赤峰市中考数学试卷 11页

‎2011年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷 数 学 ‎（满分150分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题（每小题所给出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确选项的标号填入题后的括号内。每小题3分，共24分。）‎ ‎1. （2011内蒙古赤峰，1，3分）－4的相反数是 （ ）‎ A． B．－ C．4 D．－4‎ ‎【答案】C ‎2. （2011内蒙古赤峰，2，3分）下列运算正确的是 （ ）‎ A． B．‎2m+3n=5mn C． D．‎ ‎【答案】A ‎3. （2011内蒙古赤峰，3，3分）下列图形中，∠1一定大于∠2的是（ ）‎ ‎【答案】C ‎4. （2011内蒙古赤峰，4，3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） ‎ ‎ A． B．C．D．‎ ‎【答案】B ‎5.（2011内蒙古赤峰，5，3分）在下面四个几何体中，主视图、俯视图、左视图都相同的几何体的个数是 （ ）‎ ‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎6. （2011内蒙古赤峰，6，3分）在体育课上，初三年级某班10名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：9，14，10，15，7，9，16，10，11，9，这组数据的众数、中位数、平均数依次是 （ ）‎ A．10，8，11 B．10，8，‎9 ‎ C．9，8，11 D．9，10，11‎ ‎【答案】D ‎7. （2011内蒙古赤峰，7，3分）早晨，小张去公园晨练，下图是他离家的距离y(千米)与时间t(分钟)的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是 （ ）‎ A．小张去时所用的时间多于回家所用的时间 B．小张在公园锻炼了20分钟 ‎ C．小张去时的速度大于回家的速度 D．小张去时走上坡路，回家时走下坡路 ‎【答案】C ‎ ‎8. （2011内蒙古赤峰，8，3分）如图，在△ABC中，AB=20㎝，AC=12㎝，点P从点B出发以每秒3㎝的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2㎝的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是 （ ）‎ A． 2.5 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 ‎【答案】D 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）‎ ‎9. （2011内蒙古赤峰，9，3分）分解因式： _____________。‎ ‎【答案】‎ ‎10.（2011内蒙古赤峰，10，3分）太阳的半径约是697 000 ‎000米，用科学记数法表示为_____________。‎ ‎【答案】‎ ‎11.（2011内蒙古赤峰，11，3分）已知点A（－5，a），B(4，b)在直线y=-3x+2上，则a______b。（填“＞”、“＜”或“=”号）‎ ‎【答案】＞‎ ‎12.（2011内蒙古赤峰，12，3分）如图：AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点处，连结B，那么B的长为_____________。‎ ‎【答案】3‎ ‎13.（2011内蒙古赤峰，13，3分）对甲、乙、丙三名射击手进行20次测试，平均成绩都是8.5环，方差分别是，，，在这三名射击手中成绩比较稳定的是____________‎ ‎【答案】甲 ‎14.（2011内蒙古赤峰，14，3分）化简的结果是____________。‎ ‎【答案】1‎ ‎15.（2011内蒙古赤峰，15，3分）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A、B两点，PC切半圆于点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为_____________。‎ ‎【答案】4‎ ‎16. （2011内蒙古赤峰，16，3分）如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF 沿AB方向平移到△EBD的位置， 点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____________。‎ ‎【答案】10‎ 三、解答题：（本大题共9个小题，满分102分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （2011内蒙古赤峰，17，12分）‎ ‎（1）计算： （2）解方程： = +1‎ ‎【答案】解：（1）原式＝2＋1－3＋ （2）方程的左右两边同时乘以最简公分母3（x＋1）＝ 得：3x＝2x＋3x＋3‎ ‎ ∴x＝－ ‎ 检验：把x＝－ 代入最简公分母3（x＋1）中得：‎ ‎ 3（x＋1）≠0‎ ‎ ∴x ＝－ 是原方程的解。