中考数学考前20天终极冲刺攻略第01期 54页

目 录 / contents 倒计时第20天实数的概念与运算 ………………………………………01‎ 倒计时第19天代数式………………………………………………………10‎ 倒计时第18天一次方程（组）……………………………………………23‎ 倒计时第17天一元一次不等式（组）……………………………………31‎ 倒计时第16天一元二次方程与分式方程…………………………………39‎ ‎ ——实数的概念与运算 ‎1．了解：平（立）方根、算术平方根的概念；无理数、实数的概念；近似数的概念；‎ ‎2．理解：有理数的意义；借助数轴理解相反数和绝对值的意义；实数与数轴上的点一一对应；有理数的运算律.‎ ‎3．会：比较有理数大小；求有理数的相反数；求有理数的绝对值；用根号表示数的平（立）方根；求平（立）方根；进行实数的简单四则运算.‎ ‎4．掌握：有理数的加、减、乘、除、乘方；简单的混合运算.‎ ‎5．能：灵活处理较大数字的信息；能用有理数估计无理数的大致范围.‎ ‎1．从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式考查，少数题目以解答题的形式考查,题型较为简单,属于中低档题.‎ ‎2．从考查内容来看,主要以实数的概念与运算为核心进行考查.实数的概念与运算的重点:有理数,有理数的绝对值与比较大小,有理数的四则运算法则,平方根(立方根),非负数,无理数及其估算,实数与数轴的关系.‎ ‎3．从考查热点来看,涉及本知识点中的问题就是实数与生活生产相结合的问题:科学记数法,有理数正负表示,实数的加减乘除乘方法则在实际问题的应用等.‎ ‎1．实数的分类 注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：‎ ‎（1）开方开不尽的数，如，等；‎ ‎（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；‎ ‎（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；‎ ‎（4）某些三角函数，如sin60°等.‎ ‎2．实数大小的比较 实数大小的比较可以利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法.除此之外常用的方法有“差值比较法”适用于比较任何两数的大小；“商值比较法”只适用于比较两个正数的大小；“平方法”、“倒数法”常用于比较二次根式的大小；“底数比较法”、“指数比较法”常用于比较幂的大小.‎ ‎3．解决与非负数的性质相关的问题的关键是掌握 ‎（1）常见的非负数有：任何一个实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0；任何一个实数a的平方是非负数,即a2≥0；若a为非负数，则也为非负数，即≥0；‎ ‎（2）非负数具有的性质是：非负数有最小值，最小值为0；有限个非负数的和仍是非负数；几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.在解决非负性为0的问题上通过运用方程思想方法来求相关实数的值.‎ ‎4．对于实数的运算关键就是掌握运算法则、规律及顺序 ‎(1)实数的加减法则.注意异号两数相加时,取“绝对值较大”的数的“符号”.‎ ‎(2)实数的乘除法则.注意“异号”得“负”，除法中的除数不等于0.两数的积为0,则两数中至少有一个为0.‎ ‎(3)实数的乘方开方运算中,乘方时,注意底数相同,开平方时,被开方数为非负数.‎ ‎(4)实数的混合运算中,在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．‎ ‎(5)实数的运算律:加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律、分配律.‎ ‎(6)熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算.注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.‎ ‎5．科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n 等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.‎ ‎6．解决探索数、式规律问题的方法常见的有列表法和举例法.‎ ‎1．（2016·浙江宁波）6的相反数是 A．−6 B． C． D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据符号不同的两个数互为相反数可得6的相反数是−6，故答案选A.‎ ‎【考点】本题考查相反数.‎ ‎2.（2015·宜昌）陆地上最高处是珠穆朗玛峰峰顶，高出海平面8 848 m，记为+8 848 m；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面约415 m，记为 A．+415 m B．−415 m C．±415 m D．−8 848 m ‎【答案】B ‎【解析】∵高出海平面8 848 m，记为+8 848 m；∴低于海平面约415 m，记为−415 m．故选B．‎ ‎【考点】本题考查正数和负数.‎ ‎3．（2016·河南）某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095用科学记数法表示为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，这里1＜a＜10，指数n是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，所以0.00000095=9.5×‎ ‎10−7．故答案选A.‎ ‎【考点】本题考查科学记数法.‎ ‎4.（2015·咸宁）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是 ‎　‎ A B C D ‎【答案】C ‎【解析】∵|−0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|−3.5|，∴−0.6最接近标准，故选C．‎ ‎【考点】本题考查正数和负数.‎ ‎5.（2016·河北）关于的叙述，错误的是 A．是有理数 B．面积为12的正方形边长是 C．= D．在数轴上可以找到表示的点 ‎【答案】A ‎【解析】是无理数，A项错误，故答案选A.‎ ‎【考点】本题考查无理数.‎ ‎6．（2016·湖南长沙）下列四个数中，最大的数是 A．−2 B． C．0 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，可得6＞＞0＞−2，所以这四个数中，最大的数是6．故答案选D．‎ ‎【考点】本题考查实数比较大小.‎ ‎7. （2015·广东）观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是　　　　.　　‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】观察得该组数的排列规律为：分母为奇数，分子为自然数，第个数为，所以第10个数是.‎ ‎【考点】探索规律题（数字的变化类）‎ ‎8. （2015·镇江）数轴上实数b的对应点的位置如图所示，比较大小：0．‎ ‎【答案】＞‎ ‎【解析】根据题中的图可知，b>−2，∴>−1. ∴＞0．‎ ‎【考点】本题考查实数大小的比较、实数与数轴、不等式的性质.‎ ‎9. （2015·苏州）若，则有 A．0 bc B．|a–b| = a–b C．–a<–b–b–c ‎6. 的值介于2个连续的整数n和n+1之间，则整数n为 A．7 B．8‎ C．9 D．10‎ ‎7．±4是16的 A．平方根 B．相反数 C．绝对值 D．算术平方根 ‎8.计算：．‎ ‎1.【答案】D ‎【解析】因为的倒数是，而=，所以选D.‎ ‎2.【答案】A ‎【解析】−3的相反数是3，故选A．‎ ‎3.【答案】D ‎【解析】无理数是指无限不循环小数，本题中cos45°=，是无限不循环小数，则cos45°为无理数.故选D．‎ ‎4.【答案】B ‎【解析】根据负数的绝对值等于其相反数可得−8的绝对值是8，故选B.‎ ‎5.【答案】C ‎【解析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数，可得原式=（−3）+9=（9−3）=6，故选C．‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值为这个数的整数位数减1，即90 000 000=，故选B.‎ ‎7.【答案】C ‎【解析】A.=2是有理数，故选项错误；B.的平方根是±2，故选项错误；C.0的相反数是0，故选项正确；D.的倒数是−2，故选项错误.故选C．‎ ‎8.【答案】3.4×10−10‎ ‎【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．