海淀 东城两区中考一模试题及答案 Word本 31页

‎ 海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习 数 学 ‎ ‎ 2015．5‎ 一、选择题（本题共30分，每小题3分）‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为 A． B． C． D．‎ ‎2．右图是某几何体的三视图，该几何体是 ‎ A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D.正方体 ‎3．如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为 A．1 B．1 C．2 D．2‎ ‎ ‎ ‎4．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 A． B． C． D．‎ ‎5．如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1=40°，则∠2等于 A． 40°　　　 B．50° C．60°　　　　 D．140°‎ ‎6．如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：‎ ‎（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E．‎ ‎（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．‎ ‎（3）画射线OC．‎ 根据上述作图步骤，下列结论正确的是 A．射线OC是的平分线 B．线段DE平分线段OC ‎ C．点O和点C关于直线DE对称 D．OE=CE ‎7．某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则 这15名选手成绩的众数和中位数分别是 A．98，95 B．98，98 ‎ C．95，98 D．95，95‎ ‎8. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程（单位：千米）与时间（单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a等于 A．1.2 B．2 C．2.4 D．6‎ ‎ ‎ ‎9．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.若，AC=3，则CD的长为 A．　6　 B．　　 C．　 D．3‎ ‎10．小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是 ‎ A B C D ‎ ‎ 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11．分解因式：____________．‎ ‎12．写出一个函数（），使它的图象与反比例函数的图象有公共点，这个函数的解析式为___________． ‎ ‎13．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据：‎ 摸球的次数 ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ 摸到白球的次数 ‎58‎ ‎118‎ ‎189‎ ‎237‎ ‎302‎ ‎359‎ 摸到白球的频率 ‎0.58‎ ‎0.59‎ ‎0.63‎ ‎0.593‎ ‎0.604‎ ‎0.598‎ 从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 ．（结果精确到0.1）‎ ‎14．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若，，，则的长为__________．‎ ‎15． 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：‎ ‎“四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD=BC”，小红说“添加AB=DC” ．你同意 的观点，‎ 理由是 ．‎ ‎16．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角.已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为 .‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎17．计算：．‎ ‎18．解不等式组：‎ ‎19．已知，求代数式的值．‎ ‎20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=FC，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB．‎ ‎ 求证： BE=CD．‎ ‎21.已知关于的方程. ‎ ‎（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数的值．‎ ‎22．列方程或方程组解应用题:‎ ‎ 为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计）‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎23．如图，在□中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是矩形；‎ ‎（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．‎ ‎24．根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：‎ 根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）直接写出扇形统计图中m的值；‎ ‎（2）从2011年到2014年，中国网民人数每年增长的人数近似相等，估算2015年中国网民的人数约为 亿；‎ ‎（3）据某市统计数据显示，2014年末全市常住人口为476.6万人，其中网民数约为210万人．若2014年该市的网民学历结构与2014年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2014年末该市网民学历是大专的约有 万人．‎ ‎25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径. ‎ （1） 求证：OD⊥CE；‎ （2） 若DF=1， DC=3，求AE的长．‎ ‎26．阅读下面材料：‎ 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．