‎ ‎18. （2011内蒙古赤峰，19，10分）如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测得空投地点C的俯角=60°，测得地面指挥台B的俯角=30°。已知BC的距离是‎2000米，求此时飞机的高度（结果保留根号）‎ ‎【答案】解：如图 过A点作AD⊥BC与BC的延长线交于点D。‎ ‎∵AF∥BD ，‎ ‎∴∠B=∠=30°。‎ 又∵∠= 60°，∠=30°‎ ‎∴∠BAC=30°=∠B ‎∴AC = BC = 2000‎ 在Rt△ACD中，‎ ‎∠ACD=∠＋∠B= 60°‎ ‎∵sin 60°= 。‎ ‎∴AD=AC sin 60°=2000×=1000 ‎ 答：此时飞机的高度是‎1000‎ m ‎19. （2011内蒙古赤峰，19，10分）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80﹪，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元。‎ ‎（1）求这种玩具的进价。‎ ‎（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1﹪）‎ ‎【答案】解：（1）设这种玩具的进价是x元，根据题意得：‎ ‎ x（1+80﹪）=36‎ ‎ 解之得：x=20‎ ‎ 答：这种玩具的进价为20元。‎ ‎ （2）设平均每次降价的百分率为y ，根据题意得：‎ ‎ ‎ ‎ 解之得： （不合题意，舍去）‎ ‎ ∴y=16.7﹪‎ ‎ 答：平均每次降价的百分率为16.7﹪‎ ‎20. （2011内蒙古赤峰，20，10分）如图，点D在双曲线上，AD垂直轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于轴交双曲线于点B，直线AB与轴交于点F，已知AC：AD=1：3，点C的坐标为（2，2）。‎ （1） 求该双曲线的解析式；‎ （2） 求△OFA的面积。‎ ‎【答案】解：（1）∵点C的坐标为（2，2）；‎ ‎∴OA=2，AC=2．‎ ‎∵AC：AD=1：3‎ ‎∴AD = 6‎ ‎∴点D的坐标为（2，6） ；‎ 设该双曲线的解析式为 ；‎ ‎∴k =2×6 =12‎ ‎∴该双曲线的解析式为 ；‎ ‎（2）设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)；‎ ‎∵B点的纵坐标为2，且B点在双曲线上。‎ ‎∴‎ ‎∴ x= 6‎ ‎∴B点的坐标为（6，2），A点的坐标为（2，0） ；‎ ‎∴ 解之得： ‎∴直线AB的解析式为y= x－1 ；‎ ‎∵直线AB与y轴的交点为F ；‎ ‎∴F点的坐标为（0，－1）。 ‎ ‎∴OF =1，‎ ‎∴△OFA的面积=×OA·OF = 1‎ ‎21. （2011内蒙古赤峰，21，10分）在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，小明从中随机摸出一张记下牌面上的数字为，然后放回洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为，组成一对数（，）。‎ ‎（1）用列表法或树状图表示出（，）的所有可能出现的结果；‎ ‎（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率。‎ ‎【答案】解：‎ ‎（1）画树状图，如图：‎ ‎（2）∵x=2，y=3或x=3，y=2是方程x+y=5的解 ‎∴概率P（x+y=5）= = ‎22. （2011内蒙古赤峰，22，12分）如图，等圆⊙和⊙相交于A、B两点，⊙经过⊙的圆心，两圆的连心线交⊙于点M，交AB于点N，连结BM，已知AB=2 ‎（1）求证：BM是⊙的切线；‎ ‎（2）求的长。 ‎ ‎【答案】解：如图，连结 ‎∵⊙和⊙是等圆，且在⊙上。‎ ‎∴点也在⊙上。 ‎ ‎∵是两圆的连心线 ‎ ‎∴M是⊙的直径 ‎∴∠MB=90°‎ 又∵直线BM经过半径的B的外端；‎ ‎∴直线BM是⊙的切线 ‎（2）连结A、B ‎∵点B既在⊙上，又在⊙上 ‎∴=B=B ‎∴∠NB=60°‎ ‎∵是两圆的连心线 ‎∴⊥AB，BN=AB=×2= 在Rt△NB中，sin60°=,B=2 ‎ ‎∵M=B ‎∴∠MB =∠BM=∠BN =×60°=30°‎ ‎∴在Rt△MBN中，∠MBN= 60°‎ ‎∴∠MA=120°‎ ‎∴‎ ‎23. （2011内蒙古赤峰，23，12分）为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出。有甲乙两种票，已知甲乙两种票的单价比为4：3，单价和为42元。‎ ‎（1）甲、乙两种票的单价分别是多少元？‎ ‎（2）学校计划拿出不超过750元的资金，让七年级一班的36名学生首先观看，且规定购买甲种票必须多于15张，有哪几种购买方案？‎ ‎【答案】解：（1）设甲乙两种票的单价分别是x元、y元，根据题意得：‎ ‎ 解得： ‎ ‎ 答：甲乙两种票的单价分别是24元、18元。 ‎ ‎（2）设买甲种票a张，则买乙种票（36－a）张。‎ 解得：15＜a≤17‎ ‎∴a取16、17。‎ ① 甲种票买16张，乙种票买20张；‎ ② 甲种票买17张，乙种票买19张。