全国中考数学解析汇编 直角三角形与勾股定理专题 15页

直角三角形与勾股定理 一、选择题 ‎1. （2014•山东枣庄，第3题3分）如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（ ）‎ ‎ ‎ ‎　‎ A．‎ ‎17°‎ B．‎ ‎34°‎ C．‎ ‎56°‎ D．‎ ‎124°‎ 考点：‎ 平行线的性质；直角三角形的性质 分析：‎ 根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠A，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠DCE=∠A=34°，‎ ‎∵∠DEC=90°，‎ ‎∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎2. 1．（2014•湖南张家界，第7题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎8‎ D．‎ ‎8‎ 考点：‎ 线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．‎ 分析：‎ 求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．‎ 解答：‎ 解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，‎ ‎∴∠A=30°．‎ ‎∵DE垂直平分斜边AC，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∴∠A=∠ACD=30°，‎ ‎∴∠DCB=60°﹣30°=30°，‎ ‎∵BD=2，‎ ‎∴CD=AD=4，‎ ‎∴AB=2+4+2=6，‎ 在△BCD中，由勾股定理得：CB=2，‎ 在△ABC中，由勾股定理得：AC==4，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．‎ ‎　3. （2014•十堰9．（3分））如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ 考点：‎ 勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．‎ 分析：‎ 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵AD∥BC，DE⊥BC，‎ ‎∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB ‎∵点G为AF的中点，‎ ‎∴DG=AG，‎ ‎∴∠GAD=∠GDA，‎ ‎∴∠CGD=2∠CAD，‎ ‎∵∠ACD=2∠ACB，‎ ‎∴∠ACD=∠CGD，‎ ‎∴CD=DG=3，‎ 在Rt△CED中，DE==2．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．‎ ‎　‎ ‎4. （2014•娄底8．（3分））下列命题中，错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 平行四边形的对角线互相平分 ‎　‎ B．‎ 菱形的对角线互相垂直平分 ‎　‎ C．‎ 矩形的对角线相等且互相垂直平分 ‎　‎ D．‎ 角平分线上的点到角两边的距离相等 考点：‎ 命题与定理．‎ 分析：‎ 根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据角平分线的性质对D进行判断．‎ 解答：‎ 解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项的说法正确；‎ B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项的说法正确；‎ C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的说法错误；‎ D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项的说法正确．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．‎ ‎5. （2014•山东淄博,第10题4分）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（　　）‎ ‎　 A． 1 B． C． D． 2‎ 考点： 勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．菁优网 分析： 本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC．求出EC后根据勾股定理即可求解．‎ 解答： 解：如图，连接EC．‎ ‎∵FC垂直平分BE，‎ ‎∴BC=EC（线段垂直平分线的性质）‎ 又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，‎ 故EC=2‎ 利用勾股定理可得AB=CD==．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解．本题难度中等．‎ 二、填空题 ‎1. （2014•山东威海，第17题3分）如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 18 ．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）‎ 分析：‎ 先由折叠的性质得AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，进而得出，∠B=∠BCD，求得BD=CD=AD==5，DE为△ABC的中位线，得到DE的长，再在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四边形DBCE的周长．‎ 解答：‎ 解：∵沿DE折叠，使点A与点C重合，‎ ‎∴AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，‎ ‎∴∠BCD=90°﹣∠DCE，‎ 又∵∠B=90°﹣∠A，‎ ‎∴∠B=∠BCD，‎ ‎∴BD=CD=AD==5，‎ ‎∴DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴DE==3，‎ ‎∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形DBCE的周长为：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18．‎ 故答案为：18．‎ 点评：‎ 本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．本题中得到ED是△ABC的中位线关键．‎ ‎2. （2014•山东枣庄，第18题4分）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 （3+3） cm．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 平面展开-最短路径问题；截一个几何体 分析：‎ 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．‎ 解答：‎ 解：如图所示：‎ ‎△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，‎ 在Rt△BCD中，CD==6cm，‎ ‎∴BE=CD=3cm，‎ 在Rt△ACE中，AE==3cm，‎ ‎∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm．