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  • 2021-05-13 发布

2020年湖北省恩施州中考数学试卷(含解析)

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‎2020年湖北省恩施州中考数学试卷 一、选择题(本大题共有12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上)‎ ‎1.(3分)(2020•恩施州)5的绝对值是(  )‎ A.5 B.﹣5 C.‎1‎‎5‎ D.‎‎-‎‎1‎‎5‎ ‎2.(3分)(2020•恩施州)茶中精品“恩施绿”“利川红”享誉世界.去年恩施州茶叶产量约为120000吨,将数120000用科学记数法表示为(  )‎ A.12×104 B.1.2×105 C.1.2×106 D.0.12×106‎ ‎3.(3分)(2020•恩施州)下列交通标识,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(3分)(2020•恩施州)下列计算正确的是(  )‎ A.a2•a3=a6 B.a(a+1)=a2+a ‎ C.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.2a+3b=5ab ‎5.(3分)(2020•恩施州)函数y‎=‎x+1‎x的自变量的取值范围是(  )‎ A.x≥﹣1 B.x≥﹣1且x≠0 C.x>0 D.x>﹣1且x≠0‎ ‎6.(3分)(2020•恩施州)“彩缕碧筠粽,香粳白玉团”.端午佳节,小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个,其中豆沙粽和红枣粽是甜粽.小明任意选取一个,选到甜粽的概率是(  )‎ A.‎2‎‎11‎ B.‎4‎‎11‎ C.‎5‎‎11‎ D.‎‎6‎‎11‎ ‎7.(3分)(2020•恩施州)在实数范围内定义运算“☆”:a☆b=a+b﹣1,例如:2☆3=2+3﹣1=4.如果2☆x=1,则x的值是(  )‎ A.﹣1 B.1 C.0 D.2‎ ‎8.(3分)(2020•恩施州)我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何”.意思是:有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛,1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?设1个大桶盛酒x斛,1个小桶盛酒y斛,下列方程组正确的是(  )‎ 第27页(共27页)‎ A.‎5x+y=3‎x+5y=2‎ B.‎5x+y=2‎x+5y=3‎ ‎ C.‎5x+3y=1‎x+2y=5‎ D.‎‎3x+y=5‎‎2x+5y=1‎ ‎9.(3分)(2020•恩施州)如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形,它的主视图为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(3分)(2020•恩施州)甲乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示,则下列结论错误的是(  )‎ A.甲车的平均速度为60km/h ‎ B.乙车的平均速度为100km/h ‎ C.乙车比甲车先到B城 ‎ D.乙车比甲车先出发1h ‎11.(3分)(2020•恩施州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则△BFE周长的最小值为(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ 第27页(共27页)‎ ‎12.(3分)(2020•恩施州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣2,0)、B(1,0)两点.则以下结论:①ac>0;②二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为x=﹣1;③2a+c=0;④a﹣b+c>0.其中正确的有(  )个.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 二、填空题(本大题共有4小题,每小题3分,共12分.