即0.000 000 000 34= 3.4×10−10，故答案为：3.4×10−10．‎ ‎9.【答案】−40元.‎ ‎【解析】根据题意，知收入为正，支出为负，所以如果收入60元记作+60元，那么支出40元记作−40元.‎ ‎10.【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎11.【答案】‎ ‎【解析】原式==．‎ ‎1.【答案】A ‎【解析】根据相反数的定义知，实数−15的相反数是15，故选A.‎ ‎2.【答案】C ‎【解析】A选项中||=3，B选项中，C选项中，D选项中为负数，最小，即，故选C.‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】用科学记数法表示一个数，就是把一个数写成(其中1≤||<10，n为整数)的形式，则821亿用科学记数法表示为.‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】已知收入100元记作＋100，那么收入就记为正数，支出就记为负数，所以−80就表示支出80元，故答案选C.‎ ‎5.【答案】D ‎【解析】由数轴可以看出a0,∴ac−b,故选项错误；D.∵a−b，∴−a−c>−b−c，故选项正确.故选D.‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】∵64<79<81，∴∴n=8.故选B．‎ ‎7.【答案】A ‎【解析】∵（±4）2=16，∴根据平方根的定义知，±4是16的平方根，故选A．‎ ‎8.【答案】3‎ ‎【解析】针对有理数的乘方，二次根式化简，特殊角的三角函数值，零指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.原式=4−2+1=3.‎ ‎——代数式 ‎1．了解：整式的概念;因式分解的概念;分式的概念;二次根式的概念;单项式的概念;同类项的概念;约分、通分的概念;最简分式的概念;最简二次根式的概念;同类二次根式的概念.‎ ‎2．理解：分式的意义;整式与分式的区别,因式分解与整式乘法的区别,二次根式的意义,因式分解的方法与步骤;二次根式加、减、乘、除运算法则及混合运算顺序;整(分)式加、减、乘、除运算法则及混合运算顺序.‎ ‎3．会：比较分式与二次根式的大小;运用整式、分式、二次根式加、减、乘、除法则及简单的混合运算顺序进行正确运算;选择适合方法进行因式分解;判断出代数式是否是整式、分式、二次根式、最简二次根式;用合并同类项进行整式、分式、二次根式的化简.‎ ‎4．掌握：整式、分式、二次根式的加、减、乘、除运算法则及简单的混合运算;因式分解的三种方法.‎ ‎5．能：用合并同类项、约分、通分来化简相关的代数式;选择一种方法会进行因式分解.‎ ‎1．从考查的题型来看，涉及本知识点的问题多以填空题、选择题为主的形式考查,部分涉及本知识点以解答题形式的出现,属于中低档题.‎ ‎2．从考查内容来看,涉及本知识点主要的有整式:幂的运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)、合并同类项、整式的加减、整式的乘法法则;分式:分式的意义、分式的加减乘除化简;二次根式:二次根式的混合运算、二次根式的意义与化简;因式分解:因式分解与整式乘法的区别、选用适当的方法进行分解因式、分式的化简中运用因式分解.‎ ‎3．从考查热点来看,涉及本知识点主要有合并同类项、代数式的化简求值、因式分解、分式的意义将成为中考命题的热点.‎ 代数式（整式、因式分解、分式、二次根式）如下表:‎ 对于学习代数式归纳从以下几个方面进行：‎ ‎1．整式的概念与运算 ‎(1)单项式与多项式统称整式.‎ 观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．‎ 多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．‎ 考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独一个非0数的次数是0；‎ ‎(2)幂的运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除);单项式、多项式的加减与乘除运算 ‎①幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．‎ ‎②整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．‎ ‎2．因式分解的概念与方法步骤 ‎①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．‎ ‎②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.‎ ‎③‎ 因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．‎ 一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.‎ ‎3．分式的意义与运算 ‎（1）“0”的归纳：分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．‎ 分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．‎ ‎（2）分式的化简:将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；‎ ‎（3）分式的加减运算 通分找关键归纳：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.求最简公分母的方法是：（i）将各个分母分解因式；（ii）找各分母系数的最小公倍数；（iii）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足（ii）（iii）的因式之积即为各分式的最简公分母．‎ ‎（4）分式的乘除运算,约分找先后归纳：①分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．‎ ‎（5）分式的乘方运算,先确定幂的符号,遵守“正数的任何次幂都是正数,负数的偶数次幂是正数,负数的奇数次幂是负数”的原则.‎ ‎（6）分式的混合运算有乘方,先算乘方,再算乘除,有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．‎ ‎4．二次根式的意义及运算 ‎①非负性转化归纳：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．‎ 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．‎ ‎②二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并.‎ ‎③二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数.‎ ‎④二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．‎ ‎⑤判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．‎ ‎5．比较分式与二次根式的大小,①分式：对于同分母分式,直接比较分子即可,异分母分式通常运用约分或通分法后作比较;②二次根式：可以直接比较被开方数的大小,也可以运用平方法来比较.‎ ‎1. （2016·河南）下列计算正确的是 A．B．C．D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】选项A，根据二次根式的运算法则可得原式=，正确；选项B，根据乘方的运算法则可得原式=9，错误；选项C，不是同类项，不能合并，错误；选项D，根据积的乘方运算可得原式=，错误，故选A.‎ ‎【考点】二次根式的运算;乘方的运算；积的乘方.‎ ‎2.（2015·厦门）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】此题给出了单项式的系数和次数，但没确定单项式中含有几个字母．所以A．系数是−2，错误；B．系数是3，错误；C．次数是4，错误；D．符合系数是2，次数是3，正确.故选D．‎ ‎【考点】本题考查单项式.‎ ‎3. （2016·河北）下列运算结果为x−1的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】选项A，原式=；选项B，原式=x−1；选项C，原式=；选项D，原式=x+1，故选B.‎ ‎【考点】分式的计算．‎ ‎4. （2015·十堰）当x=1时，的值为−2，则的值为 A．− 16 B．− 8 C．8 D．16‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵当x=1时，的值为−2，∴，∴，‎ ‎∴=（−3−1）×（1+3）=−16．故选A．‎ ‎【考点】本题考查代数式求值及整体思想.‎ ‎5.（2015·昆明）使有意义的的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，要使在实数范围内有意义，必须. 故选B．‎ ‎【考点】本题考查二次根式有意义的条件.‎ ‎6. （2016·湖南娄底）函数的自变量x的取值范围是 A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x＞2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由被开方数大于等于0，分母不等于0可得x≥0且x−2≠0，即x≥0且x≠2．故选A．‎ ‎【考点】本题考查函数自变量的取值范围.‎ ‎7. （2015·广州）下列计算正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据单项式的乘法、幂的乘方和积的乘方、二次根式的减法、二次根式的乘法运算法则逐一计算作出判断：‎ A.根据“单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式”的单项式乘法法则得：，故本选项计算错误；B.根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则和“积的乘方等于每一个因数乘方的积” 的积的乘方法 则得，故本选项计算错误；C.根据“二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并”的二次根式减法法则得，故本选项计算错误；D.根据“两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根” 的二次根式乘法法则得，故本选项计算正确.故选D．‎ ‎【考点】本题考查单项式乘法、幂的乘方和积的乘方、二次根式减法、二次根式乘法.‎ ‎8.（2016·山东威海）若x2−3y−5=0，则6y−2x2−6的值为 A．4 B．−4 C．16 D．−16‎ ‎【答案】D ‎【解析】由x2−3y−5=0可得x2−3y=5，所以6y−2x2−6=−2(x2−3y)−6=−2×5−6=−16，故选D．‎ ‎【考点】本题考查代数式求值，整体思想.‎ ‎9.（2015·南京）分解因式的结果是．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎【考点】本题考查因式分解.‎ ‎10．（2015大庆）若，，则=．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，，∴，∴，∴=，故答案为．‎ ‎【考点】本题考查幂的乘方与积的乘方.‎ ‎11．（2015·牡丹江）一列单项式：，，，，…，按此规律排列，则第7个单项式为．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第7个单项式的系数为−（2×7−1）=−13，x的指数为8，所以，第7个单项式为．故答案为．‎ ‎【考点】本题考查单项式与规律型.‎ ‎12.（2015·梅州）若，,对任意自然数都成立，则=， =；计算：.‎ ‎【答案】，，‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎【考点】本题考查探索规律题（数字的变化类）.‎ ‎13.（2015·河北）若a=2，b≠0，则的值为.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式=.将a=2b代入，得 .‎ ‎【考点】本题考查分式的运算，因式分解，化简求值.‎ ‎14.（2016·湖北黄石）先化简，再求值：，其中.‎ ‎【解析】原式=.‎ 当时，原式=2017.‎ ‎【考点】本题考查分式的化简求值.‎ ‎15.（2015·梅州）已知，求代数式的值.‎ ‎【解析】当时，原式 =‎ ‎.‎ ‎【考点】本题考查求代数式的值、整体思想的应用. ‎ ‎16.（2015·广州）已知.‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）当满足不等式组，且为整数时，求的值.‎ ‎【解析】（1）.‎ ‎（2）解得；解得，‎ ‎∴的解为.‎ ‎∵为整数，∴.当时，分式无意义；当时，.‎ ‎【考点】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组、分式有意义的条件、分类讨论思想的应用.‎ ‎1.（2017届江苏省无锡市锡北片九年级下学期期中考试数学试卷）函数的自变量x的取值范围是 A．x=1 B．x≠1 C．x≥1 D．x≤1‎ ‎2.（四川省广安市岳池县2017年高中阶段教育学校招生模拟考试数学试题）下列运算中正确的是 A． B．·C． D．‎ ‎3.（2016届辽宁省盘锦市第一中学九年级第六次月考数学试卷）下列二次根式中，不能与合并的是 A． B． C． D．‎ ‎4.（2017届山西最新中考模拟示范数学试卷（二））化简：的结果是 A．2 B． C． D．‎ ‎5.（2017届重庆外国语学校中考二模数学试卷）已知a−b=3，则代数式a2−b2−6b的值为 A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎6.（2016届江西省崇仁县二中九年级下学期第一次模拟测试数学试卷）‎ A．−1 B．1 C． D．‎ ‎7.（2016届浙江省杭州第九中学九年级下学期3月阶段考试数学试卷）在实数范围内分解因式：=.‎ ‎8. （2016届江苏省无锡市第一女子中学九年级下学期第一次月考数学试卷）若与是同类项，则m+n= .‎ ‎9.（2016届江苏省无锡市第一女子中学九年级下学期第一次月考数学试卷）若分式的值为0，则x的值等于.‎ ‎10.（2016届江苏省无锡市第一女子中学九年级下学期第一次月考数学试卷）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．‎ ‎11.（2016届江苏省启东市长江中学九年级3月月考数学试卷）若(x+y)2=11，(x−y)2=7，则xy的值为．‎ ‎12.（2016届湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级第六次限时训练数学试卷）‎ ‎（1）将下列各式进行分解因式：①；②‎ ‎（2）先化简，再求值：（1−）÷（−2），其中；‎ 完成对分式的化简求值后，填空：要使该分式有意义，x的取值应满足.‎ ‎13.（2017届浙江省嘉兴市十校九年级下学期4月联合模拟数学试卷）计算：.‎ ‎14.（2016届江苏省梁丰初级中学九年级下学期中考模拟一数学试卷）先化简（1−）÷，并求当x满足x2−6=5x时该代数式的值.‎ ‎15.（2017届河南省周口市西华县中招第二次模拟考试数学试卷）先化简，再求值：÷‎ ，请从−1，0，1中选取一个合适的数作为a的值代入求值．‎ ‎1. 能说明“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是 A． B． C．D．‎ ‎2. 下列运算正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎3. 若与是同类项，则的值为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4.若，则内应该填的单项式是[来源:Zxxk.Com]‎ A． B．C．D．‎ ‎5.把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x−3)，则a，b的值分别是 A．a=2，b=3 B．a=−2，b=−3 ‎ C．a=−2，b=3 D．a=2，b=−3‎ ‎6.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A．x= B． x C．x≥ D．x≤‎ ‎7.若x、y满足，则的值等于 A． B． C． D．‎ ‎8. 观察以下等式：32−12=8，52−32=16，72−52=24，92−72=32，…由以上规律可以得出第n个等式为　　．‎ ‎9.分解因式：=. ‎ ‎10.若ab=2，a−b=−1，则代数式a2b−ab2的值等于．‎ ‎11.如果分式的值为0，那么x的值为　　．[来源:学_科_网]‎ ‎12. 计算：=．‎ ‎13. 化简.‎ ‎14.先化简，再求值：，其中，.‎ ‎1.【答案】C ‎【解析】∵函数有意义,∴x−1≥0,∴x≥1.故选C.‎ ‎2.【答案】C ‎【解析】A选项，故A是错误的；B选项：·，故B是错误的；D选项：，故D是错误的.故选C.‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】A.与是被开方数相同的二次根式，能够与进行合并，故本选项不符合题意；‎ B.