‎ 小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎ ‎ 请回答：BC+DE的值为_______．‎ 参考小明思考问题的方法，解决问题：‎ 如图3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．‎ ‎ ‎ 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）‎ ‎27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移（）个单位后与直线BC只有一个公共点，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎28．在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．‎ ‎（1）依题意补全图形；‎ ‎ ‎ 备用图 ‎ （2）求证：；‎ ‎ （3）用等式表示线段，，之间的数量关系：_____________________________．‎ ‎29．在平面直角坐标系xOy中，对于点和点，给出如下定义：‎ 若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．‎ ‎（1）①点的限变点的坐标是___________；‎ ‎②在点，中有一个点是函数图象上某一个点的限变点，‎ 这个点是_______________；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围；‎ ‎（3）若点在关于的二次函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是或，其中．令，求关于的函数解析式及的取值范围．‎ 海淀区九年级第二学期期中练习 数学试卷答案及评分参考 ‎ 2015．5‎ 一、 选择题（本题共30分，每小题3分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B A C D B A C B D B 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ 题号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 a(a＋b)(a－b)‎ 如，‎ ‎0.6‎ 小明（1分）； ‎ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2分）‎ ‎30°或150°（只答对一个2分，全对3分）‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎17. (本小题满分5分)‎ 解：原式= ………………………………………………………4分 ‎． ………………………………………………………………5分 ‎18. (本小题满分5分)‎ 解： ‎ 由不等式①得 ． ……………………………………………………2分 ‎ 由不等式②得 ． ……………………………………………………4分 ‎ ∴不等式组的解集为． ……………………………………………………5分 ‎19. (本小题满分5分)‎ ‎ 解： ‎ ‎………………………………………………2分 ‎ ……………………………………………………………………3分 ‎．…………………………………………………………………4分 ‎∵，‎ ‎ ∴原式= 0． ………………………………………………………………………5分 ‎20. (本小题满分5分)‎ ‎ 证明：∠EBC=∠FCB，‎ ‎ ． …………………………………………………………1分 ‎ 在△ABE与△FCD中，‎ ‎ ‎ ‎ ∆ABE≌∆FCD．………………………………………………………………4分 ‎ BE=CD． ………………………………………………………………………5分 ‎21. (本小题满分5分)‎ ‎（1）证明：，‎ 是关于x的一元二次方程．‎ ‎ ……………………………………………………1分 ‎．‎ 方程总有两个不相等的实数根． ………………………………………2分 ‎（2）解：由求根公式，得 ‎ ．‎ ‎ ． …………………………………………………………4分 ‎ 方程的两个实数根都是整数，且是整数，‎ ‎ 或．…………………………………………………………5分 ‎22. (本小题满分5分)‎ 解： 设例子中的A4厚型纸每页的质量为x克．………………………………………1分 由题意，得 ． ………………………………………………2分 解得 ． ………………………………………………………3分 经检验， 为原方程的解，且符合题意． ………………………………4分 答：例子中的A4厚型纸每页的质量为4克． …………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎23. (本小题满分5分)‎ ‎（1）证明：四边形是平行四边形，‎ ‎//BC．‎ ‎∠DAF=∠F．‎ ‎∠F=45°，‎ ‎∠DAE=45°．………………………………………1分 AF是∠BAD的平分线，‎ ‎．‎ ‎．‎ 又四边形是平行四边形，‎ 四边形ABCD是矩形． …………………………2分 ‎（2）解：过点B作于点H，如图．‎ 四边形ABCD是矩形，‎ ‎ AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．‎ AB=14，DE=8，‎ ‎ CE=6．‎ 在Rt△ADE中，∠DAE=45°，‎ ‎∠DEA=∠DAE=45°．‎ ‎ AD==8． ‎ ‎ BC=8．‎ 在Rt△BCE中，由勾股定理得 ‎ ． ……………………………………………3分 在Rt△AHB中，∠HAB=45°，‎ ‎ ． …………………………………………4分 在Rt△BHE中，∠BHE=90°，‎ sin∠AEB=． ……………………………………………5分 ‎24. (本小题满分5分)‎ ‎（1）36． ……………………………………………………………………………1分 ‎（2）． ……………………………………………………………………3分 ‎（3）21． ……………………………………………………………………………5分 ‎25. (本小题满分5分)‎ ‎（1）证明：⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径．‎ CE⊥AB．‎ AB=AC，AD⊥BC，‎ ‎． ………………………………1分 又 OE=OC，‎ OD∥EB．‎ ‎ OD⊥CE．………………………………2分 ‎（2）解：连接EF．‎ CE为⊙O的直径，且点F在 ⊙O上，‎ ‎ ∠EFC=90°．‎ ‎ CE⊥AB，‎ ‎∠BEC=90°．‎ ‎=90°．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 又DF=1， BD=DC=3， ‎ ‎ BF=2， FC=4．‎ ‎． ………………………………………………… 3分 ‎∵∠EFC=90°，‎ ‎∴∠BFE=90°．