384页2017江苏省全省十三市中考数学真题及解析汇编 375页

2017 江苏省全省中考数学真题及解析汇编 目录 1-2017 年江苏省南京市中考数学试卷及解析（28 页）..........................................2 2-2017 年江苏省镇江市中考数学试卷及解析（34 页）........................................29 3-2017 年江苏省常州市中考数学试卷及解析（20 页）........................................63 4-2017 年江苏省无锡市中考数学试卷及解析（21 页）........................................86 5-2017 年江苏省苏州市中考数学试卷及解析（30 页）......................................107 6-2017 年江苏省南通市中考数学试卷及解析（33 页）......................................138 7-2017 年江苏省泰州市中考数学试卷及解析（28 页）......................................171 8-2017 年江苏省扬州市中考数学试卷及解析（30 页）......................................199 9-2017 年江苏省徐州市中考数学试卷及解析（29 页）......................................229 10-2017 年江苏省淮安市中考数学试卷及解析（21 页）....................................258 11-2017 年江苏省宿迁市中考数学试卷及解析（29 页）....................................279 12-2017 年江苏省盐城市中考数学试卷及解析（35 页）....................................309 13-2017 年江苏省连云港市中考数学试卷及解析（31 页）................................344 祝你的学生或你的孩子取得好成绩！ 1-2017 年江苏省南京市中考数学试卷及解析（28 页） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 1．（2 分）计算 12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2 的结果是（ ） A．7 B．8 C．21 D．36 2．（2 分）计算 106×（102）3÷104 的结果是（ ） A．103 B．107 C．108 D．109 3．（2 分）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特 征，甲同学：它有 4 个面是三角形；乙同学：它有 8 条棱，该模型的形状对应的 立体图形可能是（ ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 4．（2 分）若 ＜a＜ ，则下列结论中正确的是（ ） A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜4 5．（2 分）若方程（x﹣5）2=19 的两根为 a 和 b，且 a＞b，则下列结论中正确的 是（ ） A．a 是 19 的算术平方根 B．b 是 19 的平方根 C．a﹣5 是 19 的算术平方根 D．b+5 是 19 的平方根 6．（2 分）过三点 A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A．（4， ） B．（4，3） C．（5， ） D．（5，3） 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 7．（2 分）计算：|﹣3|= ； = ． 8．（2 分）2016 年南京实现 GDP 约 10500 亿元，成为全国第 11 个经济总量超过 万亿的城市，用科学记数法表示 10500 是 ． 9．（2 分）分式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ． 10．（2 分）计算： + × = ． 11．（2 分）方程 ﹣ =0 的解是 ． 12．（2 分）已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两根为﹣3 和﹣1，则 p= ，q= ． 13．（2 分）如图是某市 2013﹣2016 年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该 市私人汽车拥有量年净增量最多的是 年，私人汽车拥有量年增长率最大的是 年． 14．（2 分）如图，∠1 是五边形 ABCDE 的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠ C+∠D= °． 15．（2 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，⊙O 经过点 A、C、D，与 BC 相交于点 E，连接 AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC= °． 16．（2 分）函数 y1=x 与 y2= 的图象如图所示，下列关于函数 y=y1+y2 的结论：① 函数的图象关于原点中心对称；②当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小；③当 x＞0 时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分） 17．（7 分）计算（a+2+ ）÷（a﹣ ）． 18．（7 分）解不等式组 请结合题意，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ，依据是： ． （2）解不等式③，得 ． （3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来． （4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ． 19．（7 分）如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 AE=CF，EF，BD 相交于点 O，求证：OE=OF． 20．（8 分）某公司共 25 名员工，下表是他们月收入的资料． 月收入/元 4500 0 18000 10000 550 0 4800 3400 3000 220 0 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 （1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元． （2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为 6276 元，你认为用平均 数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理 由． 21．（8 分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男 生女的概率相同，回答下列问题： （1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率 是 ； （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率． 22．（8 分）“直角”在初中几何学习中无处不在． 如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB 是否为 直角（仅限用直尺和圆规）． 23．（8 分）张老师计划到超市购买甲种文具 100 个，他到超市后发现还有乙种 文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买 1 个甲种文具，需增加购 买 2 个乙种文具．设购买 x 个甲种文具时，需购买 y 个乙种文具． （1）①当减少购买 1 个甲种文具时，x= ，y= ； ②求 y 与 x 之间的函数表达式． （2）已知甲种文具每个 5 元，乙种文具每个 3 元，张老师购买这两种文具共用 去 540 元，甲、乙两种文具各购买了多少个？ 24．（8 分）如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，连接 AO 并延长，交 PB 的延长线于点 C，连接 PO，交⊙O 于点 D． （1）求证：PO 平分∠APC； （2）连接 DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC． 25．（8 分）如图，港口 B 位于港口 A 的南偏东 37°方向，灯塔 C 恰好在 AB 的中 点处，一艘海轮位于港口 A 的正南方向，港口 B 的正西方向的 D 处，它沿正北 方向航行 5km 到达 E 处，测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上，这时，E 处距离港口 A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 26．（8 分）已知函数 y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m 为常数）． （1）该函数的图象与 x 轴公共点的个数是 ． A.0 B.1 C.2 D.1 或 2 （2）求证：不论 m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 y=（x+1）2 的图象上． （3）当﹣2≤m≤3 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围． 27．（11 分）折纸的思考． 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片 ABCD（AB＞BC）（图①），使 AB 与 DC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点 C 落在 EF 上的 P 处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BG，折出 PB，PC，得到△PBC． （1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】 （2）如图④，小明画出了图③的矩形 ABCD 和等边三角形 PBC，他发现，在矩 形 ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描 述图形变化的过程． （3）已知矩形一边长为 3cm，另一边长为 a cm，对于每一个确定的 a 的值，在 矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的 a 的取值范围． 【问题解决】 （4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 4cm 和 1cm 的直角三角形铁片， 所需正方形铁片的边长的最小值为 cm． 2017 年江苏省南京市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 1．（2 分）（2017•南京）计算 12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2 的结果是 （ ） A．7 B．8 C．21 D．36 【考点】1G：有理数的混合运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；511：实数． 【分析】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果． 【解答】解：原式=12+3+6=21， 故选 C 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（2 分）（2017•南京）计算 106×（102）3÷104 的结果是（ ） A．103 B．107 C．108 D．109 【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．菁 优网版权 所有 【分析】先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘除法运算法则计算即可求解． 【解答】解：106×（102）3÷104 =106×106÷104 =106+6﹣4 =108． 故选：C． 【点评】考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进 行计算． 3．（2 分）（2017•南京）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型 并描述它的特征，甲同学：它有 4 个面是三角形；乙同学：它有 8 条棱，该模型 的形状对应的立体图形可能是（ ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【考点】I1：认识立体图形．菁优网版 权所有 【分析】根据四棱锥的特点，可得答案． 【解答】解：四棱锥的底面是四边形，侧面是四个三角形， 底面有四条棱，侧面有 4 条棱， 故选：D． 【点评】本题考查了认识立体图形，熟记常见几何体的特征是解题关键． 4．（2 分）（2017•南京）若 ＜a＜ ，则下列结论中正确的是（ ） A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜4 【考点】2B：估算无理数的大小．菁优网版 权所有 【分析】首先估算 和 的大小，再做选择． 【解答】解：∵1 ＜2，3 ＜4， 又∵ ＜a＜ ， ∴1＜a＜4， 故选 B． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，首先估算 和 的大小是解答此 题的关键． 5．（2 分）（2017•南京）若方程（x﹣5）2=19 的两根为 a 和 b，且 a＞b，则下列 结论中正确的是（ ） A．a 是 19 的算术平方根 B．b 是 19 的平方根 C．a﹣5 是 19 的算术平方根 D．b+5 是 19 的平方根 【考点】22：算术平方根；21：平方根．菁优网版 权所有 【分析】结合平方根和算术平方根的定义可做选择． 【解答】解：∵方程（x﹣5）2=19 的两根为 a 和 b， ∴a﹣5 和 b﹣5 是 19 的两个平方根，且互为相反数， ∵a＞b， ∴a﹣5 是 19 的算术平方根， 故选 C． 【点评】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解答此题的关 键．一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的 算术平方根．记为根号 a． 6．（2 分）（2017•南京）过三点 A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐 标为（ ） A．（4， ） B．（4，3） C．（5， ） D．（5，3） 【考点】D5：坐标与图形性质．菁优网版 权所有 【分析】已知 A（2，2），B（6，2），C（4，5），则过 A、B、C 三点的圆的圆心， 就是弦的垂直平分线的交点，故求得 AB 的垂直平分线和 BC 的垂直平分线的交 点即可． 【解答】解：已知 A（2，2），B（6，2），C（4，5）， ∴AB 的垂直平分线是 x= =4， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， 把 B（6，2），C（4，5）代入上式得 ， 解得 ， ∴y=﹣ x+11， 设 BC 的垂直平分线为 y= x+m， 把线段 BC 的中点坐标（5， ）代入得 m= ， ∴BC 的垂直平分线是 y= x+ ， 当 x=4 时，y= ， ∴过 A、B、C 三点的圆的圆心坐标为（4， ）． 故选 A． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点，圆 心是弦的垂直平分线的交点，理解圆心的作法是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 7．（2 分）（2017•南京）计算：|﹣3|= 3 ； = 3 ． 【考点】73：二次根式的性质与化简；15：绝对值．菁优网版 权所有 【分析】根据绝对值的性质，二次根式的性质，可得答案． 【解答】解：|﹣3|=3， = =3， 故答案为：3，3． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质是解题关键． 8．（2 分）（2017•南京）2016 年南京实现 GDP 约 10500 亿元，成为全国第 11 个 经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示 10500 是 1.05×104 ． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版 权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值是易错点，由于 10500 有 5 位，所以可以确定 n=5﹣1=4． 【解答】解：10500=1.05×104． 故答案为：1.05×104． 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 9．（2 分）（2017•南京）分式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x ≠1 ． 【考点】62：分式有意义的条件．菁优网版 权所有 【分析】根据分式有意义，分母不等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得 x﹣1≠0， 解得 x≠1． 故答案为：x≠1． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义 ⇔ 分母为零； （2）分式有意义 ⇔ 分母不为零； （3）分式值为零 ⇔ 分子为零且分母不为零． 10．（2 分）（2017•南京）计算： + × = 6 ． 【考点】79：二次根式的混合运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题． 【分析】先根据二次根式的乘法法则得到原式=2 + ，然后化简后合并即 可． 【解答】解：原式=2 + =2 +4 =6 ． 故答案为 6 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式， 再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 11．（2 分）（2017•南京）方程 ﹣ =0 的解是 x=2 ． 【考点】B3：解分式方程．菁优网版 权所有 【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可． 【解答】解： ﹣ =0， 方程两边都乘以 x（x+2）得：2x﹣（x+2）=0， 解得：x=2， 检验：当 x=2 时，x（x+2）≠0， 所以 x=2 是原方程的解， 故答案为：x=2． 【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键， 注意：解分式方程一定要进行检验． 12．（2 分）（2017•南京）已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两根为﹣3 和﹣1，则 p= 4 ，q= 3 ． 【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版 权所有 【分析】由根与系数的关系可得出关于 p 或 q 的一元一次方程，解之即可得出结 论． 【解答】解：∵关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两根为﹣3 和﹣1， ∴﹣3+（﹣1）=﹣p，（﹣3）×（﹣1）=q， ∴p=4，q=3． 故答案为：4；3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出﹣3+（﹣1）= ﹣p、（﹣3）×（﹣1）=q 是解题的关键． 13．（2 分）（2017•南京）如图是某市 2013﹣2016 年私人汽车拥有量和年增长率 的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是 2016 年，私人汽车拥有量 年增长率最大的是 2015 年． 【考点】VD：折线统计图；VC：条形统计图．菁优网版 权所有 【分析】直接利用条形统计图以及折线统计图分别分析得出答案． 【解答】解：由条形统计图可得：该市私人汽车拥有量年净增量最多的是 2016 年，净增 183﹣150=33（万辆）， 由折线统计图可得，私人汽车拥有量年增长率最大的是：2015 年． 故答案为：2016，2015． 【点评】此题主要考查了折线统计图以及条形统计图的应用，正确利用图形获取 信息是解题关键． 14．（2 分）（2017•南京）如图，∠1 是五边形 ABCDE 的一个外角，若∠1=65°， 则∠A+∠B+∠C+∠D= 425 °． 【考点】L3：多边形内角与外角．菁优网版 权所有 【分析】根据补角的定义得到∠AED=115°，根据五边形的内角和即可得到结论． 【解答】解：∵∠1=65°， ∴∠AED=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°， 故答案为：425． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 15．（2 分）（2017•南京）如图，四边形 ABCD 是菱形，⊙O 经过点 A、C、D，与 BC 相交于点 E，连接 AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC= 27 °． 【考点】M5：圆周角定理；L8：菱形的性质．菁优网版 权所有 【分析】根据菱形的性质得到∠ACB= ∠DCB= （180°﹣∠D）=51°，根据圆内接 四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠D=78°， ∴∠ACB= ∠DCB= （180°﹣∠D）=51°， ∵四边形 AECD 是圆内接四边形， ∴∠AEB=∠D=78°， ∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°， 故答案为：27． 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质， 熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 16．（2 分）（2017•南京）函数 y1=x 与 y2= 的图象如图所示，下列关于函数 y=y1+y2 的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小； ③当 x＞0 时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 ①③ ． 【考点】G4：反比例函数的性质；F6：正比例函数的性质；R7：坐标与图形变 化﹣旋转．菁优网版 权所有 【分析】结合图形判断各个选项是否正确即可． 【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称 的点，故正确； ②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误； ③结合图象的 2 个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故 正确； ∴正确的有①③． 故答案为：①③． 【点评】考查根据函数图象判断相应取值；理解图意是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分） 17．（7 分）（2017•南京）计算（a+2+ ）÷（a﹣ ）． 【考点】6C：分式的混合运算．菁优网版 权所有 【分析】根据分式的加减法和除法可以解答本题． 【解答】解：（a+2+ ）÷（a﹣ ） = = = ． 【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计 算方法． 18．（7 分）（2017•南京）解不等式组 请结合题意，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 x≥﹣3 ，依据是： 不等式的性质 3 ． （2）解不等式③，得 x＜2 ． （3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来． （4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ﹣2＜x ＜2 ． 【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．菁优网版 权所有 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确 定不等式组的解集． 【解答】解：（1）解不等式①，得 x≥﹣3，依据是：不等式的性质 3． （2）解不等式③，得 x＜2． （3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来． （4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣2 ＜x＜2， 故答案为：（1）x≥﹣3、不等式的性质 3；（2）x＜2；（3）﹣2＜x＜2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础， 熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此 题的关键． 19．（7 分）（2017•南京）如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 AE=CF， EF，BD 相交于点 O，求证：OE=OF． 【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版 权所有 【分析】连接 BE、DF，由已知证出四边形 BEDF 是平行四边形，即可得出结论． 【解答】证明：连接 BE、DF，如图所示： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF， ∴四边形 BEDF 是平行四边形， ∴OF=OE． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；通过作辅助线证明四边形 BEDF 是平行四边形是解决问题的关键． 20．（8 分）（2017•南京）某公司共 25 名员工，下表是他们月收入的资料． 月收入/元 4500 0 18000 10000 550 0 4800 3400 3000 220 0 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 （1）该公司员工月收入的中位数是 3400 元，众数是 3000 元． （2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为 6276 元，你认为用平均 数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理 由． 【考点】W5：众数；W2：加权平均数；W4：中位数．菁优网版 权所有 【分析】（1）根据中位数的定义把这组数据从小到大排列起来，找出最中间一个 数即可；根据众数的定义找出现次数最多的数据即可； （2）根据平均数、中位数和众数的意义回答． 【解答】解：（1）共有 25 个员工，中位数是第 13 个数， 则中位数是 3400 元； 3000 出现了 11 次，出现的次数最多，则众数是 3000． 故答案为 3400；3000； （2）用中位数或众数来描述更为恰当．理由： 平均数受极端值 45000 元的影响，只有 3 个人的工资达到了 6276 元，不恰当； 【点评】此题考查了中位数、众数、平均数，掌握中位数、众数、平均数的定义 是解题的关键，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平 均数）叫做中位数，平均数=总数÷个数，众数是出现次数最多的数据． 21．（8 分）（2017•南京）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规 划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题： （1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ； （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题． 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的 结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）第二个孩子是女孩的概率= ； 故答案为 ； （2）画树状图为： 共有 4 种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为 3， 所以至少有一个孩子是女孩的概率= ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能 的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事 件 A 或事件 B 的概率． 22．（8 分）（2017•南京）“直角”在初中几何学习中无处不在． 如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB 是否为 直角（仅限用直尺和圆规）． 【考点】N3：作图—复杂作图；KS：勾股定理的逆定理；M5：圆周角定理．菁优网版 权所有 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案； （2）根据圆周角定理，可得答案． 【解答】解：（1）如图 1 ， 在 OA，OB 上分别，截取 OC=4，OD=3，若 CD 的长为 5，则∠AOB=90° （2）如图 2 ， 在 OA，OB 上分别取点 C，D，以 CD 为直径画圆，若点 O 在圆上，则∠AOB=90°． 【点评】本题考查了作图，利用勾股定理的逆定理、圆周角是解题关键． 23．（8 分）（2017•南京）张老师计划到超市购买甲种文具 100 个，他到超市后 发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买 1 个甲种文 具，需增加购买 2 个乙种文具．设购买 x 个甲种文具时，需购买 y 个乙种文具． （1）①当减少购买 1 个甲种文具时，x= 99 ，y= 2 ； ②求 y 与 x 之间的函数表达式． （2）已知甲种文具每个 5 元，乙种文具每个 3 元，张老师购买这两种文具共用 去 540 元，甲、乙两种文具各购买了多少个？ 【考点】FH：一次函数的应用．菁优网版 权所有 【分析】（1）①由题意可知 x=99，y=2． ②由题意 y=2（100﹣x）=﹣2x+200． （2）列出方程组，解方程组即可解决问题． 【解答】解：（1）①∵100﹣1=99， ∴x=99，y=2， 故答案为 99，2． ②由题意 y=2（100﹣x）=﹣2x+200， ∴y 与 x 之间的函数表达式为 y=﹣2x+200． （2）由题意 ， 解得 ， 答：甲、乙两种文具各购买了 60 个和 80 个． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是理解 题意，学会构建一次函数以及方程组解决问题，属于中考常考题型． 24．（8 分）（2017•南京）如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，连接 AO 并延长，交 PB 的延长线于点 C，连接 PO，交⊙O 于点 D． （1）求证：PO 平分∠APC； （2）连接 DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC． 【考点】MC：切线的性质．菁优网版 权所有 【分析】（1）连接 OB，根据角平分线性质定理的逆定理，即可解答； （2）先证明△ODB 是等边三角形，得到∠OBD=60°，再由∠DBP=∠C，即可得到 DB∥AC． 【解答】解：（1）如图，连接 OB， ∵PA，PB 是⊙O 的切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP， 又 OA=OB， ∴PO 平分∠APC； （2）∵OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠CAP=∠OBP=90°， ∵∠C=30°， ∴∠APC=90°﹣∠C=90°﹣30°=60°， ∵PO 平分∠APC， ∴∠OPC= ∠APC= =30°， ∴∠POB=90°﹣∠OPC=90°﹣30°=60°， 又 OD=OB， ∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD=60°， ∴∠DBP=∠OBP﹣∠OBD=90°﹣60°=30°， ∴∠DBP=∠C， ∴DB∥AC． 【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的判定，等边三角形的判定和性质， 解本题的关键是判断出△ODB 是等边三角形． 25．（8 分）（2017•南京）如图，港口 B 位于港口 A 的南偏东 37°方向，灯塔 C 恰好在 AB 的中点处，一艘海轮位于港口 A 的正南方向，港口 B 的正西方向的 D 处，它沿正北方向航行 5km 到达 E 处，测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上，这时， E 处距离港口 A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版 权所有 【 分 析 】 如 图 作 CH ⊥ AD 于 H ． 设 CH=xkm ， 在 Rt △ ACH 中 ， 可 得 AH= = ，在 Rt△CEH 中，可得 CH=EH=x，由 CH∥BD，推出 = ， 由 AC=CB，推出 AH=HD，可得 =x+5，求出 x 即可解决问题． 【解答】解：如图作 CH⊥AD 于 H．设 CH=xkm， 在 Rt△ACH 中，∠A=37°，∵tan37°= ， ∴AH= = ， 在 Rt△CEH 中，∵∠CEH=45°， ∴CH=EH=x， ∵CH⊥AD，BD⊥AD， ∴CH∥BD， ∴ = ， ∵AC=CB， ∴AH=HD， ∴ =x+5， ∴x= ≈15， ∴AE=AH+HE= +15≈35km， ∴E 处距离港口 A 有 35km． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问 题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 26．（8 分）（2017•南京）已知函数 y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m 为常数）． （1）该函数的图象与 x 轴公共点的个数是 D ． A.0 B.1 C.2 D.1 或 2 （2）求证：不论 m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 y=（x+1）2 的图象上． （3）当﹣2≤m≤3 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围． 【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H3：二次函数的性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；535：二次函数图象及其性质． 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果； （2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可； （3）根据 m 的范围确定出顶点纵坐标范围即可． 【解答】解：（1）∵函数 y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m 为常数）， ∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0， 则该函数图象与 x 轴的公共点的个数是 1 或 2， 故选 D； （2）y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣ ）2+ ， 把 x= 代入 y=（x+1）2 得：y=（ +1）2= ， 则不论 m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 y=（x+1）2 的图象上； （3）设函数 z= ， 当 m=﹣1 时，z 有最小值为 0； 当 m＜﹣1 时，z 随 m 的增大而减小； 当 m＞﹣1 时，z 随 m 的增大而增大， 当 m=﹣2 时，z= ；当 m=3 时，z=4， 则当﹣2≤m≤3 时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是 0≤z≤4． 【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次 函数的图象与性质是解本题的关键． 27．（11 分）（2017•南京）折纸的思考． 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片 ABCD（AB＞BC）（图①），使 AB 与 DC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点 C 落在 EF 上的 P 处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BG，折出 PB，PC，得到△PBC． （1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】 （2）如图④，小明画出了图③的矩形 ABCD 和等边三角形 PBC，他发现，在矩 形 ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描 述图形变化的过程． （3）已知矩形一边长为 3cm，另一边长为 a cm，对于每一个确定的 a 的值，在 矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的 a 的取值范围． 【问题解决】 （4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 4cm 和 1cm 的直角三角形铁片， 所需正方形铁片的边长的最小值为 cm． 【考点】RB：几何变换综合题．菁优网版 权所有 【分析】（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出 PB=PC，PB=CB，得出 PB=PC=CB 即可； （2）由旋转的性质和位似的性质即可得出答案； （3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形 即可； （4）证明△AEF∽△DCE，得出 = ，设 AE=x，则 AD=CD=4x，DE=AD﹣ AE=3x，在 Rt△CDE 中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：由折叠的性质得：EF 是 BC 的垂直平分线，BG 是 PC 的垂直 平分线， ∴PB=PC，PB=CB， ∴PB=PC=CB， ∴△PBC 是等边三角形． （2）解：以 点 B 为中心，在矩形 ABCD 中把△PBC 逆时针方向旋转适当的角 度，得到△P1BC1； 再以点 B 为位似中心，将△△P1BC1 放大，使点 C1 的对称点 C2 落在 CD 上，得到 △P2BC2； 如图⑤所示； （3）解：本题答案不唯一，举例如图⑥所示； （4）解：如图⑦所示： △CEF 是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1， ∴∠AEF+∠CED=90°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A=∠D=90°，AD=CD， ∴∠DCE+∠CED=90°， ∴∠AEF=∠DCE， ∴△AEF∽△DCE， ∴ = ， 设 AE=x，则 AD=CD=4x， ∴DE=AD﹣AE=3x， 在 Rt△CDE 中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=42， 解得：x= ， ∴AD=4× = ； 故答案为： ． 【点评】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性 质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、 位似的性质等知识；本题综合性强，难度较大． 2-2017 年江苏省镇江市中考数学试卷及解析（34 页） 2017 年江苏省镇江市中考数学试卷 一、填空题（每小题 2 分，共 24 分） 1．（2 分）3 的倒数是 ． 2．（2 分）计算：a5÷a3= ． 3．（2 分）分解因式：9﹣b2= ． 4．（2 分）当 x= 时，分式 的值为零． 5．（2 分）如图，转盘中 6 个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停 止转动时，指针指向奇数的概率是 ． 6．（2 分）圆锥底面圆的半径为 2，母线长为 5，它的侧面积等于 （结果 保留π）． 7．（2 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，点 D 是 AB 的中点，过 AC 的 中点 E 作 EF∥CD 交 AB 于点 F，则 EF= ． 8．（2 分）若二次函数 y=x2﹣4x+n 的图象与 x 轴只有一个公共点，则实数 n= ． 9．（2 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，CO 交⊙O 于点 D．若∠CAD=30°， 则∠BOD= °． 10．（2 分）若实数 a 满足|a﹣ |= ，则 a 对应于图中数轴上的点可以是 A、B、 C 三点中的点 ． 11．（2 分）如图，△ABC 中，AB=6，DE∥AC，将△BDE 绕点 B 顺时针旋转得到 △BD′E′，点 D 的对应点 D′落在边 BC 上．已知 BE′=5，D′C=4，则 BC 的长为 ． 12．（2 分）已知实数 m 满足 m2﹣3m+1=0，则代数式 m2+ 的值等于 ． 二、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 13．（3 分）我国对“一带一路”沿线国家不断加大投资，目前已为有关国家创造了 近 1100000000 美元税收，其中 1100000000 用科学记数法表示应为（ ） A．0.11×108 B．1.1×109 C．1.1×1010 D．11×108 14．（3 分）如图是由 6 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是 （ ） A． B． C． D． 15．（3 分）a、b 是实数，点 A（2，a）、B（3，b）在反比例函数 y=﹣ 的图象 上，则（ ） A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a 16．（3 分）根据下表中的信息解决问题： 数据 37 38 39 40 41 频数 8 4 5 a 1 若该组数据的中位数不大于 38，则符合条件的正整数 a 的取值共有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 17．（3 分）点 E、F 分别在平行四边形 ABCD 的边 BC、AD 上，BE=DF，点 P 在边 AB 上，AP：PB=1：n（n＞1），过点 P 且平行于 AD 的直线 l 将△ABE 分成面积为 S1、S2 的两部分，将△CDF 分成面积为 S3、S4 的两部分（如图），下列四个等式： ①S1：S3=1：n ②S1：S4=1：（2n+1） ③（S1+S4）：（S2+S3）=1：n ④（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=n：（n+1） 其中成立的有（ ） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④ 三、解答题（本大题共 11 小题，满分 81 分） 18．（8 分）（1）计算：（﹣2）2+tan45°﹣（ ﹣2）0 （2）化简：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣2） 19．（10 分）（1）解方程组： （2）解不等式： ＞1﹣ ． 20．（6 分）为了解射击运动员小杰的集训效果，教练统计了他集训前后的两次 测试成绩（每次测试射击 10 次），制作了如图所示的条形统计图． （1）集训前小杰射击成绩的众数为 ； （2）分别计算小杰集训前后射击的平均成绩； （3）请用一句话评价小杰这次集训的效果． 21．（6 分）某校 5 月份举行了八年级生物实验考查，有 A 和 B 两个考查实验， 规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实 验，小明、小丽、小华都参加了本次考查． （1）小丽参加实验 A 考查的概率是 ； （2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验 A 考查的概率； （3）他们三人都参加实验 A 考查的概率是 ． 22．（6 分）如图，点 B、E 分别在 AC、DF 上，AF 分别交 BD、CE 于点 M、N， ∠A=∠F，∠1=∠2． （1）求证：四边形 BCED 是平行四边形； （2）已知 DE=2，连接 BN，若 BN 平分∠DBC，求 CN 的长． 23．（6 分）如图，小明在教学楼 A 处分别观测对面实验楼 CD 底部的俯角为 45°， 顶部的仰角为 37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高 度 AB 为 15m，求实验楼的垂直高度即 CD 长（精确到 1m） 参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75． 24．（6 分）如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点 D 在 AC 上，AD=1cm， 点 P 从点 A 出发，沿 AB 匀速运动；点 Q 从点 C 出发，沿 C→B→A→C 的路径匀 速运动．两点同时出发，在 B 点处首次相遇后，点 P 的运动速度每秒提高了 2cm， 并沿 B→C→A 的路径匀速运动；点 Q 保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动， 两点在 D 点处再次相遇后停止运动，设点 P 原来的速度为 xcm/s． （1）点 Q 的速度为 cm/s（用含 x 的代数式表示）． （2）求点 P 原来的速度． 25．（6 分）如图 1，一次函数 y=﹣x+b 与反比例函数 y= （k≠0）的图象交于点 A（1，3），B（m，1），与 x 轴交于点 D，直线 OA 与反比例函数 y= （k≠0）的 图象的另一支交于点 C，过点 B 作直线 l 垂直于 x 轴，点 E 是点 D 关于直线 l 的 对称点． （1）k= ； （2）判断点 B、E、C 是否在同一条直线上，并说明理由； （3）如图 2，已知点 F 在 x 轴正半轴上，OF= ，点 P 是反比例函数 y= （k≠0） 的图象位于第一象限部分上的点（点 P 在点 A 的上方），∠ABP=∠EBF，则点 P 的坐标为（ ， ）． 26．（8 分）如图 1，Rt△ACB 中，∠C=90°，点 D 在 AC 上，∠CBD=∠A，过 A、 D 两点的圆的圆心 O 在 AB 上． （1）利用直尺和圆规在图 1 中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色 水笔把线条描清楚）； （2）判断 BD 所在直线与（1）中所作的⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （3）设⊙O 交 AB 于点 E，连接 DE，过点 E 作 EF⊥BC，F 为垂足，若点 D 是线 段 AC 的黄金分割点（即 = ），如图 2，试说明四边形 DEFC 是正方形）． 27．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、 y 轴上，点 B 坐标为（4，t）（t＞0），二次函数 y=x2+bx（b＜0）的图象经过点 B， 顶点为点 D． （1）当 t=12 时，顶点 D 到 x 轴的距离等于 ； （2）点 E 是二次函数 y=x2+bx（b＜0）的图象与 x 轴的一个公共点（点 E 与点 O 不重合），求 OE•EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式； （3）矩形 OABC 的对角线 OB、AC 交于点 F，直线 l 平行于 x 轴，交二次函数 y=x2+bx （b＜0）的图象于点 M、N，连接 DM、DN，当△DMN≌△FOC 时，求 t 的值． 28．（11 分）【回顾】 如图 1，△ABC 中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC 的面积等于 ． 【探究】 图 2 是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有 30°的角，较短的直角边长为 a；另 一个含有 45°的角，直角边长为 b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边 形 ABCD（如图 3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 sin75°= ， 小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形 EFGH（如图 4），也推出 sin75°= ， 请你写出小明或小丽推出 sin75°= 的具体说理过程． 【应用】 在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图 5） （1）点 E 在 AD 上，设 t=BE+CE，求 t2 的最小值； （2）点 F 在 AB 上，将△BCF 沿 CF 翻折，点 B 落在 AD 上的点 G 处，点 G 是 AD 的中点吗？说明理由． 2017 年江苏省镇江市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（每小题 2 分，共 24 分） 1．（2 分）（2017•镇江）3 的倒数是 ． 【考点】17：倒数． 【分析】根据倒数的定义可知． 【解答】解：3 的倒数是 ． 故答案为： ． 【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0 没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 2．（2 分）（2017•镇江）计算：a5÷a3= a2 ． 【考点】48：同底数幂的除法． 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【解答】解：a5÷a3=a5﹣3=a2． 故填 a2． 【点评】本题考查同底数幂的除法法则． 3．（2 分）（2017•镇江）分解因式：9﹣b2= （3+b）（3﹣b） ． 【考点】54：因式分解﹣运用公式法． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=（3+b）（3﹣b）， 故答案为：（3+b）（3﹣b） 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关 键． 4．（2 分）（2017•镇江）当 x= 5 时，分式 的值为零． 【考点】63：分式的值为零的条件． 【分析】根据分式值为零的条件可得 x﹣5=0 且 2x+3≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x﹣5=0 且 2x+3≠0， 解得：x=5， 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分 子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 5．（2 分）（2017•镇江）如图，转盘中 6 个扇形的面积都相等，任意转动转盘一 次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是 ． 【考点】X4：概率公式． 【分析】让奇数的个数除以数的总数即可得出答案． 【解答】解：图中共有 6 个相等的区域，含奇数的有 1，1，3，3 共 4 个， 转盘停止时指针指向奇数的概率是 = ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了概率公式，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的 可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 6．（2 分）（2017•镇江）圆锥底面圆的半径为 2，母线长为 5，它的侧面积等于 10π （结果保留π）． 【考点】MP：圆锥的计算． 【分析】根据圆锥的底面半径为 4，母线长为 5，直接利用圆锥的侧面积公式求 出它的侧面积． 【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π， 故答案为：10π． 【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式．掌握圆锥侧面积公式：S 侧=πrl 是解决 问题的关键． 7．（2 分）（2017•镇江）如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，点 D 是 AB 的中 点，过 AC 的中点 E 作 EF∥CD 交 AB 于点 F，则 EF= 1.5 ． 【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线． 【分析】由直角三角形的性质求出 CD=3，中由三角形中位线定理得出 EF 的长即 可． 【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，点 D 是 AB 的中点， ∴CD= AB=3， ∵过 AC 的中点 E 作 EF∥CD 交 AB 于点 F， ∴EF 是△ACD 的中位线， ∴EF= CD=1.5； 故答案为：1.5． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理，熟练掌 握直角三角形的性质和三角形中位线定理是关键． 8．（2 分）（2017•镇江）若二次函数 y=x2﹣4x+n 的图象与 x 轴只有一个公共点， 则实数 n= 4 ． 【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点． 【分析】二次函数 y=x2﹣4x+n 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 b2﹣4ac=0，据 此即可求得． 【解答】解：y=x2﹣4x+n 中，a=1，b=﹣4，c=n， b2﹣4ac=16﹣4n=0， 解得 n=4． 故答案是：4． 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常 数，a≠0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根之间的关系．△=b2﹣4ac 决定抛 物线与 x 轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2﹣ 4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点． 9．（2 分）（2017•镇江）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，CO 交⊙O 于 点 D．若∠CAD=30°，则∠BOD= 120 °． 【考点】MC：切线的性质． 