与是被开方数相同的二次根式，能够与进行合并，故本选项不符合题意；‎ C.与不是被开方数相同的二次根式，不能与进行合并，故本选项符合题意；‎ D.与是被开方数相同的二次根式，能够与进行合并，故本选项不符合题意；‎ 故选C．‎ ‎4.【答案】B ‎【解析】=（−）•（x−3）=•（x−3）−•（x−3）=1−=．故选B．‎ ‎5.【答案】C ‎【解析】由a−b=3，得a=b+3，则原式=（b+3）2−b2−6b=b2+6b+9−b2−6b=9．故选C．‎ ‎6.【答案】D ‎【解析】.故选D．‎ ‎7.【答案】‎ ‎【解析】首先利用完全平方公式进行因式分解，然后利用平方差公式进行因式分解即原式==.‎ ‎8.【答案】－1‎ ‎【解析】根据同类项的定义可得m=2，n+7=4，解得m=2，n=−3，则m+n=−1.‎ ‎9.【答案】3‎ ‎【解析】若分式的值为零，则说明分式的分子为零，分母不为零.根据题意得：−9=0且x+3≠0，解得x=3，故答案为3.‎ ‎10.【答案】x≥−‎ ‎【解析】二次根式要有意义，则必须满足被开方数为非负数，即2x+1≥0.解得x≥−.‎ ‎11.【答案】1‎ ‎【解析】因为(x+y)2=11，(x−y)2=7，所以−=4xy=11−7，即4xy=4，则xy=1.‎ ‎12.【解析】（1）①；②.‎ ‎（2）（1−）（−2）==×=.‎ 将代入得原式=3.要使该分式有意义，x的取值应满足x≠0且x≠1且x≠2.‎ ‎13.【解析】原式=.‎ ‎14.【解析】原式=.解方程x2−6=5x得x1=6，x2=−1.∵当x=−1时，分式无意义,∴当x=6时，原式=.‎ ‎15.【解析】原式＝÷＝·＝．‎ ‎∵当a取±1时，原式无意义，‎ ‎∴当a＝0时，∴原式＝＝−1.‎ ‎1.【答案】A ‎【解析】把选项A代入可得，即2＞2，错误，其他三个选项代入都成立，故选A.‎ ‎2.【答案】A ‎【解析】A.，故本选项正确；B.，故本选项错误；C.和不是同类项，不可以合并，故本选项错误；D.，故本选项错误.故选A．‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】∵与是同类项，∴.故选C．‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】由，得 =故选C.‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】根据多项式乘以多项式的法则可得(x+1)(x−3)=x•x−x•3+1•x−1×3=x2−3x+x−3=x2−2x−3，对比系数可以得到a=−2，b=−3．故选B．‎ ‎6.【答案】C ‎【解析】由题意，得5x−3≥0，解得x≥，故选C．‎ ‎7.【答案】B ‎【解析】∵，∴.∴.故选B．‎ ‎8.【答案】（2n+1）2−（2n−1）2=8n　‎ ‎【解析】通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8的倍数，第n个等式为（2n+1）2−（2n−1）2=8n．‎ ‎9.【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎10.【答案】−2‎ ‎【解析】∵ab=2，a−b=−1，∴a2b−ab2=ab（a−b）=2×（−1）=−2．‎ ‎11.【答案】4‎ ‎【解析】根据题意，得若分式的值为0，则x−4=0且x+2≠0，解得x=4，故填4.‎ ‎12.【答案】2‎ ‎【解析】原式=．‎ ‎13.【解析】原式=.‎ ‎14.【解析】，‎ 当，时，原式=.‎ ‎——一次方程（组）‎ ‎1．了解：方程及其解的概念;一元一次方程及其解的概念;二元一次方程及其解的概念;二元一次方程组的概念.‎ ‎2．理解：解一元一次方程的步骤；列一元一次方程解应用题的一般步骤;二元一次方程（组）的解法,二元一次方程（组）的应用.‎ ‎3．会：识别一个数是不是方程的解;解一元一次方程;列一元一次方程解应用题;识别一组数是不是二元一次方程的解;二元一次方程组的概念并会判断;选择适当的方法解二元一次方程组.‎ ‎4．掌握：解一次方程（组）的解法;列一元一次方程（组）解应用题的一般步骤;‎ ‎5．能：灵活解出二次一次方程组;由实际问题抽象出一元一次方程或一次方程组.‎ ‎1．从考查的题型来看，填空题或选择题、解答题的形式都有考查,一般情况三种形式选择其一,不同时存在一套试题,占比分相当大,难度属于中档题较多.‎ ‎2．从考查内容来看,由实际问题抽象出一次方程组为主要考查，其次考查列一次方程组、判断一次方程（组）的解、解一次方程组.‎ ‎3．从考查热点来看,涉及本知识点的有:二次一次方程组的解法,由实际问题列出二次一次方程组,由二元一次方程组的解求有关问题等比较受命题者的关注.‎ ‎1．一次方程的概念 ‎（1）判断一个方程是否是一元一次方程的方法：①方程的两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高指数是1.‎ ‎（2）二元一次方程的识别：①方程的两边都是整式；②含有两个未知数；③每个未知数的最高指数都是1.‎ ‎2．一次方程（组）的解法 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．‎ 方法归纳：根据解一元一次方程的五步法计算即可（有时个别步骤可以省略）．除数不能是零；解方程去分母时应该每项都乘；去括号时注意括号前是“−”号时每一项应该变号．‎ 解一元二次方程组的方法:代入法与加减法.‎ 方法归纳：解一元二次方程组的方法关键是消元.当一个未知数能很好的表示出另一个未知数时，一般采用代入法；当两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不相等或互为相反数时，一般采用加减消元法．根据题意选择适当的方法快速求解．‎ ‎3．列一次方程（组）解应用题的一般步骤简化：‎ ‎（1）审题;（2）设未知数;（3）列方程（组）;（4）解方程（组）;（5）检验;（6）写出答案．‎ 解应用题的书写格式：设→根据题意列方程（组）→解这个方程（组）→答．‎ ‎1．（2016·宁夏）已知x，y满足方程组，则x+y的值为 A.9 B.7 C.5 D.3‎ ‎【答案】C ‎【解析】方程组两方程相加求出x+y的值即可．，①+②得：4x+4y=20，则x+y=5.‎ ‎【考点】二元一次方程组的解.‎ ‎2．（2016·海南）若代数式x+2的值为1，则x等于 A.1 B.−1 C.3 D.−3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知x+2=1，解得x=−1，故选B.‎ ‎【考点】一元一次方程.‎ ‎3．（2016·山东临沂）为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是 A.　　 B.　 C.　 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：，故选D．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．‎ ‎4．（2015·淄博）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 ‎ A.4 B.2 C. D. ±2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，解得，则，4的算术平方根为2.故选B.‎ ‎【考点】本题考查二元一次方程组的解法及算术平方根的概念.‎ ‎5．(2016·湖南永州)方程组的解是　　　　　　．‎ ‎【答案】x=2，y=0.‎ ‎【解析】由①得：x=2−2y③，‎ 将③代入②，得：2（2−2y）+y=4，解得：y=0，‎ 将y=0代入③，得：x=2，‎ 所以方程组的解为x=2，y=0.‎ ‎【考点】二元一次方程组的解法.‎ ‎6．（2015·枣庄）已知a，b满足方程组，则2a+b的值为　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解方程组得，所以2a+b =.‎ ‎【考点】本题考查二元一次方程组的解法.‎ ‎7．(2015·朝阳）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．例如：方女士家5月份用电500度，电费=180×0.6+220×二档电价+100×三档电价=352元；李先生家5月份用电460度，缴费316元，请问表中二档电价、三档电价各是多少？‎ ‎【解析】设二档电价是元/度，三档电价是元/度，根据题意得，解得.‎ 故二档电价是0.7元/度，三档电价是0.9元/度.‎ ‎【考点】本题考查二元一次方程组的实际应用.‎ ‎1．（2017届广西省桂林市中考三模数学试卷）方程2x+1=3的解是 A.x=−1 B.x=1 C.x=2 D.x=−2‎ ‎2．