中考数学模拟试卷含解析17 19页

福建省泉州市永春县2016年中考数学模拟试卷 一、选择题：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分．‎ ‎1．﹣2016的倒数是（　　）‎ A．2016 B．2016 C． D．‎ ‎2．图中所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某同学一周中每天跑步所花时间（单位：分钟）分别为：35，40，45，40，55，40，48．这组数据的众数是（　　）‎ A．35 B．40 C．45 D．55‎ ‎4．要使函数y=有意义，自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1‎ ‎5．已知∠1=40°，则∠1的余角的度数是（　　）‎ A．40° B．50° C．140° D．150°‎ ‎6．如图，C是⊙O上一点，若圆周角∠ACB=40°，则圆心角∠AOB的度数是（　　）‎ A．50° B．60° C．80° D．90°‎ ‎7．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．‎ ‎8．比较大小：4　　　　　　（填“＞”或“＜”号）‎ ‎9．泉州湾跨海大桥全长26700米，将26700用科学记数法记为　　　　　　．‎ ‎10．分解因式：x2﹣16=　　　　　　．‎ ‎11．不等式4x﹣8＜0的解集是　　　　　　．‎ ‎12．计算： +=　　　　　　．‎ ‎13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=　　　　　　．‎ ‎14．在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是　　　　　　．‎ ‎15．如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是　　　　　　．‎ ‎16．若圆锥的母线长为3cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面展开图的面积　　　　　　cm2．‎ ‎17．平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，x2），把d（P1，P2）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为P1，P2两点间的直角距离．‎ ‎（1）若点P1（1，2），P2（3，4），则d（P1，P2）=　　　　　　；‎ ‎（2）点M（2，3）到直线y=x+2上的点的最小直角距离是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．‎ ‎18．计算：．‎ ‎19．先化简，再求值：（a+4）2﹣（a+3）（a﹣3），其中．‎ ‎20．在一个不透明的布袋中，装有三个小球，小球上分别标有数字“2”、“3”和“4”，它们除数字不同外没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．‎ ‎（1）从中任取一球，则摸出的球为“3”的概率是多少？‎ ‎（2）从中任取一球，将球上的数字记为x，将此球放回盒中；再任取一球，将球上的数字记为y，试用画树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果，并求出x+y＜5的概率．‎ ‎21．如图，在△AEC中，点D是EC上的一点，且AE=AD，AB=AC，∠1=∠2．求证：BD=EC．‎ ‎22．某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书．为了解所捐书籍的种类，对部分书籍进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图．请根据统计图回答下面问题：‎ ‎（1）本次抽样调查的书籍有多少本？请补全条形统计图；‎ ‎（2）求出图1中表示文学类书籍的扇形圆心角度数；‎ ‎（3）本次活动师生共捐书1200本，请估计有多少本科普类书籍？‎ ‎23．某商场购进一种每件价格为100元的商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）（100≤x≤160）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：‎ ‎（1）求出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得700元的利润．‎ ‎24．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与x轴交于点A，且与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（，m）．‎ ‎（1）求k、m的值；‎ ‎（2）若BC∥y轴，且点C到直线y=x+1的距离为2，求点C的纵坐标．‎ ‎25．（13分）（2016•永春县模拟）如图1，正方形ABCD的边长为2，点E不在正方形的外部，AE=2，过点E作直线MN⊥AE交BC、CD分别于M、N，连接AM、AN，设BM=a．‎ ‎（1）正方形ABCD的周长=　　　　　　．‎ ‎（2）求DN的长（用含a的式子表示）．‎ ‎（3）如图2，过点M作直线l⊥BC，P是直线l上的动点，当△ANP是等腰直角三角形时，求a的值．‎ ‎26．（13分）（2016•永春县模拟）如图，抛物线为y=（x+1）（x﹣3）x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），‎ 点C（2，m）在抛物线上，点C关于x轴的对称点为D，连结AD，CD．‎ ‎（1）填空：m=　　　　　　；‎ ‎（2）点E是坐标平面的动点，若以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E坐标；‎ ‎（3）若P（a，b）是抛物线上一动点，且位于A、C两点之间，设四边形APCD的面积为S，求S与a之间的函数关系式，并求S的最大值；‎ ‎（4）若直线y=x+m上存在动点Q，使∠AQD=90°，求出m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年福建省泉州市永春县中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分．