‎ 由勾股定理，得． ……………………4分 EF∥AD，‎ ‎．‎ ‎． ……………………………………………………5分 ‎26. (本小题满分5分)‎ ‎ 解：BC＋DE的值为． ……………………………………………………2分 解决问题：‎ 连接AE，CE，如图． ‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形， ‎ ‎∴AB // DC．‎ ‎∵四边形ABEF是矩形，‎ ‎∴AB // FE，BF＝AE．‎ ‎∴DC // FE．‎ ‎∴四边形DCEF是平行四边形． ………………………………………………3分 ‎∴ CE // DF．‎ ‎∵AC＝BF＝DF，‎ ‎∴AC＝AE＝CE．‎ ‎∴△ACE是等边三角形． …………………………………………………………4分 ‎∴∠ACE＝60°．‎ ‎∵CE∥DF，‎ ‎∴∠AGF＝∠ACE＝60°． …………………………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）‎ ‎27. (本小题满分7分)‎ 解：（1）∵抛物线与轴交于点A， ‎∴点A的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ‎∵，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线，顶点B的坐标为（1，）． …………2分 又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称， ‎ ‎∴点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线上．‎ 设直线BC的解析式为．‎ ‎∵直线BC经过点B（1，）和点C(2，2)，‎ ‎∴ 解得 ‎∴直线BC的解析式为 ‎．…………………………3分 ‎（2） ∵抛物线中，‎ 当时，，‎ ‎∴点D的坐标为(4，6)． ………………4分 ‎ ∵直线中，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴如图，点E的坐标为(0，1)，‎ 点F的坐标为(4，3)．‎ 设点A平移后的对应点为点，点D平移后的对应点为点．‎ 当图象G向下平移至点与点E重合时， 点在直线BC上方，‎ 此时t=1；…………………………………………………………5分 当图象G向下平移至点与点F重合时，点在直线BC下方，此时t=3．‎ ‎……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t的取值范围是．……………………………7分 ‎28. (本小题满分7分)‎ ‎（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分 ‎ 图1 图2‎ ‎（2）方法一：‎ 证明：连接BE，如图2．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD∥BC．‎ ‎，‎ ‎．‎ 是菱形ABCD的对角线，‎ ‎∴． ……………………………………………………………2分 ‎．‎ 由菱形的对称性可知，‎ ‎，‎ ‎．……………………………………………………………………3分 ‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．…………………………………………………………4分 ‎．‎ 在与中，‎ ‎∴≌．‎ ‎． ………………………………………………………………………………5分 方法二：‎ 证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图3．‎ ‎ ∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD∥BC．‎ ‎，‎ ‎．‎ 是菱形ABCD的对角线，‎ ‎∴． ………………………2分 ‎．‎ 由菱形的对称性可知，‎ ‎，．‎ ‎……………………………………………3分 ‎， 图3‎ ‎． ………………………………………………4分 ‎．‎ 在与中，‎ ‎∴≌．‎ ‎． ………………………………………………………………………………5分 ‎（3）． …………………………………………………………………7分 ‎29．(本小题满分8分)‎ 解：（1）① ； ……………………………………………………………………1分 ‎② 点B． ………………………………………………………………………2分 ‎（2）依题意，图象上的点P的限变点必在函数的图象上．‎ ‎，即当时，取最大值2．‎ 当时，．‎ ‎． ………………………………………3分 当时，或．‎ 或． ………………………………4分 ‎，‎ 由图象可知，的取值范围是．‎ ‎……………………………………………5分 （3） ‎，‎ 顶点坐标为．………………………………………………………………6分 若，的取值范围是或，与题意不符．‎ 若，当时，的最小值为，即；‎ ‎ 当时，的值小于，即．‎ ‎．‎ 关于的函数解析式为 ． ……………………………7分 当t=1时，取最小值2．‎ 的取值范围是≥2． ………………………………………………………8分 ‎ 东城区2014—2015学年第二学期初三综合练习（一）‎ ‎ 数学试题 2015.5‎ 学校 班级 姓名 考号 ‎ 一、选择题（本题共30分，每小题3分）‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．与的和为的数是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。其中， “冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油.用科学记数法表示245 000 ，正确的是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 A．圆柱 B．球 ‎ C．圆锥 D． 棱柱 ‎4．在某校初三年级古诗词比赛中,初三(1)班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的 ‎ 中位数和众数分别是 分数 ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎4‎ ‎　‎ ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5． 在六张卡片上分别写有六个数,从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率是 ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．正五边形的每个外角等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的 延长线于点，连接，. 