【分析】根据切线的性质求出∠BAC=90°，求出∠OAD=60°，根据圆周角定理得 出∠BOD=2∠BAD，代入求出即可． 【解答】解：∵AC 与⊙O 相切， ∴∠BAC=90°， ∵∠CAD=30°， ∴∠OAD=60°， ∴∠BOD=2∠BAD=120°， 故答案为：120． 【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理，能根据定理得出∠BAC=90°和∠ BOD=2∠BAD 是解此题的关键． 10．（2 分）（2017•镇江）若实数 a 满足|a﹣ |= ，则 a 对应于图中数轴上的点 可以是 A、B、C 三点中的点 B ． 【考点】29：实数与数轴． 【分析】由|a﹣ |= ，可求出 a 值，对应数轴上的点即可得出结论． 【解答】解：∵|a﹣ |= ， ∴a=﹣1 或 a=2． 故答案为：B． 【点评】本题考查了实数与数轴以及解含绝对值符号的一元一次方程，解方程求 出 a 值是解题的关键． 11．（2 分）（2017•镇江）如图，△ABC 中，AB=6，DE∥AC，将△BDE 绕点 B 顺 时针旋转得到△BD′E′，点 D 的对应点 D′落在边 BC 上．已知 BE′=5，D′C=4，则 BC 的长为 2+ ． 【考点】R2：旋转的性质；JA：平行线的性质． 【分析】根据旋转可得 BE=BE'=5，BD=BD'，进而得到 BD=BC﹣4，再根据平行线 分线段成比例定理，即可得到 = ，即 = ，即可得出 BC 的长． 【解答】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'， ∵D'C=4， ∴BD'=BC﹣4，即 BD=BC﹣4， ∵DE∥AC， ∴ = ，即 = ， 解得 BC=2+ （负值已舍去）， 即 BC 的长为 2+ ． 故答案为：2+ ． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例 定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依 据平行线分线段成比例定理，列方程求解． 12．（2 分）（2017•镇江）已知实数 m 满足 m2﹣3m+1=0，则代数式 m2+ 的 值等于 9 ． 【考点】A3：一元二次方程的解． 【分析】先表示出 m2=3m﹣1 代入代数式，通分，化简即可得出结论． 【解答】解：∵m2﹣3m+1=0， ∴m2=3m﹣1， ∴m2+ =3m﹣1+ =3m﹣1+ = = = = =9， 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键 是得出 m2=3m﹣1． 二、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 13．（3 分）（2017•镇江）我国对“一带一路”沿线国家不断加大投资，目前已为 有关国家创造了近 1100000000 美元税收，其中 1100000000 用科学记数法表示 应为（ ） A．0.11×108 B．1.1×109 C．1.1×1010 D．11×108 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：1100000000 用科学记数法表示应为 1.1×109， 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 14．（3 分）（2017•镇江）如图是由 6 个大小相同的小正方体组成的几何体，它 的主视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】U2：简单组合体的三视图． 【分析】根据组合体的形状即可求出答案． 【解答】解：该主视图是：底层是 3 个正方形横放，右上角有一个正方形， 故选（C） 【点评】本题考查三视图，解题的关键是根据组合体的形状进行判断，本题属于 基础题型． 15．（3 分）（2017•镇江）a、b 是实数，点 A（2，a）、B（3，b）在反比例函数 y=﹣ 的图象上，则（ ） A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据反比例函数的性质可以判断 a、b 的大小，从而可以解答本题． 【解答】解：∵y=﹣ ， ∴反比例函数 y=﹣ 的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而 增大， ∵点 A（2，a）、B（3，b）在反比例函数 y=﹣ 的图象上， ∴a＜b＜0， 故选 A． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比 例函数的性质． 16．（3 分）（2017•镇江）根据下表中的信息解决问题： 数据 37 38 39 40 41 频数 8 4 5 a 1 若该组数据的中位数不大于 38，则符合条件的正整数 a 的取值共有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【考点】W4：中位数；V7：频数（率）分布表． 【分析】直接利用 a=1、2、3、4、5、6 分别得出中位数，进而得出符合题意的 答案． 【解答】解：当 a=1 时，有 19 个数据，最中间是：第 10 个数据，则中位数是 38； 当 a=2 时，有 20 个数据，最中间是：第 10 和 11 个数据，则中位数是 38； 当 a=3 时，有 21 个数据，最中间是：第 11 个数据，则中位数是 38； 当 a=4 时，有 22 个数据，最中间是：第 11 和 12 个数据，则中位数是 38； 当 a=5 时，有 23 个数据，最中间是：第 12 个数据，则中位数是 38； 当 a=6 时，有 24 个数据，最中间是：第 12 和 13 个数据，则中位数是 38.5； 故该组数据的中位数不大于 38，则符合条件的正整数 a 的取值共有：5 个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了中位数以及频数分布表，正确把握中位数的定义是解题 关键． 17．（3 分）（2017•镇江）点 E、F 分别在平行四边形 ABCD 的边 BC、AD 上，BE=DF， 点 P 在边 AB 上，AP：PB=1：n（n＞1），过点 P 且平行于 AD 的直线 l 将△ABE 分成面积为 S1、S2 的两部分，将△CDF 分成面积为 S3、S4 的两部分（如图），下 列四个等式： ①S1：S3=1：n ②S1：S4=1：（2n+1） ③（S1+S4）：（S2+S3）=1：n ④（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=n：（n+1） 其中成立的有（ ） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④ 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质． 【分析】根据平行线的性质，相似三角形的性质可知 =（ ）2，S3=n2S1， =（ ）2，求出 S2，S3，S4（用 S1，n 表示），即可解决问题． 【解答】解：由题意∵AP：PB=1：n（n＞1），AD∥l∥BC， ∴ =（ ）2，S3=n2S1， =（ ）2， 整理得：S2=n（n+2）S1，S4=（2n+1）S1， ∴S1：S4=1：（2n+1），故①错误，②正确， ∴（S1+S4）：（S2+S3）=[S1+（2n+1）S1]：[n（n+2）S1+n2S1]=1：n，故③正确， ∴（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=[n2S1﹣S1]：[n（n+2）S1﹣（2n+1）S1]=1：1，故④错 误， 故选 B． 【点评】本题考查平行四边形的性质．相似三角形的性质等知识，解题的关键是 学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 三、解答题（本大题共 11 小题，满分 81 分） 18．（8 分）（2017•镇江）（1）计算：（﹣2）2+tan45°﹣（ ﹣2）0 （2）化简：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣2） 【考点】4B：多项式乘多项式；2C：实数的运算；4A：单项式乘多项式；6E： 零指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】（1）根据特殊角三角函数值，零指数幂，可得答案． （2）原式去括号合并得到最简结果即可． 【解答】解：（1）原式=4+1﹣1=4； （2）原式=x2+x﹣x2+x+2=2x+2． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．（10 分）（2017•镇江）（1）解方程组： （2）解不等式： ＞1﹣ ． 【考点】C6：解一元一次不等式；98：解二元一次方程组． 【分析】（1）用加减消元法求出方程组的解． （2）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并，系数化为 1 即可得解． 【解答】解：（1） ， ①+②得：3x=9， x=3， 代入①得：3﹣y=4， y=﹣1． 则原方程组的解为 ． （2）去分母得，2x＞6﹣3（x﹣2）， 去括号得，2x＞6﹣3x+6， 移项、合并得，5x＞12， 系数化为 1 得，x＞ ． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组合解一元一次不等式，掌握解一元一次 不等式的一般步骤和解方程组的方法上解题得关键． 20．（6 分）（2017•镇江）为了解射击运动员小杰的集训效果，教练统计了他集 训前后的两次测试成绩（每次测试射击 10 次），制作了如图所示的条形统计图． （1）集训前小杰射击成绩的众数为 8 ； （2）分别计算小杰集训前后射击的平均成绩； （3）请用一句话评价小杰这次集训的效果． 【考点】VC：条形统计图；W2：加权平均数；W5：众数． 【分析】（1）根据众数的定义可得； （2）根据加权平均数的定义可得答案； （3）由（2）中答案可得答案． 【解答】解：（1）集训前小杰射击成绩的众数为为 8 环， 故答案为：8； （2）小杰集训前射击的平均成绩为 =8.5（环）， 小杰集训后射击的平均成绩为 =8.9（环）； （3）由集训前后平均环数的变化可知，小杰这次集训后的命中环数明显增加． 【点评】本题主要考查众数和平均数及条形统计图，熟练掌握众数和平均数的定 义是解题的关键． 21．（6 分）（2017•镇江）某校 5 月份举行了八年级生物实验考查，有 A 和 B 两 个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定 具体的考查实验，小明、小丽、小华都参加了本次考查． （1）小丽参加实验 A 考查的概率是 ； （2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验 A 考查的概率； （3）他们三人都参加实验 A 考查的概率是 ． 【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式． 【分析】（1）由可参加实验考查只有两个，可得出小丽参加实验 A 考查的概率是 ； （2）画出树状图，结合树状图得出结论； （3）由每人选择实验 A 考查的概率为 ，利用概率公式即可求出三人都参加实 验 A 考查的概率． 【解答】解：（1）小丽参加实验 A 考查的概率是 ． 故答案为： ． （2）画树状图如图所示． ∵两人的参加实验考查共有四种等可能结果，而两人均参加实验 A 考查有 1 种， ∴小明、小丽都参加实验 A 考查的概率为 ． （3）他们三人都参加实验 A 考查的概率是 × × = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，解题的关键是：（1）根据 可参加的实验考查的个数，求出小丽参加实验 A 考查的概率；（2）画出树状图； （3）套用概率公式求出三人都参加实验 A 考查的概率． 22．（6 分）（2017•镇江）如图，点 B、E 分别在 AC、DF 上，AF 分别交 BD、CE 于点 M、N，∠A=∠F，∠1=∠2． （1）求证：四边形 BCED 是平行四边形； （2）已知 DE=2，连接 BN，若 BN 平分∠DBC，求 CN 的长． 【考点】L7：平行四边形的判定与性质． 【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而 得出 DB 与 EC 平行，再由内错角相等两直线平行得到 DE 与 BC 平行，即可得证； （2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到 一对角相等，再利用等角对等边得到 CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定 出所求． 【解答】（1）证明：∵∠A=∠F， ∴DE∥BC， ∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF， ∴∠DMF=∠2， ∴DB∥EC， 则四边形 BCED 为平行四边形； （2）解：∵BN 平分∠DBC， ∴∠DBN=∠CBN， ∵EC∥DB， ∴∠CNB=∠DBN， ∴∠CNB=∠CBN， ∴CN=BC=DE=2． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性 质是解本题的关键． 23．（6 分）（2017•镇江）如图，小明在教学楼 A 处分别观测对面实验楼 CD 底部 的俯角为 45°，顶部的仰角为 37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点 距地面的垂直高度 AB 为 15m，求实验楼的垂直高度即 CD 长（精确到 1m） 参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75． 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【分析】作 AE⊥CD 于 E，根据正切的定义求出 CE 和 AE，计算即可． 【解答】解：作 AE⊥CD 于 E， ∵AB=15m， ∴DE=AB=15m， ∵∠DAE=45°， ∴AE=DE=15m， 在 Rt△ACE 中，tan∠CAE= ， 则 CE=AE•tan37°=15×0.75≈11cm， ∴AB=CE+DE=11+15=26m． 答：实验楼的垂直高度即 CD 长为 26m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了 解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三 角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给 出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 24．（6 分）（2017•镇江）如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点 D 在 AC 上，AD=1cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 匀速运动；点 Q 从点 C 出发，沿 C→B→A→C 的路径匀速运动．两点同时出发，在 B 点处首次相遇后，点 P 的运 动速度每秒提高了 2cm，并沿 B→C→A 的路径匀速运动；点 Q 保持速度不变， 并继续沿原路径匀速运动，两点在 D 点处再次相遇后停止运动，设点 P 原来的 速度为 xcm/s． （1）点 Q 的速度为 x cm/s（用含 x 的代数式表示）． （2）求点 P 原来的速度． 【考点】B7：分式方程的应用． 【分析】（1）设点 Q 的速度为 ycm/s，根据题意得方程即可得到结论； （2）根据勾股定理得到 AC= = =5，求得 CD=5﹣1=4，列方程 即可得到结论． 【解答】解：（1）设点 Q 的速度为 ycm/s， 由题意得 3÷x=4÷y， ∴y= x， 故答案为： x； （2）AC= = =5， CD=5﹣1=4， 在 B 点处首次相遇后，点 P 的运动速度为（x+2）cm/s， 由题意得 = ， 解得：x= （cm/s）， 答：点 P 原来的速度为 cm/s． 【点评】本题考查了分式方程的应用，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． 25．（6 分）（2017•镇江）如图 1，一次函数 y=﹣x+b 与反比例函数 y= （k≠0） 的图象交于点 A（1，3），B（m，1），与 x 轴交于点 D，直线 OA 与反比例函数 y= （k≠0）的图象的另一支交于点 C，过点 B 作直线 l 垂直于 x 轴，点 E 是点 D 关于直线 l 的对称点． （1）k= 3 ； （2）判断点 B、E、C 是否在同一条直线上，并说明理由； （3）如图 2，已知点 F 在 x 轴正半轴上，OF= ，点 P 是反比例函数 y= （k≠0） 的图象位于第一象限部分上的点（点 P 在点 A 的上方），∠ABP=∠EBF，则点 P 的坐标为（ ， ）． 【考点】GB：反比例函数综合题． 【分析】（1）把 A 点坐标代入 y= 中可求出 k 的值； （2）先利用反比例函数的中心对称性得到 C（﹣1，﹣3），再把 B（m，1）代入 y= 求出 m 得到 B（3，1），通过确定直线 AB 的解析式得到 D（4，0），接着利 用对称性确定 E（2，0），于是利用待定系数法看球出直线 BC 的解析式为 y=x﹣2， 然后判断点 E 是否直线 BC 上； （3）直线 AB 交 y 轴于 M，直线 BP 交 y 轴于 N，如图 2，先确定 M（0，4），计 算出 BM=3 ，BE= ，EF= ，再证明△BMN∽△BEF，通过相似比计算出 MN= ， 从而得到 N（0， ），则利用待定系数法得到直线 BN 的解析式为 y=﹣ x+ ， 然后通过解方程组 得 P 点坐标． 【解答】解：（1）∵A（1，3）在反比例函数 y= 的图象上， ∴k=1×3=3； （2）点 B、E、C 在同一条直线上．理由如下： ∵直线 OA 与反比例函数 y= （k≠0）的图象的另一支交于点 C， ∴点 A 与点 C 关于原点对称， ∴C（﹣1，﹣3）， ∵B（m，1）在反比例函数 y= 的图象上， ∴1×m=3，解得 m=3，即 B（3，1）， 把 A（1，3）代入 y=﹣x+b 得﹣1+b=3，解得 b=4， ∴直线 AB 的解析式为 y=﹣x+4， 当 y=0 时，﹣x+4=0，解得 x=4，则 D（4，0）， ∵点 E 与点 D 关于直线 x=3 对称， ∴E（2，0）， 设直线 BC 的解析式为 y=px+q， 把 B（3，1），C（﹣1，﹣3）代入得 ，解得 ， ∴直线 BC 的解析式为 y=x﹣2， 当 x=2 时，y=x﹣2=0， ∴点 E 在直线 BC 上， 即点 B、E、C 在同一条直线上； （3）直线 AB 交 y 轴于 M，直线 BP 交 y 轴于 N，如图 2， 当 x=0 时，y=﹣x+4=4，则 M（0，4）， 而 B（3，1），E（2，0），F（ ，0）， ∴BM= =3 ，BE= = ，EF=2﹣ = ， ∵OM=OD=4， ∴△OMD 为等腰直角三角形， ∴∠OMD=∠ODM=45°， ∵点 E 与点 D 关于直线 x=3 对称， ∴∠BED=∠BDE=45°， ∴∠BMN=∠BEF=135°， ∵∠ABP=∠EBF， ∴△BMN∽△BEF， ∴ = ，即 = ，解得 MN= ， ∴N（0， ）， 设直线 BN 的解析式为 y=ax+n， 把 B（3，1），N（0， ）代入得 ，解得 ， ∴直线 BN 的解析式为 y=﹣ x+ ， 解方程组 得 或 ， ∴P 点坐标为（ ， ）． 故答案为 3， ， ． 【点评】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标 特征、反比例函数的性质；会利用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式， 能通过解方程求它们的交点坐标；会运用相似比计算线段的长；理解坐标与图形 性质，记住两点间的距离公式． 26．（8 分）（2017•镇江）如图 1，Rt△ACB 中，∠C=90°，点 D 在 AC 上，∠CBD= ∠A，过 A、D 两点的圆的圆心 O 在 AB 上． （1）利用直尺和圆规在图 1 中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色 水笔把线条描清楚）； （2）判断 BD 所在直线与（1）中所作的⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （3）设⊙O 交 AB 于点 E，连接 DE，过点 E 作 EF⊥BC，F 为垂足，若点 D 是线 段 AC 的黄金分割点（即 = ），如图 2，试说明四边形 DEFC 是正方形）． 【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）如图 1，作线段 AD 的垂直平分线交 AB 于 O，然后以点 O 为圆心， OA 为半径作圆； （2）连接 OD，如图 1，利用∠A=∠ODA、∠CBD=∠A 得到∠CBD=∠ODA，则可 证明∠ODB=90°，然后根据切线的判定方法可判断 BD 为⊙O 的切线； （3）先证明△CDB∽△CBA 得到 CB2=CD•CA，再根据黄金分割的定义得到 AD2=CD•AC，则 AD=CB，接着证明△ADE≌△BCD 得到 DE=DC，易得四边形 CDEF 为矩形，然后根据正方形的判定方法可判断四边形 DEFC 是正方形． 【解答】解：（1）如图 1，⊙O 为所作； （2）BD 与⊙O 相切．理由如下： 连接 OD，如图 1， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ODA， ∵∠CBD=∠A， ∴∠CBD=∠ODA， ∵∠C=90°， ∴∠CBD+∠CDB=90°， ∴∠ODA+∠CDB=90°， ∴∠ODB=90°， ∴OD⊥BD， ∴BD 为⊙O 的切线； （3）∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA， ∴△CDB∽△CBA， ∴CD：CB=CB：CA， ∴CB2=CD•CA， ∵点 D 是线段 AC 的黄金分割点， ∴AD2=CD•AC， ∵AD=CB， ∵AE 为直径， ∴∠ADE=90°， 在△ADE 和△BCD 中 ， ∴△ADE≌△BCD， ∴DE=DC， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°， ∴四边形 CDEF 为矩形， ∴四边形 DEFC 是正方形． 【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握正方形的判定方法、圆的定义、圆周 角定理和切线的判定方法；会利用相似比表示线段之间的关系，记住黄金分割的 定义；会作线段的垂直平分线． 27．（8 分）（2017•镇江）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 坐标为（4，t）（t＞0），二次函数 y=x2+bx（b＜0）的 图象经过点 B，顶点为点 D． （1）当 t=12 时，顶点 D 到 x 轴的距离等于 ； （2）点 E 是二次函数 y=x2+bx（b＜0）的图象与 x 轴的一个公共点（点 E 与点 O 不重合），求 OE•EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式； （3）矩形 OABC 的对角线 OB、AC 交于点 F，直线 l 平行于 x 轴，交二次函数 y=x2+bx （b＜0）的图象于点 M、N，连接 DM、DN，当△DMN≌△FOC 时，求 t 的值． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）当 t=12 时，B（4，12），将点 B 的坐标代入抛物线的解析式可求得 b 的值，于是可得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点 D 的坐标，从而 可求得点 D 到 x 轴的距离； （2）令 y=0 得到 x2+bx=0，从而可求得方程的解为 x=0 或 x=﹣b，然后列出 OE•AE 关于 b 的函数关系式，利用配方法可求得 b 的 OE•AE 的最大值，以及此时 b 的 值，于是可得到抛物线的解析式； （3）过 D 作 DG⊥MN，垂足为 G，过点 F 作 FH⊥CO，垂足为 H．依据全等三角 形的性质可得到 MN=CO=t，DG=FH=2，然后由点 D 的坐标可得到点 N 的坐标， 最后将点 N 的坐标代入抛物线的解析式可求得 t 的值． 【解答】解：（1）当 t=12 时，B（4，12）． 将点 B 的坐标代入抛物线的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1， ∴抛物线的解析式 y=x2﹣x． ∴y=（x﹣ ）2﹣ ． ∴D（ ， ）． ∴顶点 D 与 x 轴的距离为 ． 故答案为： ． （2）将 y=0 代入抛物线的解析式得：x2+bx=0，解得 x=0 或 x=﹣b， ∵OA=4， ∴AE=4﹣（﹣b）=4+b． ∴OE•AE=﹣b（4+b）=﹣b2﹣4b=﹣（b+2）2+4， ∴OE•AE 的最大值为 4，此时 b 的值为﹣2， ∴抛物线的表达式为 y=x2﹣2x． （3）过 D 作 DG⊥MN，垂足为 G，过点 F 作 FH⊥CO，垂足为 H． ∵△DMN≌△FOC， ∴MN=CO=t，DG=FH=2． ∵D（﹣ ，﹣ ）， ∴N（﹣ + ，﹣ +2），即（ ， ）． 把点 N 和坐标代入抛物线的解析式得： =（ ）2+b•（ ）， 解得：t=±2 ． ∵t＞0， ∴t=2 ． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数 法求二次函数的解析式、配方法求二次函数的顶点坐标，全等三角形的性质，求 得点 N 的坐标（用含 b 和 t 的式子表示）是解题的关键． 28．（11 分）（2017•镇江）【回顾】 如图 1，△ABC 中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC 的面积等于 3 ． 【探究】 图 2 是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有 30°的角，较短的直角边长为 a；另 一个含有 45°的角，直角边长为 b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边 形 ABCD（如图 3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 sin75°= ， 小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形 EFGH（如图 4），也推出 sin75°= ， 请你写出小明或小丽推出 sin75°= 的具体说理过程． 【应用】 在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图 5） （1）点 E 在 AD 上，设 t=BE+CE，求 t2 的最小值； （2）点 F 在 AB 上，将△BCF 沿 CF 翻折，点 B 落在 AD 上的点 G 处，点 G 是 AD 的中点吗？说明理由． 【考点】LO：四边形综合题． 【分析】回顾：如图 1 中，作 AH⊥BC．求出 AH 即可解决问题； 探究：如图 2 中，根据 S 四边形 ABCD=BC•AB•sin75°=2S△ABE+2S△BFC+S 矩形 EFGH 列出方程 即可解决问题； 应用：①作 C 关于 AD 的对称点 H，CH 交 AD 于 J，连接 BH，EH．因为 EC=EH， 推出 EB+EC=EB+EH，在△EBH 中，BE+EH≥BH，推出 BE+EC 的最小值为 BH，求出 BH 即可解决问题； ②结论：点 G 不是 AD 的中点．理由反证法证明即可． 【解答】由题意可知四边形 EFGH 是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH= a ﹣b，EH=FG=b﹣a，BC= b， 解：回顾：如图 1 中，作 AH⊥BC． 在 Rt△ABH 中，∵∠B=30°，AB=3， ∴AH=AB•sin30°= ， ∴S△ABC= •BC•AH= ×4× =3， 故答案为 3． 探究：如图 2 中， 由题意可知四边形 EFGH 是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH= a﹣b， EH=FG=b﹣a，BC= b， ∵S 四边形 ABCD=BC•AB•sin75°=2S△ABE+2S△BFC+S 矩形 EFGH ∴ b•2a•sin75°=2× ×a× a+2× ×b2+（ a﹣b）（b﹣a）， ∴2 absin75°= ab+ab， ∴sin75°= ． 如图 3 中， 易知四边形 ABCD 是平行四边形，∠BAD=75°， ∴S 四边形 EFGH=2•S△ABE+2•S△ADF+S 平行四边形 ABCD， ∴（a+b）（ a+b）═2× ×a× a+2× ×b2+ b•2a•sin75°， ∴sin75°= ． 应用：①作 C 关于 AD 的对称点 H，CH 交 AD 于 J，连接 BH，EH． 在 Rt△DCJ 中，JC=CD•sin75°= （ + ）， ∴CH=2CJ= （ + ）， 在 Rt△BHC 中，BH2=BC2+CH2=36+ （ + ）2=86+25 ， ∵EC=EH， ∴EB+EC=EB+EH， 在△EBH 中，BE+EH≥BH， ∴BE+EC 的最小值为 BH， ∴t=BE+CE，t2 的最小值为 BH2，即为 86+25 ． ②结论：点 G 不是 AD 的中点． 理由：作 CJ⊥AD 于 J，DH⊥CG 于 H． 不妨设 AG=GD=5，∵CD=5， ∴DC=DG，∵DH⊥CG， ∴GH=CH=3， 在 Rt△CDH 中，DH= = =4， ∵S△DGC= •CG•DH= •DG•CJ， ∴CJ= ， ∴sin∠CDJ= = ， ∵∠CDJ=75°， ∴与 sin75°= 矛盾， ∴假设不成立， ∴点 G 不是 AD 的中点． 【点评】本题考查四边形综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形的面积．轴 对称最短问题等知识，解题的关键是学会理由分割法求四边形的面积，学会用反 证法解决问题，属于中考压轴题． 3-2017 年江苏省常州市中考数学试卷及解析（20 页） 一、选择题(每小题 3 分，共 10 小题，合计 30 分) 1. -2 的相反数是( ). A．- 1 2 B． 1 2 C．±2 D．2 2. 下列运算正确的是( ). A．m·m=2m B．(mn)3=mn3 C．(m2)3=m6 D．m6÷a3=a3 3. 右图是某个几何体的三视图，则该几何体是( ). A．圆锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．三棱锥 4. 计算: 1x x  + 1 x 的结果是( ). A． 2x x  B． 2 x C． 1 2 D．1 5. 若 3x>-3y,则下列不等式中一定成立的是( ). A．x+y>0 B．x-y>0 C．x+y<0 D．x-y<0 6. 如图，已知直线 AB、CD 被直线 AE 所截，AB∥CD, ∠1＝60°,则∠2 的度数 是( ) A．100° B．110° C．120° D．130° 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 7. 如图，已知矩形 ABCD 的顶点 A、D 分别落在 x 轴、y 轴上，OD=2OA=6, AD： AB=3:1, 则点 C 的坐标是( ). A．(2,7) B．(3,7) C．(3,8) D．(4,8) 8. 如图，已知□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E、F、G、H，连接 AC，若 EF=2,FG=GC=5,则 AC 的长是( ). A．12 B．13 C．6 5 D．8 3 二、填空题：(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分) 9. 计算：|-2|+(-2)0= . 10. 若二次根式 2x  有意义，则实数 x 的取值范围是 . 11. 肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.0007mm,则数据 0.0007 用科学计数法表示 为 . 12. 分解因式：ax2-ay2= . 13. 已知 x=1 是关于 x 的方程 ax2-2x+3=0 的一个根，则 a= . 14. 已知圆锥的底面圆半径是 1,母线长是 3,则圆锥的侧面积是 . 15. 如图，已知在 △ ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，垂足为 E，交 AC 于点 D， 若 AB=6,AC=9,则 △ ABD 的周长是 . 第 15 题图 第 16 题图 16. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，点 C 为弧 BD 的中点. 若∠DAB＝40°,则∠ABC＝ °. 17. 已知二次函数 y= ax2+bx-3 自变量 x 的部分取值和对应函数值 y 如下表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … 5 0 -3 -4 -3 0 … 则在实数范围内能使得 y-5>0 成立的 x 的取值范围是 . 18. 如图，已知点 A 是一次函数 y= 1 2 x(x≥0)图像上一点， 过点 A 作 x 轴的垂线 l，B 是 l 上一点(B 在 A 上方)， 在 AB 的右侧以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC， 反比例函数 ky x  (k)0)的图像过点 B、C，若△OAB 的面积为 6,则△ABC 的面积是 . 三、解答题：(本大题共 6 个小题，满分 60 分) 19. (6 分)先化简，再求值：(x+2) (x-2)-x (x-1),其中 x=-2. 20. (8 分)解方程和不等式组： (1) 2 5 2 x x   = 3 3 2 x x   -3 (2) 2 6 4 1 5 x x      21. (8 分)为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”“打 球”“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余 兴趣爱好情况(每个学生必须选一项且只能选一项)，并根据调查结果绘制了 如下统计图： 根据统计图所提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查中的样本容量是 . (2)补全条形统计图； (3)该校共有 2000 名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学 生人数. 22. (8 分)一只不透明的袋子中装有 4 个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分 别标有数字 1、2、3、4. (1)搅匀后从中任意摸出 1 个球，求摸出的乒乓球球面上数字为 1 的概率； (2)搅匀后先从中任意摸出 1 个球(不放回)，再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，求 2 次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率. 23. (8 分)如图，已知在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，∠BCE=∠ACD=90°， ∠BAC=∠D，BC=CE. (1)求证：AC=CD； (2)若 AC=AE，求∠DEC 的度数. 24. (8 分)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买 2 个篮球和 1 个足球共需 320 元，购买 3 个篮球和 2 个足球共需 540 元. (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)如果学校计划购买这两种共 50 个，总费用不超过 5500 元，那么最多可购 买多少个足球？ 25. (8 分)如图，已知一次函数 y=kx+b 的图像与 x 轴交于点 A，与反比例函数 y= m x (x<0)的图像交于点 B(-2,n)，过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，点 D(3-3n,1)是 该反比例函数图像上一点. (1)求 m 的值； (2)若∠DBC=∠ABC，求一次函数 y=kx+b 的表达式. 26. (10 分)如图 1,在四边形 ABCD 中，如果对角线 AC 和 BD 相交并且相等，那 么我们把这样的四边形称为等角线四边形. (1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是等角线四边形(填写图形名 称)； ②若 M、N、P、Q 分别是等角线四边形 ABCD 四边 AB、BC、CD、DA 的中 点，当对角线 AC、BD 还需要满足 时，四边形 MNPQ 是正方形； (２)如图 2,已知△ABC 中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,D 为平面内一点. ①若四边形 ABCD 是等角线四边形，且 AD=BD，则四边形 ABCD 的面积 是 ； ②设点 E 是以 C 为圆心，1 为半径的圆上的动点，若四边形 ABED 是等角线 四边形，写出四边形 ABED 面积的最大值，并说明理由. 27. (10 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y=- 1 2 x2+bx 的图像 过点 A(4,0),顶点为 B，连接 AB、BO. (1)求二次函数的表达式； (2)若 C 是 BO 的中点，点 Q 在线段 AB 上，设点 B 关于直线 CP 的对称点为 B′，当△OCB′为等边三角形时，求 BQ 的长度； (3)若点 D 在线段 BO 上，OD=2BD，点 E、F 在△OAB 的边上，且满足△DOF 与△DEF 全等，求点 E 的坐标. 28. (10 分)如图，已知一次函数 y=- 4 3 x+4 的图像是直线 l，设直线 l 分别与 y 轴、 x 轴交于点 A、B. (1)求线段 AB 的长度； (2)设点 M 在射线 AB 上，将点 M 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°到点 N，以点 N 为圆心，NA 的长为半径作⊙N. ①当⊙N 与 x 轴相切时，求点 M 的坐标； ②在①的条件下，设直线 AN 与 x 轴交于点 C，与⊙N 的另一个交点为 D， 连接 MD 交 x 轴于点 E.直线 m 过点 N 分别与 y 轴、直线 l 交于点 P、Q，当 △APQ 与△CDE 相似时，求点 P 的坐标. 江苏省常州市 2017 年中考数学试题(解析版) 一、选择题(每小题 3 分，共 10 小题，合计 30 分) 1.-2 的相反数是( ). A．- 1 2 B． 1 2 C．±2 D．2 答案：D. 解析：数 a 的相反数是-a,所以-2 的相反数是 2，故选 D． 2.下列运算正确的是( ). A．m·m=2m B．(mn)3=mn3 C．(m2)3=m6 D．m6÷a3=a3 答案：C. 解析：m·m=2m2, (mn)3=m3n3, (m2)3=m6, m6÷a3=a4,故正确的是 C，故选 C． 3.右图是某个几何体的三视图，则该几何体是( ). A．圆锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．三棱锥 答案：B. 解析：由三视图确定几何体，从三视图可以确定此几何体为三棱柱，故选 B． 4.计算: 1x x  + 1 x 的结果是( ). A． 2x x  B． 2 x C． 1 2 D．1 答案：D. 解析：本题考查分式的加法，同分母分式，分子相加减，原式= 1 1x x   =1，故选 D． 5.若 3x>-3y,则下列不等式中一定成立的是( ). A．x+y>0 B．x-y>0 C．x+y<0 D．x-y<0 答案：A. 解析：不等式的两边都除以 3 得 x>-y,移项得 x+y>0,故选 A． 6.如图，已知直线 AB、CD 被直线 AE 所截，AB∥CD, ∠1＝60°,则∠2 的度数是( ). A．100° B．110° C．120° D．130° 答案：C. 解析：∵AB∥CD, ∠1＝60°,∴∠3＝∠1＝60°,所以∠2＝180°-60°=120°,故选 C ． 7.如图，已知矩形 ABCD 的顶点 A、D 分别落在 x 轴、y 轴上，OD=2OA=6, AD： AB=3:1, 则点 C 的坐标是( ). A．(2,7) B．(3,7) C．(3,8) D．(4,8) 答案：A. 解析：作 BE⊥x 轴于 E，由题意知 △ ABE∽△DAO，因为 OD=2OA=6,所以 OA=3,由勾股定理 得 AD=3 5 ,因为 AD：AB=3：1,所以 AB= 5 ，所以 BE=1,AE=2,由矩形的性质知，将点 D 向上平移一个单位，向右平移 2 个单位得到点 C，所以点 C 的坐标为(2,7),故选 A． 8.如图，已知□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E、F、G、H，连接 AC，若 EF=2,FG=GC=5,则 AC 的长是( ). A．12 B．13 C．6 5 D．8 3 答案：B. 解析：作 AM⊥CH 交 CH 的延长线于 H，因为四条内角平分线围成的四边形 EFGH 为矩形， 所以 AM=FG=5,MH=AE=CG=5,所以 CM=12,由勾股定理得 AC=13，故选 B． 二、填空题：(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分) 9.计算：|-2|+(-2)0= . 答案：3. 解析：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0,非零数的零次 方都等于 1,依此规则原式=2+1=3． 10.若二次根式 2x  有意义，则实数 x 的取值范围是 . 答案：x≥2. 解析：二次根式有意义需要满足被开方数为非负数，所以 x-2≥0,解得 x≥2． 11.肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.0007mm,则数据 0.0007 用科学计数法表示为 . 答案：7×10-4. 解析：用科学记数法表示较小的数，0.0007=7×10-4． 12.分解因式：ax2-ay2= . 答案：a(x+y)(x-y). 解析：原式=a(x2-y2)=a(x+y)(x-y)． 13.已知 x=1 是关于 x 的方程 ax2-2x+3=0 的一个根，则 a= . 答案：-1. 解析：将 x=1 代入方程 ax2-2x+3=0 得 a-2+3=0,解得 a=-1． 14.已知圆锥的底面圆半径是 1,母线长是 3,则圆锥的侧面积是 . 答案：3π. 解析：圆锥的侧面积= 2 1 ×扇形半径×扇形弧长= 2 1 ×l×(2πr)=πrl=π×1×3=3π．设圆锥的母线长 为 l，设圆锥的底面半径为 r，则展开后的扇形半径为 l，弧长为圆锥底面周长(2πR)．我们已 经知道，扇形的面积公式为：S= 2 1 ×扇形半径×扇形弧长= 2 1 ×l×(2πr)=πrl．即圆锥的侧面积 等于底面半径与母线和π的乘积.π×1×3=3π. 15．(2017 常州，15，2 分)如图，已知在 △ ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，垂足为 E，交 AC 于 点 D，若 AB=6,AC=9,则 △ ABD 的周长是 . 答案：15. 解 析 ： 因 为 DE 垂 直 平 分 BC ， 所 以 DB=DC ， 所 以 △ ABD 的 周 长 =AD+AB+BD=AB+AD+CD=AB+AC=6+9=15． 16.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，点 C 为弧 BD 的中点.若∠DAB＝40°, 则∠ABC＝ °. 答案：70°. 解析：连接 AC，OC，因为 C 是弧 BD 的中点，∠DAB＝40°,所以∠CAB＝20°,所以∠COB ＝40°,由三角形内角和得∠B＝70°. 17.已知二次函数 y= ax2+bx-3 自变量 x 的部分取值和对应函数值 y 如下表： X … -2 -1 0 1 2 3 … y … 5 0 -3 -4 -3 0 … 则在实数范围内能使得 y-5>0 成立的 x 的取值范围是 . 答案：x>4 或 x<-2. 解析：将点(-1,0)和(1,-4)代入 y= ax2+bx-3 得 0 3 4 3 a b a b        ，解得： 1 2 a b     ，所以该二次 函数的解析式为 y= x2-2x-3,若 y>5,则 x2-2x-3>5, x2-2x-8>0,解一元二次方程 x2-2x-8=0，得 x=4 或 x=-2.根据函数图象判断 y-5>0 成立的 x 的取值范围是 x>4 或 x<-2． 18.如图，已知点 A 是一次函数 y= 1 2 x(x≥0)图像上一点，过点 A 作 x 轴的垂线 l，B 是 l 上一 点(B 在 A 上方)，在 AB 的右侧以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，反比例函数 ky x  (k)0) 的图像过点 B、C，若 △ OAB 的面积为 6,则 △ ABC 的面积是 . 答案：18. 析：设点 A(4a,2a),B(4a,2b),则 C 点的横坐标为 4a+ 1 2 (2b-2a) , C 点的坐标为(3a+b, a+b)．所 以 4a·2b=(3a+b)(a+b), (3a-b)(a-b)=0,解得：a=b(舍去) 或 b=3a. S △ ABC= 1 2 (2b-2a)·4a=8a2=6,k=4a·2b =24a2=18. 三、解答题：(本大题共 6 个小题，满分 60 分) 19.(6 分)先化简，再求值：(x+2) (x-2)-x (x-1),其中 x=-2. 思路分析：先化简，再代入求值. 解：原式=x2-4-x2+x=x-4,当 x=-2 时，原式=-2-4=-6. 20.(8 分)解方程和不等式组： (1) 2 5 2 x x   = 3 3 2 x x   -3 (2) 2 6 4 1 5 x x      思路分析：(1)解分式方程，检验方程的解是否为增根； (2)分别解两个不等式再确定不等式组的解集. 解：(1)去分母得 2x-5=3x-3-3(x-2),去括号移项合并同类项得，2x=-8,解得 x=-4,经检验 x=4 是 原方程的根，所以原方程的根是 x=4； (2)解不等式①得 x≥-3，解不等式②得 x＜1，所以不等式组的解集是-3≤x＜1. 21.(8 分)为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”“打球”“书法”和“其 他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况(每个学生必须选 一项且只能选一项)，并根据调查结果绘制了如下统计图： 根据统计图所提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查中的样本容量是 . (2)补全条形统计图； (3)该校共有 2000 名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数. 思路分析：(1)利用爱好阅读的人数与占样本的百分比计算，30÷30%=100； (2)其他 100×10%=10 人，打球 100-30-20-10=40 人； (3)利用样本中的数据估计总体数据. 解：(1)100； (2)其他 10 人，打球 40 人； (3)2000× 40 100 =800,所以估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生为数为 800 人. 22.(8 分)一只不透明的袋子中装有 4 个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字 1、 2、3、4. (1)搅匀后从中任意摸出 1 个球，求摸出的乒乓球球面上数字为 1 的概率； (2)搅匀后先从中任意摸出 1 个球(不放回)，再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，求 2 次摸 出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率. 思路分析：(1)列举法求概率； (2)画树状图法求概率. 解：(1)从 4 个球中摸出一个球，摸出的球面数字为 1 的概率是 1 4 ； (2)用画树状图法求解，画树状图如下： 从树状图分析两次摸球共出现 12 种可能情况，其中两次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶 数的概率为： 4 12 = 1 3 ． 23.(8 分)如图，已知在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D， BC=CE. (1)求证：AC=CD； (2)若 AC=AE，求∠DEC 的度数. 思路分析：(1)证明 △ ABC≌△DEC； (2)由∠EAC=45°通过等腰三角形的性质求解. 解：(1)证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠ACB=∠DCE， 又∵∠BAC=∠D，BC=CE，∴△ABC≌△DEC，∴AC=CD. (2)∵∠ACD=90°，AC=CD，∴∠EAC=45°， ∵AE=AC∴∠AEC=∠ACE= 1 2 ×(180°-45°)=67.5°， ∴∠DEC=180°-67.5°=112.5°. 24.(8 分)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买 2 个篮球和 1 个足球共需 320 元，购买 3 个篮球和 2 个足球共需 540 元. (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)如果学校计划购买这两种共 50 个，总费用不超过 5500 元，那么最多可购买多少个足球？ 思路分析：(1)根据等量关系列方程组求解； (2)根据不等关系列不等式求解. 解：(1)解设每个篮球售价 x 元，每个足球售价 y 元，根据题意得： 2 320 3 2 540 x y x y      ，解得： 100 120 x y    答：每个篮球售价 100 元，每个足球售价 120 元. (2)设学校最多可购买 a 个足球，根据题意得 100(50-a)+120a≤5500,解得：a≤25.答：学校最多可购买 25 个足球. 25.(8 分)如图，已知一次函数 y=kx+b 的图像与 x 轴交于点 A，与反比例函数 y= m x (x<0)的图 像交于点 B(-2,n)，过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，点 D(3-3n,1)是该反比例函数图像上一点. (1)求 m 的值； (2)若∠DBC=∠ABC，求一次函数 y=kx+b 的表达式. 思路分析：(1)将点 B、D 坐标代入反比例函数解析式求解 m 的值； (2)先求 BD 的解析式，再由线段垂直平分线的性质求得点 A 坐标，最后求 AB 的解析式. 解：(1)把 B(-2,n),D(3-3n,1)代入反比例函数 y= m x 得, 3 3 2 n m n m       解得： 3 6m n       ，所以 m 的值为-6. (2)由(1)知 B、D 两点坐标分别为 B(-2,3),D(-6,1)， 设 BD 的解析式为 y=px+q,所以 6 3 1 2 p q p q      ，解得 4 1 2p q    所以一次函数的解析式为 y= 1 2 x+4,与 x 轴的交点为 E(-8,0) 延长 BD 交 x 轴于 E，∵∠DBC=∠ABC，BC⊥AC，∴BC 垂直平分 AC， ∴CE=6, ∴点 A(4,0),将 A、B 点坐标代入 y=kx+b 得 2 3 4 0k b k b        ，解得 1 2 2 k b       ，所以一次函数的表达式为 y=- 1 2 x+2. 26.(10 分)如图 1,在四边形 ABCD 中，如果对角线 AC 和 BD 相交并且相等，那么我们把这样 的四边形称为等角线四边形. (1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是等角线四边形(填写图形名称)； ②若 M、N、P、Q 分别是等角线四边形 ABCD 四边 AB、BC、CD、DA 的中点，当对角线 AC、BD 还需要满足 时，四边形 MNPQ 是正方形； ⑵如图 2,已知 △ ABC 中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,D 为平面内一点. 2 若四边形 ABCD 是等角线四边形，且 AD=BD，则四边形 ABCD 的面积是 ； ②设点 E 是以 C 为圆心，1 为半径的圆上的动点，若四边形 ABED 是等角线四边形，写出 四边形 ABED 面积的最大值，并说明理由. 思路分析：(1)①矩形是对角线相等的四边形； ②四边形的中点四边形是平行四边形，等角线四边形的中点四边形是菱形，当对角线 AC、 BD 互相垂直时四边形 MNPQ 是正方形； ⑵ ① 根 据 题 意 画 出 图 形 ， 根 据 图 形 分 析 确 定 DF 垂 直 平 分 AB ， 从 而 计 算 面 积 SABED=S △ ABD+S △ BCD； ②如图四边形 ABED 面积的最大值时点 E 在直线 AC 上，点 D 是以 AE 为斜边的等腰直角三 角形的直角顶点，进而求得四边形 ABED 面积的最大值. 解：(1)①矩形；②AC⊥BD； ⑵①∵∠ABC=90°，AB=4,BC=3，∴BD=AC=5, 作 DF⊥AB 于 F，∵AD=BD，∴DF 垂直平 分 AB， ∴BF=2,由勾股定理得 DF= 21 ， 由题意知 SABED=S △ ABD+S △ BCD= 1 2 ×AB×DF+ 1 2 ×BC×BF= 1 2 ×4× 21 + 1 2 ×3×2=2 21 +3； ②如图四边形 ABED 面积的最大值时点 E 在直线 AC 上，点 D 是以 AE 为斜边的直角三角形 的直角顶点，所以 AE=6,DO=3,在 △ ABC 中，由面积公式得点 B 到 AC 的距离为12 5 ，所以四 边形 ABED 面积的最大值= S △ AED+S △ ABE= 1 2 ×6×3+ 1 2 ×6×12 5 =16.2. 27.(10 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y=- 1 2 x2+bx 的图像过点 A(4,0),顶 点为 B，连接 AB、BO. (1)求二次函数的表达式； (2)若 C 是 BO 的中点，点 Q 在线段 AB 上，设点 B 关于直线 CP 的对称点为 B′，当 △ OCB′ 为等边三角形时，求 BQ 的长度； (3)若点 D 在线段 BO 上，OD=2BD，点 E、F 在 △ OAB 的边上，且满足 △ DOF 与 △ DEF 全等， 求点 E 的坐标. 思路分析：(1)将 A 点坐标代入 y=- 1 2 x2+bx 求得二次函数的表达式； (2)根据题意画出图形，根据图形分析，若 △ OCB′为等边三角形，则∠OCB′=∠QCB′=∠ QCB=60°，由∠B=90°,根据特殊三角函数值求得 BQ 的长； (3)按点 F 在 OB 上和点 B 在 OA 上进行讨论确定点 E 的位置，当点 F 在 BA 上，点 E 与点 A 重合时 △ DOF 与 △ DEF 全等；当 F 在 OA 上，DE∥AB 时 △ DOF 与 △ DEF 全等，点 O 关于 DF 的对称点落在 AB 上时 △ DOF 与 △ DEF 全等. 解：(1)将 A(4,0)代入 y=- 1 2 x2+bx 得，- 1 2 ×42+b×4=0,解得 b=2, 所以二次函数的表达式为 y=- 1 2 x2+2x； (2)根据题意画出图形，二次函数 y=- 1 2 x2+2x 的顶点坐标为 B(2,2)，与两坐标轴的交点坐标 为 O(0,0)、A(4,0).此时 OB=2 2 ,BC= 2 ，若 △ OCB′为等边三角形，则∠OCB′=∠QCB′=∠ QCB=60°，因为∠B=90°,所以 tan∠QCB=QB:CB= 3 ,所以 QB= 6 ； (3) ①当点 F 在 OB 上时，如图，当且仅当 DE∥OA，即点 E 与点 A 重合时 △ DOF≌△FED， 此时点 E 的坐标为 E(4,0)； ②点 F 在 OA 时，如图 DF⊥OA，当 OF=EF 时 △ DOF≌△DEF，由于 OD=2BD，所以点 D 坐标为( 4 3 ， 4 3 )，点 F 坐标为( 4 3 ，0)，点 E 坐标为( 8 3 ，0)； 点 F 在 OA 时，如图,点 O 关于 DF 的对称点落在 AB 上时， △ DOF≌△DEF，此时 OD=DE=2BD= 4 3 2 ，BE= 2 3 6 ，作 BH⊥OA 于 H，EG⊥OA 于 G，由相似三角形的性质 求得 HG= 2 3 3 ，所以点 E 坐标为(2+ 2 3 3 ，2- 2 3 3 )． 