（2017届广东省深大附中等五校九年级下学期第一次联考数学试卷）为了开展阳光体育活动，丰富同学们的课余生活，体育委员欧阳锋到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，欧阳锋一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得 A. B.‎ C. D.‎ ‎3．（2016届浙江省温州龙港镇二中九年级下学期学科素养测试数学试卷）方程组的实数解的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎4．（2016届江苏省盐城市毓龙路实验学校九年级下第一次调研数学试卷）请写出一个以x=1，y=2为解的二元一次方程．‎ ‎5．（2016届江西省高安市九年级下学期第一次模拟考试数学试卷）在计算器上，有很多按键，有的是运算符号键，有的是数字键，按照下面的程序进行操作：‎ 上面操作程序中所按的第三个运算符号键和第四个数字键应是．‎ ‎6．（2017届浙江省杭州市启正中学九年级3月教学质量检测（模拟）数学试卷）甲、乙两人从A,B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1小时乙达到A地.若设甲每小时行驶x千米，则可列方程为________.‎ ‎7．（2016届江苏省盐城市东台市第六教研片九年级下学期第一次月考数学试卷）（1）计算：；‎ ‎（2）解方程组．‎ ‎8．（四川省简阳市2017届九年级下学期期中考试数学试题）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品共用了160元.‎ ‎（1）求A，B两种商品每件多少元？‎ ‎（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？‎ ‎1．方程3x+2(1x)=4的解是 A.x= B.x= C.x=2 D.x=1‎ ‎2．如果与是同类项，则 A. B. C. D ‎3．若是关于x的方程的解，则=.‎ ‎4．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是32 cm，则小长方形的面积是cm2．‎ ‎5．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？‎ ‎1.【答案】B ‎【解析】移项，得2x=3−1，合并同类项，得2x=2，系数化为1，得x=1．故选B．‎ ‎2.【答案】A ‎【解析】根据题意可知：两个等量关系，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，欧阳锋一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，然后可列方程组为：.故选A.‎ ‎3.【答案】A ‎【解析】当x＞0，y＞0时，方程组为，解得；当x＞0，y＜0时，方程组为，解得；当x＜0，y＜0时，方程组为，解得；当x ‎＜0，y＞0时，方程组为，解得.都符合题意，所以原方程组有4组解，故选A.‎ ‎4.【答案】x+y=3‎ ‎【解析】本题答案不唯一，只要写出的二元一次方程的解为x=1，y=2即可，如x+y=3．‎ ‎5.【答案】+、1‎ ‎【解析】设y=kx+b，把，；x=0，y=1代入得，解得，则y=3x+1．‎ 所以第三个运算符号键和第四个数字键应是+、1．‎ ‎6.【答案】‎ ‎【解析】根据题意得：.‎ ‎7. 【解析】（1）原式=. ‎ ‎（2），①×2+②×3得11x=22，即x=2，‎ 把x=2代入①得y=.‎ 则方程组的解为．‎ ‎8.【解析】（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，‎ 依题意，得，解得．‎ 答：A商品每件20元，B商品每件50元．‎ ‎（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10−a）件,依题意得，‎ 解得，‎ 根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．‎ 方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10−5）=350元；‎ 方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10−6）=320元.‎ ‎∵350＞320，‎ ‎∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．‎ 答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．‎ ‎1.【答案】C ‎【解析】去括号，得，移项，合并同类项得.故选C.‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】同类项是指所含字母完全相同，且相同字母的指数也完全相同的单项式．根据定义可得，解得．‎ ‎3.【答案】1‎ ‎【解析】将x=－2代入方程中，得－6+4=－1－m，解得m=1.‎ ‎4.【答案】12‎ ‎【解析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，则根据题意可得，解得，则小长方形的面积为6×2=12 ．‎ ‎5.【答案】中型汽车20辆，小型汽车30辆.‎ ‎【解析】设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，根据题意，得，解得.‎ 答：中型汽车20辆，小型汽车30辆.‎ 新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。 —— 华罗庚 在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。—— 拉普拉斯 数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。‎ ‎—— 冯纽曼 第一是数学，第二是数学，第三是数学。—— 伦琴 历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。—— 培根 我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。 —— 纳皮尔 数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。—— 努瓦列斯 ‎——一元一次不等式（组）‎ ‎1．了解：不等式的概念；不等式的解（集）；一元一次不等式（组）的概念；‎ ‎2．理解：不等式的基本性质及其应用；一元一次不等式（组）的解法 ‎3．会：识别不等式；识别一个数是不是不等式的解（集）并会在数轴上表示；识别一元一次不等式（组）；会解一元一次不等式（组）,并会表示解集.‎ ‎4．掌握：不等式基本性质及其应用；一元一次不等式（组）的解法.‎ ‎5．能：应用性质进行恒等变形；由实际问题抽象出不等式（组）.‎ ‎1．从考查的题型来看，填空题或选择题以中低档型出现,解答题以中档型出现;三种题型必考其一.解答题占的分值在8分~10分之间,以应用题考查为主.‎ ‎2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有不等式的基本性质；解一元一次不等式（组）,并会表示解集;一元一次不等式（组）的应用.‎ ‎3．从考查热点来看,涉及本知识点的有：不等式的基本性质；解一元一次不等式（组）,解集在数轴上表示；一元一次不等式（组）的应用.‎ ‎1．不等式的有关概念：用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数 的值叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的集合叫做不等式的解集.求一个不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.‎ ‎2．不等式基本性质 ‎（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．‎ ‎（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．‎ ‎（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．‎ 方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．‎ ‎3．一元一次不等式（组）的解法 ‎（1）解一元一次不等式的步骤 ‎①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．‎ ‎（2）一元一次不等式组的解法 i）分别求出不等式组中各个不等式的解集;‎ ii）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．