若，则的度数是 ‎ ‎ A. B． C． D．‎ ‎8．小李驾驶汽车以千米/小时的速度匀速行驶小时后，途中靠边停车接了半小时电话，然后继续匀速行驶.已知行驶路程（单位：千米）与行驶时间（单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 如图，已知∠MON =60°，OP是∠MON的角平分线 ，点A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B,AB=4.则直线AB与ON之间的距离是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 如图1， 和都是等腰直角三角形，其中，点与点重合，点在上，，.如图2，保持不动，沿着线段从点向点移动， 当点与点重合时停止移动.设，与重叠部分的面积为，则关于的函数图象大致是 ‎ 图1 图2‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎ 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11．分解因式： ． ‎ ‎12．计算的结果为 ． ‎ ‎13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围 ‎ 是 ． ‎ ‎14. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表:‎ ‎ 北京市居民用水阶梯水价表 单位: 元/立方米 分档水量 户年用水量 ‎（立方米）‎ 水价 其中 自来水费 水资源费 污水 处理费 第一阶梯 ‎0-180（含）‎ ‎5.00‎ ‎2.07‎ ‎1.57‎ ‎1.36‎ 第二阶梯 ‎181-260（含）‎ ‎7.00‎ ‎4.07‎ 第三阶梯 ‎260以上 ‎9.00‎ ‎6.07‎ ‎ 某户居民从年月日至月日,累积用水立方米,则这户居民个月共需缴纳水费 元. ‎ ‎15．已知女排赛场球网的高度是米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网米的位置上，此时该运动员距离球网米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米． ‎ ‎ 第15题图 第16题图 ‎16．在平面直角坐标系中，记直线为.点是直线与轴的交点，以为 ‎ 边做正方形,使点落在在轴正半轴上，作射线交直线于点，以 ‎ ‎ 为边作正方形,使点落在在轴正半轴上，依次作下去，得到如图 所示的图形.则点的坐标是　 ，点的坐标是　 ．‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎17．如图，与交于点，，．‎ ‎ 求证：．‎ ‎18. 计算：.‎ ‎19．解不等式组： ‎ ‎20．先化简，再求值：，其中．‎ ‎21．列方程或方程组解应用题： ‎ 年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进棵柏树苗和棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同.每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的倍少元，每棵柏树苗的进价是多少元？‎ ‎22．在平面直角坐标系中，过点向轴作垂线，垂足为，连接.双曲线 经过斜边的中点，与边交于点． ‎ ‎ （1）求反比例函数的解析式；‎ ‎ （2）求△的面积． ‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎23． 如图，中，,是边上的中线，分别过点，作，‎ ‎ 的平行线交于点，且交于点，连接.‎ ‎ （1）求证：四边形是菱形；‎ ‎ （2）若，求的值．‎ ‎24．为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课.为了更贴合学生的兴趣，对学生最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）在这次抽样调查中，共调查 名学生；‎ ‎（2）请把条形图（图1）补充完整；‎ ‎（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数；‎ ‎（4）如果该校共有学生名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．‎ ‎ ‎ F ‎25. 如图,在⊙中，为直径，，弦与交于点，过点分别作⊙的切线交于点，且GD与的延长线交于点．‎ ‎（1）求证：;‎ ‎（2）已知：，⊙的半径为，求的长．‎ ‎26. 在四边形中，对角线与交于点，是上任意一点，于点，交于点．‎ ‎ (1)如图1,若四边形是正方形,判断与的数量关系;‎ ‎ 明明发现，与分别在和中，可以通过证明和全等,得到与的数量关系;‎ ‎ 请回答：与的数量关系是 .‎ ‎ (2) 如图2,若四边形是菱形, ,请参考明明思考问题的方法，求 的值.‎ ‎ 图1 图2‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎27．在平面直角坐标系中，抛物线过点，,与轴交于点．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标;‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点,使成为以为直角边的直角三角形？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由. ‎ ‎28. 已知：Rt△A′BC′和 Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′ 绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．‎ ‎（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；‎ ‎（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；‎ ‎（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎ ‎ ‎29．定义符号的含义为：当时, ；当时, ．如：，．‎ ‎(1)求; ‎ ‎(2)已知, 求实数的取值范围;‎ ‎(3) 已知当时，.直接写出实数的取值范围.‎ 东城区2014-2015学年第二学期初三综合练习（一）‎ 数学试题参考答案及评分标准 2015.5‎ 一、选择题（本题共30分，每小题3分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D B A C B ‎ C A D C B 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ 题号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎ ‎ ‎；‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎17． 