‎ 故答案为：（3+3）．‎ 点评：‎ 考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把图②的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题．‎ ‎3. （2014•山东潍坊，第18题3分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．‎ 考点：平面展开－最短路径问题；勾股定理的应用．‎ 分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．‎ 解答：解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，‎ 另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长=25（尺）．‎ 故答案为：25‎ 点评：本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．‎ ‎4. 半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2的半径等于　　．‎ 考点：圆和圆相切的性质，勾股定理．‎ 分析： 作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，设O2C=r，根据⊙O1的半径为2，OO1=7，表示出O1O2=r+2，O1C=7﹣r，利用勾股定理列出有关r的方程求解即可．‎ 解答：如图，作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，‎ 设O2C=r，∵∠AOB=45°，∴OC=O2C=r，‎ ‎∵⊙O1的半径为2，OO1=7，‎ ‎∴O1O2=r+2，O1C=7﹣r，‎ ‎∴（7﹣r）2+r2=（r+2）2，解得：r=3或15，‎ 故答案为：3或15．‎ 点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度中等．‎ ‎5. （2014•江西抚州，第14题，3分）如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和重合在一起，将三角板绕其顶点按逆时针方向旋转角α（0°< α≤90°），有以下四个结论：‎ ①当α=30°时，与的交点恰好为的中点；‎ ②当α=60°时，恰好经过点；‎ ③在旋转过程中，存在某一时刻，使得；‎ ④在旋转过程中，始终存在，‎ 其中结论正确的序号是 ① ② ④ .(多填或填错得0分，少填酌情给分）‎ 解析：如图1，∵α=30°，∴∠ACA′=∠A=30°,∠BCA′=∠B=60°，∴DC=DA,DC=DB,∴DA=DB,∴D是AB的中点.正确 ‎ 如图2，当α=60°时，取A′B′的中点E,连接CE,则∠B′CE=∠B′CB=60°,又CB=CB′,∴E、B重合，∴A′、B′恰好经过点B.正确 如图3，连接AA′,BB′,则⊿CAA′∽⊿CBB′,∴,∴AA′=BB′.错误 如图4，∠A′B′D=∠CBB′－60°,∠B′A′D=180°－(∠CA′A+30°),‎ ‎∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°＋∠CBB′－∠CA′A ‎∵ ∠CBB′=∠CA′A , ‎ ‎∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°,即∠D=90°,‎ ‎∴AA′⊥BB′.正确 ‎∴①，②，④正确.‎ ‎6. (2014年湖北咸宁13．（3分）)如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为　　．‎ 考点： 三角形中位线定理；垂径定理；扇形面积的计算．菁优网 分析： 连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．利用勾股定理、OA=OB，且∠AOB=90°，可以求得该扇形的半径．‎ 解答： 解：连接AB，‎ ‎∵OD⊥BC，OE⊥AC，‎ ‎∴D、E分别为BC、AC的中点，‎ ‎∴DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴AB=2DE=2．‎ 又∵在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，‎ ‎∴OA=OB=AB=，‎ ‎∴扇形OAB的面积为：=．‎ 故答案是：．‎ 点评： 此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎7. (2014•年山东东营,第14题3分)如图，有两棵树，一棵高‎12米，另一棵高‎6米，两树相距‎8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行　‎10　‎米．‎ 考点： 勾股定理的应用．菁优网 分析： 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．‎ 解答： 解：如图，设大树高为AB=‎12m，‎ 小树高为CD=‎6m，‎ 过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，‎ 连接AC，‎ ‎∴EB=‎6m，EC=‎8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），‎ 在Rt△AEC中，AC==10（m）．‎ 故小鸟至少飞行‎10m．‎ 故答案为：10．‎ 点评： 本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．‎ ‎8．（2014•四川宜宾，第14题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′= 1.5 ．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）‎ 分析：‎ 首先根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3，然后设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的值，再在Rt△B′EC中，由勾股定理可得方程x2+22=（4﹣x）2，再解方程即可算出答案．‎ 解答：‎ 解：根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3‎ 设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，‎ ‎∵∠B=90°，AB=3，BC=4，‎ ‎∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，，‎ ‎∴B′C=5﹣3=2，‎ 在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4﹣x）2，‎ 解得x=1.5．‎ 故答案为：1.5．‎ 点评：‎ 此题主要考查了翻折变换，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的．‎ ‎9.（2014•四川凉山州，第16题，4分）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 ．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 勾股定理．‎ 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．