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- 2021-05-13 发布
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第3讲 分 式
1. (2019,河北)若a=2b≠0,则的值为( ).
【解析】 ∵a=2b≠0,∴原式==.
2. (2019,河北)若=( )+,则( )中的数是(B)
A. -1 B. -2 C. -3 D. 任意实数
【解析】 -==-2.
3. (2019,河北)老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简.规则是每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示.
第3题图
接力中,自己负责的一步出现错误的是(D)
A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁
【解析】 ÷=·=·,乙错误.·=·=,丁错误.
分式的概念
例1 (2019,唐山路北区二模)若分式的值为0,则x的值为(C)
A. 0 B. 1 C. -1 D. ±1
【解析】 分式值为0的条件是x2-1=0且x-1≠0.解得x=-1.
针对训练1 (2019,石家庄质检)若分式有意义,则x的取值范围是(B)
A. x=1 B. x≠1 C. x=0 D. x≠0
【解析】 分式有意义的条件是分母不等于0,即x-1≠0,∴x≠1.
针对训练2 (2019,定西)若分式的值为0,则x的值是(A)
A. 2或-2 B. 2 C. -2 D. 0
【解析】 由题意,得x2-4=0且x≠0.解得x=2或-2.
分式的基本性质、通分与约分
例2 (2019,合肥模拟)若x,y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是(A)
A. B. C. D.
【解析】 根据分式的基本性质,可知若x,y的值均扩大为原来的2倍,A. =.B. =≠.C. =≠.D. =≠.
例3 (2019,邵阳模拟)下列分式中,是最简分式的是(C)
A. B. C. D.
【解析】 ∵=-1,∴选项A不符合要求.∵=,∴选项B不符合要求.∵不能化简,是最简分式,∴选项C符合要求.∵===,∴选项D不符合要求.
针对训练3(导学号5892921)若x,y的值均扩大为原来的3倍,则下列分式的值保持不变的是(D)
A. B. C. D.
【解析】 根据分式的基本性质,可知若x,y的值均扩大为原来的3倍,A. ≠.B. ≠.C. ≠.D. =.
分式的运算
例4 (2019,安顺)先化简,再求值:÷,其中|x|=2.
【思路分析】 先化简括号内的式子,再根据分式的除法进行计算即可化简原式,然后将x=-2代入化简后的式子即可解答本题.
解:原式=÷
=÷
=·
=.
∵=2,
∴x=±2.
当x=2时,原式没有意义.
当x=-2时,原式==-.
针对训练4 (2019,石家庄43中模拟)如图,请你阅读小明和小红两名同学的解题过程.
计算:+.
小明的解法:
原式=-
=
=.
小红的解法:
原式=+
=-3(x+1)+x-3
=-3x-3+x-3
=-2x-6.
训练4题图
下列叙述正确的是(D)
A. 只有小明的正确 B. 只有小红的正确
C. 小明、小红都正确 D. 小明、小红都不正确
【解析】 小明错在第二步,分子做减法时,最后一项符号错;小红错在第二步,丢了分母.
针对训练5 (2019,武威)计算:÷.
【思路分析】 先把小括号内的分式通分,再按照分式的减法和分式除法法则进行化简即可.
解:原式=÷
=·
=.
一、 选择题
1. (2019,武汉)若分式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是(D)
A. x>-2 B. x<-2 C. x=-2 D. x≠-2
【解析】 由题意,得x+2≠0.解得x≠-2.
2. (2019,唐山丰南区一模)要使式子有意义,则x的取值范围是(B)
A. x≠2 B. x>-2 C. x<-2 D. x≠-2
【解析】 由题意,得解得x>-2.
3. (2019,廊坊安次区一模)若分式的值为0,则x的值为(B)
A. 1或2 B. 2 C. 1 D. 0
【解析】 由题意,得解得x=2.
4. (2019,唐山路南区二模)若分式中的a,b的值同时扩大为原来的3倍,则分式的值(B)
A. 不变 B. 扩大为原来的3倍
C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的9倍
【解析】 ==.
5. (2019,威海)化简(a-1)÷·a的结果是(A)
A. -a2 B. 1 C. a2 D. -1
【解析】 (a-1)÷·a=(a-1)··a=-a2.