证明：∵在和中，‎ ‎∵ ‎ ‎∴. …………3分 ‎∴. …………4分 ‎∴． …………5分 ‎ ‎ ‎19． ‎ ‎ …………2分 ‎ …………4分 所以，不等式组的解集为. …………5分 ‎ ‎ ‎ 当 时，．…………5分 ‎21．解：设每棵柏树苗的进价是元，则每棵枣树苗的进价是元. …………1分 ‎ 根据题意，列方程得：， …………3分 ‎ 解得： . …………5分 ‎ 答：每棵柏树苗的进价是元. ‎ ‎22． 解：（1）过点向轴作垂线，垂足为.‎ ‎ ∵轴，轴，，‎ ‎ ∴，.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵，，‎ ‎ ∴，.‎ ‎ ∴. …………2分 ‎ ∵双曲线经过点，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴反比例函数的解析式为. …………3分 ‎ （2）∵点在上，‎ ‎ ∴点的横坐标为. ‎ ‎ ∵点在双曲线上，‎ ‎ ∴点的纵坐标为. …………4分 ‎ ∴.…………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎23.（1）证明：∵,，‎ ‎ ∴四边形是平行四边形.‎ ‎ ∴.‎ F ‎ 又∵是边上的中线， ‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ∴.‎ ‎ 又∵，‎ ‎ ∴四边形是平行四边形.‎ ‎ ∵，是斜边上的中线，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴四边形是菱形. …………3分 ‎ （2）解：作于点.‎ 由(1) 可知, 设,则.‎ 在中,根据勾股定理可求得.‎ ‎∵,‎ ‎ ∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.…………5分 ‎24.解：（1）20÷10%=200（名），…………1分 ‎ 答：一共调查了200名学生；‎ ‎ （2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名），‎ ‎ 最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）； ‎ ‎ 补全条形图如图； …………3分 ‎ （3）二胡部分所对应的圆心角的度数为： ‎ ‎ ×360°=108°； …………4分 ‎ （4）1500×=225（名）． …………5分 ‎ 答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225．‎ ‎25.（1）证明：连结，如图.‎ ‎ ∵为⊙的切线，为半径，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴，即.‎ ‎ ∵， ‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ∴. ‎ ‎ 而，‎ ‎ ‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ ‎∵， ‎ ‎∴. …………2分 ‎（2）解：∵，⊙的半径为，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 在中，,设，则，.‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴，.‎ ‎∵为⊙的切线，为半径，为⊙的切线，‎ ‎∴，.‎ ‎∴.‎ 在中,设，则.‎ ‎∵.‎ ‎∴，解得，.‎ ‎∴. -------------------5分 ‎26. 解：（1）=； …………1分 ‎ （2）． …………2分 ‎ 理由如下：∵四边形是菱形，,‎ ‎ ∴,.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴.‎ ‎ 又∵，‎ ‎ ∴. …………3分 ‎ ∴ .‎ ‎ ∵，，‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ∴. …………5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）‎ ‎27．解：（1）∵抛物线过点，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴抛物线的函数关系式为. …………2分 ‎（2）∵，‎ ‎ ∴抛物线的对称轴为直线.‎ 设点为点关于直线的对称点，则点的坐标为.‎ 连接交直线于点，此时的周长最小.‎ 设直线的函数表达式为，代入的坐标，‎ 则 解得 所以，直线的函数表达式为.‎ 当时，.‎ ‎ ∴ 点的坐标为. …………4分 ‎（3）存在.‎ ‎ ①当点为直角顶点时，过点作的垂线交轴于点，交对称轴于点.‎ ‎∵，，‎ ‎ ∴.‎ ‎∵，，‎ ‎ ∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴点的坐标为. ‎ 设直线对应的一次函数的表达式为，代入的坐标，‎ 则 解得 所以，直线的函数表达式为.‎ 令，则.‎ ‎ ∴点的坐标为. …………5分 ‎ ‎ ‎ ②当点为直角顶点时，过点作的垂线交对称轴于点，交轴于点.‎ ‎ 与①同理可得是等腰直角三角形，‎ ‎ ∴.‎ ‎∴点的坐标为.‎ ‎∵，，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴直线的函数表达式为.‎ 令，则.‎ ‎∴点的坐标为. …………6分 综上，在对称轴上存在点，，使成为以为直角边的直角三角形．…………7分 ‎28.解:(1) 当时, . ------------1分 ‎（2）补全图形如图1，‎ ‎ 仍然成立；------------3分 ‎（3）猜想仍然成立. ‎ 图1‎ 证明：作，，垂足分别为点，如图2，则.‎ ‎∵，‎ ‎∴. ‎ ‎∵，‎ ‎∴，.‎ ‎∴.‎ 在和中，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 在和中，‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ ‎∵，‎ 图2‎ ‎∴为等腰三角形.‎ ‎∴------------7分 ‎29．解：（1）∵，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ┉┉2分 ‎ (2) ∵,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ┉┉5分 ‎ (3) . ┉┉8分