‎ iii）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）‎ 的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；‎ 的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”.‎ ‎4．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤 ‎（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系；‎ ‎（2）设未知数，一般求什么就设什么，但有时也可以间接设未知数；‎ ‎（3）列一元一次不等式（组）；　　‎ ‎（4）解一元一次不等式（组）；‎ ‎（5）检验，看解集是否符合题意；‎ ‎（6）写出答案．‎ 解应用题的书写格式：设→根据题意列不等式（组）→解不等式（组）→答．‎ ‎1．（2016·吉林长春）不等式组的解集在数轴上表示正确的是 A.　　　　 B.‎ C.　　　　 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】，由①得，x＞−2，由②得，x≤3，故不等式组的解集为：−2＜x≤3，在数轴上表示为：．故选C．‎ ‎【考点】1．解一元一次不等式组；2．在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎2．(2016·四川巴中)不等式组的最大整数解为 A.1 B.−3 C.0 D.−1‎ ‎【答案】C ‎【解析】解不等式3x−1＜x+1，得：x＜1，解不等式2（2x−1）≤5x+1，得：x≥−3，则不等式组的解集为：−3≤x＜1，则不等式组的最大整数解为0，故选C．‎ ‎【考点】本题考查一元一次不等式组的解法.‎ ‎3．（2016·陕西）不等式的解集是　　　．‎ ‎【答案】x＞6‎ ‎【解析】移项，得，系数化为1得x＞6．‎ 故答案为：x＞6．‎ ‎【考点】本题考查一元一次不等式的解法.‎ ‎4．（2015·重庆）从这五个数中随机抽取一个数记为，的值既是不等式组的解，又在函数的自变量的取值范围内的概率是.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由不等式组，解得.又由函数，得，所以，则所求概率是. ‎ ‎【考点】本题考查一元一次不等式组的解法及概率的求解.‎ ‎5． (2015·安徽)解不等式：＞1－．‎ ‎【解析】原不等式即，即，解得.‎ ‎【考点】本题考查一元一次不等式的解法.‎ ‎6．（2015·大庆）解关于x的不等式．‎ ‎【解析】变形得，‎ 当时，；当时，无解；当时，.‎ ‎【考点】本题考查一元一次不等式的解法.‎ ‎7． (2015·宁夏)某校在开展 “校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个.‎ ‎（1）原计划募捐3 400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？‎ ‎（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4 800元，如果至少购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？‎ ‎【解析】（1）设原计划买男款书包个，则买女款书包个.‎ 根据题意得，解得，∴ 60=20.‎ 故原计划买男款书包40个，买女款书包20个．‎ ‎（2）设能买女款书包个，则可买男款书包个，由题意，得≤4 800，‎ 解得≤40.∴最多能买女款书包40个.‎ ‎【考点】本题考查一元一次不等式的实际应用.‎ ‎8．(2016·北京)解不等式组：．‎ ‎【答案】1＜x＜8‎ ‎【解析】解不等式2x+5＞3（x−1），得：x＜8，解不等式，得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x＜8．‎ ‎【考点】本题考查一元一次不等式组的解法.‎ ‎1．（2017届浙江永嘉县岩头镇中学初三上第一次月考数学卷）不等式的解在数轴上表示为 ‎2．（2017届福建泉州晋江市中考二模数学试卷）如图，数轴上表示的是某一不等式组的解集，则这个不等式组可能是 A. B. C. D.‎ ‎3．（2017届河南安阳滑县中考二模数学试卷）若不等式组的解集为−1＜x＜1，则（a−3）（b+3）的值为 A.1 B.−1 C.2 D.−2‎ ‎4．（2016届江苏省盐城市东台实验中学九年级下学期第一次月考数学试卷）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 A. B. C. D.‎ ‎5．（2016届江苏省泰州市泰兴市济川中学九年级下学期第一次月考数学试卷）若不等式组的解集是，则a的取值范围是．‎ ‎6．（2016届重庆市江津中学校九年级下学期第一阶段考试数学试卷）在不透明的口袋中，有五个分别标有数字，，，1，3的完全相同的小球，现从口袋中任取一个小球，将该小球上的数字记为m，把数字m加1记为n，代入关于x的一元一次不等式中，则此一元一次不等式有正整数解的概率是.‎ ‎7．（2016届浙江省绍兴市新昌县回山中学九年级下学期3月月考数学试卷）（1）计算：；‎ ‎（2）解不等式：3x5≤2（x+2）.‎ ‎8．（2016届江苏省盐城市东台市一教九年级下学期第一次月考数学试卷）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．‎ ‎9．（四川省丹棱县2017年第一次诊断性考试数学试卷）某校九年级举行“做创新型青年”的演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品．经过了解得知，该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买这两种笔记本共30本．‎ ‎（1）如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本？‎ ‎（2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的，如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费W元．‎ ‎①请写出W (元)关于n (本)的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；‎ ‎②请你帮他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时花费是多少元？‎ ‎1．不等式3（x−1）≤5−x的非负整数解有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎2．三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是 A.39　　　　　　 B.36　　　　　　 C.35　　　　　　 D.34‎ ‎3．不等式组的解集为3≤x≤6，则不等式ax+b＜0的解集为．‎ ‎4．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（ab）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（25）+1=2×（3）+1=5，那么不等式3⊕x＜13的解集为．‎ ‎5．某校暑假准备组织该校的“三好学生”参加夏令营，由1名老师带队．‎ 甲旅行社说：“若老师买全票一张，则学生可享受半价优惠．”‎ 乙旅行社说：“包括老师在内都6折优惠.”‎ 若全票价是1 200元，则：‎ ‎（1）设三好学生的人数为x，则参加甲旅行社的费用是元；参加乙旅行社的费用是元．‎ ‎（2）当学生人数取何值时，选择参加甲旅行社比较合算？‎ ‎1.【答案】C ‎【解析】根据不等式的解法可得：x3，则在数轴上正确的表示方法为C.‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】∵，∴这个不等式组的解集为：−1＜x≤2，‎ A.解不等式组得：x＞1，故本选项错误；B.解不等式组得：−2＜x≤1，故本选项错误；C.解不等式组得：−1≤x＜2，故本选项错误；D.解不等式组得：−1＜x≤2，故本选项正确．故选D．‎ ‎3.【答案】D ‎【解析】解不等式2x−a＜1，得：x＜，解不等式x−2b＞3，得：x＞2b+3，∵不等式组的解集为−1＜x＜1，∴，解得：a=1，b=−2，当a=1，b=−2时，（a−3）（b+3）=−2×1=−2，故选D．‎ ‎4.【答案】B ‎【解析】∵一次函数y=kx+b的图象经过点（3，0），∴3k+b=0，∴b=3k．将b=3k代入，得，去括号得kx4k+6k＞0，移项、合并同类项得kx＞2k.∵函数值y随x的增大而减小，∴k＜0.将不等式kx＞2k两边同时除以k，得x＜2．故选B．‎ ‎5.【答案】‎ ‎【解析】由的解集是，得，则a的取值范围是.‎ ‎6.