不要求写出解答过程,请把答案直接填写在答题卷相应位置上)‎ ‎13.(3分)(2020•恩施州)9的算术平方根是   .‎ ‎14.(3分)(2020•恩施州)如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,点B在直线l2上,AB=BC,∠C=30°,∠1=80°,则∠2=   .‎ ‎15.(3分)(2020•恩施州)如图,已知半圆的直径AB=4,点C在半圆上,以点A为圆心,AC为半径画弧交AB于点D,连接BC.若∠ABC=60°,则图中阴影部分的面积为   .(结果不取近似值 ‎16.(3分)(2020•恩施州)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为:A(﹣2,0),B(1,2),C(1,﹣2).已知N(﹣1,0),作点N关于点A的对称点N1,点N1关于点B的对称点N2,点N2关于点C的对称点N3,点N3关于点A的对称点N4,点N4‎ 第27页(共27页)‎ 关于点B的对称点N5,…,依此类推,则点N2020的坐标为   .‎ 三、解答题(本大题共有8个小题,共72分.请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤).‎ ‎17.(8分)(2020•恩施州)先化简,再求值:(m‎2‎‎-9‎m‎2‎‎-6m+9‎‎-‎‎3‎m-3‎)‎÷‎m‎2‎m-3‎,其中m‎=‎‎2‎.‎ ‎18.(8分)(2020•恩施州)如图,AE∥BF,BD平分∠ABC交AE于点D,点C在BF上且BC=AB,连接CD.求证:四边形ABCD是菱形.‎ ‎19.(8分)(2020•恩施州)某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况,从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查.调查结果分为四类:A类﹣﹣非常了解;B类﹣﹣比较了解;C类﹣﹣般了解;D类﹣﹣不了解.现将调查结果绘制成如图不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题:‎ ‎(1)本次共调查了   名学生;‎ ‎(2)补全条形统计图;‎ ‎(3)D类所对应扇形的圆心角的大小为   ;‎ 第27页(共27页)‎ ‎(4)若该校九年级学生共有500名,根据以上抽样结果,估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有   名.‎ ‎20.(8分)(2020•恩施州)如图,一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行,在A处测得小岛P位于其西北方向(北偏西45°方向),2小时后轮船到达B处,在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向.求此时船与小岛P的距离(结果保留整数,参考数据:‎2‎‎≈‎1.414,‎3‎‎≈‎1.732).‎ ‎21.(8分)(2020•恩施州)如图,在平面直角坐标系中,直线y=ax﹣3a(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y‎=‎kx(x>0)的一个交点为C,且BC‎=‎‎1‎‎2‎AC.‎ ‎(1)求点A的坐标;‎ ‎(2)当S△AOC=3时,求a和k的值.‎ ‎22.(10分)(2020•恩施州)某校足球队需购买A、B两种品牌的足球.已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高20元,且用900元购买A品牌足球的数量用720元购买B品牌足球的数量相等.‎ ‎(1)求A、B两种品牌足球的单价;‎ ‎(2)若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个,且A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍,购买两种品牌足球的总费用不超过8500元.设购买A品牌足球m个,总费用为W元,则该队共有几种购买方案?采用哪一种购买方案可使总费用最低?最低费用是多少元?‎ ‎23.(10分)(2020•恩施州)如图1,AB是⊙O的直径,直线AM与⊙O相切于点A,直线 第27页(共27页)‎ BN与⊙O相切于点B,点C(异于点A)在AM上,点D在⊙O上,且CD=CA,延长CD与BN相交于点E,连接AD并延长交BN于点F.