综上满足条件的点 E 的坐标为(4,0)、( 8 3 ，0)、(2+ 2 3 3 ，2- 2 3 3 )． 28.(10 分)如图，已知一次函数 y=- 4 3 x+4 的图像是直线 l，设直线 l 分别与 y 轴、x 轴交于点 A、B. (1)求线段 AB 的长度； (2)设点 M 在射线 AB 上，将点 M 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°到点 N，以点 N 为圆心，NA 的长为半径作⊙N. ①当⊙N 与 x 轴相切时，求点 M 的坐标；②在①的条件下，设直线 AN 与 x 轴交于点 C，与 ⊙N 的另一个交点为 D，连接 MD 交 x 轴于点 E.直线 m 过点 N 分别与 y 轴、直线 l 交于点 P、 Q，当 △ APQ 与 △ CDE 相似时，求点 P 的坐标. 思路分析：(1) 求 A、B 两点坐标，由勾股定理求得 AB 的长度； (2)①根据题意画出图形，根据 △ AOB∽△NHA， △ HAN≌△FMA 计算出线段 FM 与 OF 的长； ②分点 P 位于 y 轴负半轴上和点 P 位于 y 轴正半轴上两种情况进行分析，借助于相似三角 形的对应线段比等于相似比列方程求得交点 Q 坐标，再将点 Q 坐标代入 AB 及 NP 解析式求 得交点 P 的坐标. 解：(1)函数 y=- 4 3 x+4 中，令 x=0 得 y=4,令 y=0 得，x=3, 所以 A(0,4),B(3,0).AB= 2 23 4 =5. (2)①由图 1 知,当⊙N 与 x 轴相切于点 E 时，作 NH⊥y 轴于 H，则四边形 NHOE 为矩形， HO=EN=AM=AN，∵∠HAN+∠OAB=90°，∠HNA+∠HAN=90°,∴∠OAB=∠HAN，因为 AM ⊥AN，所以 △ AOB∽△NHA， 图 1 ∴ AH OB = HN AO = AN AB ，设 AH=3x，则 HN=4x,AN=NE=OH=5x, ∵OH=OA+AH,∴3x+4=5x, ∴ x=2, ∴ AH=6,HN=8,AN=AM=10. ∵ AM=AN ， ∠ OAB= ∠ HAN ， ∴ Rt △ HAN ≌ Rt △ FMA, ∴ FM=6,AF=8,OF=4, ∴M(6,-4). ②当点 P 位于 y 轴负半轴上时，设直线 AN 的解析式为 y=kx+b，将 A(0,4),N(8,10)代入得 10 4 8k b b      ，解得 3 4 1k b    ，所以直线 AN 的解析式为 y= 3 4 x+4.所以点 C 坐标为(-16 3 ，0), 过 D 作 x 轴的垂线可得点 D(16，16).设点 P 坐标为(0,-p),N(8，10)则直线 NP 解析式为 y=10 8 p x-p, 作 EF⊥CD 于 F，CE= 16 3 +8= 40 3 ,AC= 3 20 ，CD= 3 20 +20= 80 3 ,由相似三角形性质可得 EF=8, △ CDE∽△APQ ，则 4 80 8 3 p  点Q横坐标绝对值 ，解得点 Q 的横坐标绝对值为 3 4 10 p（ ） ， 将 点 Q 横 坐 标 绝 对 值 代 入 AB 及 NP 解 析 式 得 10 8 p · 3 4 10 p（ ） -p= 3 4 10 p（ ） ·(- 4 3 )+4，解得 p1=-4(舍去),p2=6,所以 P(0,-6). 当点 P 位于 y 轴正半轴上时，设点 P 坐标为(0,4+p),N(8，10)，D(16，16)则直线 NP 解析式 为 y= 6 8 p x+4+p, △ CDE∽△AQP，则 40 16 3 p  点Q横坐标绝对值 ，解得点 Q 的横坐标绝对 值为，将点 Q 横坐标绝对值代入 AB 及 NP 解析式得 6 8 p ·(- 6 5 p )+4+p=(- 6 5 p )·(- 4 3 )+4，解 得 p=10，所以 P(0,14). 法二：把 M（6,-4）,D（16,16）代入 y=kx+b 得 16 16 6 4 k b k b       ，解得 16 2k b       ,∴直线 MD 的解析式为 y=2x-16,当 x=8 时，y=0，点 E（8,0）在直线 DE 上。 ①当 P 位于 y 轴负半轴上时， △ CDE∽△APQ，则∠7=∠5, ∠4=∠6, ∵ND=NE=r，∴∠1= ∠6,∵OA∥NE，∴∠2=∠4, ∴∠2=∠1, ∴NP∥ND，∴∠3=∠6, ∴∠3=∠4, ∴AN=NP=10, ∵OA=4, ∴OP=6, ∴点 P 坐标为（0,-6） ②当 P 位于 y 轴正半轴上时， △ CDE∽△AQP，则∠1=∠2=∠3, ∠APQ=∠CED, ∴∠5=∠6, ∵ND=NE=r，∴∠4=∠7, ∠8=∠Q=90°, ∠8=∠9, ∠E=∠Q∴∠9+∠4=90°, ∴NQ⊥DE， ∴∠9=∠6, ∴∠5=∠8,∴AN=NP=10, ∵OA=4, ∴OP=14, ∴点 P 坐标为（0,14） 4-2017 年江苏省无锡市中考数学试卷及解析（21 页） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣5 的倒数是（ ） A． B．±5 C．5 D．﹣ 【考点】17：倒数． 【分析】根据倒数的定义，即可求出﹣5 的倒数． 【解答】解：∵﹣5×（﹣ ）=1， ∴﹣5 的倒数是﹣ ． 故选 D． 2．函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＞2 【考点】E4：函数自变量的取值范围． 【分析】根据分式的意义的条件，分母不等于 0，可以求出 x 的范围． 【解答】解：根据题意得：2﹣x≠0， 解得：x≠2． 故函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 x≠2． 故选 A． 3．下列运算正确的是（ ） A．（a2）3=a5 B．（ab）2=ab2 C．a6÷a3=a2 D．a2•a3=a5 【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方． 【分析】利用幂的运算性质直接计算后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、（a2）3=a6，故错误，不符合题意； B、（ab）2=a2b2，故错误，不符合题意； C、a6÷a3=a3，故错误，不符合题意； D、a2•a3=a5，正确，符合题意， 故选 D． 4．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】R5：中心对称图形． 【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选 C． 5．若 a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则 a﹣c 等于（ ） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【考点】44：整式的加减． 【分析】根据题中等式确定出所求即可． 【解答】解：∵a﹣b=2，b﹣c=﹣3， ∴a﹣c=（a﹣b）+（b﹣c）=2﹣3=﹣1， 故选 B 6．“表 1”为初三（1）班全部 43 名同学某次数学测验成绩的统计结果，则下列说法正确的 是（ ） 成绩（分） 70 80 90 男生（人） 5 10 7 女生（人） 4 13 4 A．男生的平均成绩大于女生的平均成绩 B．男生的平均成绩小于女生的平均成绩 C．男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数 D．男生成绩的中位数小于女生成绩的中位数 【考点】W4：中位数；W1：算术平均数． 【分析】根据平均数的定义分别求出男生与女生的平均成绩，再根据中位数的定义分别求出 男生与女生成绩的中位数即可求解． 【解答】解：∵男生的平均成绩是：（70×5+80×10+90×7）÷22=1780÷22=80 ， 女生的平均成绩是：（70×4+80×13+90×4）÷21=1680÷21=80， ∴男生的平均成绩大于女生的平均成绩． ∵男生一共 22 人，位于中间的两个数都是 80，所以中位数是（80+80）÷2=80， 女生一共 21 人，位于最中间的一个数是 80，所以中位数是 80， ∴男生成绩的中位数等于女生成绩的中位数． 故选 A． 7．某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 4.5 万元，从 1 月份到 3 月份， 该店销售额平均每月的增长率是（ ） A．20% B．25% C．50% D．62.5% 【考点】AD：一元二次方程的应用． 【分析】设每月增长率为 x，据题意可知：三月份销售额为 2（1+x）2 万元，依此等量关系 列出方程，求解即可． 【解答】解：设该店销售额平均每月的增长率为 x，则二月份销售额为 2（1+x）万元，三月 份销售额为 2（1+x）2 万元， 由题意可得：2（1+x）2=4.5， 解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合题意舍去）， 答即该店销售额平均每月的增长率为 50%； 故选：C． 8．对于命题“若 a2＞b2，则 a＞b”，下面四组关于 a，b 的值中，能说明这个命题是假命题的 是（ ） A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣1，b=3 【考点】O1：命题与定理． 【分析】说明命题为假命题，即 a、b 的值满足 a2＞b2，但 a＞b 不成立，把四个选项中的 a、 b 的值分别难度验证即可． 【解答】解： 在 A 中，a2=9，b2=4，且 3＞2，满足“若 a2＞b2，则 a＞b”，故 A 选项中 a、b 的值不能说明 命题为假命题； 在 B 中，a2=9，b2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足 a2＞b2，但 a＞b 不成立，故 B 选项中 a、b 的值可以说明命题为假命题； 在 C 中，a2=9，b2=1，且 3＞﹣1，满足“若 a2＞b2，则 a＞b”，故 C 选项中 a、b 的值不能说 明命题为假命题； 在 D 中，a2=1，b2=9，且﹣1＜3，此时满足 a2＜b2，得出 a＜b，即意味着命题“若 a2＞b2， 则 a＞b”成立，故 D 选项中 a、b 的值不能说明命题为假命题； 故选 B． 9．如图，菱形 ABCD 的边 AB=20，面积为 320，∠BAD＜90°，⊙O 与边 AB，AD 都相切， AO=10，则⊙O 的半径长等于（ ） A．5 B．6 C．2 D．3 【考点】MC：切线的性质；L8：菱形的性质． 【分析】如图作 DH⊥AB 于 H，连接 BD，延长 AO 交 BD 于 E．利用菱形的面积公式求出 DH，再利用勾股定理求出 AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得 = ，延长即可解决问题． 【解答】解：如图作 DH⊥AB 于 H，连接 BD，延长 AO 交 BD 于 E． ∵菱形 ABCD 的边 AB=20，面积为 320， ∴AB•DH=32O， ∴DH=16， 在 Rt△ADH 中，AH= =12， ∴HB=AB﹣AH=8， 在 Rt△BDH 中，BD= =8 ， 设⊙O 与 AB 相切于 F，连接 AF． ∵AD=AB，OA 平分∠DAB， ∴AE⊥BD， ∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°， ∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°， ∴△AOF∽△DBH， ∴ = ， ∴ = ， ∴OF=2 ． 故选 C． 10．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ABD 沿 AD 翻 折得到△AED，连 CE，则线段 CE 的长等于（ ） A．2 B． C． D． 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理． 【分析】如图连接 BE 交 AD 于 O，作 AH⊥BC 于 H．首先证明 AD 垂直平分线段 BE，△BCE 是直角三角形，求出 BC、BE 在 Rt△BCE 中，利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图连接 BE 交 AD 于 O，作 AH⊥BC 于 H． 在 Rt△ABC 中，∵AC=4，AB=3， ∴BC= =5， ∵CD=DB， ∴AD=DC=DB= ， ∵ •BC•AH= •AB•AC， ∴AH= ， ∵AE=AB，DE=DB=DC， ∴AD 垂直平分线段 BE，△BCE 是直角三角形， ∵ •AD•BO= •BD•AH， ∴OB= ， ∴BE=2OB= ， 在 Rt△BCE 中，EC= = = ， 故选 D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分） 11．计算 × 的值是 6 ． 【考点】75：二次根式的乘除法． 【分析】根据 • = （a≥0，b≥0）进行计算即可得出答案． 【解答】解： × = = =6； 故答案为：6． 12．分解因式：3a2﹣6a+3= 3（a﹣1）2 ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】首先提取公因式 3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2． 13．贵州 FAST 望远镜是目前世界第一大单口径射电望远镜，反射面总面积约 250000m2，这 个数据用科学记数法可表示为 2.5×105 ． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 250000 用科学记数法表示为：2.5×105． 故答案为：2.5×105． 14．如图是我市某连续 7 天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这 7 天中 最大的日温差是 11 ℃． 【考点】18：有理数大小比较；1A：有理数的减法． 【分析】求出每天的最高气温与最低气温的差，再比较大小即可． 【 解答 】解 ： ∵ 由 折线 统 计图 可 知， 周 一的 日 温差 =8℃+1℃=9℃ ； 周二 的 日温 差 =7℃+1℃=8℃；周三的日温差=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温差=13℃﹣ 5℃=8℃；周六的日温差=15℃﹣71℃=8℃；周日的日温差=16℃﹣5℃=11℃， ∴这 7 天中最大的日温差是 11℃． 故答案为：11． 15．若反比例函数 y= 的图象经过点（﹣1，﹣2），则 k 的值为 2 ． 【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式． 【分析】由一个已知点来求反比例函数解析式，只要把已知点的坐标代入解析式就可求出比 例系数． 【解答】解：把点（﹣1，﹣2）代入解析式可得 k=2． 16．若圆锥的底面半径为 3cm，母线长是 5cm，则它的侧面展开图的面积为 15π cm2． 【考点】MP：圆锥的计算． 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【解答】解：底面半径为 3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积= ×6π×5=15πcm2． 17．如图，已知矩形 ABCD 中，AB=3，AD=2，分别以边 AD，BC 为直径在矩形 ABCD 的内 部作半圆 O1 和半圆 O2，一平行于 AB 的直线 EF 与这两个半圆分别交于点 E、点 F，且 EF=2 （EF 与 AB 在圆心 O1 和 O2 的同侧），则由 ，EF， ，AB 所围成图形（图中阴影部分） 的面积等于 3﹣ ﹣ ． 【考点】MO：扇形面积的计算；LB：矩形的性质． 【分析】连接 O1O2，O1E，O2F，过 E 作 EG⊥O1O2，过 F⊥O1O2，得到四边形 EGHF 是矩 形，根据矩形的性质得到 GH=EF=2，求得 O1G= ，得到∠O1EG=30°，根据三角形、梯形、 扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接 O1O2，O1E，O2F， 则四边形 O1O2FE 是等腰梯形， 过 E 作 EG⊥O1O2，过 F⊥O1O2， ∴四边形 EGHF 是矩形， ∴GH=EF=2， ∴O1G= ， ∵O1E=1， ∴GE= ， ∴ = ； ∴∠O1EG=30°， ∴∠AO1E=30°， 同理∠BO2F=30°， ∴阴影部分的面积=S ﹣2S ﹣S =3×1﹣2× ﹣ （2+3）× =3﹣ ﹣ ． 故答案为：3﹣ ﹣ ． 18．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 都在格点 处，AB 与 CD 相交于 O，则 tan∠BOD 的值等于 3 ． 【考点】T7：解直角三角形． 【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得 tan∠BOD 的值．，本题得以解决 【解答】解：平移 CD 到 C′D′交 AB 于 O′，如右图所示， 则∠BO′D′=∠BOD， ∴tan∠BOD=tan∠BO′D′， 设每个小正方形的边长为 a， 则 O′B= ，O′D′= ，BD′=3a， 作 BE⊥O′D′于点 E， 则 BE= ， ∴O′E= = ， ∴tanBO′E= ， ∴tan∠BOD=3， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分） 19．计算： （1）|﹣6|+（﹣2）3+（ ）0； （2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b） 【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算；4A：单项式乘多项式；6E：零指数幂． 【分析】（1）根据零指数幂的意义以及绝对值的意义即可求出答案； （2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式=6﹣8+1=﹣1 （2）原式=a2﹣b2﹣a2+ab=ab﹣b2 20．（1）解不等式组： （2）解方程： = ． 【考点】B3：解分式方程；CB：解一元一次不等式组． 【分析】（1）分别解不等式，进而得出不等式组的解集； （2）直接利用分式的性质求出 x 的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）解①得：x＞﹣1， 解②得：x≤6， 故不等式组的解集为：﹣1＜x≤6； （2）由题意可得：5（x+2）=3（2x﹣1）， 解得：x=13， 检验：当 x=13 时，（x+2）≠0，2x﹣1≠0， 故 x=13 是原方程的解． 21．已知，如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连 DE 并延长交 AB 的延长线 于点 F，求证：AB=BF． 【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质． 【分析】根据线段中点的定义可得 CE=BE，根据平行四边形的对边平行且相等可得 AB∥CD， AB=CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB=∠FBE，然后利用“角边角”证明△CED 和△BEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CD=BF，从而得证． 【解答】证明：∵E 是 BC 的中点， ∴CE=BE， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠DCB=∠FBE， 在△CED 和△BEF 中， ， ∴△CED≌△BEF（ASA）， ∴CD=BF， ∴AB=BF． 22．甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和两张黑桃共四张扑克牌，洗 匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色的即为游戏搭档，现甲、乙两 人各抽取了一张，求两人恰好成为游戏搭档的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出 分析过程） 【考点】X6：列表法与树状图法． 【分析】利用列举法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解． 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 12 中情况，从 4 张牌中任意摸出 2 张牌花色相同颜色 4 种可能，所以两人恰好成为游 戏搭档的概率= = ． 23．某数学学习网站为吸引更多人注册加入，举行了一个为期 5 天的推广活动，在活动期间， 加入该网站的人数变化情况如下表所示： 时间 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 新加入人数（人） 153 550 653 b 725 累计总人数（人） 3353 3903 a 5156 5881 （1）表格中 a= 4556 ，b= 600 ； （2）请把下面的条形统计图补充完整； （3）根据以上信息，下列说法正确的是 ① （只要填写正确说法前的序号）． ①在活动之前，该网站已有 3200 人加入； ②在活动期间，每天新加入人数逐天递增； ③在活动期间，该网站新加入的总人数为 2528 人． 【考点】VC：条形统计图． 【分析】（1）观察表格中的数据即可解决问题； （2）根据第 4 天的人数 600，画出条形图即可； （3）根据题意一一判断即可； 【解答】解：（1）由题意 a=3903+653=4556，b=5156﹣4556=600． 故答案为 4556，600． （2）统计图如图所示， （3）①正确．3353﹣153=3200．故正确． ②错误．第 4 天增加的人数 600＜第 3 天 653，故错误． ③错误．增加的人数=153+550+653+600+725=2681，故错误． 故答案为① 24．如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作 法，但要保留作图痕迹）： （1）作△ABC 的外心 O； （2）设 D 是 AB 边上一点，在图中作出一个正六边形 DEFGHI，使点 F，点 H 分别在边 BC 和 AC 上． 【考点】N3：作图—复杂作图；KK：等边三角形的性质；MA：三角形的外接圆与外心． 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出 AB，AC 的垂直平分线交于点 O 即为所求； （2）过 D 点作 DI∥BC 交 AC 于 I，分别以 D，I 为圆心，DI 长为半径作圆弧交 AB 于 E， 交 AC 于 H，过 E 点作 EF∥AC 交 BC 于 F，过 H 点作 HG∥AB 交 BC 于 G，六边形 DEFGHI 即为所求正六边形． 【解答】解：（1）如图所示：点 O 即为所求． （2）如图所示：六边形 DEFGHI 即为所求正六边形． 25．操作：“如图 1，P 是平面直角坐标系中一点（x 轴上的点除外），过点 P 作 PC⊥x 轴于 点 C，点 C 绕点 P 逆时针旋转 60°得到点 Q．”我们将此由点 P 得到点 Q 的操作称为点的 T 变换． （1）点 P（a，b）经过 T 变换后得到的点 Q 的坐标为 （a+ b， b） ；若点 M 经 过 T 变换后得到点 N（6，﹣ ），则点 M 的坐标为 （9，﹣2 ） ． （2）A 是函数 y= x 图象上异于原点 O 的任意一点，经过 T 变换后得到点 B． ①求经过点 O，点 B 的直线的函数表达式； ②如图 2，直线 AB 交 y 轴于点 D，求△OAB 的面积与△OAD 的面积之比． 【考点】FI：一次函数综合题． 【分析】（1）连接 CQ 可知△PCQ 为等边三角形，过 Q 作 QD⊥PC，利用等边三角形的性 质可求得 CD 和 QD 的长，则可求得 Q 点坐标；设出 M 点的坐标，利用 P、Q 坐标之间的 关系可得到点 M 的方程，可求得 M 点的坐标； （2）①可取 A（2， ），利用 T 变换可求得 B 点坐标，利用待定系数示可求得直线 OB 的 函数表达式；②由待定系数示可求得直线 AB 的解析式，可求得 D 点坐标，则可求得 AB、 AD 的长，可求得△OAB 的面积与△OAD 的面积之比． 【解答】解： （1）如图 1，连接 CQ，过 Q 作 QD⊥PC 于点 D， 由旋转的性质可得 PC=PQ，且∠CPQ=60°， ∴△PCQ 为等边三角形， ∵P（a，b）， ∴OC=a，PC=b， ∴CD= PC= b，DQ= PQ= b， ∴Q（a+ b， b）； 设 M（x，y），则 N 点坐标为（x+ y， y）， ∵N（6，﹣ ）， ∴ ，解得 ， ∴M（9，﹣2 ）； 故答案为：（a+ b， b）；（9，﹣2 ）； （2）①∵A 是函数 y= x 图象上异于原点 O 的任意一点， ∴可取 A（2， ）， ∴2+ × = ， × = ， ∴B（ ， ）， 设直线 OB 的函数表达式为 y=kx，则 k= ，解得 k= ， ∴直线 OB 的函数表达式为 y= x； ②设直线 AB 解析式为 y=k′x+b， 把 A、B 坐标代入可得 ，解得 ， ∴直线 AB 解析式为 y=﹣ x+ ， ∴D（0， ），且 A（2， ），B（ ， ）， ∴AB= = ，AD= = ， ∴ = = = ． 26．某地新建的一个企业，每月将生产 1960 吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处 理器，并在如下两个型号种选择： 污水处理器型号 A 型 B 型 处理污水能力（吨/月） 240 180 已知商家售出的 2 台 A 型、3 台 B 型污水处理器的总价为 44 万元，售出的 1 台 A 型、4 台 B 型污水处理器的总价为 42 万元． （1）求每台 A 型、B 型污水处理器的价格； （2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们 至少要支付多少钱？ 【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用． 【分析】（1）可设每台 A 型污水处理器的价格是 x 万元，每台 B 型污水处理器的价格是 y 万元，根据等量关系：①2 台 A 型、3 台 B 型污水处理器的总价为 44 万元，②1 台 A 型、4 台 B 型污水处理器的总价为 42 万元，列出方程组求解即可； （2）由于求至少要支付的钱数，可知购买 6 台 A 型污水处理器、3 台 B 型污水处理器，费 用最少，进而求解即可． 【解答】解：（1）可设每台 A 型污水处理器的价格是 x 万元，每台 B 型污水处理器的价格 是 y 万元，依题意有 ， 解得 ． 答：设每台 A 型污水处理器的价格是 10 万元，每台 B 型污水处理器的价格是 8 万元； （2）购买 6 台 A 型污水处理器、3 台 B 型污水处理器，费用最少， 10×6+8×3 =60+24 =84（万元）． 答：他们至少要支付 84 万元钱． 27．如图，以原点 O 为圆心，3 为半径的圆与 x 轴分别交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右边）， P 是半径 OB 上一点，过 P 且垂直于 AB 的直线与⊙O 分别交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的 上方），直线 AC，DB 交于点 E．若 AC：CE=1：2． （1）求点 P 的坐标； （2）求过点 A 和点 E，且顶点在直线 CD 上的抛物线的函数表达式． 【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）如图，作 EF⊥y 轴于 F，DC 的延长线交 EF 于 H．设 H（m，n），则 P（m， 0），PA=m+3，PB=3﹣m．首先证明△ACP∽△ECH，推出 = = = ，推出 CH=2n， EH=2m=6，再证明△DPB∽△DHE，推出 = = = ，可得 = ，求出 m 即可解 决问题； （2）由题意设抛物线的解析式为 y=a（x+3）（x﹣5），求出 E 点坐标代入即可解决问题； 【解答】解：（1）如图，作 EF⊥y 轴于 F，DC 的延长线交 EF 于 H．设 H（m，n），则 P （m，0），PA=m+3，PB=3﹣m． ∵EH∥AP， ∴△ACP∽△ECH， ∴ = = = ， ∴CH=2n，EH=2m=6， ∵CD⊥AB， ∴PC=PD=n， ∵PB∥HE， ∴△DPB∽△DHE， ∴ = = = ， ∴ = ， ∴m=1， ∴P（1，0）． （2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9， 连接 OP，在 Rt△OCP 中，PC= =2 ， ∴CH=2PC=4 ，PH=6 ， ∴E（9，6 ）， ∵抛物线的对称轴为 CD， ∴（﹣3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为 y=a（x+3）（x﹣5），把 E（9， 6 ）代入得到 a= ， ∴抛物线的解析式为 y= （x+3）（x﹣5），即 y= x2﹣ x﹣ ． 28．如图，已知矩形 ABCD 中，AB=4，AD=m，动点 P 从点 D 出发，在边 DA 上以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，连接 CP，作点 D 关于直线 PC 的对称点 E，设点 P 的运动时间 为 t（s）． （1）若 m=6，求当 P，E，B 三点在同一直线上时对应的 t 的值． （2）已知 m 满足：在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻 t，使点 E 到直线 BC 的距离等于 3，求所有这样的 m 的取值范围． 【考点】LO：四边形综合题． 【分析】（1）只要证明△ABD∽△DPC，可得 = ，由此求出 PD 即可解决问题； （2）分两种情形求出 AD 的值即可解决问题：①如图 2 中，当点 P 与 A 重合时，点 E 在 BC 的下方，点 E 到 BC 的距离为 3．②如图 3 中，当点 P 与 A 重合时，点 E 在 BC 的上方，点 E 到 BC 的距离为 3； 【解答】解：（1）如图 1 中， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC=∠A=90°， ∴∠DCP+∠CPD=90°， ∵∠CPD+∠ADB=90°， ∴∠ADB=∠PCD， ∵∠A=∠CDP=90°， ∴△ABD∽△DPC， ∴ = ， ∴ = ， ∴PD= ， ∴t= s 时，B、E、D 共线． （2）如图 2 中，当点 P 与 A 重合时，点 E 在 BC 的下方，点 E 到 BC 的距离为 3． 作 EQ⊥BC 于 Q，EM⊥DC 于 M．则 EQ=3，CE=DC=4 易证四边形 EMCQ 是矩形， ∴CM=EQ=3，∠M=90°， ∴EM= = = ， ∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M， ∴△ADC∽△DME， = ， ∴ = ， ∴AD=4 ， 如图 3 中，当点 P 与 A 重合时，点 E 在 BC 的上方，点 E 到 BC 的距离为 3． 作 EQ⊥BC 于 Q，延长 QE 交 AD 于 M．则 EQ=3，CE=DC=4 在 Rt△ECQ 中，QC=DM= = ， 由△DME∽△CDA， ∴ = ， ∴ = ， ∴AD= ， 综上所述，在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻 t，使点 E 到直 线 BC 的距离等于 3，这样的 m 的取值范围 ≤m＜4 ． 5-2017 年江苏省苏州市中考数学试卷及解析（30 页） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3 分）（﹣21）÷7 的结果是（ ） A．3 B．﹣3 C． D． 2．（3 分）有一组数据：2，5，5，6，7，这组数据的平均数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（3 分）小亮用天平称得一个罐头的质量为 2.026kg，用四舍五入法将 2.026 精确到 0.01 的近似值为（ ） A．2 B．2.0 C．2.02 D．2.03 4．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+k=0 有两个相等的实数根，则 k 的值为 （ ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 5．（3 分）为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、 反对、无所谓”三种意见．现从学校所有 2400 名学生中随机征求了 100 名学生的 意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有 30 名学生，估计全校持“赞成”意见的 学生人数约为（ ） A．70 B．720 C．1680 D．2370 6．（3 分）若点 A（m，n）在一次函数 y=3x+b 的图象上，且 3m﹣n＞2，则 b 的 取值范围为（ ） A．b＞2 B．b＞﹣2 C．b＜2 D．b＜﹣2 7．（3 分）如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE，则∠ABE 的度数为（ ） A．30° B．36° C．54° D．72° 8．（3 分）若二次函数 y=ax2+1 的图象经过点（﹣2，0），则关于 x 的方程 a（x ﹣2）2+1=0 的实数根为（ ） A．x1=0，x2=4 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1= ，x2= D．x1=﹣4，x2=0 9．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=56°．以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D．E 是⊙O 上一点，且 = ，连接 OE．过点 E 作 EF⊥OE，交 AC 的延 长线于点 F，则∠F 的度数为（ ） A．92° B．108°C．112°D．124° 10．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°，AD=8，F 是 AB 的中点．过点 F 作 FE⊥AD，垂足为 E．将△AEF 沿点 A 到点 B 的方向平移，得到△A'E'F'．设 P、P' 分别是 EF、E'F'的中点，当点 A'与点 B 重合时，四边形 PP'CD 的面积为（ ） A．28 B．24 C．32 D．32 ﹣8 二、填空题（每题 3 分，满分 24 分，将答案填在答题纸上） 11．（3 分）计算：（a2）2= ． 12．（3 分）如图，点 D 在∠AOB 的平分线 OC 上，点 E 在 OA 上，ED∥OB，∠ 1=25°，则∠AED 的度数为 °． 13．（3 分）某射击俱乐部将 11 名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图 所示的条形统计图．由图可知，11 名成员射击成绩的中位数是 环． 14．（3 分）分解因式：4a2﹣4a+1= ． 15．（3 分）如图，在“3×3”网格中，有 3 个涂成黑色的小方格．若再从余下的 6 个小方格中随机选取 1 个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率 是 ． 16．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC．若用扇 形 OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径 是 ． 17．（3 分）如图，在一笔直的沿湖道路 l 上有 A、B 两个游船码头，观光岛屿 C 在码头 A 北偏东 60°的方向，在码头 B 北偏西 45°的方向，AC=4km．游客小张 准备从观光岛屿 C 乘船沿 CA 回到码头 A 或沿 CB 回到码头 B，设开往码头 A、B 的游船速度分别为 v1、v2，若回到 A、B 所用时间相等，则 = （结果保 留根号）． 18．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，将∠ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度 后，BC 的对应边 B'C'交 CD 边于点 G．连接 BB'、CC'．若 AD=7，CG=4，AB'=B'G， 则 = （结果保留根号）． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 19．（5 分）计算：|﹣1|+ ﹣（π﹣3）0． 20．（5 分）解不等式组： ． 21．（6 分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中 x= ﹣2． 22．（6 分）某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李 的质量超过规定时，需付的行李费 y（元）是行李质量 x（kg）的一次函数．已 知行李质量为 20kg 时需付行李费 2 元，行李质量为 50kg 时需付行李费 8 元． （1）当行李的质量 x 超过规定时，求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）求旅客最多可免费携带行李的质量． 23．（8 分）初一（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每 名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图． 男、女生所选项目人数统计表 项目 男生（人数） 女生（人数） 机器人 7 9 3D 打印 m 4 航模 2 2 其他 5 n 根据以上信息解决下列问题： （1）m= ，n= ； （2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为 °； （3）从选航模项目的 4 名学生中随机选取 2 名学生参加学校航模兴趣小组训练， 请用列举法（画树状图或列表）求所选取的 2 名学生中恰好有 1 名男生、1 名女 生的概率． 24．（8 分）如图，∠A=∠B，AE=BE，点 D 在 AC 边上，∠1=∠2，AE 和 BD 相交 于点 O． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1=42°，求∠BDE 的度数． 25．（8 分）如图，在△ABC 中，AC=BC，AB⊥x 轴，垂足为 A．反比例函数 y= （x ＞0）的图象经过点 C，交 AB 于点 D．已知 AB=4，BC= ． （1）若 OA=4，求 k 的值； （2）连接 OC，若 BD=BC，求 OC 的长． 26．（10 分）某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人 从点 A 出发，在矩形 ABCD 边上沿着 A→B→C→D 的方向匀速移动，到达点 D 时 停止移动．已知机器人的速度为 1 个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要 1s （即在 B、C 处拐弯时分别用时 1s）．设机器人所用时间为 t（s）时，其所在位 置用点 P 表示，P 到对角线 BD 的距离（即垂线段 PQ 的长）为 d 个单位长度， 其中 d 与 t 的函数图象如图②所示． （1）求 AB、BC 的长； （2）如图②，点 M、N 分别在线段 EF、GH 上，线段 MN 平行于横轴，M、N 的 横坐标分别为 t1、t2．设机器人用了 t1（s）到达点 P1 处，用了 t2（s）到达点 P2 处（见图①）．若 CP1+CP2=7，求 t1、t2 的值． 27．（10 分）如图，已知△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，点 D 在⊙O 上，OD∥BC， 过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，连接 CD 交 OE 边于点 F． （1）求证：△DOE∽△ABC； （2）求证：∠ODF=∠BDE； （3）连接 OC，设△DOE 的面积为 S1，四边形 BCOD 的面积为 S2，若 = ，求 sinA 的值． 28．（10 分）如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 于点 C，OB=OC．点 D 在函数图象上，CD∥x 轴，且 CD=2，直线 l 是抛物线的对 称轴，E 是抛物线的顶点． （1）求 b、c 的值； （2）如图①，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F'恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标； （3）如图②，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M， 与抛物线交于点 N．试问：抛物线上是否存在点 Q，使得△PQN 与△APM 的面积 相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明 理由． 2017 年江苏省苏州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3 分）（﹣21）÷7 的结果是（ ） A．3 B．﹣3 C． D． 【分析】根据有理数的除法法则计算即可． 【解答】解：原式=﹣3， 故选 B． 【点评】本题考查有理数的除法法则，属于基础题． 2．（3 分）有一组数据：2，5，5，6，7，这组数据的平均数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】把给出的这 5 个数据加起来，再除以数据个数 5，就是此组数据的平均 数． 【解答】解：（2+5+5+6+7）÷5 =25÷5 =5 答：这组数据的平均数是 5． 故选 C 【点评】此题主要考查了平均数的意义与求解方法，关键是把给出的这 5 个数据 加起来，再除以数据个数 5． 3．（3 分）小亮用天平称得一个罐头的质量为 2.026kg，用四舍五入法将 2.026 精确到 0.01 的近似值为（ ） A．2 B．2.0 C．2.02 D．2.03 【分析】根据题目中的数据和四舍五入法可以解答本题． 【解答】解：2.026≈2.03， 故选 D． 【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字 的表示方法． 4．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+k=0 有两个相等的实数根，则 k 的值为 （ ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4﹣4k=0，解之即可得出 k 值． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+k=0 有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4k=4﹣4k=0， 解得：k=1． 故选 A． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0 时，方程有两个相等的实数 根”是解题的关键． 5．（3 分）为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、 反对、无所谓”三种意见．现从学校所有 2400 名学生中随机征求了 100 名学生的 意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有 30 名学生，估计全校持“赞成”意见的 学生人数约为（ ） A．70 B．720 C．1680 D．2370 【分析】先求出 100 名学生中持“赞成”意见的学生人数，进而可得出结论． 【解答】解：∵100 名学生中持“反对”和“无所谓”意见的共有 30 名学生， ∴持“赞成”意见的学生人数=100﹣30=70 名， ∴全校持“赞成”意见的学生人数约=2400× =1680（名）． 故选 C． 【点评】本题考查的是用样本估计总体，先根据题意得出 100 名学生中持赞成” 意见的学生人数是解答此题的关键． 6．（3 分）若点 A（m，n）在一次函数 y=3x+b 的图象上，且 3m﹣n＞2，则 b 的 取值范围为（ ） A．b＞2 B．b＞﹣2 C．b＜2 D．b＜﹣2 【分析】由点 A 的坐标结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出 3m+b=n，再 由 3m﹣n＞2，即可得出 b＜﹣2，此题得解． 【解答】解：∵点 A（m，n）在一次函数 y=3x+b 的图象上， ∴3m+b=n． ∵3m﹣n＞2， ∴﹣b＞2，即 b＜﹣2． 故选 D． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐 标特征结合 3m﹣n＞2，找出﹣b＞2 是解题的关键． 7．（3 分）如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE，则∠ABE 的度数为（ ） A．30° B．36° C．54° D．72° 【分析】在等腰三角形△ABE 中，求出∠A 的度数即可解决问题． 【解答】解：在正五边形 ABCDE 中，∠A= ×（5﹣2）×180=108° 又知△ABE 是等腰三角形， ∴AB=AE， ∴∠ABE= （180°﹣108°）=36°． 故选 B． 【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五 边形的内角，此题基础题，比较简单． 8．（3 分）若二次函数 y=ax2+1 的图象经过点（﹣2，0），则关于 x 的方程 a（x ﹣2）2+1=0 的实数根为（ ） A．x1=0，x2=4 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1= ，x2= D．x1=﹣4，x2=0 【分析】二次函数 y=ax2+1 的图象经过点（﹣2，0），得到 4a+1=0，求得 a=﹣ ， 代入方程 a（x﹣2）2+1=0 即可得到结论． 【解答】解：∵二次函数 y=ax2+1 的图象经过点（﹣2，0）， ∴4a+1=0， ∴a=﹣ ， ∴方程 a（x﹣2）2+1=0 为：方程﹣ （x﹣2）2+1=0， 解得：x1=0，x2=4， 故选 A． 【点评】本题考查了二次函数与 x 轴的交点问题，一元二次方程的解，正确的理 解题意是解题的关键． 9．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=56°．以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D．E 是⊙O 上一点，且 = ，连接 OE．过点 E 作 EF⊥OE，交 AC 的延 长线于点 F，则∠F 的度数为（ ） A．92° B．108°C．112°D．124° 【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE 的度数，再利用四边 形内角和定理得出答案． 【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=56°， ∴∠ABC=34°， ∵ = ， ∴2∠ABC=∠COE=68°， 又∵∠OCF=∠OEF=90°， ∴∠F=360°﹣90°﹣90°﹣68°=112°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠OCE 的 度数是解题关键． 10．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°，AD=8，F 是 AB 的中点．过点 F 作 FE⊥AD，垂足为 E．将△AEF 沿点 A 到点 B 的方向平移，得到△A'E'F'．设 P、P' 分别是 EF、E'F'的中点，当点 A'与点 B 重合时，四边形 PP'CD 的面积为（ ） A．28 B．24 C．32 D．32 ﹣8 【分析】如图，连接 BD，DF，DF 交 PP′于 H．首先证明四边形 PP′CD 是平行四边 形，再证明 DF⊥PP′，求出 DH 即可解决问题． 【解答】解：如图，连接 BD，DF，DF 交 PP′于 H． 由题意 PP′=AA′=AB=CD，PP′∥AA′∥CD， ∴四边形 PP′CD 是平行四边形， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠A=60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∵AF=FB， ∴DF⊥AB，DF⊥PP′， 在 Rt△AEF 中，∵∠AEF=90°，∠A=60°，AF=4， ∴AE=2，EF=2 ， ∴PE=PF= ， 在 Rt△PHF 中，∵∠FPH=30°，PF= ， ∴HF= PF= ， ∵DF=4 ， ∴DH=4 ﹣ = ， ∴平行四边形 PP′CD 的面积= ×8=28 ． 故选 A． 【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和 性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角 形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（每题 3 分，满分 24 分，将答案填在答题纸上） 11．（3 分）计算：（a2）2= a4 ． 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【解答】解：（a2）2=a4． 故答案为：a4． 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积 的乘方的运算法则． 12．（3 分）如图，点 D 在∠AOB 的平分线 OC 上，点 E 在 OA 上，ED∥OB，∠ 1=25°，则∠AED 的度数为 50 °． 【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1，根据角平分线的定义得到∠1=∠2，等 量代换得到∠2=∠3，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵ED∥OB， ∴∠3=∠1， ∵点 D 在∠AOB 的平分线 OC 上， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴∠AED=∠2+∠3=50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练 掌握平行线的性质是解题的关键． 13．（3 分）某射击俱乐部将 11 名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图 所示的条形统计图．由图可知，11 名成员射击成绩的中位数是 8 环． 【分析】11 名成员射击成绩处在第 6 位的是 8，则中位数为 8． 【解答】解：∵按大小排列在中间的射击成绩为 8 环，则中位数为 8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小） 重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位 数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 14．（3 分）分解因式：4a2﹣4a+1= （2a﹣1）2 ． 【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积 的 2 倍，本题可用完全平方公式分解因式． 【解答】解：4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2． 故答案为：（2a﹣1）2． 【点评】本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因 式分解的式子的特点需熟练掌握． 15．（3 分）如图，在“3×3”网格中，有 3 个涂成黑色的小方格．若再从余下的 6 个小方格中随机选取1 个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是 ． 【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可． 【解答】解：如图，∵可选 2 个方格 ∴完成的图案为轴对称图案的概率= = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关 键． 16．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC．若用扇 形 OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【分析】根据平角的定义得到∠AOC=60°，推出△AOC 是等边三角形，得到 OA=3， 根据弧长的规定得到 的长度= =π，于是得到结论． 【解答】解：∵∠BOC=2∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°， ∴∠AOC=60°， ∵OA=OC， ∴△AOC 是等边三角形， ∴OA=3， ∴ 的长度= =π， ∴圆锥底面圆的半径= ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长 等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 17．（3 分）如图，在一笔直的沿湖道路 l 上有 A、B 两个游船码头，观光岛屿 C 在码头 A 北偏东 60°的方向，在码头 B 北偏西 45°的方向，AC=4km．游客小张 准备从观光岛屿 C 乘船沿 CA 回到码头 A 或沿 CB 回到码头 B，设开往码头 A、B 的游船速度分别为 v1、v2，若回到 A、B 所用时间相等，则 = （结果保 留根号）． 【分析】作 CD⊥AB 于点 D，在 Rt△ACD 中利用三角函数求得 CD 的长，然后在 Rt△BCD 中求得 BC 的长，然后根据 = 求解． 【解答】解：作 CD⊥AB 于点 B． ∵在 Rt△ACD 中，∠CAD=90°﹣60°=30°， ∴CD=AC•sin∠CAD=4× =2（km）， ∵Rt△BCD 中，∠CBD=90°， ∴BC= CD=2 （km）， ∴ = = = ． 故答案是： ． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计 算，求得 BC 的长是关键． 18．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，将∠ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度 后，BC 的对应边 B'C'交 CD 边于点 G．连接 BB'、CC'．若 AD=7，CG=4，AB'=B'G， 则 = （结果保留根号）． 【分析】先连接 AC，AG，AC'，构造直角三角形以及相似三角形，根据△ABB' ∽△ACC'，可得到 = ，设 AB=AB'=x，则 AG= x，DG=x﹣4，Rt△ADG 中， 根据勾股定理可得方程 72+（x﹣4）2=（ x）2，求得 AB 的长以及 AC 的长，即 可得到所求的比值． 【解答】解：连接 AC，AG，AC'， 由旋转可得，AB=AB'，AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'， ∴ = ， ∴△ABB'∽△ACC'， ∴ = ， ∵AB'=B'G，∠AB'G=∠ABC=90°， ∴△AB'G 是等腰直角三角形， ∴AG= AB'， 设 AB=AB'=x，则 AG= x，DG=x﹣4， ∵Rt△ADG 中，AD2+DG2=AG2， ∴72+（x﹣4）2=（ x）2， 解得 x1=5，x2=﹣13（舍去）， ∴AB=5， ∴Rt△ABC 中，AC= = = ， ∴ = = ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角 形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助 线构造直角三角形以及相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，将 转 化为 ，并依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽 AB，这 也是本题的难点所在． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 19．（5 分）计算：|﹣1|+ ﹣（π﹣3）0． 【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质和零指数幂的性质分别化简 求出答案． 【解答】解：原式=1+2﹣1=2． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 20．