【答案】‎ ‎【解析】根据题意，可得m=，，，1，3，此时n=，，0，2，4.当m=，n=时，不等式是，所以x＜-；当m=，n=时，不等式是，所以x＜；当m=，n=0时，不等式是，所以x＜；当m=1，n=2时，不等式是，所以x＞5；当m=3，n=4时，不等式是，所以x＞‎ ‎，所以共有5种情况，其中有2种情况符合题意，所以一元一次不等式有正整数解的概率是.‎ ‎7.【解析】（1）原式=；‎ ‎（2）去括号得3x5≤2x+4，移项、合并同类项得x≤9．‎ ‎8.【解析】原式===，‎ 解不等式组，得，则1≤x≤3，又∵x为整数，∴x=1，2，3，又∵x≠1且x≠3，∴x=2，当x=2时，=1，即.‎ ‎9.【解析】（1）设能买A种笔记本x本，则能买B种笔记本（30−x）本，‎ 根据题意，得 12x+8（30−x）=300，解得：x=15，∴30−x=15.‎ 答：如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各15本．‎ ‎（2）①由题意，得：，解得，n为整数.‎ ‎∴（，n为整数）.‎ ‎②∵＞0. ∴随的增大而增大，当取最小值时，花费最少．‎ ‎∴当n=8本时,W最小=4×8+240=272元.‎ ‎1.【答案】C ‎【解析】解不等式得：3x−3≤5−x，4x≤8，x≤2，所以不等式的非负整数解有0、1、2这3个，故答案选C．‎ ‎2.【答案】B ‎【解析】设三个连续正整数分别为x−1，x，x+1．由题意得（x−1）+x+（x+1）＜39，∴x＜13，∵x为整数，∴x=12时，三个连续整数的和最大，三个连续整数的和为：11+12+13=36．故选B．‎ ‎3.【答案】x＞1‎ ‎【解析】，由①得，由②得，∵解集为3≤x≤6，∴=3，=6，‎ 解得b=6，a=.把b=6，a=代入ax+b＜0可得x+6＜0，解得x＞1.‎ ‎4.【答案】x＞1‎ ‎【解析】3⊕x＜13，即3（3x）+1＜13，解得x＞1．‎ ‎5.【解析】（1）设三好学生的人数为x，‎ 由题意得，参加甲旅行社的费用是1 200+1 200×0.5×x =1 200+600x；‎ 参加乙旅行社的费用是1 200×0.6×（x+1）=720（x+1）．‎ ‎（2）由题意得1 200+600x720（x+1）＜0，解得x＞4.‎ 即当学生多于4人时，选择参加甲旅行社比较合算．‎ ‎——一元二次方程与分式方程 ‎1．了解：一元二次方程的概念；一元二次方程的解；分式方程的概念.‎ ‎2．理解：一元二次方程的解法；根的判别式；分式方程的增根.‎ ‎3．会：识别一元二次方程；识别一个数是不是一元二次方程的解；判断一元二次方程根的情况；根与系数的关系;识别分式方程；识别分式方程的增根；解分式方程.‎ ‎4．掌握：由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的应用；分式方程的解法及其应用.‎ ‎5．能：灵活选择适当的方法解一元二次方程；由实际问题抽象出分式方程.‎ ‎1．从考查的题型来看，主要以解答题为主，占的分值比较大,属于中档题,少数题目以填空题或选择题的形式考查.属于中档题.‎ ‎2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有：一元二次方程的定义及解法；根的判别式；根与系数的关系；分式方程与一元二次方程的实际应用 ‎3．从考查热点来看,涉及本知识点的有:分式方程的增根问题;根与系数的关系;分式方程与一元二次方程的解法及其实际应用.‎ ‎1．一元二次方程 ‎（1）判断方程是否是一元二次方程的方法：一元二次方程必须具备三个条件①必须是整式方程；②必须只含有1个未知数；③所含未知数的最高次数是2．（‎ 在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）‎ ‎（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 当给出一个一元二次方程时，如何选取上述方法更快更好的解方程：‎ i）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解；‎ ii）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；‎ iii）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数或常数项非常大,可考虑用配方法求解；‎ iiii）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．‎ ‎（3）一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：‎ i）b2−4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ii）b2−4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ iii）b2−4ac<0⇔方程没有实数根．‎ 温馨提示：若只是判断方程解的情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．‎ 应用一元二次方程的根的判别式时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根．‎ ‎（4）一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝，x1·x2＝．‎ ‎2．分式方程 分式方程的一般解法是：‎ ‎（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 ‎（2）解所得的整式方程 ‎（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根（增根的判别方法：i）这个数是化成的整式方程的根；ii）使最简公分母为零），应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．‎ 注意事项：解分式方程首先是将方程转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．‎ ‎3．用分式方程与一元二次方程解应用题的一般步骤 ‎（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．‎ ‎（2）设未知数，一般求什么就设什么，但有时也可以间接设未知数．‎ ‎（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．‎ ‎（4）解方程．‎ ‎（5）检验，看方程的解是否符合题意．‎ ‎（6）写出答案．‎ 解应用题的书写格式：设→根据题意列方程→解这个方程→答．‎ ‎1．（2016·福建莆田）关于x的一元二次方程的根的情况是 A.没有实数根　　　　　　 　　　 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根　　　　　　　　 D.有两个不相等的实数根 ‎【答案】D ‎【解析】∵△=＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D．‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式．‎ ‎2．(2016·海南)解分式方程+1=0，正确的结果是 A.x=0 B.x=1 C.x=2 D.无解 ‎【答案】A ‎【解析】+1=0，1+x−1=0，x=0，经检验：x=0是原方程的根，故选A.‎ ‎【考点】解分式方程.‎ ‎3．（2016·山东泰安）当x满足时，方程−2x−5=0的根是 A.1± B.−1 C.1− D.1+‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定x的值．‎ 由，解得：2＜x＜6，∵方程−2x−5=0，∴x=1±，∵2＜x＜6，∴x=1+．‎ ‎【考点】一元一次不等式；一元二次方程的解.‎ ‎4．（2016·河北）在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，3x的倒数比8x的倒数大5，故选B.‎ ‎【考点】本题考查分式方程的实际应用.‎ ‎5．(2015·北京)关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值a＝____，b＝____.‎ ‎【答案】1 1 注：满足b2＝a，a≠0即可，答案不唯一 ‎【解析】当一元二次方程的系数满足（1）>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）=0时，方程有两个相等的实数根；（3）<0时，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式可得出a，b满足，且a≠0即可.‎ ‎【考点】本题考查一元二次方程根的判别式.‎ ‎6．