‎ ‎(1)求证:CE是⊙O的切线;‎ ‎(2)求证:BE=EF;‎ ‎(3)如图2,连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H,连接BH.若AB=6,AC=4,求tan∠BHE.‎ ‎24.(12分)(2020•恩施州)如图1,抛物线y‎=-‎‎1‎‎4‎x2+bx+c经过点C(6,0),顶点为B,对称轴x=2与x轴相交于点A,D为线段BC的中点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)P为线段BC上任意一点,M为x轴上一动点,连接MP,以点M为中心,将△MPC逆时针旋转90°,记点P的对应点为E,点C的对应点为F.当直线EF与抛物线y‎=-‎‎1‎‎4‎x2+bx+c只有一个交点时,求点M的坐标.‎ ‎(3)△MPC在(2)的旋转变换下,若PC‎=‎‎2‎(如图2).‎ ‎①求证:EA=ED.‎ ‎②当点E在(1)所求的抛物线上时,求线段CM的长.‎ 第27页(共27页)‎ 第27页(共27页)‎ ‎2020年湖北省恩施州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共有12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上)‎ ‎1.(3分)(2020•恩施州)5的绝对值是(  )‎ A.5 B.﹣5 C.‎1‎‎5‎ D.‎‎-‎‎1‎‎5‎ ‎【解答】解:在数轴上,数5所表示的点到原点0的距离是5;‎ 故选:A.‎ ‎2.(3分)(2020•恩施州)茶中精品“恩施绿”“利川红”享誉世界.去年恩施州茶叶产量约为120000吨,将数120000用科学记数法表示为(  )‎ A.12×104 B.1.2×105 C.1.2×106 D.0.12×106‎ ‎【解答】解:120000=1.2×105,‎ 故选:B.‎ ‎3.(3分)(2020•恩施州)下列交通标识,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:根据轴对称图形与中心对称图形的概念,知:‎ A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形;‎ B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形;‎ C、是轴对称图形,但不是中心对称图形;‎ D、既是中心对称图形,又是轴对称图形.‎ 故选:D.‎ ‎4.(3分)(2020•恩施州)下列计算正确的是(  )‎ A.a2•a3=a6 B.a(a+1)=a2+a ‎ C.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.2a+3b=5ab ‎【解答】解:A、a2•a3=a5,原计算错误,故此选项不符合题意;‎ B、a(a+1)=a2+a,原计算正确,故此选项符合题意;‎ C、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,原计算错误,故此选项不符合题意;‎ 第27页(共27页)‎ D、2a与3b不是同类项,不能合并,原计算错误,故此选项不符合题意;‎ 故选:B.‎ ‎5.(3分)(2020•恩施州)函数y‎=‎x+1‎x的自变量的取值范围是(  )‎ A.x≥﹣1 B.x≥﹣1且x≠0 C.x>0 D.x>﹣1且x≠0‎ ‎【解答】解:根据题意得,x+1≥0且x≠0,‎ 解得x≥﹣1且x≠0.‎ 故选:B.‎ ‎6.(3分)(2020•恩施州)“彩缕碧筠粽,香粳白玉团”.端午佳节,小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个,其中豆沙粽和红枣粽是甜粽.小明任意选取一个,选到甜粽的概率是(  )‎ A.‎2‎‎11‎ B.‎4‎‎11‎ C.‎5‎‎11‎ D.‎‎6‎‎11‎ ‎【解答】解:由题意可得:粽子总数为11个,其中6个为甜粽,‎ 所以选到甜粽的概率为:‎6‎‎11‎,‎ 故选:D.‎ ‎7.(3分)(2020•恩施州)在实数范围内定义运算“☆”:a☆b=a+b﹣1,例如:2☆3=2+3﹣1=4.如果2☆x=1,则x的值是(  )‎ A.﹣1 B.1 C.0 D.2‎ ‎【解答】解:由题意知:2☆x=2+x﹣1=1+x,‎ 又2☆x=1,‎ ‎∴1+x=1,‎ ‎∴x=0.‎ 故选:C.