（5 分）解不等式组： ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小 小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：由 x+1≥4，解得 x≥3， 由 2（x﹣1）＞3x﹣6，解得 x＜4， 所以不等式组的解集是 3≤x＜4． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础， 熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此 题的关键． 21．（6 分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中 x= ﹣2． 【分析】把分式进行化简，再把 x 的值代入即可求出结果． 【解答】解：原式= ． 当 时，原式= ． 【点评】本题主要考查了分式的混合运算﹣化简求值问题，在解题时要乘法公式 的应用进行化简． 22．（6 分）某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李 的质量超过规定时，需付的行李费 y（元）是行李质量 x（kg）的一次函数．已 知行李质量为 20kg 时需付行李费 2 元，行李质量为 50kg 时需付行李费 8 元． （1）当行李的质量 x 超过规定时，求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）求旅客最多可免费携带行李的质量． 【分析】（1）根据（20，2）、（50，8）利用待定系数法，即可求出当行李的质量 x 超过规定时，y 与 x 之间的函数表达式； （2）令 y=0，求出 x 值，此题得解． 【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数表达式为 y=kx+b． 将（20，2）、（50，8）代入 y=kx+b 中， ，解得： ， ∴当行李的质量 x 超过规定时，y 与 x 之间的函数表达式为 y= x﹣2． （2）当 y=0 时， x﹣2=0， 解得：x=10． 答：旅客最多可免费携带行李 10kg． 【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函 数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出 y 与 x 之间的 函数表达式；（2）令 y=0，求出 x 值． 23．（8 分）初一（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每 名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图． 男、女生所选项目人数统计表 项目 男生（人数） 女生（人数） 机器人 7 9 3D 打印 m 4 航模 2 2 其他 5 n 根据以上信息解决下列问题： （1）m= 8 ，n= 3 ； （2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为 144 °； （3）从选航模项目的 4 名学生中随机选取 2 名学生参加学校航模兴趣小组训练， 请用列举法（画树状图或列表）求所选取的 2 名学生中恰好有 1 名男生、1 名女 生的概率． 【分析】（1）由航模的人数和其所占的百分比可求出总人数，进而可求出 3D 打 印的人数，则 m 的值可求出，从而 n 的值也可求出； （2）由机器人项目的人数所占总人数的百分比即可求出所对应扇形的圆心角度 数； （3）应用列表法的方法，求出恰好选到 1 名男生和 1 名女生的概率是多少即可． 【解答】解：（1）由两种统计表可知：总人数=4÷10%=40 人， ∵3D 打印项目占 30%， ∴3D 打印项目人数=40×30%=12 人， ∴m=12﹣4=8， ∴n=40﹣16﹣12﹣4﹣5=3， 故答案为：8，3； （2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数= ×360°=144°， 故答案为：144； （3）列表得： 男 1 男 2 女 1 女 2 男 1 ﹣﹣ 男 2 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 2 ﹣﹣ 女 1 男 2 女 2 男 2 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 ﹣﹣ 女 2 女 1 女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 女 1 女 2 ﹣﹣ 由表格可知，共有 12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1 名男 生、1 名女生”有 8 种可能． 所以 P（ 1 名男生、1 名女生）= ． 【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应 用，要熟练掌握． 24．（8 分）如图，∠A=∠B，AE=BE，点 D 在 AC 边上，∠1=∠2，AE 和 BD 相交 于点 O． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1=42°，求∠BDE 的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED； （2）由（1）可知：EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度 数，从而可求出∠BDE 的度数； 【解答】解：（1）证明：∵AE 和 BD 相交于点 O， ∴∠AOD=∠BOE． 在△AOD 和△BOE 中， ∠A=∠B，∴∠BEO=∠2． 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BEO， ∴∠AEC=∠BED． 在△AEC 和△BED 中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． （2）∵△AEC≌△BED， ∴EC=ED，∠C=∠BDE． 在△EDC 中， ∵EC=ED，∠1=42°， ∴∠C=∠EDC=69°， ∴∠BDE=∠C=69°． 【点评】本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定， 本题属于中等题型． 25．（8 分）如图，在△ABC 中，AC=BC，AB⊥x 轴，垂足为 A．反比例函数 y= （x ＞0）的图象经过点 C，交 AB 于点 D．已知 AB=4，BC= ． （1）若 OA=4，求 k 的值； （2）连接 OC，若 BD=BC，求 OC 的长． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出 AE，BE 的长，再利用勾股定理得出 OA 的长，得出 C 点坐标即可得出答案； （2）首先表示出 D，C 点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出 C 点坐标， 再利用勾股定理得出 CO 的长． 【解答】解：（1）作 CE⊥AB，垂足为 E， ∵AC=BC，AB=4， ∴AE=BE=2． 在 Rt△BCE 中，BC= ，BE=2， ∴CE= ， ∴CE= ， ∵OA=4， ∴C 点的坐标为：（ ，2）， ∵点 C 在 的图象上， ∴k=5， （2）设 A 点的坐标为（m，0）， ∵BD=BC= ， ∴AD= ， ∴D，C 两点的坐标分别为：（m， ），（m﹣ ，2）． ∵点 C，D 都在 的图象上， ∴ m=2（m﹣ ）， ∴m=6， ∴C 点的坐标为：（ ，2）， 作 CF⊥x 轴，垂足为 F， ∴OF= ，CF=2， 在 Rt△OFC 中， OC2=OF2+CF2， ∴OC= ． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的 性质，正确得出 C 点坐标是解题关键． 26．（10 分）某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人 从点 A 出发，在矩形 ABCD 边上沿着 A→B→C→D 的方向匀速移动，到达点 D 时 停止移动．已知机器人的速度为 1 个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要 1s （即在 B、C 处拐弯时分别用时 1s）．设机器人所用时间为 t（s）时，其所在位 置用点 P 表示，P 到对角线 BD 的距离（即垂线段 PQ 的长）为 d 个单位长度， 其中 d 与 t 的函数图象如图②所示． （1）求 AB、BC 的长； （2）如图②，点 M、N 分别在线段 EF、GH 上，线段 MN 平行于横轴，M、N 的 横坐标分别为 t1、t2．设机器人用了 t1（s）到达点 P1 处，用了 t2（s）到达点 P2 处（见图①）．若 CP1+CP2=7，求 t1、t2 的值． 【分析】（1）作 AT⊥BD，垂足为 T，由题意得到 AB=8，AT= ，在 Rt△ABT 中， 根据勾股定理得到 BT= ，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）如图，连接 P1P2．过 P1，P2 分别作 BD 的垂线，垂足为 Q1，Q2．则 P1Q1∥ P2Q2．根据平行线的性质得到 d1=d2，得到 P1Q1=P2Q2．根据平行线分线段成比例 定理得到 ．设 M，N 的横坐标分别为 t1，t2，于是得到结论． 【解答】解：（1）作 AT⊥BD，垂足为 T，由题意得，AB=8，AT= ， 在 Rt△ABT 中，AB2=BT2+AT2， ∴BT= ， ∵tan∠ABD= ， ∴AD=6， 即 BC=6； （2）在图①中，连接 P1P2．过 P1，P2 分别作 BD 的垂线，垂足为 Q1，Q2． 则 P1Q1∥P2Q2． ∵在图②中，线段 MN 平行于横轴， ∴d1=d2，即 P1Q1=P2Q2．∴ P1P2∥BD． ∴ ． 即 ． 又∵CP1+CP2=7， ∴CP1=3，CP2=4． 设 M，N 的横坐标分别为 t1，t2， 由题意得，CP1=15﹣t1，CP2=t2﹣16， ∴t1=12，t2=20． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理矩形的性质，平行线分线段 成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 27．（10 分）如图，已知△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，点 D 在⊙O 上，OD∥BC， 过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，连接 CD 交 OE 边于点 F． （1）求证：△DOE∽△ABC； （2）求证：∠ODF=∠BDE； （3）连接 OC，设△DOE 的面积为 S1，四边形 BCOD 的面积为 S2，若 = ，求 sinA 的值． 【分析】（1）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO=∠ACB，根据平行得出∠DOE= ∠ABC，根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似三角形的性质得出∠ODE=∠A，根据圆周角定理得出∠A=∠BDC， 推出∠ODE=∠BDC 即可； （3）根据△DOE～△ABC 求出 S△ABC=4S△DOE=4S1，求出 S△BOC=2S1，求出 2BE=OE， 解直角三角形求出即可． 【解答】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEO=90°， ∴∠DEO=∠ACB， ∵OD∥BC， ∴∠DOE=∠ABC， ∴△DOE～△ABC； （2）证明：∵△DOE～△ABC， ∴∠ODE=∠A， ∵∠A 和∠BDC 是 所对的圆周角， ∴∠A=∠BDC， ∴∠ODE=∠BDC， ∴∠ODF=∠BDE； （3）解：∵△DOE～△ABC， ∴ ， 即 S△ABC=4S△DOE=4S1， ∵OA=OB， ∴ ，即 S△BOC=2S1， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质，三 角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 28．（10 分）如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 于点 C，OB=OC．点 D 在函数图象上，CD∥x 轴，且 CD=2，直线 l 是抛物线的对 称轴，E 是抛物线的顶点． （1）求 b、c 的值； （2）如图①，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F'恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标； （3）如图②，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M， 与抛物线交于点 N．试问：抛物线上是否存在点 Q，使得△PQN 与△APM 的面积 相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明 理由． 【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得 b 的值；由 OB=OC，可用 c 表示出 B 点坐标，代入抛物线解析式可求得 c 的值； （2）可设 F（0，m），则可表示出 F′的坐标，由 B、E 的坐标可求得直线 BE 的解 析式，把 F′坐标代入直线 BE 解析式可得到关于 m 的方程，可求得 F 点的坐标； （3）设点 P 坐标为（n，0），可表示出 PA、PB、PN 的长，作 QR⊥PN，垂足为 R，则可求得 QR 的长，用 n 可表示出 Q、R、N 的坐标，在 Rt△QRN 中，由勾股 定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值， 则可求得 Q 点的坐标， 【解答】解： （1）∵CD∥x 轴，CD=2， ∴抛物线对称轴为 x=1． ∴ ． ∵OB=OC，C（0，c）， ∴B 点的坐标为（﹣c，0）， ∴0=c2+2c+c，解得 c=﹣3 或 c=0（舍去）， ∴c=﹣3； （2）设点 F 的坐标为（0，m）． ∵对称轴为直线 x=1， ∴点 F 关于直线 l 的对称点 F 的坐标为（2，m）． 由（1）可知抛物线解析式为 y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴E（1，﹣4）， ∵直线 BE 经过点 B（3，0），E（1，﹣4）， ∴利用待定系数法可得直线 BE 的表达式为 y=2x﹣6． ∵点 F 在 BE 上， ∴m=2×2﹣6=﹣2，即点 F 的坐标为（0，﹣2）； （3）存在点 Q 满足题意． 设点 P 坐标为（n，0），则 PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3． 作 QR⊥PN，垂足为 R， ∵S△PQN=S△APM， ∴ ， ∴QR=1． ①点 Q 在直线 PN 的左侧时，Q 点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n），R 点的坐标为（n， n2﹣4n），N 点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）． ∴在 Rt△QRN 中，NQ2=1+（2n﹣3）2， ∴ 时，NQ 取最小值 1．此时 Q 点的坐标为 ； ②点 Q 在直线 PN 的右侧时，Q 点的坐标为（n+1，n2﹣4）． 同理，NQ2=1+（2n﹣1）2， ∴ 时，NQ 取最小值 1．此时 Q 点的坐标为 ． 综上可知存在满足题意的点 Q，其坐标为 或 ． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、 勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得 抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用 F 点的坐标表示出 F′的坐标是解题 的关键，在（3）中求得 QR 的长，用勾股定理得到关于 n 的二次函数是解题的 关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大． 6-2017 年江苏省南通市中考数学试卷及解析（33 页） ．﹣1 D．﹣2 2．（3 分）近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约 180000 个就业 岗位，将 180000 用科学记数法表示为（ ） A．1.8×105B．1.8×104 C．0.18×106 D．18×104 3．（3 分）下列计算，正确的是（ ） A．a2﹣a=a B．a2•a3=a6 C．a9÷a3=a3 D．（a3）2=a6 4．（3 分）如图是由 4 个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ） A． B． C． D． 5．（3 分）在平面直角坐标系中．点 P（1，﹣2）关于 x 轴的对称点的坐标是 （ ） A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1） 6．（3 分）如图，圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则侧面积为（ ） A．4π B．6π C．12π D．16π 7．（3 分）一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据 2，则发生变化的统计量是 （ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 8．（3 分）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始 4min 内只进水不出水， 在随后的 8min 内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内 的水量 y（L）与时间 x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（ ） A．5L B．3.75L C．2.5L D．1.25L 9．（3 分）已知∠AOB，作图． 步骤 1：在 OB 上任取一点 M，以点 M 为圆心，MO 长为半径画半圆，分别交 OA、 OB 于点 P、Q； 步骤 2：过点 M 作 PQ 的垂线交 于点 C； 步骤 3：画射线 OC． 则下列判断：① = ；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC 平分∠AOB，其中正确的 个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，点 E，F，G，H 分别在矩形 ABCD 各边上，且 AE=CG，BF=DH，则四边形 EFGH 周长的最小值为（ ） A．5 B．10 C．10 D．15 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．（3 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 ． 12．（3 分）如图所示，DE 是△ABC 的中位线，BC=8，则 DE= ． 13．（3 分）四边形 ABCD 内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 度． 14．（3 分）若关于 x 的方程 x2﹣6x+c=0 有两个相等的实数根，则 c 的值为 ． 15．（3 分）如图，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△COD，若∠ AOB=15°，则∠AOD= 度． 16．（3 分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做 4 个，甲做 60 个所用的时间比乙做 40 个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 ． 17．（3 分）已知 x=m 时，多项式 x2+2x+n2 的值为﹣1，则 x=﹣m 时，该多项式 的值为 ． 18．（3 分）如图，四边形 OABC 是平行四边形，点 C 在 x 轴上，反比例函数 y= （x＞0）的图象经过点 A（5，12），且与边 BC 交于点 D．若 AB=BD，则点 D 的 坐标为 ． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分） 19．（10 分）（1）计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+ ﹣（ ）0 （2）解不等式组 ． 20．（8 分）先化简，再求值：（m+2﹣ ）• ，其中 m=﹣ ． 21．（9 分）某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了 50 名学生，并统计 他们平均每天的课外阅读时间 t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如下不 完整的统计表． 课外阅读时间 t 频数 百分比 10≤t＜30 4 8% 30≤t＜50 8 16% 50≤t＜70 a 40% 70≤t＜90 16 b 90≤t＜110 2 4% 合计 50 100% 请根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）a= ，b= ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若全校有 900 名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少 于 50min？ 22．（8 分）不透明袋子中装有 2 个红球，1 个白球和 1 个黑球，这些球除颜色外 无其他差别，随机摸出 1 个球不放回，再随机摸出 1 个球，求两次均摸到红球的 概率． 23．（8 分）热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角α为 45°， 看这栋楼底部 C 的俯角β为 60°，热气球与楼的水平距离为 100m，求这栋楼的高 度（结果保留根号）． 24．（8 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，点 O 在 AB 上，OB=2，以 OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，交 BC 于点 E，求弦 BE 的长． 25．（9 分）某学习小组在研究函数 y= x3﹣2x 的图象与性质时，已列表、描点并 画出了图象的一部分． x … ﹣4 ﹣ 3.5 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 3.5 4 … y … ﹣ ﹣ 0 ﹣ ﹣ ﹣ … （1）请补全函数图象； （2）方程 x3﹣2x=﹣2 实数根的个数为 ； （3）观察图象，写出该函数的两条性质． 26．（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，PQ 垂直平分 BE，分别交 AD、BE、BC 于点 P、O、Q，连接 BP、EQ． （1）求证：四边形 BPEQ 是菱形； （2）若 AB=6，F 为 AB 的中点，OF+OB=9，求 PQ 的长． 27．（13 分）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的 一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个 图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”． （1）等边三角形“內似线”的条数为 ； （2）如图，△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求证：BD 是△ABC 的“內似线”； （3）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F 分别在边 AC、BC 上，且 EF 是△ABC 的“內似线”，求 EF 的长． 28．（13 分）已知直线 y=kx+b 与抛物线 y=ax2（a＞0）相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴正半轴相交于点 C，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D． （1）若∠AOB=60°，AB∥x 轴，AB=2，求 a 的值； （2）若∠AOB=90°，点 A 的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点 B 的坐标； （3）延长 AD、BO 相交于点 E，求证：DE=CO． 2017 年江苏省南通市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2017•南通）在 0、2、﹣1、﹣2 这四个数中，最小的数为（ ） A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【考点】18：有理数大小比较．菁优网版 权所有 【分析】根据正数大于 0，0 大于负数，可得答案． 【解答】解：∵在 0、2、﹣1、﹣2 这四个数中只有﹣2＜﹣1＜0，0＜2 ∴在 0、2、﹣1、﹣2 这四个数中，最小的数是﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了实数大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大 于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2．（3 分）（2017•南通）近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约 180000 个就业岗位，将 180000 用科学记数法表示为（ ） A．1.8×105B．1.8×104 C．0.18×106 D．18×104 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版 权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 180000 用科学记数法表示为 1.8×105， 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）（2017•南通）下列计算，正确的是（ ） A．a2﹣a=a B．a2•a3=a6 C．a9÷a3=a3 D．（a3）2=a6 【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂 的乘方与积的乘方．菁优网版 权所有 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可． 【解答】解：A、a2﹣a，不能合并，故 A 错误； B、a2•a3=a5，故 B 错误； C、a9÷a3=a6，故 C 错误； D、（a3）2=a6，故 D 正确； 故选 D． 【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握运算法 则是解题的关键． 4．（3 分）（2017•南通）如图是由 4 个大小相同的正方体组合而成的几何体，其 左视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版 权所有 【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案． 【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形． 故选 A． 【点评】此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握 左视图的观察位置． 5．（3 分）（2017•南通）在平面直角坐标系中．点 P（1，﹣2）关于 x 轴的对称 点的坐标是（ ） A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1） 【考点】P5：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．菁优网版 权所有 【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得 答案． 【解答】解：点 P（1，﹣2）关于 x 轴的对称点的坐标是（1，2）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规 律． 6．（3 分）（2017•南通）如图，圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则侧面积为 （ ） A．4π B．6π C．12π D．16π 【考点】MP：圆锥的计算．菁优网版 权所有 【分析】根据圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，直接利用圆锥的侧面积公式求 出它的侧面积． 【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π， 故选 C． 【点评】本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解 决问题的关键． 7．（3 分）（2017•南通）一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据 2，则发生变 化的统计量是（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【考点】WA：统计量的选择．菁优网版 权所有 【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可． 【解答】解：A、原来数据的平均数是 2，添加数字 2 后平均数扔为 2，故 A 与 要求不符； B、原来数据的中位数是 2，添加数字 2 后中位数扔为 2，故 B 与要求不符； C、原来数据的众数是 2，添加数字 2 后众数扔为 2，故 C 与要求不符； D、原来数据的方差= = ， 添加数字 2 后的方差= = ，故方差发生了变化． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和 公式是解题的关键． 8．（3 分）（2017•南通）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始 4min 内 只进水不出水，在随后的 8min 内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两 个常数，容器内的水量 y（L）与时间 x（min）之间的关系如图所示，则每分钟 的出水量为（ ） A．5L B．3.75L C．2.5L D．1.25L 【考点】E6：函数的图象．菁优网版 权所有 【分析】观察函数图象找出数据，根据“每分钟进水量=总进水量÷放水时间”算 出每分钟的进水量，再根据“每分钟的出水量=每分钟的进水量﹣每分钟增加的水 量”即可算出结论． 【解答】解：每分钟的进水量为：20÷4=5（升）， 每分钟的出水量为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）=3.75（升）． 故选：B． 【点评】本题考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象找出数据结合数量关 系列式计算． 9．（3 分）（2017•南通）已知∠AOB，作图． 步骤 1：在 OB 上任取一点 M，以点 M 为圆心，MO 长为半径画半圆，分别交 OA、 OB 于点 P、Q； 步骤 2：过点 M 作 PQ 的垂线交 于点 C； 步骤 3：画射线 OC． 则下列判断：① = ；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC 平分∠AOB，其中正确的 个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】N3：作图—复杂作图；M5：圆周角定理．菁优网版 权所有 【分析】由 OQ 为直径可得出 OA⊥PQ，结合 MC⊥PQ 可得出 OA∥MC，结论② 正确；根据平行线的性质可得出∠PAO=∠CMQ，结合圆周角定理可得出∠COQ= ∠POQ=∠BOQ，进而可得出 = ，OC 平分∠AOB，结论①④正确；由∠AOB 的度数未知，不能得出 OP=PQ，即结论③错误．综上即可得出结论． 【解答】解：∵OQ 为直径， ∴∠OPQ=90°，OA⊥PQ． ∵MC⊥PQ， ∴OA∥MC，结论②正确； ①∵OA∥MC， ∴∠PAO=∠CMQ． ∵∠CMQ=2∠COQ， ∴∠COQ= ∠POQ=∠BOQ， ∴ = ，OC 平分∠AOB，结论①④正确； ∵∠AOB 的度数未知，∠POQ 和∠PQO 互余， ∴∠POQ 不一定等于∠PQO， ∴OP 不一定等于 PQ，结论③错误． 综上所述：正确的结论有①②④． 故选 C． 【点评】本题考查了作图中的复杂作图、角平分线的定义、圆周角定理以及平行 线的判定及性质，根据作图的过程逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 10．（3 分）（2017•南通）如图，矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，点 E，F，G，H 分别在矩形 ABCD 各边上，且 AE=CG，BF=DH，则四边形 EFGH 周长的最小值为 （ ） A．5 B．10 C．10 D．15 【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LB：矩形的性质．菁优网版 权所有 【分析】作点 E 关于 BC 的对称点 E′，连接 E′G 交 BC 于点 F，此时四边形 EFGH 周长取最小值，过点 G 作 GG′⊥AB 于点 G′，由对称结合矩形的性质可知： E′G′=AB=10、GG′=AD=5，利用勾股定理即可求出 E′G 的长度，进而可得出四边形 EFGH 周长的最小值． 【解答】解：作点 E 关于 BC 的对称点 E′，连接 E′G 交 BC 于点 F，此时四边形 EFGH 周长取最小值，过点 G 作 GG′⊥AB 于点 G′，如图所示． ∵AE=CG，BE=BE′， ∴E′G′=AB=10， ∵GG′=AD=5， ∴E′G= =5 ， ∴C 四边形 EFGH=2E′G=10 ． 故选 B． 【点评】本题考查了轴对称中的最短路线问题以及矩形的性质，找出四边形 EFGH 周长取最小值时点 E、F、G 之间为位置关系是解题的关键． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．（3 分）（2017•南通）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 x ≥2 ． 【考点】72：二次根式有意义的条件．菁优网版 权所有 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x﹣2≥0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故答案为：x≥2． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开 方数是非负数． 12．（3 分）（2017•南通）如图所示，DE 是△ABC 的中位线，BC=8，则 DE= 4 ． 【考点】KX：三角形中位线定理．菁优网版 权所有 【分析】易得 DE 是△ABC 的中位线，那么 DE 应等于 BC 长的一半． 【解答】解：根据三角形的中位线定理，得：DE= BC=4． 故答案为 4． 【点评】考查了三角形的中位线定理的数量关系：三角形的中位线等于第三边的 一半． 13．（3 分）（2017•南通）四边形 ABCD 内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 70 度． 【考点】M6：圆内接四边形的性质．菁优网版 权所有 【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠A=110°， ∴∠C=70°， 故答案为：70． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解 题的关键． 14．（3 分）（2017•南通）若关于 x 的方程 x2﹣6x+c=0 有两个相等的实数根，则 c 的值为 9 ． 【考点】AA：根的判别式．菁优网版 权所有 【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4c=0，然后解关于 c 的一次方程 即可． 【解答】解：根据题意得△=（﹣6）2﹣4c=0， 解得 c=9． 故答案为 9． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2 ﹣4ac 有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程 有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根． 15．（3 分）（2017•南通）如图，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△ COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 30 度． 【考点】R2：旋转的性质．菁优网版 权所有 【分析】根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD﹣∠AOB 计算即可得 解． 【解答】解：∵△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△COD， ∴∠BOD=45°， ∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=45°﹣15°=30°． 故答案为：30． 【点评】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的概念，需熟记． 16．（3 分）（2017•南通）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做 4 个，甲做 60 个所用的时间比乙做 40 个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的 个数为 4 ． 【考点】B7：分式方程的应用．菁优网版 权所有 【分析】设乙每小时做 x 个，则甲每小时做（x+4）个，甲做 60 个所用的时间为 ，乙做 40 个所用的时间为 ；根据甲做 60 个所用的时间比乙做 40 个所用 的时间相等，列方程求解 【解答】解：设乙每小时做 x 个，则甲每小时做（x+4）个，甲做 60 个所用的时 间为 ，乙做 40 个所用的时间为 ， 列方程为： = ， 解得：x=4， 经检验：x=4 是原分式方程的解，且符合题意， 则 x+4=8． 答：乙每小时做 4 个． 故答案是：4． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数， 找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 17．（3 分）（2017•南通）已知 x=m 时，多项式 x2+2x+n2 的值为﹣1，则 x=﹣m 时，该多项式的值为 ﹣1﹣4m ． 【考点】33：代数式求值．菁优网版 权所有 【分析】利用整体代入的思想即可解决问题． 【解答】解：∵x=m 时，多项式 x2+2x+n2 的值为﹣1， ∴m2+2m+n2=﹣1， ∴m2+n2=﹣1﹣2m ∴x=﹣m 时，多项式 x2+2x+n2 的值为 m2﹣2m+n2=﹣1﹣4m， 故答案为﹣1﹣4m． 【点评】本题考查代数式求值、学会整体代入的思想解决问题是解题的关键． 18．（3 分）（2017•南通）如图，四边形 OABC 是平行四边形，点 C 在 x 轴上，反 比例函数 y= （x＞0）的图象经过点 A（5，12），且与边 BC 交于点 D．若 AB=BD， 则点 D 的坐标为 （8， ） ． 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L5：平行四边形的性质．菁优网版 权所有 【分析】先根据点 A（5，12），求得反比例函数的解析式为 y= ，可设 D（m， ），BC 的解析式为 y= x+b，把 D（m， ）代入，可得 b= ﹣ m，进而得 到 BC 的解析式为 y= x+ ﹣ m，据此可得 OC=m﹣ =AB，过 D 作 DE⊥AB 于 E，过 A 作 AF⊥OC 于 F，根据△DEB∽△AFO，可得 DB=13﹣ ，最后根据 AB=BD， 得到方程 m﹣ =13﹣ ，进而求得 D 的坐标． 【解答】解：∵反比例函数 y= （x＞0）的图象经过点 A（5，12）， ∴k=12×5=60， ∴反比例函数的解析式为 y= ， 设 D（m， ）， 由题可得 OA 的解析式为 y= x，AO∥BC， ∴可设 BC 的解析式为 y= x+b， 把 D（m， ）代入，可得 m+b= ， ∴b= ﹣ m， ∴BC 的解析式为 y= x+ ﹣ m， 令 y=0，则 x=m﹣ ，即 OC=m﹣ ， ∴平行四边形 ABCO 中，AB=m﹣ ， 如图所示，过 D 作 DE⊥AB 于 E，过 A 作 AF⊥OC 于 F，则△DEB∽△AFO， ∴ = ，而 AF=12，DE=12﹣ ，OA= =13， ∴DB=13﹣ ， ∵AB=DB， ∴m﹣ =13﹣ ， 解得 m1=5，m2=8， 又∵D 在 A 的右侧，即 m＞5， ∴m=8， ∴D 的坐标为（8， ）． 故答案为：（8， ）． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质 的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相 等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分） 19．（10 分）（2017•南通）（1）计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+ ﹣（ ）0 （2）解不等式组 ． 【考点】CB：解一元一次不等式组；2C：实数的运算；6E：零指数幂．菁优网版 权所有 【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义计 算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果． （2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解：（1）原式=4﹣4+3﹣1=2； （2） 解不等式①得，x≥2， 解不等式②得，x＜4， 所以不等式组的解集是 2≤x＜4． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀 求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小 小找不到（无解）．也考查了实数的运算． 20．（8 分）（2017•南通）先化简，再求值：（m+2﹣ ）• ，其中 m=﹣ ． 【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版 权所有 【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计 算． 【解答】解：（m+2﹣ ）• ， = • ， =﹣ • ， =﹣2（m+3）． 把 m=﹣ 代入，得 原式=﹣2×（﹣ +3）=﹣5． 【点评】本题考查了分式的化简求值．分式混合运算要注意先去括号；分子、分 母能因式分解的先因式分解． 21．（9 分）（2017•南通）某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了 50 名 学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间 t（单位：min），然后利用所得数据 绘制成如下不完整的统计表． 课外阅读时间 t 频数 百分比 10≤t＜30 4 8% 30≤t＜50 8 16% 50≤t＜70 a 40% 70≤t＜90 16 b 90≤t＜110 2 4% 合计 50 100% 请根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）a= 20 ，b= 32% ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若全校有 900 名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少 于 50min？ 【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率） 分布表；W2：加权平均数．菁优网版 权所有 【分析】（1）利用百分比= ，计算即可； （2）根据 b 的值计算即可； （3）用一般估计总体的思想思考问题即可； 【解答】解：（1）∵总人数=50 人， ∴a=50×40%=20，b= ×100%=32%， 故答案为 20，32%． （2）频数分布直方图，如图所示． （3）900× =648， 答：估计该校有 648 名学生平均每天的课外阅读时间不少于 50min． 【点评】本题考查表示频数分布直方图、频数分布表、总体、个体、百分比之间 的关系等知识，解题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型． 22．（8 分）（2017•南通）不透明袋子中装有 2 个红球，1 个白球和 1 个黑球，这 些球除颜色外无其他差别，随机摸出 1 个球不放回，再随机摸出 1 个球，求两次 均摸到红球的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版 权所有 【分析】利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可． 【解答】解：如图所示： ， 所有的可能有 12 种，符合题意的有 2 种，故两次均摸到红球的概率为： = ． 【点评】此题主要考查了树状图法求概率，根据题意利用树状图得出所有情况是 解题关键． 23．（8 分）（2017•南通）热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的 仰角α为 45°，看这栋楼底部 C 的俯角β为 60°，热气球与楼的水平距离为 100m， 求这栋楼的高度（结果保留根号）． 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版 权所有 【分析】根据正切的概念分别求出 BD、DC，计算即可． 【解答】解：在 Rt△ADB 中，∠BAD=45°， ∴BD=AD=100m， 在 Rt△ADC 中，CD=AD×tan∠DAC=100 m ∴BC=（100+100 ）m， 答：这栋楼的高度为（100+100 ）m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概 念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 24．（8 分）（2017•南通）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，点 O 在 AB 上， OB=2，以 OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，交 BC 于点 E，求弦 BE 的长． 【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理．菁优网版 权所有 【分析】连接 OD，首先证明四边形 OECD 是矩形，从而得到 BE 的长，然后利用 垂径定理求得 BF 的长即可． 【解答】解：连接 OD，作 OE⊥BF 于点 E． ∴BE= BF， ∵AC 是圆的切线， ∴OD⊥AC， ∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°， ∴四边形 ODCF 是矩形， ∵OD=OB=EC=2，BC=3， ∴BE=BC﹣EC=BC﹣OD=3﹣2=1， ∴BF=2BE=2． 【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理及垂径定理的知识，解题的关键是能 够利用切线的性质构造矩形形，难度不大． 25．（9 分）（2017•南通）某学习小组在研究函数 y= x3﹣2x 的图象与性质时，已 列表、描点并画出了图象的一部分． x … ﹣4 ﹣ 3.5 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 3.5 4 … y … ﹣ ﹣ 0 ﹣ ﹣ ﹣ … （1）请补全函数图象； （2）方程 x3﹣2x=﹣2 实数根的个数为 3 ； （3）观察图象，写出该函数的两条性质． 【考点】H3：二次函数的性质；H2：二次函数的图象；HB：图象法求一元二次 方程的近似根．菁优网版 权所有 【分析】（1）用光滑的曲线连接即可得出结论； （2）根据函数 y= x3﹣2x 和直线 y=﹣2 的交点的个数即可得出结论； （3）根据函数图象即可得出结论． 【解答】解：（1）补全函数图象如图所示， （2）如图 1， 作出直线 y=﹣2 的图象， 由图象知，函数 y= x3﹣2x 的图象和直线 y=﹣2 有三个交点， ∴方程 x3﹣2x=﹣2 实数根的个数为 3， 故答案为 3； （3）由图象知， 1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值， 2、此函数在 x＜﹣2 和 x＞2，y 随 x 的增大而增大， 3、此函数图象过原点， 4、此函数图象关于原点对称． 【点评】此题主要考查了函数图象的画法，利用函数图象确定方程解的个数的方 法，解本题的关键是补全函数图象． 26．（10 分）（2017•南通）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，PQ 垂直平 分 BE，分别交 AD、BE、BC 于点 P、O、Q，连接 BP、EQ． （1）求证：四边形 BPEQ 是菱形； （2）若 AB=6，F 为 AB 的中点，OF+OB=9，求 PQ 的长． 【考点】LB：矩形的性质；KG：线段垂直平分线的性质；LA：菱形的判定与性质．菁 优网版权 所有 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明 QB=QE，由 ASA 证明△BOQ≌ △EOP，得出 PE=QB，证出四边形 ABGE 是平行四边形，再根据菱形的判定即可 得出结论； （2）根据三角形中位线的性质可得 AE+BE=2OF+2OB=18，设 AE=x，则 BE=18﹣x， 在 Rt△ABE 中，根据勾股定理可得 62+x2=（18﹣x）2，BE=10，得到 OB= BE=5， 设 PE=y，则 AP=8﹣y，BP=PE=y，在 Rt△ABP 中，根据勾股定理可得 62+（8﹣y） 2=y2，解得 y= ，在 Rt△BOP 中，根据勾股定理可得 PO= = ，由 PQ=2PO 即可求解． 【解答】（1）证明：∵PQ 垂直平分 BE， ∴QB=QE，OB=OE， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PEO=∠QBO， 在△BOQ 与△EOP 中， ， ∴△BOQ≌△EOP（ASA）， ∴PE=QB， 又∵AD∥BC， ∴四边形 BPEQ 是平行四边形， 又∵QB=QE， ∴四边形 BPEQ 是菱形； （2）解：∵O，F 分别为 PQ，AB 的中点， ∴AE+BE=2OF+2OB=18， 设 AE=x，则 BE=18﹣x， 在 Rt△ABE 中，62+x2=（18﹣x）2， 解得 x=8， BE=18﹣x=10， ∴OB= BE=5， 设 PE=y，则 AP=8﹣y，BP=PE=y， 在 Rt△ABP 中，62+（8﹣y）2=y2，解得 y= ， 在 Rt△BOP 中，PO= = ， ∴PQ=2PO= ． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、 线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 27．（13 分）（2017•南通）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过 三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图 形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”． （1）等边三角形“內似线”的条数为 3 ； （2）如图，△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求证：BD 是△ABC 的“內似线”； （3）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F 分别在边 AC、BC 上，且 EF 是△ABC 的“內似线”，求 EF 的长． 【考点】SO：相似形综合题．菁优网版 权所有 【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案； （2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，证出△BCD∽△ABC 即可； （3）分两种情况：①当 = = 时，EF∥AB，由勾股定理求出 AB= =5， 作 DN⊥BC 于 N，则 DN∥AC，DN 是 Rt△ABC 的内切圆半径，求出 DN= （AC+BC ﹣AB）=1，由几啊平分线定理得出 = ，求出 CE= ，证明△CEF∽△CAB， 得出对应边成比例求出 EF= ； ②当 = = 时，同理得：EF= 即可． 【解答】（1）解：等边三角形“內似线”的条数为 3 条；理由如下： 过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图 1 所示： 则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC， ∴MN、EF、GH 是等边三角形 ABC 的內似线”； 故答案为：3； （2）证明：∵AB=AC，BD=BC， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∴△BCD∽△ABC， ∴BD 是△ABC 的“內似线”； （3）解：设 D 是△ABC 的内心，连接 CD， 则 CD 平分∠ACB， ∵EF 是△ABC 的“內似线”， ∴△CEF 与△ABC 相似； 分两种情况：①当 = = 时，EF∥AB， ∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴AB= =5， 作 DN⊥BC 于 N，如图 2 所示： 则 DN∥AC，DN 是 Rt△ABC 的内切圆半径， ∴DN= （AC+BC﹣AB）=1， ∵CD 平分∠ACB， ∴ = ， ∵DN∥AC， ∴ = ，即 ， ∴CE= ， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴ ，即 ， 解得：EF= ； ②当 = = 时，同理得：EF= ； 综上所述，EF 的长为 ． 【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内 心、勾股定理、直角三角形的内切圆半径等知识；本题综合性强，有一定难度． 28．（13 分）（2017•南通）已知直线 y=kx+b 与抛物线 y=ax2（a＞0）相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴正半轴相交于点 C，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂 足为 D． （1）若∠AOB=60°，AB∥x 轴，AB=2，求 a 的值； （2）若∠AOB=90°，点 A 的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点 B 的坐标； （3）延长 AD、BO 相交于点 E，求证：DE=CO． 