6. (2019,廊坊安次区一模)若分式的运算结果为x,则在“”中添加的运算符号为(D)
A. + B. - C. +或× D. -或÷
【解析】 -===x.÷=·=x.
7. (2019,石家庄40中二模)若·w=1,则w等于(D)
A. a+2(a≠-2) B. -a+2(a≠2)
C. a-2(a≠2) D. -a-2(a≠±2)
【解析】 ∵+=-,∴w=1÷=-a-2(a≠±2).
8. (2019,石家庄长安区一模)计算÷的结果为(D)
A. B. C. b D. -
【解析】 原式=·==-.
9. (2019,石家庄桥西区一模)下列运算结果是x+1的是(D)
A. B. C. D. +
【解析】 是最简分式.=1-x.=.+==x+1.
10. (2019,南充,导学号5892921)已知-=3,则代数式的值是(D)
A. - B. - C. D.
【解析】 已知条件转化为y-x=3xy,则原式====.
二、 填空题
11. (2019,咸宁)如果分式有意义,那么实数x的取值范围是 x≠2 .
【解析】 由题意,得x-2≠0.∴x≠2.
12. 分式,,的最简公分母是 2ab(a+b)(a-b) .
【解析】 三个分母分别是2ab,a2-b2=(a-b)(a+b),b-a=-(a-b),所以最简公分母是2ab(a+b)(a-b).
13. (2019,沈阳)化简:-=( ).
【解析】 -==.
三、 解答题
14. (2019,唐山路北区一模)先化简,再求值:÷,其中x满足方程x2+x-6=0.
【思路分析】 整式与分式的加减法,把整式看作分母为1,与分式通分即可;x
的取值要满足原分式有意义的条件.
解:原式= ÷
=·
=.
解方程x2+x-6=0,
得x1=2,x2=-3.
当x=2时,原式的分母为0,原式没有意义.
当x=-3时,原式==.
15. (2019,石家庄43中三模)如图,书上有这样一道题:
第15题图
减号后面的分式被墨迹污损了,查答案得知化简结果为.
(1)求被墨迹污损的分式;
(2)若x=-1,求被墨迹污损的分式的值.
【思路分析】 (1)根据逆运算求污损部分.(2)代入求值.
解:(1)设被墨迹污损的分式为X.
根据题意,得
X=÷-
=·-
=-
=.
(2)当x=-1时,
原式=
=2.
1. 若a2-ab=0(b≠0),则的值为(C)
A. 0 B. C. 0或 D. 1或2
【解析】 由已知得a(a-b)=0,∴a=0或a=b,代入可得.
2. 已知ab=-1,a+b=2,则+= -6 .
【解析】 +==,将已知条件代入可得.
3. (2019,黄冈)若a-=,则a2+的值为 8 .
【解析】 把已知条件代入式子2=a2+-2,可以求得a2+=8.
4. (导学号5892921)【探索】
(1)若=3+,则m= 1 ;
(2)若=5+,则m= -13 .
【总结】
若=a+(其中a,b,c为常数),则m= b-ac .
【应用】
利用上述结论解决:若代数式的值为整数,求满足条件的整数x的值.
【思路分析】 【探索】和【总结】将等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算,再利用分式相等的条件确定出m的值即可.【应用】根据得到的结论确定出整数x的值即可.
解:【探索】(1)1 (2)-13
【总结】b-ac
【应用】=4+.
∵x为整数且为整数,
∴x-1=±1.
∴x=2或x=0.
5. (导学号5892921)已知A=,B=.
(1)若A=1-,求m的值;
(2)当a取哪些整数时,分式B的值为整数?
(3)若a>0,比较A与B的大小关系.
【思路分析】 (1)根据分式的值相等,可得关于m的方程,解方程可得答案.(2)根据拆项法,可得=1-.根据是整数,可得a的值.(3)根据作差法,可得答案.
解:(1)由A=1-,
得=1-=.
∴2-m=1.
解得m=1.
(2)∵B==1-,
∴当a+4=±1时,B为整数.
∴a=-3或a=-5.
(3)A-B
=-
=-
=-.
∵a>0,
∴A-B<0.
∴A<B.