‎ ‎8.(3分)(2020•恩施州)我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何”.意思是:有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛,1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?设1个大桶盛酒x斛,1个小桶盛酒y斛,下列方程组正确的是(  )‎ A.‎5x+y=3‎x+5y=2‎ B.‎5x+y=2‎x+5y=3‎ ‎ 第27页(共27页)‎ C.‎5x+3y=1‎x+2y=5‎ D.‎‎3x+y=5‎‎2x+5y=1‎ ‎【解答】解:依题意,得:‎5x+y=3‎x+5y=2‎.‎ 故选:A.‎ ‎9.(3分)(2020•恩施州)如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形,它的主视图为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:从正面看易得第一列有2个正方形,第二列底层有1个正方形.‎ 故选:A.‎ ‎10.(3分)(2020•恩施州)甲乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示,则下列结论错误的是(  )‎ A.甲车的平均速度为60km/h ‎ B.乙车的平均速度为100km/h ‎ C.乙车比甲车先到B城 ‎ D.乙车比甲车先出发1h ‎【解答】解:由图象知:‎ A.甲车的平均速度为‎300‎‎10-5‎‎=‎60km/h,故A选项不合题意;‎ B.乙车的平均速度为‎300‎‎9-6‎‎=‎100km/h,故B选项不合题意;‎ 第27页(共27页)‎ C.甲10时到达B城,乙9时到达B城,所以乙比甲先到B城,故C选项不合题意;‎ D.甲5时出发,乙6时出发,所以乙比甲晚出发1h,故此选项错误,‎ 故选:D.‎ ‎11.(3分)(2020•恩施州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则△BFE周长的最小值为(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【解答】解:如图,连接ED交AC于一点F,连接BF,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴点B与点D关于AC对称,‎ ‎∴BF=DF,‎ ‎∴△BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE,此时△BEF的周长最小,‎ ‎∵正方形ABCD的边长为4,‎ ‎∴AD=AB=4,∠DAB=90°,‎ ‎∵点E在AB上且BE=1,‎ ‎∴AE=3,‎ ‎∴DE‎=AD‎2‎+AE‎2‎=5‎,‎ ‎∴△BFE的周长=5+1=6,‎ 故选:B.‎ ‎12.(3分)(2020•恩施州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣2,0)、B(1,0)两点.则以下结论:①ac>0;②二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为x=﹣1;③2a+c=0;④a﹣b+c>0.其中正确的有(  )个.‎ 第27页(共27页)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【解答】解:对于①:二次函数开口向下,故a<0,与y轴的交点在y的正半轴,故c>0,故ac<0,因此①错误;‎ 对于②:二次函数的图象与x轴相交于A(﹣2,0)、B(1,0),由对称性可知,其对称轴为:x=‎-2+1‎‎2‎=-‎‎1‎‎2‎,因此②错误;‎ 对于③:设二次函数y=ax2+bx+c的交点式为y=a(x+2)(x﹣1)=ax2+ax﹣2a,比较一般式与交点式的系数可知:b=a,c=﹣2a,故2a+c=0,因此③正确;‎ 对于④:当x=﹣1时对应的y=a﹣b+c,观察图象可知x=﹣1时对应的函数图象的y值在x轴上方,故a﹣b+c>0,因此④正确.‎ ‎∴只有③④是正确的.‎ 故选:C.‎ 二、填空题(本大题共有4小题,每小题3分,共12分.不要求写出解答过程,请把答案直接填写在答题卷相应位置上)‎ ‎13.(3分)(2020•恩施州)9的算术平方根是 3 .