎ 答:隧道EF的长度为323m.‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.‎ ‎25.(8分)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长50m,宽40m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3:2.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?‎ ‎【分析】设扩充后广场的长为3xm,宽为2xm,根据矩形的面积公式和总价=单价×数量列出方程并解答.‎ ‎【解答】解:设扩充后广场的长为3xm,宽为2xm,‎ 依题意得:3x•2x•100+30(3x•2x﹣50×40)=642000‎ 解得x1=30,x2=﹣30(舍去).‎ 所以3x=90,2x=60,‎ 答:扩充后广场的长为90m,宽为60m.‎ ‎【点评】题考查了列二元一次方程解实际问题的运用,总价=单价×数量的运用,解答时找准题目中的数量关系是关键.‎ ‎26.(9分)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.求作菱形DEFG,使点D在边AC上,点E、F在边AB上,点G在边BC上.‎ 小明的作法 ‎1.如图②,在边AC上取一点D,过点D作DG∥AB交BC于点G.‎ ‎2.以点D为圆心,DG长为半径画弧,交AB于点E.‎ ‎3.在EB上截取EF=ED,连接FG,则四边形DEFG为所求作的菱形.‎ ‎(1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形.‎ ‎(2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索,直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.‎ ‎【分析】(1)根据邻边相等的四边形是菱形证明即可.‎ ‎(2)求出几种特殊位置的CD的值判断即可.‎ ‎【解答】(1)证明:∵DE=DG,EF=DE,‎ ‎∴DG=EF,‎ ‎∵DG∥EF,‎ ‎∴四边形DEFG是平行四边形,‎ ‎∵DG=DE,‎ ‎∴四边形DEFG是菱形.‎ ‎(2)如图1中,当四边形DEFG是正方形时,设正方形的边长为x.‎ 在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=3,BC=4,‎ ‎∴AB==5,‎ 则CD=x,AD=x,‎ ‎∵AD+CD=AC,‎ ‎∴+x=3,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴CD=x=,‎ 观察图象可知:0≤CD<时,菱形的个数为0.‎ 如图2中,当四边形DAEG是菱形时,设菱形的边长为m.‎ ‎∵DG∥AB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ 解得m=,‎ ‎∴CD=3﹣=,‎ 如图3中,当四边形DEBG是菱形时,设菱形的边长为n.‎ ‎∵DG∥AB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴n=,‎ ‎∴CG=4﹣=,‎ ‎∴CD==,‎ 观察图象可知:当0≤CD<或<CD<3时,菱形的个数为0,当CD=或<CD≤时,菱形的个数为1,当<CD≤时,菱形的个数为2.‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,作图﹣复杂作图等知识,解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题,属于中考常考题型,题目有一定难度.‎ ‎27.(11分)【概念认识】‎ 城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点A(x1,y1)和B(x2,y2),用以下方式定义两点间距离:d(A,B)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.‎ ‎【数学理解】‎ ‎(1)①已知点A(﹣2,1),则d(O,A)= 3 .‎ ‎②函数y=﹣2x+4(0≤x≤2)的图象如图①所示,B是图象上一点,d(O,B)=3,则点B的坐标是 (1,2) .‎ ‎(2)函数y=(x>0)的图象如图②所示.求证:该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.‎ ‎(3)函数y=x2﹣5x+7(x≥0)的图象如图③所示,D是图象上一点,求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐标.‎ ‎【问题解决】‎ ‎(4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图④,道路以M为起点,先沿MN方向到某处,再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短?(要求:建立适当的平面直角坐标系,画出示意图并简要说明理由)‎ ‎【分析】(1)①根据定义可求出d(O,A)=|0+2|+|0﹣1|=2+1=3;②由两点间距离:d(A,B)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点B是函数y=﹣2x+4的图象上的一点,可得出方程组,解方程组即可求出点B的坐标;‎ ‎(2)由条件知x>0,根据题意得,整理得x2﹣3x+4=0,由△<0可证得该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.‎ ‎(3)根据条件可得|x|+|x2﹣5x+7|,去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值;‎ ‎(4)以M为原点,MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=﹣x的图象沿y轴正方向平移,直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止,设交点为E,过点E作EH⊥MN,垂足为H,修建方案是:先沿MN方向修建到H处,再沿HE方向修建到E处,可由d(O,P)≥d(O,E)证明结论即可.‎ ‎【解答】解:(1)①由题意得:d(O,A)=|0+2|+|0﹣1|=2+1=3;‎ ‎②设B(x,y),由定义两点间的距离可得:|0﹣x|+|0﹣y|=3,‎ ‎∵0≤x≤2,‎ ‎∴x+y=3,‎ ‎∴,‎ 解得:,‎ ‎∴B(1,2),‎ 故答案为:3,(1,2);‎ ‎(2)假设函数的图象上存在点C(x,y)使d(O,C)=3,‎ 根据题意,得,‎ ‎∵x>0,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴x2+4=3x,‎ ‎∴x2﹣3x+4=0,‎ ‎∴△=b2﹣4ac=﹣7<0,‎ ‎∴方程x2﹣3x+4=0没有实数根,‎ ‎∴该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.‎ ‎(3)设D(x,y),‎ 根据题意得,d(O,D)=|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|=|x|+|x2﹣5x+7|,‎ ‎∵,‎ 又x≥0,‎ ‎∴d(O,D)=|x|+|x2﹣5x+7|=x+x2﹣5x+7=x2﹣4x+7=(x﹣2)2+3,‎ ‎∴当x=2时,d(O,D)有最小值3,此时点D的坐标是(2,1).‎ ‎(4)如图,以M为原点,MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=﹣x的图象沿y轴正方向平移,直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止,‎ 设交点为E,过点E作EH⊥MN,垂足为H,修建方案是:先沿MN方向修建到H处,再沿HE方向修建到E处.‎ 理由:设过点E的直线l1与x轴相交于点F.在景观湖边界所在曲线上任取一点P,过点P作直线l2∥l1,l2与x轴相交于点G.‎ ‎∵∠EFH=45°,‎ ‎∴EH=HF,d(O,E)=OH+EH=OF,‎ 同理d(O,P)=OG,‎ ‎∵OG≥OF,‎ ‎∴d(O,P)≥d(O,E),‎ ‎∴上述方案修建的道路最短.‎ ‎【点评】考查了二次函数的综合题,涉及的知识点有新定义,解方程(组),二次函数的性质等.‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/6/27 16:04:57;用户:初中校园号;邮箱:wjwl@xyh.com;学号:24424282‎