‎ 解答：‎ 解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：‎ 第三边的长为：=；‎ ‎②长为3、4的边都是直角边时：‎ 第三边的长为：=5；‎ 故第三边的长为：5或．‎ 点评：‎ 此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．‎ ‎ ‎ ‎10．（2014•四川凉山州，第26题，5分）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 20 cm．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 平面展开－最短路径问题 分析：‎ 将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．‎ 解答：‎ 解：如图：‎ 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，‎ 连接A′B，则A′B即为最短距离，‎ A′B===20（cm）．‎ 故答案为：20．‎ 点评：‎ 本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．‎ ‎ ‎ ‎11．（2014•甘肃白银、临夏,第13题4分）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是　 　cm．‎ 考点：‎ 勾股定理；等腰三角形的性质．‎ 分析：‎ 利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到BD=BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高线AD的长度．‎ 解答：‎ 解：如图，AD是BC边上的高线．‎ ‎∵AB=AC=10cm，BC=12cm，‎ ‎∴BD=CD=6cm，‎ ‎∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）．‎ 故答案是：8．‎ 点评：‎ 本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理．等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形．‎ 三、解答题 ‎1. （2014•上海，第22题10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）如果CD=，求BE的值．‎ 考点：‎ 解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．‎ 分析：‎ ‎（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；‎ ‎（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．‎ 解答：‎ 解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，‎ ‎∴CD=BD，‎ ‎∴∠B=∠BCD，‎ ‎∵AE⊥CD，‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°，‎ ‎∴∠B=∠CAH，‎ ‎∵AH=2CH，‎ ‎∴由勾股定理得AC=CH，‎ ‎∴CH：AC=1：，‎ ‎∴sinB；‎ ‎（2）∵sinB，‎ ‎∴AC：AB=1：，‎ ‎∵CD=，‎ ‎∴AB=2，‎ 由勾股定理得AC=2，则CE=1，‎ 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴BC=4，‎ ‎∴BE=BC﹣CE=3．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．‎ ‎2. （2014山东济南，第27题，9分）如图1，有一组平行线，正方形的四个顶点分别在上，过点Ｄ且垂直于于点Ｅ，分别交于点Ｆ，Ｇ，．‎ ‎（1）　　　　，正方形的边长＝　　　　；‎ ‎（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，点在直线上，以为边在的左侧作菱形，使点分别在直线上．‎ ‎①写出与的函数关系并给出证明；‎ ‎②若，求菱形的边长．‎ ‎【解析】（1）在中，AD=DC,又有和互余，和互余，故和相等，，知,‎ ‎ 又，所以正方形的边长为．‎ ‎ （2）①过点作垂直于于点M，在中, ,,故，所以互余，与之和为，故=－.‎ ‎②过E点作ON垂直于分别交于点O，N，‎ 若,，,故, , ，‎ 由勾股定理可知菱形边长为.‎ ‎3.（( 2014年河南) 22.10分）（1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE 填空：（1）∠AEB的度数为 60 ；‎ ‎ （2）线段AD、BE之间的数量关系是 AD=BE 。‎ 解:（1）①60；②AD=BE. …………………………………………2分 ‎ ‎ 提示：（1）①可证△CDA≌△CEB,‎ ‎∴∠CEB=∠CDA=1200，‎ 又∠CED=600，‎ ‎ ∴∠AEB=1200－600=600.‎ ‎ ②可证△CDA≌△CEB, ‎ ‎∴AD=BE ‎（2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。‎ 解：（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE. …………………………4分 ‎ （注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）‎ 理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,‎ ‎ ∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE ‎∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………………6分 ‎∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.‎ ‎ ∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．……………………………7分 ‎ 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，‎ ‎ ∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.‎ ‎∴AE=DE+AD=2CM+BE……………………………………………………8分 ‎（3）解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD=。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。‎ ‎(3)或………………………………………………………10分 ‎ 【提示】PD =1，∠BPD=900,‎ ‎ ∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点．‎ ‎ 第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P/，‎ ‎ 可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1,‎ ‎ CD=,∴BD=2,BP=,‎ ‎∴AM=PP/=(PB－BP/)=‎ ‎ 第二种情况如图②，‎ 可得AMPP/=(PB+BP/)=‎