‎ ‎【解答】解:∵(±3)2=9,‎ ‎∴9的算术平方根是|±3|=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎14.(3分)(2020•恩施州)如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,点B在直线l2上,AB=BC,∠C=30°,∠1=80°,则∠2= 40° .‎ 第27页(共27页)‎ ‎【解答】解:如图,延长CB交l2于点D,‎ ‎∵AB=BC,∠C=30°,‎ ‎∴∠C=∠4=30°,‎ ‎∵l1∥l2,∠1=80°,‎ ‎∴∠1=∠3=80°,‎ ‎∵∠C+∠3+∠2+∠4=180°,即30°+80°+∠2+30°=180°,‎ ‎∴∠2=40°.‎ 故答案为:40°.‎ ‎15.(3分)(2020•恩施州)如图,已知半圆的直径AB=4,点C在半圆上,以点A为圆心,AC为半径画弧交AB于点D,连接BC.若∠ABC=60°,则图中阴影部分的面积为 2‎3‎‎-‎π .(结果不取近似值 ‎【解答】解:∵AB是直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∵∠ABC=60°,‎ ‎∴∠CAB=30°,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴BC‎=‎1‎‎2‎AB=2‎,AC‎=2‎‎3‎,‎ ‎∴S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎⋅AC⋅BC=‎1‎‎2‎⋅2‎3‎⋅2=2‎‎3‎,‎ ‎∵∠CAB=30°,‎ ‎∴扇形ACD的面积‎=‎30‎‎360‎π⋅AC‎2‎=‎1‎‎12‎π⋅(2‎3‎‎)‎‎2‎=π,‎ ‎∴阴影部分的面积为‎2‎3‎-π.‎ 故答案为:‎2‎3‎-π.‎ ‎16.(3分)(2020•恩施州)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为:A(﹣2,0),B(1,2),C(1,﹣2).已知N(﹣1,0),作点N关于点A的对称点N1,点N1关于点B的对称点N2,点N2关于点C的对称点N3,点N3关于点A的对称点N4,点N4关于点B的对称点N5,…,依此类推,则点N2020的坐标为 (﹣1,8) .‎ ‎【解答】解:由题意得,作出如下图形:‎ N点坐标为(﹣1,0),‎ N点关于A点对称的N1点的坐标为(﹣3,0),‎ 第27页(共27页)‎ N1点关于B点对称的N2点的坐标为(5,4),‎ N2点关于C点对称的N3点的坐标为(﹣3,8),‎ N3点关于A点对称的N4点的坐标为(﹣1,8),‎ N4点关于B点对称的N5点的坐标为(3,﹣4),‎ N5点关于C点对称的N6点的坐标为(﹣1,0),此时刚好回到最开始的点N处,‎ ‎∴其每6个点循环一次,‎ ‎∴2020÷6=336……4,‎ 即循环了336次后余下4,‎ 故N2020的坐标与N4点的坐标相同,其坐标为(﹣1,8).‎ 故答案为:(﹣1,8).‎ 三、解答题(本大题共有8个小题,共72分.请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤).‎ ‎17.(8分)(2020•恩施州)先化简,再求值:(m‎2‎‎-9‎m‎2‎‎-6m+9‎‎-‎‎3‎m-3‎)‎÷‎m‎2‎m-3‎,其中m‎=‎‎2‎.‎ ‎【解答】解:‎‎(m‎2‎‎-9‎m‎2‎‎-6m+9‎-‎3‎m-3‎)÷‎m‎2‎m-3‎ ‎=[‎(m+3)(m-3)‎‎(m-3)‎‎2‎-‎3‎m-3‎]⋅‎m-3‎m‎2‎‎ ‎ ‎=(m+3‎m-3‎-‎3‎m-3‎)⋅‎m-3‎m‎2‎‎ ‎ ‎=mm-3‎⋅‎m-3‎m‎2‎‎ ‎ ‎=‎‎1‎m‎;‎ 当m=‎‎2‎时,‎ 原式‎=‎1‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎18.(8分)(2020•恩施州)如图,AE∥BF,BD平分∠ABC交AE于点D,点C在BF上且BC=AB,连接CD.求证:四边形ABCD是菱形.‎ 第27页(共27页)‎ ‎【解答】证明:∵AE∥BF,‎ ‎∴∠ADB=∠DBC,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠DBC=∠ABD,‎ ‎∴∠ADB=∠ABD,‎ ‎∴AB=AD,‎ 又∵AB=BC,‎ ‎∴AD=BC,‎ ‎∵AE∥BF,即AD∥BC,‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形,‎ 又∵AB=AD,‎ ‎∴四边形ABCD为菱形.