中考一轮复习专题37相似三角形一含答案 5页

‎15.相似三角形（一）‎ 知识考点：‎ 本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。‎ 精典例题：‎ ‎【例1】如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，过O作AO的垂线交AB于D。求证：△OBD∽△CBO。‎ 分析：此题不易得到边的比例关系，但O点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。‎ 由角平分线及三角形内角和定理知：∠1＋∠2＋∠DAO＝900，再由AO⊥DO可得∠5＝∠1＋∠2，而∠5＝∠3＋∠4，从而∠1＋∠2＝∠3＋∠4，由∠1＝∠3可得∠2＝∠4，于是结论得证。‎ ‎ ‎ 变式1：已知如图，在△ABC中，AD＝AE，AO⊥DE于O，DE交AB于D，交AC于E，BO平分∠ABC。求证：。‎ 变式2：已知如图（同变式1图），在△ABC中，O为两内角平分线的交点，过点O作直线交AB于D，交AC于E，且AD＝AE。‎ 求证：（1）△BDO∽△OEC；（2）。‎ ‎【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝900，AD⊥BC于D，E为AC中点，DE交BA的延长线于F。求证：AB∶AC＝BF∶DF。‎ 分析：由于△ABC和△FBD一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。‎ 证明：∵AB⊥AC，AD⊥BC ‎ ∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∠DAC＝∠B ‎ ∴………①‎ ‎ 又∵AD⊥BC，E为AC中点 ‎ ∴DE＝AE，∠DAE＝∠ADE ‎ ∴∠B＝∠ADE ‎ 又∵∠F＝∠F ‎ ∴△FAD∽△FDB ‎ ∴………②‎ ‎ 由①②得 变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？‎ ‎ ‎ ‎【例3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD于E，且BC＝BD，对角线AC、BD相交于G，AC、BE相交于F。求证：。‎ 分析：由于FG、FA、FC三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得BE是DC的垂直平分线，于是连结FD得FD＝FC，再证△FDG∽△FAD即可。‎ 探索与创新：‎ ‎【问题一】如图，∠ACB＝∠ADC＝900，AC＝，AD＝2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？‎ 略解：∵AC＝，AD＝2‎ ‎ ∴CD＝‎ 要使这两个直角三角形相似，有两种情况：‎ ‎（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有 ‎ ∴‎ ‎（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有 ‎ ∴‎ ‎ 故当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似。‎ ‎【问题二】已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ＝，是否存在这样的实数，使得Q、C、P为顶点的三角形与△‎ ADP相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。‎ 略解：假设存在满足条件的实数，则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝900，由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得：‎ 或 由此解得：CQ＝1或CQ＝，从而或 故当或时，△ADP与△QCP。‎ 跟踪训练：‎ 一、填空题：‎ ‎1、如图，在△ABC中，P是边AB上一点，连结CP，使△ACP∽△ABC的条件是 。‎ ‎2、在直角坐标系中，已知A（－3，0）、B（0，－4）、C（0，1），过C点作直线交 轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线有 条。‎ ‎3、如图，在△ABC中，∠C＝900，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 。‎ ‎ ‎ ‎4、一个钢筋三角架长分别为‎20cm、‎50 cm、‎60 cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为‎30 cm和‎50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有 种。‎ ‎5、如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC，DE⊥BC，AB＝14，AD＝4，BE∶EC＝5∶1，则CD＝ 。‎ 二、选择题：‎ ‎1、下面两个三角形一定相似的是（ ）‎ A、两个等腰三角形 B、两个直角三角形 C、两个钝角三角形 D、两个等边三角形 ‎2、如图，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上一点，EA分别交CD、BD的延长线于点F、G，则图中相似三角形共有（ ）‎ ‎ A、3对 B、4对 ‎ C、5对 D、6对 三、解答题：‎ ‎1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝BE＝EF＝FC。求证：△AEF∽△CEA。‎ ‎ ‎ ‎2、如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，DE⊥AC于E，交AB于F。‎ 求证：△AFD∽△ADB。‎ ‎3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝900，AB＝3，DC＝7，AD＝15，请你在AD上找一点P，使得以P、A、B和以P、D、C为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的P点有几个？并求出AP的长；若不能，请说明理由。‎ ‎ ‎ ‎4、在边长为1的正方形网格中有A、B、C、D、E五个点，问△ABC与△ADE是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。‎ 跟踪训练参考答案 一、填空题：‎ ‎1、∠ACP＝∠B或∠APC＝∠ACB或；2、4条；3、3，5；‎ ‎4、2种；5、6‎ 二、选择题：DD 三、解答题：‎ ‎1、设AB＝BE＝EF＝FC＝，∵∠B＝900，∴AE＝‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴且∠AEF＝∠CEA ‎ ∴△AEF∽△CEA ‎2、证△AED∽△ADC，△FAE∽△CAB，△FAD∽△DAB ‎3、能，有三个，AP＝4.5或 ‎4、△ABC∽△ADE，还有△ABD∽△ACE。‎