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版 权所有 【分析】（1）如图 1，由条件可知△AOB 为等边三角形，则可求得 OA 的长，在 Rt△AOD 中可求得 AD 和 OD 的长，可求得 A 点坐标，代入抛物线解析式可得 a 的值； （2）如图 2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据 CF∥BG，由 A 的横坐 标为﹣4，得 B 的横坐标为 1，所以 A（﹣4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△ OEB，则 ，得 a 的值及 B 的坐标； （3）如图 3，设 AC=nBC 由（2）同理可知：A 的横坐标是 B 的横坐标的 n 倍， 则设 B（m，am2），则 A（﹣mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算 DE 和 CO 的长即可得出结论． 【解答】解：（1）如图 1，∵抛物线 y=ax2 的对称轴是 y 轴，且 AB∥x 轴， ∴A 与 B 是对称点，O 是抛物线的顶点， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∵AB=2，AB⊥OC， ∴AC=BC=1，∠BOC=30°， ∴OC= ， ∴A（﹣1， ）， 把 A（﹣1， ）代入抛物线 y=ax2（a＞0）中得：a= ； （2）如图 2，过 B 作 BE⊥x 轴于 E，过 A 作 AG⊥BE，交 BE 延长线于点 G，交 y 轴于 F， ∵CF∥BG， ∴ ， ∵AC=4BC， ∴ =4， ∴AF=4FG， ∵A 的横坐标为﹣4， ∴B 的横坐标为 1， ∴A（﹣4，16a），B（1，a）， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOD+∠BOE=90°， ∵∠AOD+∠DAO=90°， ∴∠BOE=∠DAO， ∵∠ADO=∠OEB=90°， ∴△ADO∽△OEB， ∴ ， ∴ ， ∴16a2=4， a=± ， ∵a＞0， ∴a= ； ∴B（1， ）； （3）如图 3，设 AC=nBC， 由（2）同理可知：A 的横坐标是 B 的横坐标的 n 倍， 则设 B（m，am2），则 A（﹣mn，am2n2）， ∴AD=am2n2， 过 B 作 BF⊥x 轴于 F， ∴DE∥BF， ∴△BOF∽△EOD， ∴ = = ， ∴ ， ∴ = ，DE=am2n， ∴ = ， ∵OC∥AE， ∴△BCO∽△BAE， ∴ ， ∴ = ， ∴CO= =am2n， ∴DE=CO． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用三角形相似计算二次函数的解析 式、三角形相似的性质和判定、函数图象上点的坐标与解析式的关系、等边三角 形的性质和判定，要注意第三问不能直接应用（1）（2）问的结论，第三问可以 根据第二问中 AC=4BC，确定 A、B 两点横坐标的关系，利用两点的纵坐标和三角 形相似列比例式解决问题． 7-2017 年江苏省泰州市中考数学试卷及解析（28 页） 一、选择题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3 分）2 的算术平方根是（ ） A． B． C． D．2 2．（3 分）下列运算正确的是（ ） A．a3•a3=2a6 B．a3+a3=2a6 C．（a3）2=a6 D．a6•a2=a3 3．（3 分）把下列英文字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ） A． B． C． D． 4．（3 分）三角形的重心是（ ） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平行线的交点 5．（3 分）某科普小组有 5 名成员，身高分别为（单位：cm）：160，165，170， 163，167．增加 1 名身高为 165cm 的成员后，现科普小组成员的身高与原来相 比，下列说法正确的是（ ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变大 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差不变 6．（3 分）如图，P 为反比例函数 y=（k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线交一次函数 y=﹣x﹣4 的图象于点 A、B．若∠AOB=135°， 则 k 的值是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题（每题 3 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 7．（3 分）|﹣4|= ． 8．（3 分）天宫二号在太空绕地球一周大约飞行 42500 千米，将 42500 用科学记 数法表示为 ． 9．（3 分）已知 2m﹣3n=﹣4，则代数式 m（n﹣4）﹣n（m﹣6）的值为 ． 10．（3 分）“一只不透明的袋子共装有 3 个小球，它们的标号分别为 1，2，3， 从中摸出 1 个小球，标号为“4”，这个事件是 ．（填“必然事件”、“不可 能事件”或“随机事件”） 11．（3 分）将一副三角板如图叠放，则图中∠á的度数为 ． 12．（3 分）扇形的半径为 3cm，弧长为 2ðcm，则该扇形的面积为 cm2． 13．（3 分）方程 2x2+3x﹣1=0 的两个根为 x1、x2，则+的值等于 ． 14．（3 分）小明沿着坡度 i 为 1：的直路向上走了 50m，则小明沿垂直方向升高 了 m． 15．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、P 的坐标分别为（1，0）， （2，5），（4，2）．若点 C 在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P 是△ ABC 的外心，则点 C 的坐标为 ． 16．（3 分）如图，在平面内，线段 AB=6，P 为线段 AB 上的动点，三角形纸片 CDE 的边 CD 所在的直线与线段 AB 垂直相交于点 P，且满足 PC=PA．若点 P 沿 AB 方向从点 A 运动到点 B，则点 E 运动的路径长为 ． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17．（12 分）（1）计算：（﹣1）0﹣（﹣）﹣2+tan30°； （2）解方程：+=1． 18．（8 分）“泰微课”是学生自主学习的平台，某初级中学共有 1200 名学生， 每人每周学习的数学泰微课都在 6 至 30 个之间（含 6 和 30），为进一步了解该 校学生每周学习数学泰微课的情况，从三个年级随机抽取了部分学生的相关学习 数据，并整理、绘制成统计图如下： 根据以上信息完成下列问题： （1）补全条形统计图； （2）估计该校全体学生中每周学习数学泰微课在 16 至 30 个之间（含 16 和 30） 的人数． 19．（8 分）在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从 3 篇不 同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在 3 个相同的标签上分别标注字母 A、B、C，各代表 1 篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再 随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙抽中同 一篇文章的概率． 20．（8 分）如图，△ABC 中，∠ACB＞∠ABC． （1）用直尺和圆规在∠ACB 的内部作射线 CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作 法，保留作图痕迹）； （2）若（1）中的射线 CM 交 AB 于点 D，AB=9，AC=6，求 AD 的长． 21．（10 分）平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（m+1，m﹣1）． （1）试判断点 P 是否在一次函数 y=x﹣2 的图象上，并说明理由； （2）如图，一次函数 y=﹣x+3 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，若点 P 在△AOB 的内部，求 m 的取值范围． 22．（10 分）如图，正方形 ABCD 中，G 为 BC 边上一点，BE⊥AG 于 E，DF⊥AG 于 F，连接 DE． （1）求证：△ABE≌△DAF； （2）若 AF=1，四边形 ABED 的面积为 6，求 EF 的长． 23．（10 分）怡然美食店的 A、B 两种菜品，每份成本均为 14 元，售价分别为 20 元、18 元，这两种菜品每天的营业额共为 1120 元，总利润为 280 元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？ （2）该店为了增加利润，准备降低 A 种菜品的售价，同时提高 B 种菜品的售价， 售卖时发现，A 种菜品售价每降 0.5 元可多卖 1 份；B 种菜品售价每提高 0.5 元 就少卖 1 份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利 润最多是多少？ 24．（10 分）如图，⊙O 的直径 AB=12cm，C 为 AB 延长线上一点，CP 与⊙O 相 切于点 P，过点 B 作弦 BD∥CP，连接 PD． （1）求证：点 P 为的中点； （2）若∠C=∠D，求四边形 BCPD 的面积． 25．（12 分）阅读理解： 如图①，图形 l 外一点 P 与图形 l 上各点连接的所有线段中，若线段 PA1 最短， 则线段 PA1 的长度称为点 P 到图形 l 的距离． 例如：图②中，线段 P1A 的长度是点 P1 到线段 AB 的距离；线段 P2H 的长度是点 P2 到线段 AB 的距离． 解决问题： 如图③，平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 的坐标分别为（8，4），（12，7），点 P 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 x 轴正方向运动了 t 秒． （1）当 t=4 时，求点 P 到线段 AB 的距离； （2）t 为何值时，点 P 到线段 AB 的距离为 5？ （3）t 满足什么条件时，点 P 到线段 AB 的距离不超过 6？（直接写出此小题的 结果） 26．（14 分）平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 的横坐标分别为 a、a+2，二次函 数 y=﹣x2+（m﹣2）x+2m 的图象经过点 A、B，且 a、m 满足 2a﹣m=d（d 为常 数）． （1）若一次函数 y1=kx+b 的图象经过 A、B 两点． ①当 a=1、d=﹣1 时，求 k 的值； ②若 y1 随 x 的增大而减小，求 d 的取值范围； （2）当 d=﹣4 且 a≠﹣2、a≠﹣4 时，判断直线 AB 与 x 轴的位置关系，并说明 理由； （3）点 A、B 的位置随着 a 的变化而变化，设点 A、B 运动的路线与 y 轴分别相 交于点 C、D，线段 CD 的长度会发生变化吗？如果不变，求出 CD 的长；如果变 化，请说明理由． 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3 分）（2017•泰州）2 的算术平方根是（ ） A． B． C． D．2 【考点】22：算术平方根．菁优网版权所有 【分析】根据算术平方根的定义直接解答即可． 【解答】解：2 的算术平方根是， 故选 B． 【点评】本题考查的是算术平方根的定义，即一个数正的平方根叫这个数的算术 平方根． 2．（3 分）（2017•泰州）下列运算正确的是（ ） A．a3•a3=2a6 B．a3+a3=2a6 C．（a3）2=a6 D．a6•a2=a3 【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．菁优网版权所有 【分析】分别利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算、合并同类项法则 判断得出答案． 【解答】解：A、a3•a3=a6，故此选项错误； B、a3+a3=2a3，故此选项错误； C、（a3）2=a6，正确； D、a6•a2=a8，故此选项错误． 故选：C． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项等 知识，正确掌握运算法则是解题关键． 3．（3 分）（2017•泰州）把下列英文字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对 称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．菁优网版权所有 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误． 故选 C． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻 找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 4．（3 分）（2017•泰州）三角形的重心是（ ） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平行线的交点 【考点】K5：三角形的重心．菁优网版权所有 【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答． 【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形重心的定义．掌握三角形的重心是三条中线的交点是 解题的关键． 5．（3 分）（2017•泰州）某科普小组有 5 名成员，身高分别为（单位：cm）：160， 165，170，163，167．增加 1 名身高为 165cm 的成员后，现科普小组成员的身 高与原来相比，下列说法正确的是（ ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变大 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差不变 【考点】W7：方差；W1：算术平均数．菁优网版权所有 【分析】根据平均数的意义、方差的意义，可得答案． 【解答】解：==165，S2 原=， ==165，S2 新=， 平均数不变，方差变小， 故选：C． 【点评】本题考查了方差，利用方差的定义是解题关键． 6．（3 分）（2017•泰州）如图，P 为反比例函数 y=（k＞0）在第一象限内图象上 的一点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线交一次函数 y=﹣x﹣4 的图象于点 A、B．若 ∠AOB=135°，则 k 的值是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F8：一次函数图象上点的坐标特 征．菁优网版权所有 【分析】作 BF⊥x 轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，易证△BOE∽△AOD，根据相似三角形 对应边比例相等的性质即可求出 k 的值． 【解答】解：作 BF⊥x 轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设 P 点坐标（n，）， ∵直线 AB 函数式为 y=﹣x﹣4，PB⊥y 轴，PA⊥x 轴， ∴∠PBA=∠PAB=45°， ∴PA=PB， ∵P 点坐标（n，）， ∴OD=CQ=n， ∴AD=AQ+DQ=n+4； ∵当 x=0 时，y=﹣x﹣4=﹣4， ∴OC=DQ=4，GE=OE=OC=； 同理可证：BG=BF=PD=， ∴BE=BG+EG=+； ∵∠AOB=135°， ∴∠OBE+∠OAE=45°， ∵∠DAO+∠OAE=45°， ∴∠DAO=∠OBE， ∵在△BOE 和△AOD 中，， ∴△BOE∽△AOD； ∴=，即=； 整理得：nk+2n2=8n+2n2，化简得：k=8； 故选 D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标 特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形． 二、填空题（每题 3 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 7．（3 分）（2017•泰州）|﹣4|= 4 ． 【考点】15：绝对值．菁优网版权所有 【分析】因为﹣4＜0，由绝对值的性质，可得|﹣4|的值． 【解答】解：|﹣4|=4． 【点评】本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的 相反数，0 的绝对值是 0． 8．（3 分）（2017•泰州）天宫二号在太空绕地球一周大约飞行 42500 千米，将 42500 用科学记数法表示为 4.25×104 ． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 42500 用科学记数法表示为：4.25×104． 故答案为：4.25×104． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 9．（3 分）（2017•泰州）已知 2m﹣3n=﹣4，则代数式 m（n﹣4）﹣n（m﹣6） 的值为 8 ． 【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有 【分析】先将原式化简，然后将 2m﹣3n=﹣4 代入即可求出答案． 【解答】解：当 2m﹣3n=﹣4 时， ∴原式=mn﹣4m﹣mn+6n =﹣4m+6n =﹣2（2m﹣3n） =﹣2×（﹣4） =8 故答案为：8 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基 础题型． 10．（3 分）（2017•泰州）“一只不透明的袋子共装有 3 个小球，它们的标号分别 为 1，2，3，从中摸出 1 个小球，标号为“4”，这个事件是 不可能事件 ．（填 “必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”） 【考点】X1：随机事件．菁优网版权所有 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【解答】解：∵袋子中 3 个小球的标号分别为 1、2、3，没有标号为 4 的球， ∴从中摸出 1 个小球，标号为“4”，这个事件是不可能事件， 故答案为：不可能事件． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在 一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事 件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 11．（3 分）（2017•泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠á的度数为 15° ． 【考点】K8：三角形的外角性质；K7：三角形内角和定理．菁优网版权所有 【分析】根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠á=60°﹣45°=15°， 故答案为：15°． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和是解题的关键． 12．（3 分）（2017•泰州）扇形的半径为 3cm，弧长为 2ðcm，则该扇形的面积为 3ð cm2． 【考点】MO：扇形面积的计算；MN：弧长的计算．菁优网版权所有 【分析】先用弧长公式求出扇形的圆心角的度数，然后用扇形的面积公式求出扇 形的面积． 【解答】解：设扇形的圆心角为 n，则： 2ð=， 得：n=120°． ∴S 扇形==3ðcm2． 故答案为：3ð． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意先求出扇形的圆心角的度数， 再计算扇形的面积． 13．（3 分）（2017•泰州）方程 2x2+3x﹣1=0 的两个根为 x1、x2，则+的值等于 3 ． 【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题． 【分析】先根据根与系数的关系得到 x1+x2=﹣，x1x2=﹣，再通分得到+=，然后利 用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得 x1+x2=﹣，x1x2=﹣， 所以+===3． 故答案为 3． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=． 14．（3 分）（2017•泰州）小明沿着坡度 i 为 1：的直路向上走了 50m，则小明沿 垂直方向升高了 25 m． 【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有 【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为 1：，可求得坡角∠A=30°，又由小 明沿着坡度为 1：的山坡向上走了 50m，根据直角三角形中，30°所对的直角边 是斜边的一半，即可求得答案． 【解答】解：如图，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E， ∵坡度：i=1：， ∴tan∠A=1：=， ∴∠A=30°， ∵AB=50m， ∴BE=AB=25（m）． ∴他升高了 25m． 故答案为：25． 【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用 解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 15．（3 分）（2017•泰州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、P 的坐标 分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点 C 在第一象限内，且横坐标、纵坐标均 为整数，P 是△ABC 的外心，则点 C 的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4） ． 【考点】MA：三角形的外接圆与外心；D5：坐标与图形性质．菁优网版权所有 【分析】由勾股定理求出 PA=PB==，由点 C 在第一象限内，且横坐标、纵坐标均 为整数，P 是△ABC 的外心，得出 PC=PA=PB=，即可得出点 C 的坐标． 【解答】解：∵点 A、B、P 的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）． ∴PA=PB==， ∵点 C 在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P 是△ABC 的外心， ∴PC=PA=PB==， 则点 C 的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）； 故答案为：（7，4）或（6，5）或（1，4）． 【点评】本题考查了三角形的外接圆、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握勾 股定理是解决问题的关键． 16．（3 分）（2017•泰州）如图，在平面内，线段 AB=6，P 为线段 AB 上的动点， 三角形纸片 CDE 的边 CD 所在的直线与线段 AB 垂直相交于点 P，且满足 PC=PA．若 点 P 沿 AB 方向从点 A 运动到点 B，则点 E 运动的路径长为 6 ． 【考点】O4：轨迹．菁优网版权所有 【分析】如图，由题意可知点 C 运动的路径为线段 AC′，点 E 运动的路径为 EE′， 由平移的性质可知 AC′=EE′，求出 AC′即可解决问题． 【解答】解：如图，由题意可知点 C 运动的路径为线段 AC′，点 E 运动的路径 为 EE′，由平移的性质可知 AC′=EE′， 在 Rt△ABC′中，易知 AB=BC′=6，∠ABC′=90°， ∴EE′=AC′==6， 故答案为 6． 【点评】主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化 的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17．（12 分）（2017•泰州）（1）计算：（﹣1）0﹣（﹣）﹣2+tan30°； （2）解方程：+=1． 【考点】B3：解分式方程；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂； T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；522：分式方程及应用． 【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值 计算即可得到结果； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验 即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）原式=1﹣4+1=﹣2； （2）去分母得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1， 解得：x=1， 经检验 x=1 是增根，分式方程无解． 【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题 的关键． 18．（8 分）（2017•泰州）“泰微课”是学生自主学习的平台，某初级中学共有 1200 名学生，每人每周学习的数学泰微课都在 6 至 30 个之间（含 6 和 30），为进一 步了解该校学生每周学习数学泰微课的情况，从三个年级随机抽取了部分学生的 相关学习数据，并整理、绘制成统计图如下： 根据以上信息完成下列问题： （1）补全条形统计图； （2）估计该校全体学生中每周学习数学泰微课在 16 至 30 个之间（含 16 和 30） 的人数． 【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．菁优网版权所有 【分析】（1）求得 16﹣20 的频数即可补全条形统计图； （2）用样本估计总体即可； 【解答】解：（1）观察统计图知：6﹣10 个的有 6 人，占 10%， ∴总人数为 6÷10%=60 人， ∴16﹣20 的有 60﹣6﹣6﹣24﹣12=12 人， ∴条形统计图为： （2）该校全体学生中每周学习数学泰微课在 16 至 30 个之间的有 1200×=960 人． 【点评】本题考查了条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是认真读 两种统计图，并从统计图中整理出进一步解题的信息，难度不大． 19．（8 分）（2017•泰州）在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的 方式从 3 篇不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在 3 个相同的标签上 分别标注字母 A、B、C，各代表 1 篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回， 另一名学生再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求 甲、乙抽中同一篇文章的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、 乙抽中同一篇文章，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：如图： 所有可能的结果有 9 种，甲、乙抽中同一篇文章的情况有 3 种， 概率为=． 【点评】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可 以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图 法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 20．（8 分）（2017•泰州）如图，△ABC 中，∠ACB＞∠ABC． （1）用直尺和圆规在∠ACB 的内部作射线 CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作 法，保留作图痕迹）； （2）若（1）中的射线 CM 交 AB 于点 D，AB=9，AC=6，求 AD 的长． 【考点】N2：作图—基本作图；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】（1）根据尺规作图的方法，以 AC 为一边，在∠ACB 的内部作∠ACM= ∠ABC 即可； （2）根据△ACD 与△ABC 相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可． 【解答】解：（1）如图所示，射线 CM 即为所求； （2）∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴=，即=， ∴AD=4． 【点评】本题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解题时 注意：两角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 21．（10 分）（2017•泰州）平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（m+1，m﹣1）． （1）试判断点 P 是否在一次函数 y=x﹣2 的图象上，并说明理由； （2）如图，一次函数 y=﹣x+3 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，若点 P 在△AOB 的内部，求 m 的取值范围． 【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；F5：一次函数的性质．菁优网版权所有 【分析】（1）要判断点（m+1，m﹣1）是否的函数图象上，只要把这个点的坐 标代入函数解析式，观察等式是否成立即可． （2）根据题意得出 0＜m+1＜6，0＜m﹣1＜3，m﹣1＜﹣（m+1）+3，解不等式 组即可求得． 【解答】解：（1）∵当 x=m+1 时，y=m+1﹣2=m﹣1， ∴点 P（m+1，m﹣1）在函数 y=x﹣2 图象上． （2）∵函数 y=﹣x+3， ∴A（6，0），B（0，3）， ∵点 P 在△AOB 的内部， ∴0＜m+1＜6，0＜m﹣1＜3，m﹣1＜﹣（m+1）+3 ∴1＜m＜． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，图象上的 点的坐标适合解析式． 22．（10 分）（2017•泰州）如图，正方形 ABCD 中，G 为 BC 边上一点，BE⊥AG 于 E，DF⊥AG 于 F，连接 DE． （1）求证：△ABE≌△DAF； （2）若 AF=1，四边形 ABED 的面积为 6，求 EF 的长． 【考点】LE：正方形的性质；A3：一元二次方程的解；KD：全等三角形的判定 与性质．菁优网版权所有 【分析】（1）由∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，推出∠BAE=∠ADF， 即可根据 AAS 证明△ABE≌△DAF； （2）设 EF=x，则 AE=DF=x+1，根据四边形 ABED 的面积为 6，列出方程即可解决 问题； 【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD， ∵DF⊥AG，BE⊥AG， ∴∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， 在△ABE 和△DAF 中， ， ∴△ABE≌△DAF（AAS）． （2）设 EF=x，则 AE=DF=x+1， 由题意 2××（x+1）×1+×x×（x+1）=6， 解得 x=2 或﹣5（舍弃）， ∴EF=2． 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识， 解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程，属于中考 常考题型． 23．（10 分）（2017•泰州）怡然美食店的 A、B 两种菜品，每份成本均为 14 元， 售价分别为 20 元、18 元，这两种菜品每天的营业额共为 1120 元，总利润为 280 元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？ （2）该店为了增加利润，准备降低 A 种菜品的售价，同时提高 B 种菜品的售价， 售卖时发现，A 种菜品售价每降 0.5 元可多卖 1 份；B 种菜品售价每提高 0.5 元 就少卖 1 份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利 润最多是多少？ 【考点】HE：二次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）由 A 种菜和 B 种菜每天的营业额为 1120 和总利润为 280 建立方程 组即可； （2）设出 A 种菜多卖出 a 份，则 B 种菜少卖出 a 份，最后建立利润与 A 种菜少 卖出的份数的函数关系式即可得出结论． 【解答】解：（1）设该店每天卖出 A、B 两种菜品分别为 x、y 份， 根据题意得，， 解得：， 答：该店每天卖出这两种菜品共 60 份； （2）设 A 种菜品售价降 0.5a 元，即每天卖（20+a）份；总利润为 w 元因为两种 菜品每天销售总份数不变，所以 B 种菜品卖（40﹣a）份 每份售价提高 0.5a 元． w=（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a） =（6﹣0.5a）（20+a）+（4+0.5a）（40﹣a） =（﹣0.5a2﹣4a+120）+（﹣0.5a2+16a+160） =﹣a2+12a+280 =﹣（a﹣6）2+316 当 a=6，w 最大，w=316 答：这两种菜品每天的总利润最多是 316 元． 【点评】此题主要考查的是二元一次方程组和二次函数的应用，解本题的关键是 正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程组或函数关系式，最后计算 出价格变化后每天的总利润． 24．（10 分）（2017•泰州）如图，⊙O 的直径 AB=12cm，C 为 AB 延长线上一点， CP 与⊙O 相切于点 P，过点 B 作弦 BD∥CP，连接 PD． （1）求证：点 P 为的中点； （2）若∠C=∠D，求四边形 BCPD 的面积． 【考点】MC：切线的性质．菁优网版权所有 【分析】（1）连接 OP，根据切线的性质得到 PC⊥OP，根据平行线的性质得到 BD⊥OP，根据垂径定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到∠POB=2∠D，根据三角形的内角和得到∠C=30°，推 出四边形 BCPD 是平行四边形，于是得到结论． 【解答】（1）证明：连接 OP， ∵CP 与⊙O 相切于点 P， ∴PC⊥OP， ∵BD∥CP， ∴BD⊥OP， ∴=， ∴点 P 为的中点； （2）解：∵∠C=∠D， ∵∠POB=2∠D， ∴∠POB=2∠C， ∵∠CPO=90°， ∴∠C=30°， ∵BD∥CP， ∴∠C=∠DBA， ∴∠D=∠DBA， ∴BC∥PD， ∴四边形 BCPD 是平行四边形， ∵PO=AB=6， ∴PC=6， ∵∠ABD=∠C=30°， ∴OE=OB=3， ∴PE=3， ∴四边形 BCPD 的面积=PC•PE=6×3=18． 【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定和性质，解直角 三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．（12 分）（2017•泰州）阅读理解： 如图①，图形 l 外一点 P 与图形 l 上各点连接的所有线段中，若线段 PA1 最短， 则线段 PA1 的长度称为点 P 到图形 l 的距离． 例如：图②中，线段 P1A 的长度是点 P1 到线段 AB 的距离；线段 P2H 的长度是点 P2 到线段 AB 的距离． 解决问题： 如图③，平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 的坐标分别为（8，4），（12，7），点 P 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 x 轴正方向运动了 t 秒． （1）当 t=4 时，求点 P 到线段 AB 的距离； （2）t 为何值时，点 P 到线段 AB 的距离为 5？ （3）t 满足什么条件时，点 P 到线段 AB 的距离不超过 6？（直接写出此小题的 结果） 【考点】FI：一次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）作 AC⊥x 轴，由 PC=4、AC=4，根据勾股定理求解可得； （2）作 BD∥x 轴，分点 P 在 AC 左侧和右侧两种情况求解，P 位于 AC 左侧时， 根据勾股定理即可得；P 位于 AC 右侧时，作 AP2⊥AB，交 x 轴于点 P2，证△ACP2 ≌△BEA 得 AP2=BA=5，从而知 P2C=AE=3，继而可得答案； （3）分点 P 在 AC 左侧和右侧两种情况求解，P 位于 AC 左侧时，根据勾股定理 即可得；点 P 位于 AC 右侧且 P3M=6 时，作 P2N⊥P3M 于点 N，知四边形 AP2NM 是矩形，证△ACP2∽△P2NP3 得=，求得 P2P3 的长即可得出答案． 【解答】解：（1）如图 1，作 AC⊥x 轴于点 C， 则 AC=4、OC=8， 当 t=4 时，OP=4， ∴PC=4， ∴点 P 到线段 AB 的距离 PA===4； （2）如图 2，过点 B 作 BD∥x 轴，交 y 轴于点 E， ①当点 P 位于 AC 左侧时，∵AC=4、P1A=5， ∴P1C===3， ∴OP1=5，即 t=5； ②当点 P 位于 AC 右侧时，过点 A 作 AP2⊥AB，交 x 轴于点 P2， ∴∠CAP2+∠EAB=90°， ∵BD∥x 轴、AC⊥x 轴， ∴CE⊥BD， ∴∠ACP2=∠BEA=90°， ∴∠EAB+∠ABE=90°， ∴∠ABE=∠P2AC， 在△ACP2 和△BEA 中， ∵， ∴△ACP2≌△BEA（ASA）， ∴AP2=BA===5， 而此时 P2C=AE=3， ∴OP2=11，即 t=11； （3）如图 3， ①当点 P 位于 AC 左侧，且 AP3=6 时， 则 P3C===2， ∴OP3=OC﹣P3C=8﹣2； ②当点 P 位于 AC 右侧，且 P3M=6 时， 过点 P2 作 P2N⊥P3M 于点 N， 则四边形 AP2NM 是矩形， ∴∠AP2N=90°，∠ACP2=∠P2NP3=90°，AP2=MN=5， ∴△ACP2∽△P2NP3，且 NP3=1， ∴=，即=， ∴P2P3=， ∴OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+=， ∴当 8﹣2≤t≤时，点 P 到线段 AB 的距离不超过 6． 【点评】本题主要考查一次函数的综合问题，理解题意掌握点到线段的距离概念 及分类讨论思想的运用、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的 关键． 26．（14 分）（2017•泰州）平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 的横坐标分别为 a、 a+2，二次函数 y=﹣x2+（m﹣2）x+2m 的图象经过点 A、B，且 a、m 满足 2a﹣ m=d（d 为常数）． （1）若一次函数 y1=kx+b 的图象经过 A、B 两点． ①当 a=1、d=﹣1 时，求 k 的值； ②若 y1 随 x 的增大而减小，求 d 的取值范围； （2）当 d=﹣4 且 a≠﹣2、a≠﹣4 时，判断直线 AB 与 x 轴的位置关系，并说明 理由； （3）点 A、B 的位置随着 a 的变化而变化，设点 A、B 运动的路线与 y 轴分别相 交于点 C、D，线段 CD 的长度会发生变化吗？如果不变，求出 CD 的长；如果变 化，请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）①当 a=1、d=﹣1 时，m=2a﹣d=3，于是得到抛物线的解析式，然 后求得点 A 和点 B 的坐标，最后将点 A 和点 B 的坐标代入直线 AB 的解析式求得 k 的值即可； ②将 x=a，x=a+2 代入抛物线的解析式可求得点 A 和点 B 的纵坐标，然后依据 y1 随着 x 的增大而减小，可得到﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），结合已 知条件 2a﹣m=d，可求得 d 的取值范围； （2）由 d=﹣4 可得到 m=2a+4，则抛物线的解析式为 y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8， 然后将 x=a、x=a+2 代入抛物线的解析式可求得点 A 和点 B 的纵坐标，最后依据 点 A 和点 B 的纵坐标可判断出 AB 与 x 轴的位置关系； （3）先求得点 A 和点 B 的坐标，于是得到点 A 和点 B 运动的路线与字母 a 的函 数关系式，则点 C（0，2m），D（0，4m﹣8），于是可得到 CD 与 m 的关系式． 【解答】解：（1）①当 a=1、d=﹣1 时，m=2a﹣d=3， 所以二次函数的表达式是 y=﹣x2+x+6． ∵a=1， ∴点 A 的横坐标为 1，点 B 的横坐标为 3， 把 x=1 代入抛物线的解析式得：y=6，把 x=3 代入抛物线的解析式得：y=0， ∴A（1，6），B（3，0）． 将点 A 和点 B 的坐标代入直线的解析式得：，解得：， 所以 k 的值为﹣3． ②∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m=﹣（x﹣m）（x+2）， ∴当 x=a 时，y=﹣（a﹣m）（a+2）；当 x=a+2 时，y=﹣（a+2﹣4）（a+4）， ∵y1 随着 x 的增大而减小，且 a＜a+2， ∴﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），解得：2a﹣m＞﹣4， 又∵2a﹣m=d， ∴d 的取值范围为 d＞﹣4． （2）∵d=﹣4 且 a≠﹣2、a≠﹣4，2a﹣m=d， ∴m=2a+4． ∴二次函数的关系式为 y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8． 把 x=a 代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8． 把 x=a+2 代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8． ∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）． ∵点 A、点 B 的纵坐标相同， ∴AB∥x 轴． （3）线段 CD 的长随 m 的值的变化而变化． ∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m 过点 A、点 B， ∴当 x=a 时，y=﹣a2+（m﹣2）a+2m，当 x=a+2 时，y=﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2） +2m， ∴A（a，﹣a2+（m﹣2）a+2m）、B（a+2，﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m）． ∴点 A 运动的路线是的函数关系式为 y1=﹣a2+（m﹣2）a+2m，点 B 运动的路线 的函数关系式为 y2=﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m． ∴点 C（0，2m），D（0，4m﹣8）． ∴DC=|2m﹣（4m﹣8）|=|8﹣2m|． ∴线段 CD 的长随 m 的值的变化而变化． 当 8﹣2m=0 时，m=4 时，CD=|8﹣2m|=0，即点 C 与点 D 重合；当 m＞4 时，CD=2m ﹣8；当 m＜4 时，CD=8﹣2m． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数 法求二次函数的解析式，求得点 A 和点 B 的坐标是解题的关键． 8-2017 年江苏省扬州市中考数学试卷及解析（30 页） 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．若数轴上表示﹣1 和 3 的两点分别是点 A 和点 B，则点 A 和点 B 之间的距离是（ ） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 2．下列算式的运算结果为 a4 的是（ ） A．a4•a B．（a2）2 C．a3+a3 D．a4÷a 3．一元二次方程 x2﹣7x﹣2=0 的实数根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．下列统计量中，反映一组数据波动情况的是（ ） A．平均数 B．众数 C．频率 D．方差 5．经过圆锥顶点的截面的形状可能是（ ） A． B． C． D． 6．若一个三角形的两边长分别为 2 和 4，则该三角形的周长可能是（ ） A．6 B．7 C．11 D．12 7．在一列数：a1，a2，a3，…，an 中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前 两个数之积的个位数字，则这一列数中的第 2017 个数是（ ） A．1 B．3 C．7 D．9 8．如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为 A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数 y=x2+bx+1 的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数 b 的取值范围是（ ） A．b≤﹣2 B．b＜﹣2 C．b≥﹣2 D．b＞﹣2 二、填空题（每题 3 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9．2017 年 5 月 18 日，我国在南海北部神弧海域进行的可燃冰试开采成功，标志着我国成 为全球第一个在海域可燃冰开采中获得连续稳定的国家．目前每日的天然气试开采量约 为 16000 立方米，把 16000 立方米用科学记数法表示为 立方米． 10．若 =2， =6，则 = ． 11．因式分解：3x2﹣27= ． 12．在平行四边形 ABCD 中，∠B+∠D=200°，则∠A= ． 13．为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了 13 份试卷成绩，结果如下：3 个 140 分，4 个 135 分，2 个 130 分，2 个 120 分，1 个 100 分，1 个 80 分．则这组数据的中位数为 分． 14．同一温度的华氏度数 y（℉）与摄氏度数 x（℃）之间的函数表达式是 y= x+32．若某 一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为 ℃． 15．如图，已知⊙O 是 △ ABC 的外接圆，连接 AO，若∠B=40°，则∠OAC= °． 16．如图，把等边 △ A BC 沿着 D E 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处，且 DP⊥BC，若 BP=4cm，则 EC= cm． 17．如图，已知点 A 是反比例函数 y=﹣ 的图象上的一个动点，连接 OA，若将线段 O A 绕 点 O 顺时针旋转 90°得到线段 OB，则点 B 所在图象的函数表达式为 ． 18．若关于 x 的方程﹣2x+m +4020=0 存在整数解，则正整数 m 的所有取值的和 为 ． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．计算或化简： （1）﹣22+（π﹣2017）0﹣2sin60°+|1﹣ |； （2）a（3﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）． 20．解不等式组 ，并求出它的所有整数解． 21．“富春包子”是扬州特色早点，富春茶社为了了解顾客对各种早点的喜爱情况，设计了如 右图的调查问卷，对顾客进行了抽样调查．根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）条形统计图中“汤包”的人数是 ，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角 为 °； （2）根据抽样调查结果，请你估计富春茶社 1000 名顾客中喜欢“汤包”的有多少人？ 22．车辆经过润扬大桥收费站时，4 个收费通道 A、B、C、D 中，可随机选择其中的一个通 过． （1）一辆车经过此收费站时，选择 A 通道通过的概率是 ； （2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率． 23．星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区 1800 米的少年 宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的 速度的 1.2 倍，结果小明比小芳早 6 分钟到达，求小芳的速度． 24．如图，将 △ ABC 沿着射线 BC 方向平移至 △ A'B'C'，使点 A'落在∠ACB 的外角平分线 CD 上， 连结 AA'． （1）判断四边形 ACC'A'的形状，并说明理由； （2）在 △ ABC 中，∠B=90°，A B=24，cos∠BAC= ，求 CB'的长． 25．如图，已知平行四边形 OABC 的三个顶点 A、B、C 在以 O 为圆心的半圆上，过点 C 作 CD⊥AB，分别交 AB、AO 的延长线于点 D、E，AE 交半圆 O 于点 F，连接 CF． （1）判断直线 DE 与半圆 O 的位置关系，并说明理由； （2）①求证：CF=OC； ②若半圆 O 的半径为 12，求阴影部分的周长． 26．我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图 1，在 △ ABC 中，AO 是 BC 边上的中线，AB 与 AC 的“极化值”就等于 AO2﹣BO2 的值，可记为 AB △ AC=AO2﹣BO2． （1）在图 1 中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO 是 BC 边上的中线，则 AB △ AC= ， OC △ OA= ； （2）如图 2，在 △ ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求 AB △ AC、BA △ BC 的值； （3）如图 3，在 △ ABC 中，AB=AC，AO 是 BC 边上的中线，点 N 在 AO 上，且 ON= AO．已 知 AB △ AC=14，BN △ BA=10，求 △ ABC 的面积． 27．农经公司以 30 元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量 p（千克） 与销售价格 x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格 x（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量 p（千克） 600 450 300 150 0 （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 p 与 x 之间的函数表达式； （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ （3）若农经公司每销售 1 千克这种农产品需支出 a 元（a＞0）的相关费用，当 40≤x≤45 时， 农经公司的日获利的最大值为 2430 元，求 a 的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用） 28．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 是 AB 边上的一个动点，连接 CP，过点 P 作 PC 的垂线交 AD 于点 E，以 PE 为边作正方形 PEFG，顶点 G 在线段 PC 上，对角线 EG、PF 相交于点 O． （1）若 AP=1，则 AE= ； （2）①求证：点 O 一定在 △ APE 的外接圆上； ②当点 P 从点 A 运动到点 B 时，点 O 也随之运动，求点 O 经过的路径长； （3）在点 P 从点 A 到点 B 的运动过程中， △ APE 的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到 AB 边的距离的最大值． 2017 年江苏省扬州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．若数轴上表示﹣1 和 3 的两点分别是点 A 和点 B，则点 A 和点 B 之间的距离是（ ） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【考点】13：数轴． 【分析】根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得解． 【解答】解：AB=|﹣1﹣3|=4． 故选 D． 2．下列算式的运算结果为 a4 的是（ ） A．a4•a B．（a2）2 C．a3+a3 D．a4÷a 【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积 的乘方． 【分析】利用有关幂的运算性质直接运算后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、a4•a=a5，不符合题意； B、（a2）2=a4，符合题意； C、a3+a3=2a3，不符合题意； D、a4÷a=a3，不符合题意， 故选 B． 3．一元二次方程 x2﹣7x﹣2=0 的实数根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【考点】AA：根的判别式． 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵△=（﹣7）2﹣4×（﹣2）=57＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选 A． 4．下列统计量中，反映一组数据波动情况的是（ ） A．平均数 B．众数 C．频率 D．方差 【考点】WA：统计量的选择． 【分析】根据方差和标准差的意义：体现数据的稳定性，集中程度；方差越小，数据越稳定． 【解答】解：由于方差和标准差反映数据的波动情况． 故选 D． 5．经过圆锥顶点的截面的形状可能是（ ） A． B． C． D． 【考点】I9：截一个几何体． 【分析】根据已知的特点解答． 【解答】解：经过圆锥顶点的截面的形状可能 B 中图形， 故选：B． 6．若一个三角形的两边长分别为 2 和 4，则该三角形的周长可能是（ ） A．6 B．7 C．11 D．12 【考点】K6：三角形三边关系． 【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答 案． 【解答】解：设第三边的长为 x， ∵三角形两边的长分别是 2 和 4， ∴4﹣2＜x＜2+4，即 2＜x＜6． 则三角形的周长：8＜C＜12， C 选项 11 符合题意， 故选 C． 7．在一列数：a1，a2，a3，…，an 中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前 两个数之积的个位数字，则这一列数中的第 2017 个数是（ ） A．1 B．3 C．7 D．9 【考点】37：规律型：数字的变化类． 【分析】本题可分别求出 n=3、4、5…时的情况，观察它是否具有周期性，再把 2017 代入求 解即可． 【解答】解：依题意得：a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7； 周期为 6； 2017÷6=336…1， 所以 a2017=a1=3． 故选 B． 8．如图，已知 △ ABC 的顶点坐标分别为 A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数 y=x2+bx+1 的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数 b 的取值范围是（ ） A．b≤﹣2 B．b＜﹣2 C．b≥﹣2 D．b＞﹣2 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系． 