‎ ‎19.(8分)(2020•恩施州)某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况,从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查.调查结果分为四类:A类﹣﹣非常了解;B类﹣﹣比较了解;C类﹣﹣般了解;D类﹣﹣不了解.现将调查结果绘制成如图不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题:‎ ‎(1)本次共调查了 50 名学生;‎ ‎(2)补全条形统计图;‎ ‎(3)D类所对应扇形的圆心角的大小为 36° ;‎ ‎(4)若该校九年级学生共有500‎ 第27页(共27页)‎ 名,根据以上抽样结果,估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有 150 名.‎ ‎【解答】解:(1)本次共调查的学生数为:20÷40%=50(名).‎ 故答案为:50;‎ ‎(2)C类学生人数为:50﹣15﹣20﹣5=10(名),‎ 条形图如下:‎ ‎(3)D类所对应扇形的圆心角为:‎360°×‎5‎‎50‎=36°‎.‎ 故答案为:36°;‎ ‎(4)该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的人数为:‎500×‎15‎‎50‎=150‎(名).‎ 故答案为:150.‎ ‎20.(8分)(2020•恩施州)如图,一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行,在A处测得小岛P位于其西北方向(北偏西45°方向),2小时后轮船到达B处,在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向.求此时船与小岛P的距离(结果保留整数,参考数据:‎2‎‎≈‎1.414,‎3‎‎≈‎1.732).‎ ‎【解答】解:如图,过P作PH⊥AB,设PH=x,‎ 由题意得:AB=30×2=60,∠PBH=90°﹣60°=30°,∠PAH=90°﹣45°=45°,‎ 第27页(共27页)‎ 则△PHA是等腰直角三角形,‎ ‎∴AH=PH,‎ 在Rt△PHA中,设AH=PH=x,‎ 在Rt△PBH中,PB=2PH=2x,BH=AB﹣AH=60﹣x,‎ ‎∴tan∠PBH=tan30°‎=PHBH=‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴‎3‎‎3‎‎=‎x‎60-x,‎ 解得:x=30(‎3‎-1)‎,‎ ‎∴PB=2x‎=60(‎3‎-1)≈‎44(海里),‎ 答:此时船与小岛P的距离约为44海里.‎ ‎21.(8分)(2020•恩施州)如图,在平面直角坐标系中,直线y=ax﹣3a(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y‎=‎kx(x>0)的一个交点为C,且BC‎=‎‎1‎‎2‎AC.‎ ‎(1)求点A的坐标;‎ ‎(2)当S△AOC=3时,求a和k的值.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得:令y=ax﹣3a(a≠0)中y=0,‎ 即ax﹣3a=0,解得x=3,‎ ‎∴点A的坐标为(3,0),‎ 故答案为(3,0).‎ ‎(2)过C点作y轴的垂线交y轴于M点,作x轴的垂线交x轴于N点,如下图所示:‎ 第27页(共27页)‎ 显然,CM∥OA,‎ ‎∴∠BCM=∠BAO,且∠ABO=∠CBO,‎ ‎∴△BCM∽△BAO,‎ ‎∴BCBA‎=‎CMAO,即:‎1‎‎3‎‎=‎CM‎3‎,‎ ‎∴CM=1,‎ 又S‎△AOC‎=‎1‎‎2‎OA⋅CN=3‎ 即:‎1‎‎2‎‎×3×CN=3‎,‎ ‎∴CN=2,‎ ‎∴C点的坐标为(1,2),‎ 故反比例函数的k=1×2=2,‎ 再将点C(1,2)代入一次函数y=ax﹣3a(a≠0)中,‎ 即2=a﹣3a,解得a=﹣1,‎ 故答案为:a=﹣1,k=2.‎ ‎22.(10分)(2020•恩施州)某校足球队需购买A、B两种品牌的足球.已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高20元,且用900元购买A品牌足球的数量用720元购买B品牌足球的数量相等.