‎ ‎1．﹣2016的倒数是（　　）‎ A．2016 B．2016 C． D．‎ ‎【考点】倒数．‎ ‎【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．‎ ‎【解答】解：﹣2016的倒数是，‎ 故选D ‎【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握互为倒数之间关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎2．图中所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，‎ 第二层右边一个小正方形，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．‎ ‎　‎ ‎3．某同学一周中每天跑步所花时间（单位：分钟）分别为：35，40，45，40，55，40，48．这组数据的众数是（　　）‎ A．35 B．40 C．45 D．55‎ ‎【考点】众数．‎ ‎【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：在这组数据中40出现了3次，出现的次数最多，‎ 则这组数据的众数是40；‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查了众数，掌握众数的定义是本题的关键，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．‎ ‎　‎ ‎4．要使函数y=有意义，自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围．‎ ‎【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，‎ 解得，x≥1，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．‎ ‎　‎ ‎5．已知∠1=40°，则∠1的余角的度数是（　　）‎ A．40° B．50° C．140° D．150°‎ ‎【考点】余角和补角．‎ ‎【分析】根据余角的定义作答．‎ ‎【解答】解：∵∠1=40°，‎ ‎∴∠1的余角的度数=90°﹣∠1=50°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了余角的定义，解决本题的关键是如果两个角的和是90°，那么这两个角互余．‎ ‎　‎ ‎6．如图，C是⊙O上一点，若圆周角∠ACB=40°，则圆心角∠AOB的度数是（　　）‎ A．50° B．60° C．80° D．90°‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【分析】根据一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半求解即可．‎ ‎【解答】解：∵∠ACB=40°，‎ ‎∴∠AOB=2∠C=80°．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题主要是根据圆周角定理得到圆周角和圆心角之间的关系．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．‎ ‎【解答】解：过O作OG垂于G，连接OC，‎ ‎∵OC=，只有C、O、G三点在一条直线上OE最小，‎ 连接OM，‎ ‎∴OM=，‎ ‎∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，‎ 作CF⊥AB于F，‎ ‎∴G和F重合时，MN有最大值，‎ ‎∵∠C=90°，BC=3，AC=4，‎ ‎∴AB==5，‎ ‎∵AC•BC=AB•CF，‎ ‎∴CF=，‎ ‎∴OG=﹣=，‎ ‎∴MG==，‎ ‎∴MN=2MG=，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OG垂于E，得出C、O、G三点在一条直线上OE最小是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．‎ ‎8．比较大小：4　＞　（填“＞”或“＜”号）‎ ‎【考点】实数大小比较．‎ ‎【分析】根据4=＞，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵4=＞，‎ ‎∴4＞，‎ 故答案为：＞．‎ ‎【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查了学生的比较能力．‎ ‎　‎ ‎9．泉州湾跨海大桥全长26700米，将26700用科学记数法记为　2.67×104　．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将26700用科学记数法表示为2.67×104．‎ 故答案为：2.67×104．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎10．分解因式：x2﹣16=　（x﹣4）（x+4）　．‎ ‎【考点】因式分解-运用公式法．‎ ‎【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．‎ ‎【解答】解：x2﹣16=（x+4）（x﹣4）．‎ ‎【点评】本题考查因式分解．当被分解的式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解．‎ ‎　‎ ‎11．不等式4x﹣8＜0的解集是　x＜2　．‎ ‎【考点】解一元一次不等式．‎ ‎【分析】先移项，再把x的系数化为1即可．‎ ‎【解答】解：移项得，4x＜8，‎ x的系数化为1得，x＜2．‎ 故答案为：x＜2．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．计算： +=　2　．‎ ‎【考点】分式的加减法．‎ ‎【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式===2，‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=　3　．