【分析】抛物线经过 C 点时 b 的值即可． 【解答】解：把 C（2，1）代入 y=x2+bx+1，得 22+2b+1=1， 解得 b=﹣2． 故 b 的取值范围是 b≥﹣2． 故选：C． 二、填空题（每题 3 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9．2017 年 5 月 18 日，我国在南海北部神弧海域进行的可燃冰试开采成功，标志着我国成 为全球第一个在海域可燃冰开采中获得连续稳定的国家．目前每日的天然气试开采量约为 16000 立方米，把 16000 立方米用科学记数法表示为 1.6×104 立方米． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值 时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 16000 用科学记数法表示为：1.6×104． 故答案为：1.6×104． 10．若 =2， =6，则 = 12 ． 【考点】1D：有理数的除法． 【分析】由 =2， =6 得 a=2b，c= ，代入 即可求得结果． 【解答】解：∵ =2， =6， ∴a=2b，c= ， ∴ =12， 故答案为 12． 11．因式分解：3x2﹣27= 3（x+3）（x﹣3） ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】先提取公因式 3，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．注意分解要彻底． 【解答】解：原式=3（x2﹣9）=3（x+3）（x﹣3）， 故答案为 3（x+3）（x﹣3）． 12．在平行四边形 ABCD 中，∠B+∠D=200°，则∠A= 80° ． 【考点】L5：平行四边形的性质． 【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案． 【解答】解： ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°， ∵∠B+∠D=200°， ∴∠B=∠D=100°， ∴∠A=180°﹣∠B=180°﹣100°=80°， 故答案为：80°． 13．为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了 13 份试卷成绩，结果如下：3 个 140 分，4 个 135 分，2 个 130 分，2 个 120 分，1 个 100 分，1 个 80 分．则这组数据的中位数为 135 分． 【考点】W4：中位数． 【分析】根据中位数的定义，把 13 个数据从大到小排列后，中位数是第 7 个数． 【解答】解：∵13 份试卷成绩，结果如下：3 个 140 分，4 个 135 分，2 个 130 分，2 个 120 分，1 个 100 分，1 个 80 分， ∴第 7 个数是 135 分， ∴中位数为 135 分； 故答案为 135． 14．同一温度的华氏度数 y（℉）与摄氏度数 x（℃）之间的函数表达式是 y= x+32．若某 一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为 ﹣40 ℃． 【考点】E3：函数关系式． 【分析】根据题意得 x+32=x，解方程即可求得 x 的值． 【解答】解：根据题意得 x+32=x， 解得 x=﹣40． 故答案是：﹣40． 15．如图，已知⊙O 是 △ ABC 的外接圆，连接 AO，若∠B=40°，则∠OAC= 50 °． 【考点】M5：圆周角定理． 【分析】连接 CO，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠B=80°，进而得出∠OAC 的度数． 【解答】解：连接 CO， ∵∠B=40°， ∴∠AOC=2∠B=80°， ∴∠OAC=÷2=50°． 故答案为：50． 16．如图，把等边 △ A BC 沿着 D E 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处，且 DP⊥BC，若 BP=4cm，则 EC= （2+2 ） cm． 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KK：等边三角形的性质． 【分析】根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，根据直角三角形的性质得 到 BD=8cm，PD=4 cm，根据折叠的性质得到 AD=PD=4 cm，∠DPE=∠A=60°，解直角三 角形即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC， ∵DP⊥BC， ∴∠BPD=90°， ∵PB=4cm， ∴BD=8cm，PD=4 cm， ∵把等边 △ A BC 沿着 D E 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处， ∴AD=PD=4 cm，∠DPE=∠A=60°， ∴AB=（8+4 ）cm， ∴BC=（8+4 ）cm， ∴PC=BC﹣BP=（4+4 ）cm， ∵∠EPC=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴∠PEC=90°， ∴CE= PC=（2+2 ）cm， 故答案为：2+2 ． 17．如图，已知点 A 是反比例函数 y=﹣ 的图象上的一个动点，连接 OA，若将线段 O A 绕 点 O 顺时针旋转 90°得到线段 OB，则点 B 所在图象的函数表达式为 y= ． 【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待定系 数法求反比例函数解析式． 【分析】设 A（m，n），过 A 作 AC⊥x 轴于 C，过 B 作 BD⊥x 轴于 D，得到 AC=n，OC=﹣m， 根据全等三角形的性质得到 AC=OD=n，CO=BD=﹣m，于是得到结论． 【解答】解：∵点 A 是反比例函数 y=﹣ 的图象上的一个动点， 设 A（m，n）， 过 A 作 AC⊥x 轴于 C，过 B 作 BD⊥x 轴于 D， ∴AC=n，OC=﹣m， ∴∠ACO=∠ADO=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠CAO+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠CAO=∠BOD， 在 △ ACO 与 △ ODB 中 ， ∴△ACO≌△ODB， ∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m， ∴B（n，﹣m）， ∵mn=﹣2， ∴n（﹣m）=2， ∴点 B 所在图象的函数表达式为 y= ， 故答案为：y= ． 18．若关于 x 的方程﹣2x+m +4020=0 存在整数解，则正整数 m 的所有取值的和为 15 ． 【考点】AG：无理方程． 【 分 析 】 由 题 意 m= ， 令 y= ， 则 x=2017 ﹣ y2 ， 可 得 m= = ，由 m 是正整数，y≥0，推出 y=1 时，m=12，y=2 时，m=3， 由此即可解决问题． 【解答】解：由题意 m= ，令 y= ，则 x=2017﹣y2， ∴m= = ， ∵m 是正整数，y≥0， ∴y=1 时，m=12， y=2 时，m=3， ∴正整数 m 的所有取值的和为 15， 故答案为 15． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．计算或化简： （1）﹣22+（π﹣2017）0﹣2sin60°+|1﹣ |； （2）a（3﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）． 【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算；35：合并同类项；4A：单项式乘多项式；6E： 零指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】（1）根据零指数幂的意原式=义以及特殊角锐角三角函数即可求出答案； （2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式的法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式=﹣4+1﹣2× + ﹣1 =﹣3﹣ + ﹣1 =﹣4 （2）原式=3a﹣2a2+2（a2﹣1） =3a﹣2a2+2a2﹣2 =3a﹣2 20．解不等式组 ，并求出它的所有整数解． 【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；CB：解一元一次不等式组． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、 大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 2x+3≥0，得：x≥﹣1.5， 解不等式 5﹣ x＞0，得：x＜3， 则不等式组的解集为﹣1.5≤x＜3， ∴不等式组的整数解为﹣1、0、1、2． 21．“富春包子”是扬州特色早点，富春茶社为了了解顾客对各种早点的喜爱情况，设计了如 右图的调查问卷，对顾客进行了抽样调查．根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）条形统计图中“汤包”的人数是 48 人 ，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角为 72 °； （2）根据抽样调查结果，请你估计富春茶社 1000 名顾客中喜欢“汤包”的有多少人？ 【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图． 【分析】（1）由喜欢“其他”的人数除以所占的百分比即可求出调查的总人数；由喜欢“汤包” 所占的百分比乘以总人数求出“汤包”的人数；由喜欢“蟹黄包”的人数除以调查的总人数即可 得到所占的百分比，再乘以 360 即可求出结果； （2）用顾客中喜欢“汤包”所占的百分比，乘以 1000 即可得到结果． 【解答】解：（1）8÷5%=160（人）， 160×30%=48（人）， 32÷160×360° =0.2×360° =72°． 故条形统计图中“汤包”的人数是 48 人，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角为 72°； （2）30%×1000=300（人）． 故估计富春茶社 1000 名顾客中喜欢“汤包”的有 300 人． 故答案为：48 人，72． 22．车辆经过润扬大桥收费站时，4 个收费通道 A、B、C、D 中，可随机选择其中的一个通 过． （1）一辆车经过此收费站时，选择 A 通道通过的概率是 ； （2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式． 【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）画出树状图即可得到结论． 【解答】解：（1）选择 A 通道通过的概率= ， 故答案为： ， （2）设两辆车为甲，乙， 如图，两辆车经过此收费站时，会有 16 种可能的结果，其中选择不同通道通过的有 12 种结 果， ∴选择不同通道通过的概率= = ． 23．星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区 1800 米的少年 宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的 速度的 1.2 倍，结果小明比小芳早 6 分钟到达，求小芳的速度． 【考点】B7：分式方程的应用． 【分析】设小芳的速度是 x 米/分钟，则小明的速度是 1.2x 米/分钟，根据路程÷速度=时间， 列出方程，再求解即可． 【解答】解：设小芳的速度是 x 米/分钟，则小明的速度是 1.2x 米/分钟，根据题意得： ﹣ =6， 解得：x=50， 经检验 x=50 是原方程的解， 答：小芳的速度是 50 米/分钟． 24．如图，将 △ ABC 沿着射线 BC 方向平移至 △ A'B'C'，使点 A'落在∠ACB 的外角平分线 CD 上， 连结 AA'． （1）判断四边形 ACC'A'的形状，并说明理由； （2）在 △ ABC 中，∠B=90°，A B=24，cos∠BAC= ，求 CB'的长． 【考点】LO：四边形综合题；LA：菱形的判定与性质；Q2：平移的性质；T7：解直角三角 形． 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推 知四边形 ACC'A'是平行四边形．又对角线平分对角的平行四边形是菱形推知四边形 ACC'A' 是菱形． （2）通过解直角 △ ABC 得到 AC、BC 的长度，由（1）中菱形 ACC'A'的性质推知 AC=AA′，由 平移的性质得到四边形 ABB′A′是平行四边形，则 AA′=BB′，所以 CB′=BB′﹣BC． 【解答】解：（1）四边形 ACC'A'是菱形．理由如下： 由平移的性质得到：AC∥A′C′，且 AC=A′C′， 则四边形 ACC'A'是平行四边形． ∴∠ACC′=∠AA′C′， 又∵CD 平分∠ACB 的外角，即 CD 平分∠ACC′， ∴CD 也平分∠AA′C′， ∴四边形 ACC'A'是菱形． （2）∵在 △ ABC 中，∠B=90°，A B=24，cos∠BAC= ， ∴cos∠BAC= = ，即 = ， ∴AC=26． ∴由勾股定理知：BC= = =7 ． 又由（1）知，四边形 ACC'A'是菱形， ∴AC=AA′=26． 由平移的性质得到：AB∥A′B′，AB=A′B′，则四边形 ABB′A′是平行四边形， ∴AA′=BB′=26， ∴CB′=BB′﹣BC=26﹣7 ． 25．如图，已知平行四边形 OABC 的三个顶点 A、B、C 在以 O 为圆心的半圆上，过点 C 作 CD⊥AB，分别交 AB、AO 的延长线于点 D、E，AE 交半圆 O 于点 F，连接 CF． （1）判断直线 DE 与半圆 O 的位置关系，并说明理由； （2）①求证：CF=OC； ②若半圆 O 的半径为 12，求阴影部分的周长． 【考点】MB：直线与圆的位置关系；L5：平行四边形的性质；MN：弧长的计算． 【分析】（1）结论：DE 是⊙O 的切线．首先证明 △ ABO， △ BCO 都是等边三角形，再证明四 边形 BDCG 是矩形，即可解决问题； （2）①只要证明 △ OCF 是等边三角形即可解决问题； ②求出 EC、EF、弧长 CF 即可解决问题． 【解答】解：（1）结论：DE 是⊙O 的切线． 理由：∵四边形 OABC 是平行四边形， 又∵OA=OC， ∴四边形 OABC 是菱形， ∴OA=OB=AB=OC=BC， ∴△ABO， △ BCO 都是等边三角形， ∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°， ∵OB=OF， ∴OG⊥BF， ∵AF 是直径，CD⊥AD， ∴∠ABF=∠DBG=∠D=∠BGC=90°， ∴四边形 BDCG 是矩形， ∴∠OCD=90°， ∴DE 是⊙O 的切线． （2）①由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF， ∴△OCF 是等边三角形， ∴CF=OC． ②在 Rt △ OCE 中，∵OC=12，∠COE=60°，∠OCE=90°， ∴OE=2OC=24，EC=12 ， ∵OF=12， ∴EF=12， ∴ 的长= =4π， ∴阴影部分的周长为 4π+12+12 ． 26．我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图 1，在 △ ABC 中，AO 是 BC 边上的中线，AB 与 AC 的“极化值”就等于 AO2﹣BO2 的值，可记为 AB △ AC=AO2﹣BO2． （1）在图 1 中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO 是 BC 边上的中线，则 AB △ AC= 0 ，OC △ OA= 7 ； （2）如图 2，在 △ ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求 AB △ AC、BA △ BC 的值； （3）如图 3，在 △ ABC 中，AB=AC，AO 是 BC 边上的中线，点 N 在 AO 上，且 ON= AO．已 知 AB △ AC=14，BN △ BA=10，求 △ ABC 的面积． 【考点】KY：三角形综合题． 【分析】（1）①先根据勾股定理求出 BC=10，再利用直角三角形的性质得出 OA=OB=OC=5， 最后利用新定义即可得出结论； ②再用等腰三角形的性质求出 CD=3，再利用勾股定理求出 OD，最后用新定义即可得出结 论； （2）①先利用含 30°的直角三角形的性质求出 AO=2，OB=2 ，再用新定义即可得出结论； ②先构造直角三角形求出 BE，AE，再用勾股定理求出 BD，最后用新定义即可得出结论； （3）先构造直角三角形，表述出 OA，BD2，最后用新定义建立方程组求解即可得出结论． 【解答】解：①∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6， ∴BC=10， ∵点 O 是 BC 的中点， ∴OA=OB=OC= BC=5， ∴AB △ AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0， ②如图 1， 取 AC 的中点 D，连接 OD， ∴CD= AC=3， ∵OA=OC=5， ∴OD⊥AC， 在 Rt △ COD 中，OD= =4， ∴OC △ OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7， 故答案为 0，7； （2）①如图 2，取 BC 的中点 D，连接 AO， ∵AB=AC， ∴AO⊥BC， 在 △ ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠ABC=30°， 在 Rt △ AOB 中，AB=4，∠ABC=30°， ∴AO=2，OB=2 ， ∴AB △ AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8， ②取 AC 的中点 D，连接 BD， ∴AD=CD= AC=2， 过点 B 作 BE⊥AC 交 CA 的延长线于 E， 在 Rt △ ABE 中，∠BAE=180°﹣∠BAC=60°， ∴∠ABE=30°， ∵AB=4， ∴AE=2，BE=2 ， ∴DE=AD+AE=4， 在 Rt △ BED 中，根据勾股定理得，BD= = =2 ， ∴BA △ BC=BD2﹣CD2=24； （3）如图 3， 设 ON=x，OB=OC=y， ∴BC=2y，OA=3x， ∵AB △ AC=14， ∴OA2﹣OB2=14， ∴9x2﹣y2=14①， 取 AN 的中点 D，连接 BD， ∴AD=DB= AN= × OA=ON=x， ∴OD=ON+DN=2x， 在 Rt △ BOD 中，BD2=OB2+OD2=y2+4x2， ∵BN △ BA=10， ∴BD2﹣DN2=10， ∴y2+4x2﹣x2=10， ∴3x2+y2=10② 联立①②得， 或 （舍）， ∴BC=4，OA=3 ， ∴S △ ABC= BC×AO=6 ． 27．农经公司以 30 元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量 p（千克） 与销售价格 x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格 x（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量 p（千克） 600 450 300 150 0 （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 p 与 x 之间的函数表达式； （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ （3）若农经公司每销售 1 千克这种农产品需支出 a 元（a＞0）的相关费用，当 40≤x≤45 时， 农经公司的日获利的最大值为 2430 元，求 a 的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用） 【考点】HE：二次函数的应用． 【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想 y 与 x 是一次函数关系，任选两点求表达式，再 验证猜想的正确性； （2）根据题意列出日销售利润 w 与销售价格 x 之间的函数关系式，根据二次函数的性质确 定最大值即可； （3）根据题意列出日销售利润 w 与销售价格 x 之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴， 再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得 a 的值． 【解答】解：（1）假设 p 与 x 成一次函数关系，设函数关系式为 p=kx+b， 则 ， 解得：k=﹣30，b=1500， ∴p=﹣30x+1500， 检验：当 x=35，p=450；当 x=45，p=4150；当 x=50，p=0，符合一次函数解析式， ∴所求的函数关系为 p=﹣30x+1500； （2）设日销售利润 w=p（x﹣30）=（﹣30x+1500）（x﹣30） 即 w=﹣30x2+2400x﹣45000， ∴当 x=﹣ =40 时，w 有最大值 3000 元， 故这批农产品的销售价格定为 40 元，才能使日销售利润最大； （3）日获利 w=p（x﹣30﹣a）=（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a）， 即 w=﹣30x2+x﹣， 对称轴为 x=﹣ =40+ a， ①若 a＞10，则当 x=45 时，w 有最大值， 即 w=2250﹣150a＜2430（不合题意）； ②若 a＜10，则当 x=40+ a 时，w 有最大值， 将 x=40+ a 代入，可得 w=30（ a2﹣10a+100）， 当 w=2430 时，2430=30（ a2﹣10a+100）， 解得 a1=2，a2=38（舍去）， 综上所述，a 的值为 2． 28．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 是 AB 边上的一个动点，连接 CP，过点 P 作 PC 的垂线交 AD 于点 E，以 PE 为边作正方形 PEFG，顶点 G 在线段 PC 上，对角线 EG、PF 相交于点 O． （1）若 AP=1，则 AE= ； （2）①求证：点 O 一定在 △ APE 的外接圆上； ②当点 P 从点 A 运动到点 B 时，点 O 也随之运动，求点 O 经过的路径长； （3）在点 P 从点 A 到点 B 的运动过程中， △ APE 的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到 AB 边的距离的最大值． 【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由 角的互余关系证出∠AEP=∠PBC，得出 △ APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出 AE 的长； （2）①A、P、O、E 四点共圆，即可得出结论； ②连接 OA、AC，由光杆司令求出 AC=4 ，由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周长点 O 在 AC 上，当 P 运动到点 B 时，O 为 AC 的中点，即可得出答案； （3）设 △ APE 的外接圆的圆心为 M，作 MN⊥AB 于 N，由三角形中位线定理得出 MN= AE， 设 AP=x，则 BP=4﹣x，由相似三角形的对应边成比例求出 AE=x﹣ x2=﹣ （x﹣2）2+1，由 二次函数的最大值求出 AE 的最大值为 1，得出 MN 的最大值= 即可． 【解答】（1）解：∵四边形 ABCD、四边形 PEFG 是正方形， ∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°， ∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°， ∴∠AEP=∠PBC， ∴△APE∽△BCP， ∴ ，即 ， 解得：AE= ； 故答案为： ； （2）①证明：∵PF⊥EG， ∴∠EOF=90°， ∴∠EOF+∠A=180°， ∴A、P、O、E 四点共圆， ∴点 O 一定在 △ APE 的外接圆上； ②解：连接 OA、AC，如图 1 所示： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B=90°，∠BAC=45°， ∴AC= =4 ， ∵A、P、O、E 四点共圆， ∴∠OAP=∠OEP=45°， ∴点 O 在 AC 上， 当 P 运动到点 B 时，O 为 AC 的中点，OA= AC=2 ， 即点 O 经过的路径长为 2 ； （3）解：设 △ APE 的外接圆的圆心为 M，作 MN⊥AB 于 N，如图 2 所示： 则 MN∥AE， ∵ME=MP， ∴AN=PN， ∴MN= AE， 设 AP=x，则 BP=4﹣x， 由（1）得： △ APE∽△BCP， ∴ ，即 ， 解得：AE=x﹣ x2=﹣ （x﹣2）2+1， ∴x=2 时，AE 的最大值为 1，此时 MN 的值最大= ×1= ， 即 △ APE 的圆心到 AB 边的距离的最大值为 ． 9-2017 年江苏省徐州市中考数学试卷及解析（29 页） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）﹣5 的倒数是（ ） A．﹣5 B．5 C． D． 2．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．（3 分）肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.00000071 米，数字 0.00000071 用科学记 数法表示为（ ） A．7.1×107B．0.71×10﹣6 C．7.1×10﹣7 D．71×10﹣8 4．（3 分）下列运算正确的是（ ） A．a﹣（b+c）=a﹣b+c B．2a2•3a3=6a5 C．a3+a3=2a6 D．（x+1）2=x2+1 5．（3 分）在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为 了解 5 月份八年级 300 名学生读书情况，随机调查了八年级 50 名学生读书的册 数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A．中位数是 2 B．众数是 17 C．平均数是 2 D．方差是 2 6．（3 分）如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠AOB=72°，则∠ACB 等于（ ） A．28° B．54° C．18° D．36° 7．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=kx+b（k≠0）与 y= （m≠ 0）的图象相交于点 A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式 kx+b＞ 的解集为（ ） A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0 或 x＞2 C．x＞2D．x＜﹣6 或 0＜x＜2 8．（3 分）若函数 y=x2﹣2x+b 的图象与坐标轴有三个交点，则 b 的取值范围是 （ ） A．b＜1 且 b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9．（3 分）4 是 的算术平方根． 10．（3 分）如图，转盘中 6 个扇形的面积相等，任意转动转盘 1 次，当转盘停 止转动时，指针指向的数小于 5 的概率为 ． 11．（3 分）使 有意义的 x 的取值范围是 ． 12．（3 分）反比例函数 y= 的图象经过点 M（﹣2，1），则 k= ． 13．（3 分）△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，DE=7，则 BC= ． 14．（3 分）已知 a+b=10，a﹣b=8，则 a2﹣b2= ． 15．（3 分）正六边形的每个内角等于 °． 16．（3 分）如图，AB 与⊙O 相切于点 B，线段 OA 与弦 BC 垂直，垂足为 D，AB=BC=2， 则∠AOB= °． 17．（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，点 Q 在对角线 AC 上，且 AQ=AD， 连接 DQ 并延长，与边 BC 交于点 P，则线段 AP= ． 18．（3 分）如图，已知 OB=1，以 OB 为直角边作等腰直角三角形 A1BO，再以 OA1 为直角边作等腰直角三角形 A2A1O，如此下去，则线段 OAn 的长度为 ． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 86 分） 19．（10 分）计算： （1）（﹣2）2﹣（ ）﹣1+20170 （2）（1+ ）÷ ． 20．（10 分）（1）解方程： = （2）解不等式组： ． 21．（7 分）某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况， 随机抽查部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己最喜欢的一个版面，将 调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）该调查的样本容量为 ，a= %，“第一版”对应扇形的圆心角 为 °； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有 1000 名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数． 22．（7 分）一个不透明的口袋中装有 4 张卡片，卡片上分别标有数字 1，﹣3， ﹣5，7，这些卡片除数字外都相同．小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从 剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的 数字符号相同的概率． 23．（8 分）如图，在▱ABCD 中，点 O 是边 BC 的中点，连接 DO 并延长，交 AB 延长线于点 E，连接 BD，EC． （1）求证：四边形 BECD 是平行四边形； （2）若∠A=50°，则当∠BOD= °时，四边形 BECD 是矩形． 24．（8 分）4 月 9 日上午 8 时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名 34 岁的 男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 25．（8 分）如图，已知 AC⊥BC，垂足为 C，AC=4，BC=3 ，将线段 AC 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°，得到线段 AD，连接 DC，DB． （1）线段 DC= ； （2）求线段 DB 的长度． 26．（9 分）如图①，菱形 ABCD 中，AB=5cm，动点 P 从点 B 出发，沿折线 BC﹣ CD﹣DA 运动到点 A 停止，动点 Q 从点 A 出发，沿线段 AB 运动到点 B 停止，它 们运动的速度相同，设点 P 出发 x s 时，△BPQ 的面积为 y cm2．已知 y 与 x 之间 的函数关系如图②所示，其中 OM、MN 为线段，曲线 NK 为抛物线的一部分．请 根据图中的信息，解答下列问题： （1）当 1＜x＜2 时，△BPQ 的面积 （填“变”或“不变”）； （2）分别求出线段 OM，曲线 NK 所对应的函数表达式； （3）当 x 为何值时，△BPQ 的面积是 5cm2？ 27．（9 分）如图，将边长为 6 的正三角形纸片 ABC 按如下顺序进行两次折叠， 展平后，得折痕 AD、BE（如图①），点 O 为其交点． （1）探求 AO 与 OD 的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若 P，N 分别为 BE，BC 上的动点． ①当 PN+PD 的长度取得最小值时，求 BP 的长度； ②如图③，若点 Q 在线段 BO 上，BQ=1，则 QN+NP+PD 的最小值= ． 28．（10 分）如图，已知二次函数 y= x2﹣4 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，⊙C 的半径为 ，P 为⊙C 上一动点． （1）点 B，C 的坐标分别为 B（ ），C（ ）； （2）是否存在点 P，使得△PBC 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由； （3）连接 PB，若 E 为 PB 的中点，连接 OE，则 OE 的最大值= ． 2017 年江苏省徐州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）﹣5 的倒数是（ ） A．﹣5 B．5 C． D． 【分析】根据倒数的定义可直接解答． 【解答】解：﹣5 的倒数是﹣ ； 故选 D． 【点评】本题比较简单，考查了倒数的定义，即若两个数的乘积是 1，我们就称 这两个数互为倒数． 2．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键 是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋 转 180 度后两部分重合． 3．（3 分）肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.00000071 米，数字 0.00000071 用科学记 数法表示为（ ） A．7.1×107B．0.71×10﹣6 C．7.1×10﹣7 D．71×10﹣8 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n， 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一 个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 【解答】解：数字 0.00000071 用科学记数法表示为 7.1×10﹣7， 故选：C． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤ |a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 4．（3 分）下列运算正确的是（ ） A．a﹣（b+c）=a﹣b+c B．2a2•3a3=6a5 C．a3+a3=2a6 D．（x+1）2=x2+1 【分析】根据去括号，单项式的乘法，合并同类项以及完全平方公式进行解答． 【解答】解：A、原式=a﹣b﹣c，故本选项错误； B、原式=6a5，故本选项正确； C、原式=2a3，故本选项错误； D、原式=x2+2x+1，故本选项错误； 故选：B． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，整式的加减，完全平方公式，熟记计算法 则和完全平方公式即可解题． 5．（3 分）在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为 了解 5 月份八年级 300 名学生读书情况，随机调查了八年级 50 名学生读书的册 数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A．中位数是 2 B．众数是 17 C．平均数是 2 D．方差是 2 【分析】先根据表格提示的数据得出 50 名学生读书的册数，然后除以 50 即可求 出平均数；在这组样本数据中，3 出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样 本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 2，从而求出中位数 是 2，根据方差公式即可得出答案． 【解答】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为： （0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50= ； ∵这组样本数据中，3 出现了 17 次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是 3； ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 2， ∴这组数据的中位数为 2， 故选 A． 【点评】本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识， 解题的关键是牢记概念及公式． 6．（3 分）如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠AOB=72°，则∠ACB 等于（ ） A．28° B．54° C．18° D．36° 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求 解． 【解答】解：根据圆周角定理可知， ∠AOB=2∠ACB=72°， 即∠ACB=36°， 故选 D． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，正确认识∠ACB 与∠AOB 的位置关系是解 题关键． 7．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=kx+b（k≠0）与 y= （m≠ 0）的图象相交于点 A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式 kx+b＞ 的解集为（ ） A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0 或 x＞2 C．x＞2D．x＜﹣6 或 0＜x＜2 【分析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果． 【解答】解：不等式 kx+b＞ 的解集为：﹣6＜x＜0 或 x＞2， 故选 B． 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结 合思想的应用． 8．（3 分）若函数 y=x2﹣2x+b 的图象与坐标轴有三个交点，则 b 的取值范围是 （ ） A．b＜1 且 b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1 【分析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与 x 轴有 2 个交点，与 y 轴有一 个交点． 【解答】解：∵函数 y=x2﹣2x+b 的图象与坐标轴有三个交点， ∴ ， 解得 b＜1 且 b≠0． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点．该题属于易错题，解题时，往往忽略 了抛物线与 y 轴有交点时，b≠0 这一条件． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9．（3 分）4 是 16 的算术平方根． 【分析】如果一个非负数 x 的平方等于 a，那么 x 是 a 的算术平方根，由此即可 求出结果． 【解答】解：∵42=16， ∴4 是 16 的算术平方根． 故答案为：16． 【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键． 10．（3 分）如图，转盘中 6 个扇形的面积相等，任意转动转盘 1 次，当转盘停 止转动时，指针指向的数小于 5 的概率为 ． 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数 目；二者的比值就是其发生的概率． 【解答】解：∵共 6 个数，小于 5 的有 4 个， ∴P（小于 5）= = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能 性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 11．（3 分）使 有意义的 x 的取值范围是 x≥6 ． 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：∵ 有意义， ∴x 的取值范围是：x≥6． 故答案为：x≥6． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键． 12．（3 分）反比例函数 y= 的图象经过点 M（﹣2，1），则 k= ﹣2 ． 【分析】直接把点 M（﹣2，1）代入反比例函数 y= ，求出 k 的值即可． 【解答】解：∵反比例函数 y= 的图象经过点 M（﹣2，1）， ∴1=﹣ ，解得 k=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上 各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 13．（3 分）△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，DE=7，则 BC= 14 ． 【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半可知，BC=2DE，进而由 DE 的值求得 BC． 【解答】解：∵D，E 分别是△ABC 的边 AB 和 AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∵DE=7， ∴BC=2DE=14． 故答案是：14． 【点评】本题主要考查三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段， 由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证 明中有着广泛的应用． 14．（3 分）已知 a+b=10，a﹣b=8，则 a2﹣b2= 80 ． 【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2， ∴a2﹣b2=10×8=80， 故答案为：80 【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基 础题型． 15．（3 分）正六边形的每个内角等于 120 °． 【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案． 【解答】解：六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°， ∴正六边形的每个内角为： =120°， 故答案为：120° 【点评】本题考查多边形的内角和，解题的关键是求出六边形的内角和，本题属 于基础题型． 16．（3 分）如图，AB 与⊙O 相切于点 B，线段 OA 与弦 BC 垂直，垂足为 D，AB=BC=2， 则∠AOB= 60 °． 【分析】由垂径定理易得 BD=1，通过解直角三角形 ABD 得到∠A=30°，然后由切 线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质可以求得∠AOB 的度数． 【解答】解：∵OA⊥BC，BC=2， ∴根据垂径定理得：BD= BC=1． 在 Rt△ABD 中，sin∠A= = ． ∴∠A=30°． ∵AB 与⊙O 相切于点 B， ∴∠ABO=90°． ∴∠AOB=60°． 故答案是：60． 【点评】本题主要考查的圆的切线性质，垂径定理和一些特殊三角函数值，有一 定的综合性． 17．（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，点 Q 在对角线 AC 上，且 AQ=AD， 连接 DQ 并延长，与边 BC 交于点 P，则线段 AP= ． 【分析】先根据勾股定理得到 AC 的长，再根据 AQ=AD，得出 CP=CQ=2，进而得 到 BP 的长，最后在 Rt△ABP 中，依据勾股定理即可得到 AP 的长． 【解答】解：∵矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3=BC， ∴AC=5， 又∵AQ=AD=3，AD∥CP， ∴CQ=5﹣3=2，∠CQP=∠AQD=∠ADQ=∠CPQ， ∴CP=CQ=2， ∴BP=3﹣2=1， ∴Rt△ABP 中，AP= = = ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的综合应 用，解决问题的关键是判定△CPQ 是等腰三角形． 18．（3 分）如图，已知 OB=1，以 OB 为直角边作等腰直角三角形 A1BO，再以 OA1 为直角边作等腰直角三角形 A2A1O，如此下去，则线段 OAn 的长度为 （ ） n ． 【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答 案． 【解答】解：∵△OBA1 为等腰直角三角形，OB=1， ∴BA1=OB=1，OA1= OB= ； ∵△OA1A2 为等腰直角三角形， ∴A1A2=OA1= ，OA2= OA1=2； ∵△OA2A3 为等腰直角三角形， ∴A2A3=OA2=2，OA3= OA2=2 ； ∵△OA3A4 为等腰直角三角形， ∴A3A4=OA3=2 ，OA4= OA3=4． ∵△OA4A5 为等腰直角三角形， ∴A4A5=OA4=4，OA5= OA4=4 ， ∵△OA5A6 为等腰直角三角形， ∴A5A6=OA5=4 ，OA6= OA5=8． ∴OAn 的长度为（ ）n． 故答案为：（ ）n． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定 理得出是解题关键． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 86 分） 19．（10 分）计算： （1）（﹣2）2﹣（ ）﹣1+20170 （2）（1+ ）÷ ． 【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂可以解答本题； （2）根据分式的加法和除法可以解答本题． 【解答】解：（1）（﹣2）2﹣（ ）﹣1+20170 =4﹣2+1 =3； （2）（1+ ）÷ = = =x﹣2． 【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算、负整数指数幂、零指数幂，解 答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 20．（10 分）（1）解方程： = （2）解不等式组： ． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值， 经检验即可得到分式方程的解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解：（1） = ， 去分母得：2（x+1）=3x， 解得：x=2， 经检验 x=2 是分式方程的解， 故原方程的解为 x=2； （2） ， 由①得：x＞0； 由②得：x＜5， 故不等式组的解集为 0＜x＜5． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式 方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．同时考查了解一元一次 不等式组． 21．（7 分）某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况， 随机抽查部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己最喜欢的一个版面，将 调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）该调查的样本容量为 50 ，a= 36 %，“第一版”对应扇形的圆心角为 108 °； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有 1000 名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数． 【分析】（1）设样本容量为 x．由题意 =10%，求出 x 即可解决问题； （2）求出“第三版”的人数为 50﹣15﹣5﹣18=12，画出条形图即可； （3）用样本估计总体的思想解决问题即可． 【解答】解：（1）设样本容量为 x． 由题意 =10%， 解得 x=50， a= ×100%=36%， “第一版”对应扇形的圆心角为 360°× =108° 故答案分别为 50，36，108． （2）“第三版”的人数为 50﹣15﹣5﹣18=12， 条形图如图所示， （3）该校有 1000 名学生，估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数约为 1000× ×100%=240 人． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不 同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每 个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22．（7 分）一个不透明的口袋中装有 4 张卡片，卡片上分别标有数字 1，﹣3， ﹣5，7，这些卡片除数字外都相同．小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从 剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的 数字符号相同的概率． 【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出两人抽到的数字符号 相同的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两人抽到的数字符号相同的结果数为 4， 所以两人抽到的数字符号相同的概率= = ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能 的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事 件 A 或事件 B 的概率． 23．（8 分）如图，在▱ABCD 中，点 O 是边 BC 的中点，连接 DO 并延长，交 AB 延长线于点 E，连接 BD，EC． （1）求证：四边形 BECD 是平行四边形； （2）若∠A=50°，则当∠BOD= 100 °时，四边形 BECD 是矩形． 【分析】（1）由 AAS 证明△BOE≌△COD，得出 OE=OD，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC= ∠BCD，得出 OC=OD，证出 DE=BC，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB∥DC，AB=CD， ∴∠OEB=∠ODC， 又∵O 为 BC 的中点， ∴BO=CO， 在△BOE 和△COD 中， ， ∴△BOE≌△COD（AAS）； ∴OE=OD， ∴四边形 BECD 是平行四边形； （2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形 BECD 是矩形．理由如下： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD=∠A=50°， ∵∠BOD=∠BCD+∠ODC， ∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD， ∴OC=OD， ∵BO=CO，OD=OE， ∴DE=BC， ∵四边形 BECD 是平行四边形， ∴四边形 BECD 是矩形； 故答案为：100． 【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的 判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 24．（8 分）4 月 9 日上午 8 时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名 34 岁的 男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【分析】设今年妹妹的年龄为 x 岁，哥哥的年龄为 y 岁，根据两个孩子的对话， 即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设今年妹妹的年龄为 x 岁，哥哥的年龄为 y 岁， 根据题意得： ， 解得： ． 答：今年妹妹 6 岁，哥哥 10 岁． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程 组是解题的关键． 25．（8 分）如图，已知 AC⊥BC，垂足为 C，AC=4，BC=3 ，将线段 AC 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°，得到线段 AD，连接 DC，DB． （1）线段 DC= 4 ； （2）求线段 DB 的长度． 【分析】（1）证明△ACD 是等边三角形，据此求解； （2）作 DE⊥BC 于点 E，首先在 Rt△CDE 中利用三角函数求得 DE 和 CE 的长，然 后在 Rt△BDE 中利用勾股定理求解． 【解答】解：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°， ∴△ACD 是等边三角形， ∴DC=AC=4． 故答案是：4； （2）作 DE⊥BC 于点 E． ∵△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD=60°， 又∵AC⊥BC， ∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°， ∴Rt△CDE 中，DE= DC=2， CE=DC•cos30°=4× =2 ， ∴BE=BC﹣CE=3 ﹣2 = ． ∴Rt△BDE 中，BD= = = ． 【点评】本题考查了旋转的性质以及解直角三角形的应用，正确作出辅助线，转 化为直角三角形的计算是关键． 26．（9 分）如图①，菱形 ABCD 中，AB=5cm，动点 P 从点 B 出发，沿折线 BC﹣ CD﹣DA 运动到点 A 停止，动点 Q 从点 A 出发，沿线段 AB 运动到点 B 停止，它 们运动的速度相同，设点 P 出发 x s 时，△BPQ 的面积为 y cm2．已知 y 与 x 之间 的函数关系如图②所示，其中 OM、MN 为线段，曲线 NK 为抛物线的一部分．请 根据图中的信息，解答下列问题： （1）当 1＜x＜2 时，△BPQ 的面积 不变 （填“变”或“不变”）； （2）分别求出线段 OM，曲线 NK 所对应的函数表达式； （3）当 x 为何值时，△BPQ 的面积是 5cm2？ 【分析】（1）根据函数图象即可得到结论； （2）设线段 OM 的函数表达式为 y=kx，把（1，10）即可得到线段 OM 的函数 表达式为 y=10x；设曲线 NK 所对应的函数表达式 y=a（x﹣3）2，把（2，10）代 入得根据得到曲线 NK 所对应的函数表达式 y=10（x﹣3）2； （3）把 y=5 代入 y=10x 或 y=10（x﹣3）2 解方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）由函数图象知，当 1＜x＜2 时，△BPQ 的面积始终等于 10， ∴当 1＜x＜2 时，△BPQ 的面积不变； 故答案为：不变； （2）设线段 OM 的函数表达式为 y=kx， 把（1，10）代入得，k=10， ∴线段 OM 的函数表达式为 y=10x（0≤x≤1）； 设曲线 NK 所对应的函数表达式 y=a（x﹣3）2， 把（2，10）代入得，10=a（2﹣3）2， ∴a=10， ∴曲线 NK 所对应的函数表达式 y=10（x﹣3）2（x≥2）； （3）把 y=5 代入 y=10x 得，x= ， 把 y=5 代入 y=10（x﹣3）2 得，5=10（x﹣3）2， ∴x=3± ， ∵3+ ＞3， ∴x=3﹣ ， ∴当 x= 或 3﹣ 时，△BPQ 的面积是 5cm2． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，待定系数法求函数 的解析式，掌握的识别函数图象是解题的关键． 27．（9 分）如图，将边长为 6 的正三角形纸片 ABC 按如下顺序进行两次折叠， 展平后，得折痕 AD、BE（如图①），点 O 为其交点． （1）探求 AO 与 OD 的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若 P，N 分别为 BE，BC 上的动点． ①当 PN+PD 的长度取得最小值时，求 BP 的长度； ②如图③，若点 Q 在线段 BO 上，BQ=1，则 QN+NP+PD 的最小值= ． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到 AO=OB， 根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）如图②，作点 D 关于 BE 的对称点 D′，过 D′作 D′N⊥BC 于 N 交 BE 于 P，则 此时 PN+PD 的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的 BD=BD′，推出 △BDD′是等边三角形，得到 BN= BD= ，于是得到结论； （3）如图③，作 Q 关于 BC 的对称点 Q′，作 D 关于 BE 的对称点 D′，连接 Q′D′， 即为 QN+NP+PD 的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠ QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可 得到结论． 【解答】解：（1）AO=2OD， 理由：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°， ∴AO=OB， ∵BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴∠BDO=90°， ∴OB=2OD， ∴OA=2OD； （2）如图②，作点 D 关于 BE 的对称点 D′，过 D′作 D′N⊥BC 于 N 交 BE 于 P， 则此时 PN+PD 的长度取得最小值， ∵BE 垂直平分 DD′， ∴BD=BD′， ∵∠ABC=60°， ∴△BDD′是等边三角形， ∴BN= BD= ， ∵∠PBN=30°， ∴ = ， ∴PB= ； （3）如图③，作 Q 关于 BC 的对称点 Q′，作 D 关于 BE 的对称点 D′， 连接 Q′D′，即为 QN+NP+PD 的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°， ∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形， ∴∠D′BQ′=90°， ∴在 Rt△D′BQ′中， D′Q′= = ． ∴QN+NP+PD 的最小值= ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，解直角三角形，轴对称﹣﹣最短 路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段是解题的关键． 28．（10 分）如图，已知二次函数 y= x2﹣4 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，⊙C 的半径为 ，P 为⊙C 上一动点． （1）点 B，C 的坐标分别为 B（ 3，0 ），C（ 0，﹣4 ）； （2）是否存在点 P，使得△PBC 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由； （3）连接 PB，若 E 为 PB 的中点，连接 OE，则 OE 的最大值= ． 【分析】（1）在抛物线解析式中令 y=0 可求得 B 点坐标，令 x=0 可求得 C 点坐标； （2）①当 PB 与⊙相切时，△PBC 为直角三角形，如图 1，连接 BC，根据勾股定 理得到 BC=5，BP2=2 ，过 P2 作 P2E⊥x 轴于 E，P2F⊥y 轴于 F，根据相似三角形 的性质得到 = =2，设 OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到 BE=3﹣x，CF=2x﹣4， 于是得到 FP2= ，EP2= ，求得 P2（ ，﹣ ），过 P1 作 P1G⊥x 轴于 G，P1H ⊥y 轴于 H，同理求得 P1（﹣1，﹣2），②当 BC⊥PC 时，△PBC 为直角三角形， 根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （3）如图 3 中，连接 AP，∵OB=OA，BE=EP，推出 OE= AP，可知当 AP 最大时， OE 的值最大， 【解答】解：（1）在 y= x2﹣4 中，令 y=0，则 x=±3，令 x=0，则 y=﹣4， ∴B（3，0），C（0，﹣4）； 故答案为：3，0；0，﹣4； （2）存在点 P，使得△PBC 为直角三角形， ①当 PB 与⊙相切时，△PBC 为直角三角形，如图（2）a， 连接 BC， ∵OB=3．OC=4， ∴BC=5， ∵CP2⊥BP2，CP2= ， ∴BP2=2 ， 过 P2 作 P2E⊥x 轴于 E，P2F⊥y 轴于 F， 则△CP2F∽△BP2E， ∴ = = ， 设 OC=P2E=2x，CP2=OE=x， ∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4， ∴ = =2， ∴x= ，2x= ， ∴FP2= ，EP2= ， ∴P2（ ，﹣ ）， 过 P1 作 P1G⊥x 轴于 G，P1H⊥y 轴于 H， 同理求得 P1（﹣1，﹣2）， ②当 BC⊥PC 时，△PBC 为直角三角形， 过 P4 作 P4H⊥y 轴于 H， 则△BOC∽△CHP4， ∴ = = ， ∴CH= ，P4H= ， ∴P4（ ，﹣ ﹣4）； 同理 P3（﹣ ， ﹣4）； 综上所述：点 P 的坐标为：（﹣1，﹣2）或（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ﹣4） 或（﹣ ， ﹣4）； （3）如图（3），连接 AP，∵OB=OA，BE=EP， ∴OE= AP， ∴当 AP 最大时，OE 的值最大， ∵当 P 在 AC 的延长线上时，AP 的值最大，最大值=5+ ， ∴OE 的最大值为 故答案为： ． 【点评】本题考查了根据函数的解析式求得点的坐标，圆与直线是位置关系，勾 股定理，相似三角形的判定和性质，考查中位线和圆外一定点到圆上距离的最值 等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 10-2017 年江苏省淮安市中考数学试卷及解析（21 页） 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1．﹣2 的相反数是（ ） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【考点】14：相反数． 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【解答】解：根据相反数的定义，﹣2 的相反数是 2． 故选：A． 2．2016 年某市用于资助贫困学生的助学金总额是 9680000 元，将 9680000 用科 学记数法表示为（ ） A．96.8×105 B．9.68×106 C．9.68×107 D．0.968×108 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 9680000 用科学记数法表示为：9.68×106． 故选 B． 3．计算 a2•a3 的结果是（ ） A．5a B．6a C．a6 D．a5 【考点】46：同底数幂的乘法． 【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案． 【解答】解：原式=a2+3=a5， 故选：D． 4．点 P（1，﹣2）关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1） 【考点】P5：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【分析】关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：P（1，﹣2）关于 y 轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）， 故选：C． 5．下列式子为最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【考点】74：最简二次根式． 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次 根式，否则就不是． 【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， 故 A 符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 B 不符合题意； C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 C 不符合题意； D、被开方数含分母，故 D 不符合题意； 故选：A． 6．九年级（1）班 15 名男同学进行引体向上测试，每人只测一次，测试结果统 计如下： 引体向上数/个 0 1 2 3 4 5 6 7 8 人数 1 1 2 1 3 3 2 1 1 这 15 名男同学引体向上数的中位数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】W4：中位数；VA：统计表． 【分析】根据中位数的定义，将 15 个数据从小到大排列后，中位数是第 8 个数． 【解答】解：根据表格可知，15 个数据按从小到大的顺序排列后，第 8 个数是 4， 所以中位数为 4； 故选 C． 7．若一个三角形的两边长分别为 5 和 8，则第三边长可能是（ ） A．14 B．10 C．3 D．2 【考点】K6：三角形三边关系． 【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【解答】解：设第三边为 x， 则 8﹣5＜x＜5+8，即 3＜x＜13， 所以符合条件的整数为 10， 故选 B． 8．如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，点 E 在边 BC 上，将△ABE 沿直线 AE 折 叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，若∠EAC=∠ECA，则 AC 的长是（ ） A． B．6 C．4 D．5 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质． 【分析】根据折叠的性质得到 AF=AB，∠AFE=∠B=90°，根据等腰三角形的性质 得到 AF=CF，于是得到结论． 【解答】解：∵将△ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处， ∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°， ∴EF⊥AC， ∵∠EAC=∠ECA， ∴AE=CE， ∴AF=CF， ∴AC=2AB=6， 故选 B． 二、填空题（每题 3 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9．分解因式：ab﹣b2= b（a﹣b） ． 【考点】53：因式分解﹣提公因式法． 【分析】根据提公因式法，可得答案． 【解答】解：原式=b（a﹣b）， 故答案为：b（a﹣b）． 10．计算：2（x﹣y）+3y= 2x+y ． 【考点】44：整式的加减． 【分析】原式去括号合并即可得到结果． 【解答】解：原式=2x﹣2y+3y=2x+y， 故答案为：2x+y 11．若反比例函数 y=﹣ 的图象经过点 A（m，3），则 m 的值是 ﹣2 ． 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】直接把 A（m，3）代入反比例函数 y=﹣ ，求出 m 的值即可． 【解答】解：∵反比例函数 y=﹣ 的图象经过点 A（m，3）， ∴3=﹣ ，解得 m=﹣2． 故答案为：﹣2． 12．方程 =1 的解是 x=3 ． 【考点】B3：解分式方程． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检 验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x﹣1=2， 解得：x=3， 经检验 x=3 是分式方程的解， 故答案为：x=3 13．一枚质地均匀的骰子的 6 个面上分别刻有 1〜6 的点数，抛掷这枚骰子 1 次， 向上一面的点数是 4 的概率是 ． 【考点】X4：概率公式． 【分析】弄清骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出向上一 面的点数是 4 的概率． 【解答】解：由概率公式 P（向上一面的点数是 6）= ． 故答案为： ． 14．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+k+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值 范围是 k＜﹣ ． 【考点】AA：根的判别式． 【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣1）2﹣4（k+1）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得△=（﹣1）2﹣4（k+1）＞0， 解得 k＜﹣ ． 故答案为 k＜﹣ ． 15．如图，直线 a∥b，∠BAC 的顶点 A 在直线 a 上，且∠BAC=100°．若∠1=34°， 则∠2= 46 °． 【考点】JA：平行线的性质． 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论． 【解答】解：∵直线 a∥b， ∴∠3=∠1=34°， ∵∠BAC=100°， ∴∠2=180°﹣34°﹣100°=46°， 故答案为：46． 16．如图，在圆内接四边形 ABCD 中，若∠A，∠B，∠C 的度数之比为 4：3：5， 则∠D 的度数是 120 °． 【考点】M6：圆内接四边形的性质． 【分析】设∠A=4x，∠B=3x，∠C=5x，根据圆内接四边形的性质求出 x 的值，进 而可得出结论． 【解答】解：∵∠A，∠B，∠C 的度数之比为 4：3：5， ∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x． ∵四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A+∠C=180°，即 4x+5x=180°，解得 x=20°， ∴∠B=3x=60°， ∴∠D=180°﹣60°=120°． 故答案为：120． 17．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，点 F 是 AD 的中点．若 AB=8，则 EF= 2 ． 【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线． 【分析】利用直角三角形斜边中线定理以及三角形的中位线定理即可解决问题． 【解答】解：在 Rt△ABC 中，∵AD=BD=4， ∴CD= AB=4， ∵AF=DF，AE=EC， ∴EF= CD=2． 故答案为 2 18．将从 1 开始的连续自然数按一下规律排列： 第 1 行 1 第 2 行 2 3 4 第 3 行 9 8 7 6 5 第 4 行 10 11 12 13 14 15 16 第 5 行 2 5 24 23 22 21 20 19 18 1 7 … 则 2017 在第 45 行． 【考点】37：规律型：数字的变化类． 【分析】通过观察可得第 n 行最大一个数为 n2，由此估算 2017 所在的行数，进 一步推算得出答案即可． 【解答】解：∵442=1936，452=2025， ∴2017 在第 45 行． 故答案为：45． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 19．（1）|﹣3|﹣（ +1）0+（﹣2）2； （2）（1﹣ ）÷ ． 【考点】6C：分式的混合运算；6E：零指数幂． 【分析】（1）根据绝对值的意义，零指数幂的意义即可求出答案； （2）根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式=3﹣1+4=6 （2）原式= × =a 20．解不等式组： 并写出它的整数解． 【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；CB：解一元一次不等式组． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小 小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 3x﹣1＜x+5，得：x＜3， 解不等式 ＜x﹣1，得：x＞﹣1， 则不等式组的解集为﹣1＜x＜3， ∴不等式组的整数解为 0、1、2． 21．已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E，F．求 证：△ADE≌△CBF． 【考点】L5：平行四边形的性质；KB：全等三角形的判定． 【分析】指出∠ADE=∠CBF，AD=CB，由 AAS 证△ADE≌△CBF 即可． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=CB，AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED=∠CFB=90°， 在△ADE 和△CBF 中， ， ∴△ADE≌△CBF（AAS）． 22．一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色外都相同，搅 匀后从中任意摸出 1 个球（不放回），再从余下的 2 个球中任意摸出 1 个球． （1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果； （2）求两次摸到的球的颜色不同的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法． 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由（1）中树状图可求得两次摸到的球的颜色不同的情况有 4 种，再利用概 率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）如图： ； （2）共有 6 种情况，两次摸到的球的颜色不同的情况有 4 种，概率为 = ． 23．某校计划成立学生社团，要求每一位学生都选择一个社团，为了了解学生对 不同社团的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个学生社团” 问卷调查，规定每人必须并且只能在“文学社团”、“科学社团”、“书画社团”、“体 育社团”和“其他”五项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两个不完整的统计 图表． 社团名称 人数 文学社团 18 科技社团 a 书画社团 45 体育社团 72 其他 b 请解答下列问题： （1）a= 36 ，b= 9 ； （2）在扇形统计图中，“书画社团”所对应的扇形圆心角度数为 90° ； （3）若该校共有 3000 名学生，试估计该校学生中选择“文学社团”的人数． 【考点】VB：扇形统计图；V5：用样本估计总体；VA：统计表． 【分析】（1）根据体育社团的人数是 72 人，所占的百分比是 40%即可求得调查 的总人数，然后利用百分比的意义求得 a 和 b 的值； （2）利用 360°乘以对应的百分比求解； （3）利用总人数乘以对应的百分比求解． 【解答】解：（1）调查的总人数是 72÷40%=180（人）， 则 a=180×20%=36（人）， 则 b=180﹣18﹣45﹣72﹣36=9． 故答案是：36，9； （2）“书画社团”所对应的扇形圆心角度数是 360× =90°； （3）估计该校学生中选择“文学社团”的人数是 3000× =300（人）． 24．A，B 两地被大山阻隔，若要从 A 地到 B 地，只能沿着如图所示的公路先从 A 地到 C 地，再由 C 地到 B 地．现计划开凿隧道 A，B 两地直线贯通，经测量得： ∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从 A 地到 B 地的路程将缩短多少？（结果精确到 0.1km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 【考点】T8：解直角三角形的应用． 【分析】过点 C 作 CD⊥AB 与 D，根据 AC=20km，∠CAB=30°，求出 CD、AD，根 据∠CBA=45°，求出 BD、BC，最后根据 AB=AD+BD 列式计算即可． 【解答】解：过点 C 作 CD⊥AB 与 D， ∵AC=10km，∠CAB=30°， ∴CD= AC= ×20=10km， AD=cos∠CAB•AC=cos∠30°×20=10 km， ∵∠CBA=45°， ∴BD=CD=10km，BC= CD=10 ≈14.14km ∴AB=AD+BD=10 +10≈27.32km． 则 AC+BC﹣AB≈20+14.14﹣27.32≈6.8km． 答：从 A 地到 B 地的路程将缩短 6.8km． 25．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，O 是边 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 为半 径的圆分别交 AB，AC 于点 E，D，在 BC 的延长线上取点 F，使得 BF=EF，EF 与 AC 交于点 G． （1）试判断直线 EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积． 【考点】MB：直线与圆的位置关系；MO：扇形面积的计算． 【分析】（1）连接 OE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于 是得到∠OEG=90°，即可得到结论； （2）由 AD 是⊙O 的直径，得到∠AED=90°，根据三角形的内角和得到∠EOD=60°， 求得∠EGO=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）连接 OE， ∵OA=OE， ∴∠A=∠AEO， ∵BF=EF， ∴∠B=∠BEF， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠AEO+∠BEF=90°， ∴∠OEG=90°， ∴EF 是⊙O 的切线； （2）∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠AED=90°， ∵∠A=30°， ∴∠EOD=60°， ∴∠EGO=30°， ∵AO=2， ∴OE=2， ∴EG=2 ， ∴阴影部分的面积= 2×2 ﹣ =2 ﹣ π． 26．某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如 图所示的图象，图中折线 ABCD 表示人均收费 y（元）与参加旅游的人数 x（人） 之间的函数关系． （1）当参加旅游的人数不超过 10 人时，人均收费为 24 元； （2）如果该公司支付给旅行社 3600 元，那么参加这次旅游的人数是多少？ 【考点】FH：一次函数的应用． 【分析】（1）观察图象即可解决问题； （2）首先判断收费标准在 BC 段，求出直线 BC 的解析式，列出方程即可解决问 题； 【解答】解：（1）观察图象可知：当参加旅游的人数不超过 10 人时，人均收费 为 240 元． 故答案为 240． （2）∵3600÷240=15，3600÷150=24， ∴收费标准在 BC 段， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，则有 ， 解得 ， ∴y=﹣6x+300， 由题意（﹣6x+300）x=3600， 解得 x=20 或 30（舍弃） 答：参加这次旅游的人数是 20 人． 27．【操作发现】 如图①，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均 在格点上． （1）请按要求画图：将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°，点 B 的对应点为 B′， 点 C 的对应点为 C′，连接 BB′； （2）在（1）所画图形中，∠AB′B= 45° ． 【问题解决】 如图②，在等边三角形 ABC 中，AC=7，点 P 在△ABC 内，且∠APC=90°，∠BPC=120°， 求△APC 的面积． 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 想法一：将△APC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60°，得到△AP′B，连接 PP′，寻找 PA，PB，PC 三条线段之间的数量关系； 想法二：将△APB 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°，得到△AP′C′，连接 PP′，寻找 PA，PB，PC 三条线段之间的数量关系． … 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可） 【灵活运用】 如图③，在四边形 ABCD 中，AE⊥BC，垂足为 E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5， AD=kAB（k 为常数），求 BD 的长（用含 k 的式子表示）． 【考点】SO：相似形综合题． 【分析】【操作发现】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可； （2）只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可； 【问题解决】如图②，将△APB 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°，得到△AP′C′，只 要证明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可解决问题； 【灵活运用】如图③中，由 AE⊥BC，BE=EC，推出 AB=AC，将△ABD 绕点 A 逆时 针 旋 转 得 到 △ ACG ， 连 接 DG ． 则 BD=CG ， 只 要 证 明 ∠ GDC=90° ， 可 得 CG= ，由此即可解决问题； 【解答】解：【操作发现】（1）如图所示，△AB′C′即为所求； （2）连接 BB′，将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°， ∴AB=AB′，∠B′AB=90°， ∴∠AB′B=45°， 故答案为：45°； 【问题解决】如图②， ∵将△APB 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°，得到△AP′C′， ∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°， ∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°， ∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°， ∴PP′= PC，即 AP= PC， ∵∠APC=90°， ∴AP2+PC2=AC2，即（ PC）2+PC2=72， ∴PC=2 ， ∴AP= ， ∴S△APC= AP•PC=7 ； 【灵活运用】如图③中，∵AE⊥BC，BE=EC， ∴AB=AC，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转得到△ACG，连接 DG．则 BD=CG， ∵∠BAD=∠CAG， ∴∠BAC=∠DAG， ∵AB=AC，AD=AG， ∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD， ∴△ABC∽△ADG， ∵AD=kAB， ∴DG=kBC=4k， ∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC， ∴∠ADG+∠ADC=90°， ∴∠GDC=90°， ∴CG= = ． ∴BD=CG= ． 28．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数 y=﹣ x2+bx+c 的图象与坐标轴交 于 A，B，C 三点，其中点 A 的坐标为（﹣3，0），点 B 的坐标为（4，0），连接 AC，BC．动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作 匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度 向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间 为 t 秒．连接 PQ． （1）填空：b= ，c= 4 ； （2）在点 P，Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 M，使△PQM 是以点 P 为直 角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 t；若不存在，请说明理由； （4）如图②，点 N 的坐标为（﹣ ，0），线段 PQ 的中点为 H，连接 NH，当点 Q 关于直线 NH 的对称点 Q′恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q′的坐标． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）设抛物线的解析式为 y=a（x+3）（x﹣4）．将 a=﹣ 代入可得到抛物 线的解析式，从而可确定出 b、c 的值； （2）连结 QC．先求得点 C 的坐标，则 PC=5﹣t，依据勾股定理可求得 AC=5， CQ2=t2+16，接下来，依据 CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2 列方程求解即可； （3）过点 P 作 DE∥x 轴，分别过点 M、Q 作 MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为 D、 E，MD 交 x 轴与点 F，过点 P 作 PG⊥x 轴，垂足为点 G，首先证明△PAG∽△ACO， 依据相似三角形的性质可得到 PG= t，AG= t，然后可求得 PE、DF 的长，然后 再证明△MDP≌PEQ，从而得到 PD=EQ= t，MD=PE=3+ t，然后可求得 FM 和 OF 的长，从而可得到点 M 的坐标，然后将点 M 的坐标代入抛物线的解析式求解 即可； （4）连结：OP，取 OP 的中点 R，连结 RH，NR，延长 NR 交线段 BC 与点 Q′．首 先依据三角形的中位线定理得到 EH= QO= t，RH∥OQ，NR= AP= t，则 RH=NR， 接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明 NH 是∠QNQ′的平分线，然 后求得直线 NR 和 BC 的解析式，最后求得直线 NR 和 BC 的交点坐标即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x+3）（x﹣4）．将 a=﹣ 代入得：y= ﹣ x2+ x+4， ∴b= ，c=4． （2）在点 P、Q 运动过程中，△APQ 不可能是直角三角形． 理由如下：连结 QC． ∵在点 P、Q 运动过程中，∠PAQ、∠PQA 始终为锐角， ∴当△APQ 是直角三角形时，则∠APQ=90°． 将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=4， ∴C（0，4）． ∵AP=OQ=t， ∴PC=5﹣t， ∵在 Rt△AOC 中，依据勾股定理得：AC=5，在 Rt△COQ 中，依据勾股定理可知： CQ2=t2+16，在 Rt△CPQ 中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在 Rt△APQ 中， AQ2﹣AP2=PQ2， ∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5． ∵由题意可知：0≤t≤4， ∴t=4.5 不和题意，即△APQ 不可能是直角三角形． （3）如图所示： 过点 P 作 DE∥x 轴，分别过点 M、Q 作 MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为 D、E， MD 交 x 轴与点 F，过点 P 作 PG⊥x 轴，垂足为点 G，则 PG∥y 轴，∠E=∠D=90°． ∵PG∥y 轴， ∴△PAG∽△ACO， ∴ = = ，即 = = ， ∴PG= t，AG= t， ∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣ t+t=3+ t，DF=GP= t． ∵∠MPQ=90°，∠D=90°， ∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°， ∴∠DMP=∠EPQ． 又∵∠D=∠E，PM=PQ， ∴△MDP≌PEQ， ∴PD=EQ= t，MD=PE=3+ t， ∴FM=MD﹣DF=3+ t﹣ t=3﹣ t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+ t﹣ t=3+ t， ∴M（﹣3﹣ t，﹣3+ t）． ∵点 M 在 x 轴下方的抛物线上， ∴﹣3+ t=﹣ ×（﹣3﹣ t）2+ ×（﹣3﹣ t）+4，解得：t= ． ∵0≤t≤4， ∴t= ． （4）如图所示：连结 OP，取 OP 的中点 R，连结 RH，NR，延长 NR 交线段 BC 与点 Q′． ∵点 H 为 PQ 的中点，点 R 为 OP 的中点， ∴EH= QO= t，RH∥OQ． ∵A（﹣3，0），N（﹣ ，0）， ∴点 N 为 OA 的中点． 又∵R 为 OP 的中点， ∴NR= AP= t， ∴RH=NR， ∴∠RNH=∠RHN． ∵RH∥OQ， ∴∠RHN=∠HNO， ∴∠RNH=∠HNO，即 NH 是∠QNQ′的平分线． 设直线 AC 的解析式为 y=mx+n，把点 A（﹣3，0）、C（0，4）代入得： ， 解得：m= ，n=4， ∴直线 AC 的表示为 y= x+4． 同理可得直线 BC 的表达式为 y=﹣x+4． 设直线 NR 的函数表达式为 y= x+s，将点 N 的坐标代入得： ×（﹣ ）+s=0， 解得：s=2， ∴直线 NR 的表述表达式为 y= x+2． 将直线 NR 和直线 BC 的表达式联立得： ，解得：x= ，y= ， ∴Q′（ ， ）． 11-2017 年江苏省宿迁市中考数学试卷及解析（29 页） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）5 的相反数是（ ） A．5 B． C． D．﹣5 2．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．（ab）2=a2b2 B．a5+a5=a10 C．（a2）5=a7 D．a10÷a5=a2 3．（3 分）一组数据：5，4，6，5，6，6，3，这组数据的众数是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（3 分）将抛物线 y=x2 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得抛物线 相应的函数表达式是（ ） A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣1 5．（3 分）已知 4＜m＜5，则关于 x 的不等式组 的整数解共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．（3 分）若将半径为 12cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的 底面圆半径是（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 7．（3 分）如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截，若∠1=80°，∠2=100°，∠3=85°， 则∠4 度数是（ ） A．80° B．85° C．95° D．100° 8．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点 P 在边 AC 上， 从点 A 向点 C 移动，点 Q 在边 CB 上，从点 C 向点 B 移动．若点 P，Q 均以 1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 PQ，则线 段 PQ 的最小值是（ ） A．20cm B．18cm C．2 cm D．3 cm 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．（3 分）全球平均每年发生雷电次数约为 16000000 次，将 16000000 用科学记 数法表示是 ． 10．（3 分）如果代数式 有意义，那么实数 x 的取值范围为 ． 11．（3 分）若 a﹣b=2，则代数式 5+2a﹣2b 的值是 ． 12．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的 中点，若 CD=2，则线段 EF 的长是 ． 13．（3 分）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积， 画一个边长为 2cm 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机 投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投 掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数 0.25 附近，由此可估计 不规则区域的面积是 m2． 14．（3 分）若关于 x 的分式方程 = ﹣3 有增根，则实数 m 的值是 ． 15．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上，且 BE=1，若点 P 在对角线 BD 上移动，则 PA+PE 的最小值是 ． 16．（3 分）如图，矩形 ABOC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 B，C 分别在 x，y 轴 的正半轴上，顶点 A 在反比例函数 y= （k 为常数，k＞0，x＞0）的图象上，将 矩形 ABOC 绕点 A 按逆时针反向旋转 90°得到矩形 AB′O′C′，若点 O 的对应点 O′ 恰好落在此反比例函数图象上，则 的值是 ． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 72 分） 17．（6 分）计算：|﹣3|+（﹣1）4﹣2tan45°﹣（π﹣1）0． 18．（6 分）先化简，再求值： + ，其中 x=2． 19．（6 分）某校为了解八年级学生最喜欢的球类情况，随机抽取了八年级部分 学生进行问卷调查，调查分为最喜欢篮球、乒乓球、足球、排球共四种情况，每 名同学选且只选一项，现将调查结果绘制成如下所示的两幅统计图． 请结合这两幅统计图，解决下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共抽取了 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）若该校八年级共有 300 名学生，请你估计其中最喜欢排球的学生人数． 20．（6 分）桌面上有四张正面分别标有数字 1，2，3，4 的不透明卡片，它们除 数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀． （1）随机翻开一张卡片，正面所标数字大于 2 的概率为 ； （2）随机翻开一张卡片，从余下的三张卡片中再翻开一张，求翻开的两张卡片 正面所标数字之和是偶数的概率． 21．（6 分）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点 A 处测得正 前方小岛 C 的俯角为 30°，面向小岛方向继续飞行 10km 到达 B 处，发现小岛在 其正后方，此时测得小岛的俯角为 45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的 高度（结果保留根号）． 22．（6 分）如图，AB 与⊙O 相切于点 B，BC 为⊙O 的弦，OC⊥OA，OA 与 BC 相交于点 P． （1）求证：AP=AB； （2）若 OB=4，AB=3，求线段 BP 的长． 23．（8 分）小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强 7： 30 从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且 每个站点停留 2 分钟，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚 7：39 从安 康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早 1 分钟到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行使路程 y（千米）与行 驶时间 x（分钟）之间的函数图象如图所示． （1）求点 A 的纵坐标 m 的值； （2）小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他 们距学校站点的路程． 24．（8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 E 在边 BC 上移动（点 E 不与点 B，C 重合），满足∠DEF=∠B，且点 D、F 分别在边 AB、AC 上． （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点 E 移动到 BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC． 25．（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2﹣2x﹣3 交 x 轴于 A， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），将该抛物线位于 x 轴上方曲线记作 M，将该抛物 线位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折，翻折后所得曲线记作 N，曲线 N 交 y 轴于点 C， 连接 AC、BC． （1）求曲线 N 所在抛物线相应的函数表达式； （2）求△ABC 外接圆的半径； （3）点 P 为曲线 M 或曲线 N 上的一动点，点 Q 为 x 轴上的一个动点，若以点 B， C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q 的坐标． 26．（10 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AB=1，BC= ，点 E 在边 CD 上 移动，连接 AE，将多边形 ABCE 沿直线 AE 翻折，得到多边形 AB′C′E，点 B、C 的 对应点分别为点 B′、C′． （1）当 B′C′恰好经过点 D 时（如图 1），求线段 CE 的长； （2）若 B′C′分别交边 AD，CD 于点 F，G，且∠DAE=22.5°（如图 2），求△DFG 的 面积； （3）在点 E 从点 C 移动到点 D 的过程中，求点 C′运动的路径长． 2017 年江苏省宿迁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）（2017•宿迁）5 的相反数是（ ） A．5 B． C． D．﹣5 【考点】14：相反数．菁优网版 权所有 【分析】根据相反数的概念解答即可． 【解答】解：根据相反数的定义：5 的相反数是﹣5． 故选 D． 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣” 号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0． 2．（3 分）（2017•宿迁）下列计算正确的是（ ） A．（ab）2=a2b2 B．a5+a5=a10 C．（a2）5=a7 D．a10÷a5=a2 【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．菁优网版 权所有 【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的法则及同底数幂的除 法法则对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、（ab）2=a2b2，故本选项正确； B、a5+a5=2a5≠a10，故本选项错误； C、（a2）5=a10≠a7，故本选项错误； D、a10÷a5=a5≠a2，故本选项错误． 故选 A． 【点评】本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法法则是解答此题的 关键． 3．（3 分）（2017•宿迁）一组数据：5，4，6，5，6，6，3，这组数据的众数是 （ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【考点】W5：众数．菁优网版 权所有 【分析】众数的求法：一组数据中出现次数最多的那个数；据此解答． 【解答】解：因为这组数据中出现次数最多的数是 6， 所以 6 是这组数据的众数； 故选：A． 【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 4．（3 分）（2017•宿迁）将抛物线 y=x2 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位， 所得抛物线相应的函数表达式是（ ） A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣1 【考点】H6：二次函数图象与几何变换．菁优网版 权所有 【分析】由抛物线平移不改变 y 的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知 移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式． 【解答】解：将抛物线 y=x2 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得抛 物线相应的函数表达式是 y=（x﹣2）2+1． 故选：C． 【点评】本题难度低，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律： 左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 5．（3 分）（2017•宿迁）已知 4＜m＜5，则关于 x 的不等式组 的整数 解共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．菁优网版 权所有 【分析】先求解不等式组得到关于 m 的不等式解集，再根据 m 的取值范围即可 判定整数解． 【解答】解：不等式组 由①得 x＜m； 由②得 x＞2； ∵m 的取值范围是 4＜m＜5， ∴不等式组 的整数解有：3，4 两个． 故选 B． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等 式组的解法，m 的取值范围是本题的关键． 6．（3 分）（2017•宿迁）若将半径为 12cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面， 则这个圆锥的底面圆半径是（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【考点】MP：圆锥的计算．菁优网版 权所有 【分析】易得圆锥的母线长为 12cm，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆 锥的底面周长，除以 2π即为圆锥的底面半径． 【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为 2π×12÷2=12π（cm）， ∴圆锥的底面半径为 12π÷2π=6（cm）， 故选：D． 【点评】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 7．（3 分）（2017•宿迁）如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截，若∠1=80°，∠2=100°， ∠3=85°，则∠4 度数是（ ） A．80° B．85° C．95° D．100° 【考点】JB：平行线的判定与性质．菁优网版 权所有 【分析】先根据题意得出 a∥b，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠1=80°，∠2=100°， ∴∠1+∠2=180°， ∴a∥b． ∵∠3=85°， ∴∠4=∠3=85°． 故选 B． 【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题 的关键． 8．（3 分）（2017•宿迁）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点 P 在边 AC 上，从点 A 向点 C 移动，点 Q 在边 CB 上，从点 C 向点 B 移动．若点 P， Q 均以 1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连 接 PQ，则线段 PQ 的最小值是（ ） A．20cm B．18cm C．2 cm D．3 cm 【考点】H7：二次函数的最值；KQ：勾股定理．菁优网版 权所有 【 分 析 】 根 据 已 知 条 件 得 到 CP=6 ﹣ t ， 得 到 PQ= = = ，于是得到结论． 【解答】解：∵AP=CQ=t， ∴CP=6﹣t， ∴PQ= = = ， ∵0≤t≤2， ∴当 t=2 时，PQ 的值最小， ∴线段 PQ 的最小值是 2 ， 故选 C． 【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．（3 分）（2017•宿迁）全球平均每年发生雷电次数约为 16000000 次，将 16000000 用科学记数法表示是 1.6×107 ． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版 权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：16 000 000=1.6×107， 故答案为：1.6×107． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 10．（3 分）（2017•宿迁）如果代数式 有意义，那么实数 x 的取值范围为 x ≥3 ． 【考点】72：二次根式有意义的条件．菁优网版 权所有 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意得，x﹣3≥0， 解得，x≥3， 故答案为：x≥3． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须 是非负数是解题的关键． 11．（3 分）（2017•宿迁）若 a﹣b=2，则代数式 5+2a﹣2b 的值是 9 ． 【考点】33：代数式求值．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；511：实数． 【分析】原式后两项提取 2 变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a﹣b=2， ∴原式=5+2（a﹣b）=5+4=9， 故答案为：9 【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代换的思想，熟练掌握运算法则是 解本题的关键． 12．（3 分）（2017•宿迁）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点 D，E，F 分别是 AB， BC，CA 的中点，若 CD=2，则线段 EF 的长是 2 ． 【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．菁优网版 权所有 【分析】首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得 AB 的长，然后 根据三角形的中位线定理求解． 【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AB 的中点，即 CD 是直角三角形 斜边上的中线， ∴AB=2CD=2×2=4， 又∵E、F 分别是 BC、CA 的中点，即 EF 是△ABC 的中位线， ∴EF= AB= ×2=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了直角三角形的性质以及三角形的中位线定理，求得 AB 的长 是本题的关键． 13．（3 分）（2017•宿迁）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部 分）的面积，画一个边长为 2cm 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向 正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经 过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数 0.25 附近， 由此可估计不规则区域的面积是 1 m2． 【考点】X8：利用频率估计概率．菁优网版 权所有 【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积 即可． 【解答】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定 在常数 0.25 附近， ∴小石子落在不规则区域的概率为 0.25， ∵正方形的边长为 2cm， ∴面积为 4cm2， 设不规则部分的面积为 s， 则 =0.25， 解得：s=1， 故答案为：1． 【点评】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事 件发生的频率可以估计概率． 14．（3 分）（2017•宿迁）若关于 x 的分式方程 = ﹣3 有增根，则实数 m 的值是 1 ． 【考点】B5：分式方程的增根．菁优网版 权所有 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到 x﹣2=0， 求出 x 的值，代入整式方程求出 m 的值即可． 【解答】解：去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2）， 由分式方程有增根，得到 x﹣2=0，即 x=2， 把 x=2 代入整式方程可得：m=1， 故答案为：1． 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式 方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 15．（3 分）（2017•宿迁）如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上，且 BE=1，若点 P 在对角线 BD 上移动，则 PA+PE 的最小值是 ． 【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LE：正方形的性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；556：矩形菱形正方形． 【分析】作出点 E 关于 BD 的对称点 E′，连接 AE′与 BD 交于点 P，此时 AP+PE 最 小，求出 AE′的长即为最小值． 【解答】解：作出点 E 关于 BD 的对称点 E′，连接 AE′与 BD 交于点 P，此时 AP+PE 最小， ∵PE=PE′， ∴AP+PE=AP+PE′=AE′， 在 Rt△ABE′中，AB=3，BE′=BE=1， 根据勾股定理得：AE′= ， 则 PA+PE 的最小值为 ， 故答案为： 【点评】此题考查了轴对称﹣最短线路问题，以及正方形的性质，熟练掌握各自 的性质是解本题的关键． 16．（3 分）（2017•宿迁）如图，矩形 ABOC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 B，C 分 别在 x，y 轴的正半轴上，顶点 A 在反比例函数 y= （k 为常数，k＞0，x＞0）的 图象上，将矩形 ABOC 绕点 A 按逆时针反向旋转 90°得到矩形 AB′O′C′，若点 O 的 对应点 O′恰好落在此反比例函数图象上，则 的值是 ． 