‎ 答：有上述两种购买方案。‎ ‎24. （2011内蒙古赤峰，24，12分）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，顶点为C，连结CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称。‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；‎ ‎（2）求证：四边形ABCD是直角梯形。‎ ‎【答案】解：（1）∵直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点。‎ 当y=0时，x=－3，∴点A的坐标为（－3，0）‎ 当x =0时，y= 3，∴点B的坐标为（0，3）‎ 把A（－3，0）、B（0，3）代入中得：‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎∵‎ ‎∴C点的坐标为（-1，4）。‎ ‎（2）证明：‎ 方法（一）∵A（－3，0）、B（0，3）、C（-1，4）;‎ ‎∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1.‎ 在Rt△AOB中，；‎ 在Rt△ANC中， ；‎ 在Rt△CMB中，；‎ ‎∴，∴∠ABC=90°‎ ‎∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；‎ ‎∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；‎ ‎∴DC∥AB ；‎ ‎∵AD≠CB ；‎ ‎∴四边形ABCD是直角梯形 方法（二）：设直线BC的解析式为y=mx+3；‎ 把C（-1，4）代入，得m=－1；‎ ‎∴直线BC的解析式为y=－x+3；‎ 当y=0时，x=3，则E点的坐标为（3，0），即OE=3 ；‎ ‎∵A（－3，0）、B（0，3）；‎ ‎∴OA=OB=OE=3 。‎ ‎∵∠BOA=∠BOE =90°‎ ‎∴∠BAO=∠ABO=∠OEB =∠OBE=45°；‎ ‎∴∠ABE=90°；‎ ‎∴∠ABC=90°；‎ ‎∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；‎ ‎∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；‎ ‎∴DC∥AB ；‎ ‎∵AD≠CB ；‎ ‎∴四边形ABCD是直角梯形 ‎25. （2011内蒙古赤峰，25，14分）如图（图1、图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，FN⊥BC，交BC的延长线于点N。‎ ‎（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？为什么？‎ ‎（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x, △ECF的面积为y。‎ ‎①求y与x的函数关系式；‎ ‎②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值。‎ ‎【答案】解：（1）相等。‎ 理由：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点 ‎∴∠B=∠DCN=90°. AB=BC=2BE，‎ ‎∴∠BAE+∠BEA=90°.‎ ‎∵∠AEF=90°‎ ‎∴∠AEB+∠FEC=90°.，‎ ‎∴∠BAE=∠FEN.‎ ‎∵CF是∠DCN的角平分线，∠FNC=90°。‎ ‎∴∠FCN=∠CFN=45°.‎ ‎∴FN=CN.‎ 在Rt△ABE和Rt△ENF中 tan∠BAE=tan∠FEN = == ‎∴EN=2FN，∴EC＋CN=2CN，∴FN=BE .‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△ENF. ‎ ‎∴AE=EF.‎ 方法二：如图，取AB的中点M，连结ME. ‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC，∠B=∠DCN=90°，‎ ‎∵点E是BC的中点 ‎∴AM=MB=BE=EC 在Rt△MBE中，∠BME=∠BEM=45°.‎ ‎∴∠AME=135°；‎ ‎∵CF是∠DCN的角平分线，‎ ‎∴∠FCN=45°.‎ ‎∴∠ECF=135°.‎ ‎∴∠AME=∠ECF ；‎ ‎∵∠AEF=90° ；‎ ‎∴∠AEB+∠FEC=90° ；‎ 在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°.‎ ‎∴∠BAE=∠FEN ；‎ ‎∴△AME≌△ECF ；‎ ‎∴AE=EF 。‎ ‎ （2）①tan∠BAE= tan∠FEN = = ;‎ ‎ ∴ = ;‎ ‎ ∴BE(EC+CN)=CN(BE+EC) ;‎ ‎ ∴BE·EC＋ BE·CN = BE·CN ＋CN·EC ;‎ ‎ ∴BE·EC = CN·EC ;‎ ‎ ∴BE = CN ;‎ ‎ ∴BE =FN = x ， ‎ ‎ ∴。‎ ‎ ②‎ ‎ 当x =2时，y有最大值为2.‎