‎ ‎【考点】三角形中位线定理．‎ ‎【分析】由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．‎ ‎【解答】解：∵D、E是AB、AC中点，‎ ‎∴DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴ED=BC=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是　　．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】利用锐角三角函数的定义求解，sinA为∠A的对边比斜边，求出即可．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，‎ ‎∴sinA==．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．‎ ‎　‎ ‎15．如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是　k＜1　．‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，‎ 解得k＜1，‎ ‎∴k的取值范围为k＜1．‎ 故答案为：k＜1．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎16．若圆锥的母线长为3cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面展开图的面积　6π　cm2．‎ ‎【考点】圆锥的计算．‎ ‎【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．‎ ‎【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，其半径等于圆锥的母线长．即：r=3 cm．扇形的弧长等于圆锥底面周长．周长l=4π cm，所以S侧=×3×4π=6πcm2．‎ ‎【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．‎ ‎　‎ ‎17．平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，x2），把d（P1，P2）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为P1，P2两点间的直角距离．‎ ‎（1）若点P1（1，2），P2（3，4），则d（P1，P2）=　4　；‎ ‎（2）点M（2，3）到直线y=x+2上的点的最小直角距离是　1　．‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】（1）根据定义，代入公式可求得答案；‎ ‎（2）由条件可得到|x﹣2|+|x﹣1|，分情况去掉绝对值号进行讨论即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵P1（1，2），P2（3，4），‎ ‎∴d（P1，P2）=|1﹣3|+|2﹣4|=2+2=4，‎ 故答案为：4；‎ ‎（2）设直线上的点为（x，x+2），‎ 则d=|x﹣2|+|x+2﹣3|=|x﹣2|+|x﹣1|，‎ 当x＜1时，d=2﹣x+1﹣x=3﹣2x＞1；‎ 当1≤x≤2时，d=2﹣x+x﹣1=1，‎ 当x＞2时，d=x﹣2+x﹣1=2x﹣3＞1，‎ 综上可知d的最小值为1，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题为新概念题目，理解题目中所给新定义是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．‎ ‎　‎ 三、解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．‎ ‎18．计算：．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂．‎ ‎【分析】直接利用二次根式除法运算法则以及结合负整数指数幂的性质和绝对值、零指数幂的性质化简求出答案．‎ ‎【解答】解：原式=3﹣2+2﹣1‎ ‎=2．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次根式除法运算以及负整数指数幂的性质和绝对值、零指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎19．先化简，再求值：（a+4）2﹣（a+3）（a﹣3），其中．‎ ‎【考点】整式的混合运算—化简求值．‎ ‎【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=a2+8a+16﹣a2+9=8a+25，‎ 当a=﹣时，原式=﹣6+25=19．‎ ‎【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．在一个不透明的布袋中，装有三个小球，小球上分别标有数字“2”、“3”和“4”，它们除数字不同外没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．‎ ‎（1）从中任取一球，则摸出的球为“3”的概率是多少？‎ ‎（2）从中任取一球，将球上的数字记为x，将此球放回盒中；再任取一球，将球上的数字记为y，试用画树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果，并求出x+y＜5的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）直接根据概率公式求解；‎ ‎（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出x+y＜0的结果数，然后根据概率公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：摸出的球为“3”的情况有1个，则P（3）=；‎ ‎（2）画出树状图如下：‎ 由树状图可知，所有等可能的结果有9种，其中“x+y＜5”的结果有1种，‎ 则P（x+y＜5）=．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在△AEC中，点D是EC上的一点，且AE=AD，AB=AC，∠1=∠2．