‎ ‎(1)求A、B两种品牌足球的单价;‎ ‎(2)若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个,且A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍,购买两种品牌足球的总费用不超过8500元.设购买A品牌足球m个,总费用为W元,则该队共有几种购买方案?采用哪一种购买方案可使总费用最低?最低费用是多少元?‎ ‎【解答】解:(1)设购买A品牌足球的单价为x元,则购买B品牌足球的单价为(x﹣20)元,‎ 第27页(共27页)‎ 根据题意,得‎900‎x‎=‎‎720‎x-20‎,‎ 解得:x=100,‎ 经检验x=100是原方程的解,‎ x﹣20=80,‎ 答:购买A品牌足球的单价为100元,则购买B品牌足球的单价为80元;‎ ‎(2)设购买m个A品牌足球,则购买(90﹣m)个B品牌足球,‎ 则W=100m+80(90﹣m)=20m+7200,‎ ‎∵A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍,购买两种品牌足球的总费用不超过8500元,‎ ‎∴‎100m+80(90-m)≤8500‎m≥2(90-m)‎,‎ 解不等式组得:60≤m≤65,‎ 所以,m的值为:60,61,62,63,64,65,‎ 即该队共有6种购买方案,‎ 当m=60时,W最小,‎ m=60时,W=20×60+7200=8400(元),‎ 答:该队共有6种购买方案,购买60个A品牌30个B品牌的总费用最低,最低费用是8400元.‎ ‎23.(10分)(2020•恩施州)如图1,AB是⊙O的直径,直线AM与⊙O相切于点A,直线BN与⊙O相切于点B,点C(异于点A)在AM上,点D在⊙O上,且CD=CA,延长CD与BN相交于点E,连接AD并延长交BN于点F.‎ ‎(1)求证:CE是⊙O的切线;‎ ‎(2)求证:BE=EF;‎ ‎(3)如图2,连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H,连接BH.若AB=6,AC=4‎ 第27页(共27页)‎ ‎,求tan∠BHE.‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,连接OD,‎ ‎∵CD=CA,‎ ‎∴∠CAD=∠CDA,‎ ‎∵OA=OD ‎∴∠OAD=∠ODA,‎ ‎∵直线AM与⊙O相切于点A,‎ ‎∴∠CAO=∠CAD+∠OAD=90°,‎ ‎∴∠ODC=∠CDA+∠ODA=90°,‎ ‎∴CE是⊙O的切线.‎ ‎(2)如图2中,连接BD,‎ ‎∵OD=OB,‎ ‎∴∠ODB=∠OBD,‎ ‎∵CE是⊙O的切线,BF是⊙O的切线,‎ ‎∴∠OBD=∠ODE=90°,‎ ‎∴∠EDB=∠EBD,‎ ‎∴ED=EB,‎ ‎∵AM⊥AB,BN⊥AB,‎ ‎∴AM∥BN,‎ ‎∴∠CAD=∠BFD,‎ ‎∵∠CAD=∠CDA=∠EDF,‎ ‎∴∠BFD=∠EDF,‎ ‎∴EF=ED,‎ ‎∴BE=EF.‎ ‎(3)如图2中,过E点作EL⊥AM于L,则四边形ABEL是矩形,‎ 第27页(共27页)‎ 设BE=x,则CL=4﹣x,CE=4+x,‎ ‎∴(4+x)2=(4﹣x)2+62,‎ 解得:x‎=‎‎9‎‎4‎,‎ ‎∴tan∠BOE=BEOB=‎9‎‎4‎‎3‎=‎‎3‎‎4‎,‎ ‎∵∠BOE=2∠BHE,‎ ‎∴tan∠BOE=‎2tan∠BHE‎1-tan‎2‎∠BHE=‎‎3‎‎4‎,‎ 解得:tan∠BHE‎=‎‎1‎‎3‎或﹣3(﹣3不合题意舍去),‎ ‎∴tan∠BHE‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 补充方法:如图2中,作HJ⊥EB交EB的延长线于J.‎ ‎∵tab∠BOE‎=BEOB=‎‎3‎‎4‎,‎ ‎∴可以假设BE=3k,OB=4k,则OE=5k,‎ ‎∵OB∥HJ,‎ ‎∴OBHJ‎=OEEH=‎EBEJ,‎ ‎∴‎4kHJ‎=‎5k‎9k=‎‎3kEJ,‎ ‎∴HJ‎=‎‎36‎‎5‎k,EJ‎=‎‎27‎‎5‎k,‎ ‎∴BJ=EJ﹣BE‎=‎‎27‎‎5‎k﹣3k‎=‎‎12‎‎5‎k ‎∴tan∠BHJ‎=BJHJ=‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∵∠BHE=∠OBE=∠BHJ,‎ ‎∴tan∠BHE‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 第27页(共27页)‎ ‎24.