（2015·四川自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用长58 m的篱笆围成一个面积为 ‎200 m2的矩形场地.求矩形的长和宽.‎ ‎【解析】设垂直于墙的一边长为m，得，‎ 解得.‎ ‎∴另一边长为8 m或50 m.‎ 答：当矩形的长为25 m时，宽是8 m；当矩形的长为50 m时，宽为4 m.‎ ‎【考点】本题考查一元二次方程的实际应用.‎ ‎7．(2015·陕西)解分式方程：.‎ ‎【解析】去分母，得，去括号，得，‎ 移项，合并同类项，得，化的系数为1，得，经检验，是原方程的解，‎ ‎∴原方程的解为.‎ ‎【考点】本题考查分式方程的解法.‎ ‎8．(2015·北京)为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底，全市将有租赁点多少个?‎ ‎【解析】设2015年底全市租赁点有x个，根据题意列方程得，则x＝1 000.‎ 经检验：x＝1 000是原方程的解，且符合实际情况.‎ 答：预计到2015年底，全市将有租赁点1 000个.‎ ‎【考点】本题考查分式方程的实际应用.‎ ‎9．（2016·湖北十堰）已知关于x的方程（x−3）（x−2）−p2=0．‎ ‎（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数p的值．‎ ‎【解析】（1）证明：（x−3）（x−2）−p2=0，即x2−5x+6−p2=0，‎ ‎△=（−5）2−4×1×（6−p2）=25−24+4p2=1+4p2，‎ ‎∵无论p取何值时，总有4p2≥0，‎ ‎∴1+4p2＞0，‎ ‎∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）x1+x2=5，x1x2=6−p2，‎ ‎∵，‎ ‎∴（x1+x2）2−2x1x2=3x1x2，‎ ‎∴52=5（6−p2），‎ ‎∴p=±1．‎ ‎【考点】根的判别式；根与系的关系．‎ ‎1．（2017届重庆外国语学校中考二模数学试卷）分式方程=的解是 A.x=3 B.x=−1 C.x=1 D.x=−3‎ ‎2．（2016-2017学年湖南娄底娄星区九年级上期末数学试卷）已知函数y=kx+b 的图象如图所示，则一元二次方程+x+k−1=0根的存在情况是 A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 ‎3．（2017届广西省桂林市中考三模数学试卷）小明、小亮同时为校园文化艺术节制作彩旗，已知小明每小时比小亮多做5面彩旗，小明做60面彩旗与小亮做50面彩旗所用时间相同，问小明每小时做多少面彩旗？若设小明每小时做x面彩旗，则下列方程符合题意的是 A. B.‎ C. D.‎ ‎4．（2016届湖南省衡阳市逸夫中学九年级上学期期末数学试卷）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于 A.1 B.2 C.1或2 D.0‎ ‎5．（2016届四川省乐山市市中区九年级上学期期末数学试卷）股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是．‎ ‎6．（2016届江苏省盐城市东台市一教九年级下学期第一次月考数学试卷）如果是分式方程的增根，则=．‎ ‎7．（2016届江西省高安市九年级下学期第一次模拟考试数学试卷）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是.‎ ‎8．（2016届辽宁省大石桥市水源二中九年级11月学科竞赛数学试卷）有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使关于的分式方程有正整数解的概率为．‎ ‎9．（2016届山西省大同一中九年级下第三次考试数学试卷）解方程：.‎ ‎10．（2016届江苏省盐城市滨海县八巨中学九年级下学期开学数学试卷）解方程：‎ ‎（1）； （2）．‎ ‎11．（2016届云南省盐津县豆沙中学九年级下学期第一次月考数学试卷）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：‎ 信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；‎ 信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元．‎ 根据以上信息，原来报名参加的学生有多少人？‎ ‎12．（广东省广州市黄埔区2017年初中毕业班综合测试数学试题）已知关于x的方程mxx=0（m为常数）．‎ ‎（1）求证：方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）设，是方程的两个实数根，且+=6．请求出方程的这两个实数根．‎ ‎1．已知关于x的方程有一个根为−2，则另一个根为 A．5 B．−1 C．2 D．−5‎ ‎2．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式，若，则=．‎ ‎3．解分式方程：（1）；（2）. ‎ ‎4．已知关于的一元二次方程．‎ ‎（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求实数的值．‎ ‎5．早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．‎ ‎（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；‎ ‎（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？‎ ‎1.【答案】D ‎【解析】去分母得，3（x+1）=2x，去括号得，3x+3=2x，移项得，x=−3，检验：把x=−3代入x（x+1）=−3×（−3+1）=6≠0，∴x=−3是原方程的解，故选D．‎ ‎2.【答案】C ‎【解析】先根据函数y=kx+b的图象可得，k＜0，b＜0，再根据一元二次方程+x+k−1=0中，△=−4×1×（k−1）=5−4k＞0，可知一元二次方程+x+k−1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根.故选C．‎ ‎3.【答案】A ‎【解析】设小明每小时做x面彩旗，根据题意利用小明做60面彩旗与小亮做50面彩旗所用时间相同得出等式，．故选A．‎ ‎4.【答案】B ‎【解析】∵关于的一元二次方程的常数项为0，‎ ‎∴，解得=2．故选B．‎ ‎5.【答案】‎ ‎【解析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，设这两天此股票股价的平均增长率为，每天相对于前一天上涨到1+，由此列方程得 ‎．‎ ‎6.【答案】3‎ ‎【解析】将分式方程去分母得，由题意知分式方程 有增根，把=代入，可得，解得.‎ ‎7.【答案】3‎ ‎【解析】由判别式大于零，得，解得．∵，即，∴．又，，∴，解得．‎ ‎∵，∴舍去．故．‎ ‎8.【答案】‎ ‎【解析】解分式方程得，∵为正整数，∴=1或=2（是增根，舍去），解得=0，把的值代入方程，解方程得到方程的根为1，∴能使分式方程有正整数解的有1个，∴使关于的分式方程有正整数解的概率为．‎ ‎9.【解析】方程两边同乘以，得，即，则. ‎ 经检验不是原方程的解，则无实数解．‎ ‎10.【解析】（1），即，即，则，‎ ‎∴.‎ ‎（2），即，则或，解得.‎ ‎11.【解析】设原来报名参加的学生有人，依题意，得，解得=20．‎ 经检验，=20是原方程的解且符合题意．‎ 答：原来报名参加的学生有20人．‎ ‎12.【解析】（1）方程变形为，‎ ‎∵，‎ ‎∴关于x的方程有两个不相等的实数根.‎ ‎（2）∵+=6，∴=6，，‎ 此时方程变为，解这个方程得，.‎ ‎1.【答案】B ‎【解析】设方程的另一个根为b，根据一元二次方程根与系数的关系可得−2+b=−3，解得b=−1，故选B.‎ ‎2.【答案】或2‎ ‎【解析】利用新定义得，即，解得.‎ ‎3.【解析】（1）方程两边同时乘以得，即，解得，检验：当时，，∴不是原方程的解，∴原方程无解.‎ ‎（2）方程两边同时乘以得，解得，检验：当时，，‎ ‎∴是原方程的解．‎ ‎4.【解析】（1）∵关于的一元二次方程有实数根，∴≥0，即，解得.‎ ‎（2）由题意得，＞0，∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，，∵，∴．‎ ‎5.【解析】（1）设小明步行的速度是x米/分，由题意得：，解得：x=60，经检验：x=60是原分式方程的解.‎ 答：小明步行的速度是60米/分；‎ ‎（2）小明家与图书馆之间的路程是y米，根据题意可得：，解得：y600.‎ 答：小明家与图书馆之间的路程最多是600米.‎ 数学是各式各样的证明技巧。—— 维特根斯坦 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，‎ 无处不用数学。 —— 华罗庚