求证：BD=EC．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】由已知角相等，利用等式的性质结合图形得到夹角相等，利用SAS得到三角形EAC与三角形DAB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．‎ ‎【解答】证明：∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，‎ 在△EAC和△DAB中，‎ ‎，‎ ‎∴△EAC≌△DAB（SAS），‎ ‎∴BD=EC．‎ ‎【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书．为了解所捐书籍的种类，对部分书籍进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图．请根据统计图回答下面问题：‎ ‎（1）本次抽样调查的书籍有多少本？请补全条形统计图；‎ ‎（2）求出图1中表示文学类书籍的扇形圆心角度数；‎ ‎（3）本次活动师生共捐书1200本，请估计有多少本科普类书籍？‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）根据已知条件列式计算即可，如图2所示，先计算出其它类的频数，再画条形统计图即可；‎ ‎（2）根据已知条件列式计算即可；‎ ‎（3）根据已知条件列式计算即可．‎ ‎【解答】解；（1）8÷20%=40（本），‎ 其它类；40×15%=6（本），‎ 补全条形统计图，如图2所示：‎ ‎（2）文学类书籍的扇形圆心角度数为：360×=126°；‎ ‎（3）普类书籍有：×1200=360（本）．‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎23．某商场购进一种每件价格为100元的商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）（100≤x≤160）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：‎ ‎（1）求出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得700元的利润．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于k、b的关系式，求出k、b的值即可；‎ ‎（2）根据每天可获得700元的利润列出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．‎ 由所给函数图象可知，，解得，‎ 故y与x的函数关系式为y=﹣x+180；‎ ‎（2）∵y=﹣x+180，依题意得 ‎∴（x﹣100）（﹣x+180）=700，‎ x2﹣280x+18700=0，‎ 解得x1=110，x2=170．‎ ‎∵100≤x≤160，‎ ‎∴取x=110．‎ 答：售价定为110元/件时，每天可获利润700元．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、待定系数法确定一次函数的解析式；根据题意列出关于k、b的关系式和列出方程是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与x轴交于点A，且与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（，m）．‎ ‎（1）求k、m的值；‎ ‎（2）若BC∥y轴，且点C到直线y=x+1的距离为2，求点C的纵坐标．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】（1）把B（，m）代入y=x+1得到m=3，把B（，3）代入y=得到k=8；‎ ‎（2）设C（，n），根据点C到直线y=x+1的距离为2，列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）把B（，m）代入y=x+1得m=×+1=3，‎ ‎∴B（，3），‎ 把B（，3）代入y=得：k=8，‎ ‎∴k=8，m=3；‎ ‎（2）∵BC∥y轴，‎ ‎∴设C（，n），‎ ‎∵点C到直线y=x+1的距离为2，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴n=或n=．‎ ‎∴点C的纵坐标是或．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，点到直线的距离公式，比较简单．正确求出函数解析式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（13分）（2016•永春县模拟）如图1，正方形ABCD的边长为2，点E不在正方形的外部，AE=2，过点E作直线MN⊥AE交BC、CD分别于M、N，连接AM、AN，设BM=a．‎ ‎（1）正方形ABCD的周长=　8　．‎ ‎（2）求DN的长（用含a的式子表示）．‎ ‎（3）如图2，过点M作直线l⊥BC，P是直线l上的动点，当△ANP是等腰直角三角形时，求a的值．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的周长公式即可得到结论；‎ ‎（2）如图1，BM=a，设DN=x，根据正方形的性质得到∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=2，根据全等三角形的性质得到BM=EM=a，CM=2﹣a，同理，DN=EN=x，CN=2﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论；‎ ‎（3）当AN是斜边时，PA=PN，∠APN=90°若P在AN下方，根据全等三角形的性质得到AE=PF=2﹣a，FN=EP=a，推出P与M和B重合，N与C重合，△APN是等腰直角三角形，符合题意；若P在AN上方，同理得到a=﹣1+，当AP是斜边时，如图4，AN=PN，∠ANP=90°过P作EF⊥直线AB于E，交直线CD于F，当NP是斜边时，如图5，AN=AP，∠PAN=90°，过P作PE⊥直线AB于E，过N作NF⊥AB于F，则AF=DN，根据全等三角形的性质得到PE=AF，列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，‎ ‎∴正方形ABCD的周长=8，‎ 故答案为：8；‎ ‎（2）如图1，BM=a，设DN=x，‎ 在正方形ABCD中，‎ ‎∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=2，‎ ‎∵AE=2，AE⊥MN于E，‎ ‎∴在Rt△ABM和Rt△AEM中，，‎ ‎∴Rt△ABM≌Rt△AEM，‎ ‎∴BM=EM=a，CM=2﹣a，‎ 同理，DN=EN=x，CN=2﹣x，‎ ‎∴MN=a+x，‎ 在Rt△NMC中，CM2+CN2=MN2（2﹣a）2+（2﹣x）2=（a+x）2，‎ 解得：x=，‎ ‎∴DN=；‎ ‎（3）当AN是斜边时，PA=PN，∠APN=90°‎ 若P在AN下方，如图2，过P作EF⊥AB于E，交CD于F，‎ 则∠AEP=∠PFN=90°，PF=2﹣a，‎ ‎∵∠NPF+∠EPA=90°，∠EAP+∠EPA=90°‎ ‎∴∠EAP=∠NPF，‎ 在△AEP与△PFN中，，‎ ‎∴△AEP≌△PFN，‎ ‎∴AE=PF=2﹣a，FN=EP=a，‎ ‎∵AE=FN+DN，‎ ‎∴2﹣a=a+，解得a=0，‎ 此时P与M和B重合，N与C重合，△APN是等腰直角三角形，符合题意；‎ 若P在AN上方，如图3，过P作EF⊥直线AB于E，交直线CD于F，则FD=AE，‎ 同理可得△AEP≌△PFN，AE=PF=2﹣a，EP=FN=FD+DN，‎ ‎∴a=2﹣a+，解得a=﹣1±，‎ ‎∵2≥a≥0，∴a=﹣1+，‎ 当AP是斜边时，如图4，AN=PN，∠ANP=90°‎ 过P作EF⊥直线AB于E，交直线CD于F，‎ 同理可得△ADN≌△NFP，FP=DN，‎ ‎∴2﹣a=，解得a1=0，a2=2a1=0时N与C重合，a2=2时N与D重合，均符合题意；‎ 当NP是斜边时，如图5，AN=AP，∠PAN=90°，‎ 过P作PE⊥直线AB于E，过N作NF⊥AB于F，则AF=DN，‎ 同理可得△PEA≌△AFN，PE=AF，‎ ‎∴a=，解得a=﹣2，‎ ‎∵2≥a≥0，∴a=﹣2+2，‎ 综上，a1=0，a2=﹣1+，a3=2，a4=﹣2+2．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．（13分）（2016•永春县模拟）如图，抛物线为y=（x+1）（x﹣3）x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），‎ 点C（2，m）在抛物线上，点C关于x轴的对称点为D，连结AD，CD．‎ ‎（1）填空：m=　﹣　；‎ ‎（2）点E是坐标平面的动点，若以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E坐标；‎ ‎（3）若P（a，b）是抛物线上一动点，且位于A、C两点之间，设四边形APCD的面积为S，求S与a之间的函数关系式，并求S的最大值；‎ ‎（4）若直线y=x+m上存在动点Q，使∠AQD=90°，求出m的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式即可求得m的值；‎ ‎（2）令y=0可求得点A的坐标，由抛物线的对称性可得到点D的坐标，然后根据平行四边形的定义画出图形，接下来，依据平行四边形对边平行且相等的性质可求得定E的坐标；‎ ‎（3）记DC与x轴的交点为M，连接PM．依据S=S△AMD+S△PAM+SCPM得到S与a的函数关系式，接下来，依据二次函数的性质可求得S的最大值；‎ ‎（4）如图5所示：以AD为直径作圆F，直线与圆F的交点Q满足∠AQD=90°（Q与A、D不重合）．过点H作HM⊥直线y=x+m，垂足为M．先求得直线AD的解析式，从而可知直线AD与直线y=x+m平行，在△MGH中依据特殊锐角三角函数值可求得HG的长度，从而得到点G和点G′的坐标，从而得到m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵将x=2，代入抛物线的解析式得；y=×3×（﹣1）=﹣，‎ ‎∴m=﹣．‎ 故答案为；﹣．‎ ‎（2）∵点C与点D关于x轴对称，点C（2，﹣），‎ ‎∴DC=2．‎ 令y=0，得（x+1）（x﹣3）=0．‎ 解得：x1=﹣1，x2=3，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0）．‎ 如图1所示；‎ ‎∵ADCE为平行四边形，‎ ‎∴AE=DC．‎ ‎∴AE=2．‎ ‎∴E（﹣1，﹣2）．‎ 如图2所示：‎ ‎∵ADCE为平行四边形，‎ ‎∴AE=DC．‎ ‎∴AE=2．‎ ‎∴E（﹣1，2）．‎ 如图3所示；‎ ‎∵ACED为平行四边形，∑‎ ‎∴AF=EF．‎ 又∵AE⊥DC，‎ ‎∴点E与点A关于CD对称．‎ ‎∴AE=6．‎ ‎∴OE=5‎ ‎∴E（5，0）．‎ 综上所述点E的坐标为（5，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）．‎ ‎（3）如图4：记DC与x轴的交点为M，连接PM．‎ 设点p的坐标为（a， a2﹣a﹣）．‎ ‎∵S△AMD=AM•MD=××3=，S△PAM=AM•|a2﹣a﹣|=﹣a2+a+，S△PMP=MC•PC=﹣a，‎ ‎∴S=S△AMD+S△PAM+SCPM=a2+a．‎ ‎∴S=（a﹣）2+．‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴当a=时，S取得最大值，S的最大值是．‎ ‎（4）如图5所示：以AD为直径作圆F，直线与圆F的交点Q满足∠AQD=90°（Q与A、D不重合）．过点H作HM⊥直线y=x+m，垂足为M．‎ ‎∵由两点间的距离公式可知：AD=2，‎ ‎∴圆F的半径为．‎ 设直线AD的解析式为y=kx+b．‎ 将点A和点D的坐标代入得：，‎ 解得：k=，b=．‎ ‎∴直线AD与直线y=x+m平行．‎ 当直线与圆相切时，MH=FQ=．‎ 当Q在AD的上方时，在△HMG中，HG=MH÷=2．‎ ‎∴OG=2+．‎ 当点Q在AD的下方时，HG′=2，‎ ‎∴OG′=2．‎ ‎∴m的取值范围是： m≤，且．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、特殊锐角三角函数值，根据题意得到S与a的函数关系式以及求得OG和OG′的长度是解题的关键．‎