(12分)(2020•恩施州)如图1,抛物线y‎=-‎‎1‎‎4‎x2+bx+c经过点C(6,0),顶点为B,对称轴x=2与x轴相交于点A,D为线段BC的中点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)P为线段BC上任意一点,M为x轴上一动点,连接MP,以点M为中心,将△MPC逆时针旋转90°,记点P的对应点为E,点C的对应点为F.当直线EF与抛物线y‎=-‎‎1‎‎4‎x2+bx+c只有一个交点时,求点M的坐标.‎ ‎(3)△MPC在(2)的旋转变换下,若PC‎=‎‎2‎(如图2).‎ ‎①求证:EA=ED.‎ ‎②当点E在(1)所求的抛物线上时,求线段CM的长.‎ ‎【解答】解:(1)∵点C(6,0)在抛物线上,‎ ‎∴‎0=-‎1‎‎4‎×36+6b+c,‎ 得到6b+c=9,‎ 又∵对称轴x=2,‎ ‎∴x=-b‎2a=-b‎2×(-‎1‎‎4‎)‎=2‎,‎ 第27页(共27页)‎ 解得b=1,‎ ‎∴c=3,‎ ‎∴二次函数的解析式为y=-‎1‎‎4‎x‎2‎+x+3‎;‎ ‎(2)当点M在点C的左侧时,如图2﹣1中:‎ ‎∵抛物线的解析式为y=-‎1‎‎4‎x‎2‎+x+3‎,对称轴为x=2,C(6,0)‎ ‎∴点A(2,0),顶点B(2,4),‎ ‎∴AB=AC=4,‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠1=45°;‎ ‎∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF,‎ ‎∴FM=CM,∠2=∠1=45°,‎ 设点M的坐标为(m,0),‎ ‎∴点F(m,6﹣m),‎ 又∵∠2=45°,‎ ‎∴直线EF与x轴的夹角为45°,‎ ‎∴设直线EF的解析式为y=x+b,‎ 把点F(m,6﹣m)代入得:6﹣m=m+b,解得:b=6﹣2m,‎ 直线EF的解析式为y=x+6﹣2m,‎ ‎∵直线EF与抛物线y=-‎1‎‎4‎x‎2‎+x+3‎只有一个交点,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴y=x+6-2my=-‎1‎‎4‎x‎2‎+x+3‎,‎ 整理得:‎1‎‎4‎x‎2‎‎+3-2m=0‎,‎ ‎∴△=b2﹣4ac=0,解得m‎=‎‎3‎‎2‎,‎ 点M的坐标为(‎3‎‎2‎,0).‎ 当点M在点C的右侧时,如下图:‎ 由图可知,直线EF与x轴的夹角仍是45°,因此直线EF与抛物线y=-‎1‎‎4‎x‎2‎+x+3‎不可能只有一个交点.‎ 综上,点M的坐标为(‎3‎‎2‎,0).‎ ‎(3)①当点M在点C的左侧时,如下图,过点P作PG⊥x轴于点G,过点E作EH⊥x轴于点H,‎ ‎∵PC=‎‎2‎,由(2)知∠BCA=45°,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴PG=GC=1,‎ ‎∴点G(5,0),‎ 设点M的坐标为(m,0),‎ ‎∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF,‎ ‎∴EM=PM,‎ ‎∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH=90°,‎ ‎∴∠HEM=∠GMP,‎ 在△EHM和△MGP中,‎∠EHM=∠MGP‎∠HEM=∠GMPEM=MP,‎ ‎∴△EHM≌△MGP(AAS),‎ ‎∴EH=MG=5﹣m,HM=PG=1,‎ ‎∴点H(m﹣1,0),‎ ‎∴点E的坐标为(m﹣1,5﹣m);‎ ‎∴EA‎=‎(m-1-2)‎‎2‎‎+‎‎(5-m-0)‎‎2‎=‎‎2m‎2‎-16m+34‎,‎ 又∵D为线段BC的中点,B(2,4),C(6,0),‎ ‎∴点D(4,2),‎ ‎∴ED‎=‎(m-1-4)‎‎2‎‎+‎‎(5-m-2)‎‎2‎=‎‎2m‎2‎-16m+34‎,‎ ‎∴EA=ED.‎ 当点M在点C的右侧时,如下图:‎ 同理,点E的坐标仍为(m﹣1,5﹣m),因此EA=ED.‎ ‎②当点E在(1)所求的抛物线y=-‎1‎‎4‎x‎2‎+x+3‎上时,‎ 第27页(共27页)‎ 把E(m﹣1,5﹣m)代入,整理得:m2﹣10m+13=0,‎ 解得:m‎=5+2‎‎3‎或m‎=5-2‎‎3‎,‎ ‎∴CM‎=2‎3‎-1‎或CM‎=1+2‎‎3‎.‎ 第27页(共27页)‎