【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；LB： 矩形的性质．菁优网版 权所有 【分析】设 A（m，n），则 OB=m，OC=n，根据旋转的性质得到 O′C′=n，B′O′=m， 于是得到 O′（m+n，n﹣m），于是得到方程（m+n）（n﹣m）=mn，求得 = ， （负值舍去），即可得到结论． 【解答】解：设 A（m，n）， 则 OB=m，OC=n， ∵矩形 ABOC 绕点 A 按逆时针反向旋转 90°得到矩形 AB′O′C′， ∴O′C′=n，B′O′=m， ∴O′（m+n，n﹣m）， ∵A，O′在此反比例函数图象上， ∴（m+n）（n﹣m）=mn， ∴m2+mn﹣n2=0， ∴m= n， ∴ = ，（负值舍去）， ∴ 的值是 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，反比例函数图象上点的坐标特征， 正确的理解题意是解题的关键． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 72 分） 17．（6 分）（2017•宿迁）计算：|﹣3|+（﹣1）4﹣2tan45°﹣（π﹣1）0． 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版 权所有 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质分别 化简求出答案． 【解答】解：原式=3+1﹣2×1﹣1 =1． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18．（6 分）（2017•宿迁）先化简，再求值： + ，其中 x=2． 【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；513：分式． 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把 x 的值代 入计算即可求出值． 【解答】解：原式= + = ， 当 x=2 时，原式=3． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．（6 分）（2017•宿迁）某校为了解八年级学生最喜欢的球类情况，随机抽取 了八年级部分学生进行问卷调查，调查分为最喜欢篮球、乒乓球、足球、排球共 四种情况，每名同学选且只选一项，现将调查结果绘制成如下所示的两幅统计图． 请结合这两幅统计图，解决下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共抽取了 60 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）若该校八年级共有 300 名学生，请你估计其中最喜欢排球的学生人数． 【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．菁优网版 权所有 【分析】（1）根据乒乓球的人数和所占的百分比可以去的本次调查的学生数； （2）根据（1）中的答案可以求得喜欢足球的人数，从而可以将条形统计图补充 完整； （3）根据统计图中的数据可以估算出最喜欢排球的学生人数． 【解答】解：（1）由题意可得， 本次调查的学生有：24÷40%=60（人）， 故答案为：60； （2）喜欢足球的有：60﹣6﹣24﹣12=18（人）， 补全的条形统计图如右图所示； （3）由题意可得， 最喜欢排球的人数为：300× =60， 即最喜欢排球的学生有 60 人． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键 是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 20．（6 分）（2017•宿迁）桌面上有四张正面分别标有数字 1，2，3，4 的不透明 卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀． （1）随机翻开一张卡片，正面所标数字大于 2 的概率为 ； （2）随机翻开一张卡片，从余下的三张卡片中再翻开一张，求翻开的两张卡片 正面所标数字之和是偶数的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．菁优网版 权所有 【分析】（1）根据概率公式直接解答； （2）画出树状图，找到所有可能的结果，再找到两张卡片正面所标数字之和是 偶数的数目，即可求出其概率． 【解答】解： （1）∵四张正面分别标有数字 1，2，3，4 的不透明卡片， ∴随机抽取一张卡片，求抽到数字大于“2”的概率= = ， 故答案为： ； （2）画树状图为： 由树形图可知：所有可能结果有 12 种，两张卡片正面所标数字之和是偶数的数 目为 4 种， 所以翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率= = ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的 列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完 成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概 率=所求情况数与总情况数之比． 21．（6 分）（2017•宿迁）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在 点 A 处测得正前方小岛 C 的俯角为 30°，面向小岛方向继续飞行 10km 到达 B 处， 发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为 45°，如果小岛高度忽略不计，求 飞机飞行的高度（结果保留根号）． 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版 权所有 【 分 析 】 C 作 CD ⊥ AB ， 由 ∠ CBD=45° 知 BD=CD=x ， 由 ∠ ACD=30° 知 AD= = x，根据 AD+BD=AB 列方程求解可得． 【解答】解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 设 CD=x， ∵∠CBD=45°， ∴BD=CD=x， 在 Rt△ACD 中，∵tan ， ∴AD= = = = x， 由 AD+BD=AB 可得 x+x=10， 解得：x=5 ﹣5， 答：飞机飞行的高度为（5 ﹣5）km． 【点评】此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角 构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 22．（6 分）（2017•宿迁）如图，AB 与⊙O 相切于点 B，BC 为⊙O 的弦，OC⊥OA， OA 与 BC 相交于点 P． （1）求证：AP=AB； （2）若 OB=4，AB=3，求线段 BP 的长． 【考点】MC：切线的性质．菁优网版 权所有 【分析】（1）欲证明 AP=AB，只要证明∠APB=∠ABP 即可； （2）作 OH⊥BC 于 H．在 Rt△POC 中，求出 OP、PC、OH、CH 即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴AB 是⊙O 的切线， ∴OB⊥AB， ∴∠OBA=90°， ∴∠ABP+∠OBC=90°， ∵OC⊥AO， ∴∠AOC=90°， ∴∠OCB+∠CPO=90°， ∵∠APB=∠CPO， ∴∠APB=∠ABP， ∴AP=AB． （2）解：作 OH⊥BC 于 H． 在 Rt△OAB 中，∵OB=4，AB=3， ∴OA= =5， ∵AP=AB=3， ∴PO=2． 在 Rt△POC 中，PC= =2 ， ∵ •PC•OH= •OC•OP， ∴OH= = ， ∴CH= = ， ∵OH⊥BC， ∴CH=BH， ∴BC=2CH= ， ∴PB=BC﹣PC= ﹣2 = ． 【点评】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和 性质、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解 决问题，属于中考常考题型． 23．（8 分）（2017•宿迁）小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某 天早上，小强 7：30 从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到 达学校站点，且每个站点停留 2 分钟，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上， 小刚 7：39 从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强 乘坐的校车早 1 分钟到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行使路程 y（千米）与行驶时间 x（分钟）之间的函数图象如图所示． （1）求点 A 的纵坐标 m 的值； （2）小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他 们距学校站点的路程． 【考点】FH：一次函数的应用．菁优网版 权所有 【分析】（1）根据速度=路程÷时间，可求出校车的速度，再根据 m=3+校车速度 ×（8﹣6），即可求出 m 的值； （2）根据时间=路程÷速度+4，可求出校车到达学校站点所需时间，进而可求出 出租车到达学校站点所需时间，由速度=路程÷时间，可求出出租车的速度，再 根据相遇时间=校车先出发时间×速度÷两车速度差，可求出小刚乘坐出租车出 发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车，结合出租车的速度及安康小区到学校 站点的路程，可得出相遇时他们距学校站点的路程． 【解答】解：（1）校车的速度为 3÷4=0.75（千米/分钟）， 点 A 的纵坐标 m 的值为 3+0.75×（8﹣6）=4.5． 答：点 A 的纵坐标 m 的值为 4.5． （2）校车到达学校站点所需时间为 9÷0.75+4=16（分钟）， 出租车到达学校站点所需时间为 16﹣9﹣1=6（分钟）， 出租车的速度为 9÷6=1.5（千米/分钟）， 两车相遇时出租车出发时间为 0.75×（9﹣4）÷（1.5﹣0.75）=5（分钟）， 相遇地点离学校站点的路程为 9﹣1.5×5=1.5（千米）． 答：小刚乘坐出租车出发后经过 5 分钟追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校 站点的路程为 1.5 千米． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计 算；（2）根据相遇时间=校车先出发时间×速度÷两车速度差，求出小刚乘坐出 租车追到小强所乘坐的校车的时间． 24．（8 分）（2017•宿迁）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 E 在边 BC 上移动（点 E 不与点 B，C 重合），满足∠DEF=∠B，且点 D、F 分别在边 AB、AC 上． （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点 E 移动到 BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC． 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质．菁优网版 权所有 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和和平角 的定义得到∠BDE=∠CEF，于是得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到 ，等量代换得到 ，根据相似 三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB， ∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB， ∵∠DEF=∠B， ∴∠BDE=∠CEF， ∴△BDE∽△CEF； （2）∵△BDE∽△CEF， ∴ ， ∵点 E 是 BC 的中点， ∴BE=CE， ∴ ， ∵∠DEF=∠B=∠C， ∴△DEF∽△ECF， ∴∠DFE=∠CFE， ∴FE 平分∠DFC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相 似三角形的判定和性质是解题的关键． 25．（10 分）（2017•宿迁）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2﹣2x﹣ 3 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），将该抛物线位于 x 轴上方曲线记作 M，将该抛物线位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折，翻折后所得曲线记作 N，曲线 N 交 y 轴于点 C，连接 AC、BC． （1）求曲线 N 所在抛物线相应的函数表达式； （2）求△ABC 外接圆的半径； （3）点 P 为曲线 M 或曲线 N 上的一动点，点 Q 为 x 轴上的一个动点，若以点 B， C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q 的坐标． 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版 权所有 【分析】（1）由已知抛物线可求得 A、B 坐标及顶点坐标，利用对称性可求得 C 的坐标，利用待定系数法可求得曲线 N 的解析式； （2）由外接圆的定义可知圆心即为线段 BC 与 AB 的垂直平分线的交点，即直线 y=x 与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径 的长； （3）设 Q（x，0），当 BC 为平行四边形的边时，则有 BQ∥PC 且 BQ=PC，从而 可用 x 表示出 P 点的坐标，代入抛物线解析式可得到 x 的方程，可求得 Q 点坐标， 当 BC 为平行四边形的对角线时，由 B、C 的坐标可求得平行四边形的对称中心 的坐标，从而可表示出 P 点坐标，代入抛物线解析式可得到关于 x 的方程，可求 得 P 点坐标． 【解答】解： （1）在 y=x2﹣2x﹣3 中，令 y=0 可得 x2﹣2x﹣3=0，解得 x=﹣1 或 x=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 令 x=0 可得 y=﹣3， 又抛物线位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折后得到曲线 N， ∴C（0，3）， 设曲线 N 的解析式为 y=ax2+bx+c， 把 A、B、C 的坐标代入可得 ，解得 ， ∴曲线 N 所在抛物线相应的函数表达式为 y=﹣x2+2x+3； （2）设△ABC 外接圆的圆心为 M，则点 M 为线段 BC、线段 AB 垂直平分线的交 点， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴线段 BC 的垂直平分线的解析式为 y=x， 又线段 AB 的解析式为曲线 N 的对称轴，即 x=1， ∴M（1，1）， ∴MB= = ， 即△ABC 外接圆的半径为 ； （3）设 Q（t，0），则 BQ=|t﹣3| ①当 BC 为平行四边形的边时，如图 1，则有 BQ∥PC， ∴P 点纵坐标为 3， 即过 C 点与 x 轴平行的直线与曲线 M 和曲线 N 的交点即为点 P，x 轴上对应的即 为点 Q， 当点 P 在曲线 M 上时，在 y=x2﹣2x﹣3 中，令 y=3 可解得 x=1+ 或 x=1﹣ ， ∴PC=1+ 或 PC= ﹣1， 当 x=1+ 时，可知点 Q 在点 B 的右侧，可得 BQ=t﹣3， ∴t﹣3=1+ ，解得 t=4+ ， 当 x=1﹣ 时，可知点 Q 在点 B 的左侧，可得 BQ=3﹣t， ∴3﹣t= ﹣1，解得 t=4﹣ ， ∴Q 点坐标为（4+ ，0）或（4﹣ ，0）； 当点 P 在曲线 N 上时，在 y=﹣x2+2x+3 中，令 y=3 可求得 x=0（舍去）或 x=2， ∴PC=2， 此时 Q 点在 B 点的右侧，则 BQ=t﹣3， ∴t﹣3=2，解得 t=5， ∴Q 点坐标为（5，0）； ②当 BC 为平行四边形的对角线时， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴线段 BC 的中点为（ ， ），设 P（x，y）， ∴x+t=3，y+0=3，解得 x=3﹣t，y=3， ∴P（3﹣t，3）， 当点 P 在曲线 M 上时，则有 3=（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得 t=2+ 或 t=2﹣ ， ∴Q 点坐标为（2+ ，0）或（2﹣ ，0）； 当点 P 在曲线 N 上时，则有 3=﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得 t=3（Q、B 重合， 舍去）或 t=1， ∴Q 点坐标为（1，0）； 综上可知 Q 点的坐标为（4+ ，0）或（4﹣ ，0）或（5，0）或（2+ ，0） 或（2﹣ ，0）或（1，0）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、三角形外 心、勾股定理、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1） 中确定出点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出外心的位置和坐标是解题的 关键，在（3）中确定出 P 点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合 性较强，特别最后一问，情况很多，难度较大． 26．（10 分）（2017•宿迁）如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AB=1，BC= ，点 E 在边 CD 上移动，连接 AE，将多边形 ABCE 沿直线 AE 翻折，得到多边形 AB′C′E， 点 B、C 的对应点分别为点 B′、C′． （1）当 B′C′恰好经过点 D 时（如图 1），求线段 CE 的长； （2）若 B′C′分别交边 AD，CD 于点 F，G，且∠DAE=22.5°（如图 2），求△DFG 的 面积； （3）在点 E 从点 C 移动到点 D 的过程中，求点 C′运动的路径长． 【考点】LO：四边形综合题．菁优网版 权所有 【分析】（1）如图 1 中，设 CE=EC′=x，则 DE=1﹣x，由△ADB′′∽△DEC，可得 = ， 列出方程即可解决问题； （2）如图 2 中，首先证明△ADB′，△DFG 都是等腰直角三角形，求出 DF 即可解 决问题； （3）如图 3 中，点 C 的运动路径的长为 的长，求出圆心角、半径即可解决问 题． 【解答】解：（1）如图 1 中，设 CE=EC′=x，则 DE=1﹣x， ∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°， ∴∠B′AD=∠EDC′， ∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD= ， ∴DB′= = ， ∴△ADB′′∽△DEC， ∴ = ， ∴ = ， ∴x= ﹣2． ∴CE= ﹣2． （2）如图 2 中， ∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°， ∴∠EAB=∠EAB′=67.5°， ∴∠B′AF=∠B′FA=45°， ∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°， ∴DF=DG， 在 Rt△AB′F 中，AB′=FB′=1， ∴AF= AB′= ， ∴DF=DG= ﹣ ， ∴S△DFG= （ ﹣ ）2= ﹣ ． （3）如图 3 中，点 C 的运动路径的长为 的长， 在 Rt△ADC 中，∵tan∠DAC= = ， ∴∠DAC=30°，AC=2CD=2， ∵∠C′AD=∠DAC=30°， ∴∠CAC′=60°， ∴ 的长= = π． 【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股 定理、弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用构 建方程的思想思考问题．属于中考压轴题． 12-2017 年江苏省盐城市中考数学试卷及解析（35 页） 一、选择题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3 分）﹣2 的绝对值是（ ） A．2 B．﹣2 C． D． 2．（3 分）如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱锥 3．（3 分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．（3 分）数据 6，5，7.5，8.6，7，6 的众数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（3 分）下列运算中，正确的是（ ） A．7a+a=7a2 B．a2•a3=a6 C．a3÷a=a2 D．（ab）2=ab2 6．（3 分）如图，将函数 y= （x﹣2）2+1 的图象沿 y 轴向上平移得到一条新函数 的图象，其中点 A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点 A'、B'．若曲线 段 AB 扫过的面积为 9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ） A． B． C ． D． 二、填空题（每题 3 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 7．（3 分）请写出一个无理数 ． 8．（3 分）分解因式 a2b﹣a 的结果为 ． 9．（3 分）2016 年 12 月 30 日，盐城市区内环高架快速路网二期工程全程全线通 车，至此，已通车的内环高架快速路里程达 57000 米，用科学记数法表示数 57000 为 ． 10．（3 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ． 11．（3 分）如图，是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、 黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂 红色的概率是 ． 12．（3 分）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放 置，则∠1= °． 13．（3 分）若方程 x2﹣4x+1=0 的两根是 x1，x2，则 x1（1+x2）+x2 的值为 ． 14．（3 分）如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，点 C 在 上，点 D 在 上，若∠ACB=70°， 则∠ADB= °． 15．（3 分）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，将△ABC 绕某点旋转到△A'B'C' 的位置，则点 B 运动的最短路径长为 ． 16．（3 分）如图，曲线 l 是由函数 y= 在第一象限内的图象绕坐标原点 O 逆时针 旋转 45°得到的，过点 A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ）的直线与曲线 l 相交于 点 M、N，则△OMN 的面积为 ． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17．（6 分）计算： +（ ）﹣1﹣20170． 18．（6 分）解不等式组： ． 19．（8 分）先化简，再求值： ÷（x+2﹣ ），其中 x=3+ ． 20．（8 分）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和 小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成 一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”． （1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选 择其中一个，则小明回答正确的概率是 ； （2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富” 还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回 答正确的概率． 21．（8 分）“大美湿地，水韵盐城”．某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游 景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景 点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求被调查的学生总人数； （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点 D”的扇形圆心角的 度数； （3）若该校共有 800 名学生，请估计“最想去景点 B“的学生人数． 22．（10 分）如图，矩形 ABCD 中，∠ABD、∠CDB 的平分线 BE、DF 分别交边 AD、BC 于点 E、F． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当∠ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由． 23．（10 分）某商店在 2014 年至 2016 年期间销售一种礼盒．2014 年，该商店用 3500 元购进了这种礼盒并且全部售完；2016 年，这种礼盒的进价比 2014 年下降 了 11 元/盒，该商店用 2400 元购进了与 2014 年相同数量的礼盒也全部售完，礼 盒的售价均为 60 元/盒． （1）2014 年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 24．（10 分）如图，△ABC 是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心 为点 O 的圆形纸片放置在三角板内部． （1）如图①，当圆形纸片与两直角边 AC、BC 都相切时，试用直尺与圆规作出 射线 CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹） （2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动 1 周，回到起点位置时停 止，若 BC=9，圆形纸片的半径为 2，求圆心 O 运动的路径长． 25．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边 AB 在 y 轴上，边 AC 与 x 轴交于点 D，AE 平分∠BAC 交边 BC 于点 E，经过点 A、D、E 的圆的圆心 F 恰好在 y 轴上，⊙F 与 y 轴相交于另一点 G． （1）求证：BC 是⊙F 的切线； （2）若点 A、D 的坐标分别为 A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F 的半径； （3）试探究线段 AG、AD、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 26．（12 分）【探索发现】 如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角 且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE、EF 剪下时，所得的 矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积 与原三角形面积的比值为 ． 【拓展应用】 如图②，在△ABC 中，BC=a，BC 边上的高 AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P、N 分别 在边 AB、AC 上，顶点 Q、M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为 ．（用 含 a，h 的代数式表示） 【灵活应用】 如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪 出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】 如图④，现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB=50cm，BC=108cm， CD=60cm，且 tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积． 27．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴 交于点 C，抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点； ①连接 BC、CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，△CDE 的面积为 S1，△BCE 的面 积为 S2，求 的最大值； ②过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F，连接 CD，是否存在点 D，使得△CDF 中的某 个角恰好等于∠BAC 的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由． 2017 年江苏省盐城市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3 分）（2017•随州）﹣2 的绝对值是（ ） A．2 B．﹣2 C． D． 【考点】15：绝对值．菁优网版 权所有 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 【解答】解：﹣2 的绝对值是 2， 即|﹣2|=2． 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它 的相反数；0 的绝对值是 0． 2．（3 分）（2017•盐城）如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何 体是（ ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱锥 【考点】U3：由三视图判断几何体．菁优网版 权所有 【分析】根据三视图即可判断该几何体． 【解答】解：由于主视图与左视图是三角形， 俯视图是圆，故该几何体是圆锥， 故选（C） 【点评】本题考查三视图，解题的关键是熟练掌握几种常见几何体的三视图，本 题属于基础题型． 3．（3 分）（2017•盐城）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】P3：轴对称图形．菁优网版 权所有 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：D 的图形沿中间线折叠，直线两旁的部分可重合， 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形，掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键 是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4．（3 分）（2017•盐城）数据 6，5，7.5，8.6，7，6 的众数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】W5：众数．菁优网版 权所有 【分析】直接利用众数的定义分析得出答案． 【解答】解：∵数据 6，5，7.5，8.6，7，6 中，6 出现次数最多， 故 6 是这组数据的众数． 故选：B． 【点评】此题主要考查了众数的定义，正确把握定义是解题关键． 5．（3 分）（2017•盐城）下列运算中，正确的是（ ） A．7a+a=7a2 B．a2•a3=a6 C．a3÷a=a2 D．（ab）2=ab2 【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．菁优网版 权所有 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、除法法则、积的乘方法则一一 计算即可判断． 【解答】解： A、错误、7a+a=8a． B、错误．a2•a3=a5． C、正确．a3÷a=a2． D、错误．（ab）2=a2b2 故选 C． 【点评】本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘法、除法法则、积的乘方法则， 熟练掌握这些法则是解题的关键． 6．（3 分）（2017•盐城）如图，将函数 y= （x﹣2）2+1 的图象沿 y 轴向上平移得 到一条新函数的图象，其中点 A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点 A'、B'．若曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达 式是（ ） A． B． C ． D． 【考点】H6：二次函数图象与几何变换．菁优网版 权所有 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出 A、B 两点的坐标，再过 A 作 AC∥x 轴，交 B′B 的延长线于点 C，则 C（4，1 ），AC=4﹣1=3，根据平移的性质 以及曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中的阴影部分），得出 AA′=3，然后根据平移 规律即可求解． 【解答】 解：∵函数 y= （x﹣2）2+1 的图象过点 A（1，m），B（4，n）， ∴m= （1﹣2）2+1=1 ，n= （4﹣2）2+1=3， ∴A（1，1 ），B（4，3）， 过 A 作 AC∥x 轴，交 B′B 的延长线于点 C，则 C（4，1 ）， ∴AC=4﹣1=3， ∵曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中的阴影部分）， ∴AC•AA′=3AA′=9， ∴AA′=3， 即将函数 y= （x﹣2）2+1 的图象沿 y 轴向上平移 3 个单位长度得到一条新函数 的图象， ∴新图象的函数表达式是 y= （x﹣2）2+4． 故选 D． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知 识，根据已知得出 AA′是解题关键． 二、填空题（每题 3 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 7．（3 分）（2017•盐城）请写出一个无理数 ． 【考点】26：无理数．菁优网版 权所有 【分析】根据无理数定义，随便找出一个无理数即可． 【解答】解： 是无理数． 故答案为： ． 【点评】本题考查了无理数，牢记无理数的定义是解题的关键． 8．（3 分）（2017•盐城）分解因式 a2b﹣a 的结果为 a（ab﹣1） ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版 权所有 【分析】根据提公因式法分解即可． 【解答】解：a2b﹣a=a（ab﹣1）， 故答案为：a（ab﹣1）． 【点评】本题考查了分解因式，能正确分解因式是解此题的关键． 9．（3 分）（2017•盐城）2016 年 12 月 30 日，盐城市区内环高架快速路网二期工 程全程全线通车，至此，已通车的内环高架快速路里程达 57000 米，用科学记数 法表示数 57000 为 5.7×104 ． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版 权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值≥1 时，n 是非负数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 57000 用科学记数法表示为：5.7×104． 故答案为：5.7×104． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 10．（3 分）（2017•盐城）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x ≥3 ． 【考点】72：二次根式有意义的条件．菁优网版 权所有 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意得 x﹣3≥0， 解得 x≥3． 故答案为：x≥3． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是 非负数． 11．（3 分）（2017•盐城）如图，是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小 军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上 方的正六边形涂红色的概率是 ． 【考点】X4：概率公式．菁优网版 权所有 【分析】共有 3 种情况，上方的正六边形涂红色的情况只有 1 种，利用概率公式 可得答案． 【解答】解：上方的正六边形涂红色的概率是 ， 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了概率，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 12．（3 分）（2017•盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如 图所示的方式放置，则∠1= 120 °． 【考点】K8：三角形的外角性质；K7：三角形内角和定理．菁优网版 权所有 【分析】根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°， 故答案为：120． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和是解题的关键． 13．（3 分）（2017•盐城）若方程 x2﹣4x+1=0 的两根是 x1，x2，则 x1（1+x2）+x2 的值为 5 ． 【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题． 【分析】先根据根与系数的关系得到 x1+x2=4，x1x2=1，然后把 x1（1+x2）+x2 展开 得到 x1+x2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：根据题意得 x1+x2=4，x1x2=1， 所以 x1（1+x2）+x2=x1+x1x2+x2 =x1+x2+x1x2 =4+1 =5． 故答案为 5． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ． 14．（3 分）（2017•盐城）如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，点 C 在 上，点 D 在 上，若∠ACB=70°，则∠ADB= 110 °． 【考点】M5：圆周角定理．菁优网版 权所有 【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵点 C 在 上，点 D 在 上，若∠ACB=70°， ∴∠ADB+∠ACB=180°， ∴∠ADB=110°， 故答案为：110． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 15．（3 分）（2017•盐城）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，将△ABC 绕某 点旋转到△A'B'C'的位置，则点 B 运动的最短路径长为 π ． 【考点】O4：轨迹；R2：旋转的性质．菁优网版 权所有 【分析】如图作线段 AA′、CC′的垂直平分线相交于点 P，点 P 即为旋转中心，观 察图象可知，旋转角为 90°（逆时针旋转）时 B 运动的路径长最短 【解答】解：如图作线段 AA′、CC′的垂直平分线相交于点 P，点 P 即为旋转中心， 观察图象可知，旋转角为 90°（逆时针旋转）时 B 运动的路径长最短， PB= = ， ∴B 运动的最短路径长为= = π， 故答案为 π． 【点评】本题考查旋转变换、轨迹．弧长公式、勾股定理等知识，解题的关键是 确定旋转中心和旋转角的大小，属于中考常考题型． 16．（3 分）（2017•盐城）如图，曲线 l 是由函数 y= 在第一象限内的图象绕坐标 原点 O 逆时针旋转 45°得到的，过点 A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ）的直线 与曲线 l 相交于点 M、N，则△OMN 的面积为 8 ． 【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数 k 的几何意义．菁优网版 权所有 【分析】由题意 A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ），可知 OA⊥OB，建立如图新 的坐标系（OB 为 x′轴，OA 为 y′轴，利用方程组求出 M、N 的坐标，根据 S△OMN=S △OBM﹣S△OBN 计算即可． 【解答】解：∵A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ）， ∴OA⊥OB， 建立如图新的坐标系（OB 为 x′轴，OA 为 y′轴． 在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0）， ∴直线 AB 解析式为 y′=﹣2x′+8， 由 ，解得 或 ， ∴M（1.6），N（3，2）， ∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN= •4•6﹣ •4•2=8， 故答案为 8 【点评】本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是 学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17．（6 分）（2017•盐城）计算： +（ ）﹣1﹣20170． 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．菁优网版 权所有 【分析】首先计算开方，乘方、然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算 式的值是多少即可． 【解答】解：原式=2+2﹣1=3． 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方， 再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右 的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 18．（6 分）（2017•盐城）解不等式组： ． 【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版 权所有 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小 小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 3x﹣1≥x+1，得：x≥1， 解不等式 x+4＜4x﹣2，得：x＞2， ∴不等式组的解集为 x＞2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础， 熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此 题的关键． 19．（8 分）（2017•盐城）先化简，再求值： ÷（x+2﹣ ），其中 x=3+ ． 【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；513：分式． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简 结果，把 x 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式= ÷（ ﹣ ） = ÷ = • = ， 当 x=3+ 时，原式= = = ． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，根据分式的混合运算顺序和法则将原式 化简是解题的关键． 20．（8 分）（2017•盐城）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词 大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中 选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”． （1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选 择其中一个，则小明回答正确的概率是 ； （2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富” 还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回 答正确的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．菁优网版 权所有 【分析】（1）利用概率公式直接计算即可； （2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回 答正确的概率． 【解答】解： （1）∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择， ∴若随机选择其中一个正确的概率= ， 故答案为： ； （2）画树形图得： 由树状图可知共有 4 种可能结果，其中正确的有 1 种， 所以小丽回答正确的概率= ． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．通过列表法或树状图法展示所有 等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率 公式求事件 A 或 B 的概率． 21．（8 分）（2017•盐城）“大美湿地，水韵盐城”．某校数学兴趣小组就“最想去 的盐城市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一 个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计 图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求被调查的学生总人数； （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点 D”的扇形圆心角的 度数； （3）若该校共有 800 名学生，请估计“最想去景点 B“的学生人数． 【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合． 【分析】（1）用最想去 A 景点的人数除以它所占的百分比即可得到被调查的学生 总人数； （2）先计算出最想去 D 景点的人数，再补全条形统计图，然后用 360°乘以最想 去 D 景点的人数所占的百分比即可得到扇形统计图中表示“最想去景点 D”的扇形 圆心角的度数； （3）用 800 乘以样本中最想去 A 景点的人数所占的百分比即可． 【解答】解：（1）被调查的学生总人数为 8÷20%=40（人）； （2）最想去 D 景点的人数为 40﹣8﹣14﹣4﹣6=8（人）， 补全条形统计图为： 扇形统计图中表示“最想去景点 D”的扇形圆心角的度数为 ×360°=72°； （3）800× =280， 所以估计“最想去景点 B“的学生人数为 280 人． 【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量 的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可 以很容易看出数据的大小，便于比较． 22．（10 分）（2017•盐城）如图，矩形 ABCD 中，∠ABD、∠CDB 的平分线 BE、 DF 分别交边 AD、BC 于点 E、F． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当∠ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由． 【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；L9：菱形的判定．菁优网版 权所有 【分析】（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合 BE 平分∠ABD、DF 平分∠BDC 得 ∠EBD=∠FDB，即可知 BE∥DF，根据 AD∥BC 即可得证； （2）当∠ABE=30°时，四边形 BEDF 是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、 ∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即 EB=ED，即可得证． 【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥DC、AD∥BC， ∴∠ABD=∠CDB， ∵BE 平分∠ABD、DF 平分∠BDC， ∴∠EBD= ∠ABD，∠FDB= ∠BDC， ∴∠EBD=∠FDB， ∴BE∥DF， 又∵AD∥BC， ∴四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当∠ABE=30°时，四边形 BEDF 是菱形， ∵BE 平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A=90°， ∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°， ∴∠EDB=∠EBD=30°， ∴EB=ED， 又∵四边形 BEDF 是平行四边形， ∴四边形 BEDF 是菱形． 【点评】本题主要考查矩形的性质、平行四边形、菱形，熟练掌握矩形的性质、 平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键． 23．（10 分）（2017•盐城）某商店在 2014 年至 2016 年期间销售一种礼盒．2014 年，该商店用 3500 元购进了这种礼盒并且全部售完；2016 年，这种礼盒的进价 比 2014 年下降了 11 元/盒，该商店用 2400 元购进了与 2014 年相同数量的礼盒 也全部售完，礼盒的售价均为 60 元/盒． （1）2014 年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用．菁优网版 权所有 【分析】（1）设 2014 年这种礼盒的进价为 x 元/盒，则 2016 年这种礼盒的进价 为（x﹣11）元/盒，根据 2014 年花 3500 元与 2016 年花 2400 元购进的礼盒数量 相同，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设年增长率为 m，根据数量=总价÷单价求出 2014 年的购进数量，再根据 2014 年的销售利润×（1+增长率）2=2016 年的销售利润，即可得出关于 m 的一 元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设 2014 年这种礼盒的进价为 x 元/盒，则 2016 年这种礼盒的 进价为（x﹣11）元/盒， 根据题意得： = ， 解得：x=35， 经检验，x=35 是原方程的解． 答：2014 年这种礼盒的进价是 35 元/盒． （2）设年增长率为 m， 2014 年的销售数量为 3500÷35=100（盒）． 根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100， 解得：a=0.2=20%或 a=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：年增长率为 20%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找准等量关系，列出一元二次方程． 24．（10 分）（2017•盐城）如图，△ABC 是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°， 现将圆心为点 O 的圆形纸片放置在三角板内部． （1）如图①，当圆形纸片与两直角边 AC、BC 都相切时，试用直尺与圆规作出 射线 CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹） （2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动 1 周，回到起点位置时停 止，若 BC=9，圆形纸片的半径为 2，求圆心 O 运动的路径长． 【考点】O4：轨迹；MC：切线的性质；N3：作图—复杂作图．菁优网版 权所有 【分析】（1）作∠ACB 的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心 O， 作射线 CO 即可； （2）添加如图所示辅助线，圆心 O 的运动路径长为 ，先求出△ABC 的三 边长度，得出其周长，证四边形 OEDO1、四边形 O1O2HG、四边形 OO2IF 均为矩 形、四边形 OECF 为正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，从而知△ OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：（1）如图①所示，射线 OC 即为所求； （2）如图，圆心 O 的运动路径长为 ， 过点 O1 作 O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点 D、F、G， 过点 O 作 OE⊥BC，垂足为点 E，连接 O2B， 过点 O2 作 O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点 H、I， 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°、∠A=30°， ∴AC= = =9 ，AB=2BC=18，∠ABC=60°， ∴C△ABC=9+9 +18=27+9 ， ∵O1D⊥BC、O1G⊥AB， ∴D、G 为切点， ∴BD=BG， 在 Rt△O1BD 和 Rt△O1BG 中， ∵ ， ∴△O1BD≌△O1BG（HL）， ∴∠O1BG=∠O1BD=30°， 在 Rt△O1BD 中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°， ∴BD= = =2 ， ∴OO1=9﹣2﹣2 =7﹣2 ， ∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC， ∴O1D∥OE，且 O1D=OE， ∴四边形 OEDO1 为平行四边形， ∵∠OED=90°， ∴四边形 OEDO1 为矩形， 同理四边形 O1O2HG、四边形 OO2IF、四边形 OECF 为矩形， 又 OE=OF， ∴四边形 OECF 为正方形， ∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°， ∴∠GO1D=120°， 又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°， ∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC， 同理，∠O1OO2=90°， ∴△OO1O2∽△CBA， ∴ = ，即 = ， ∴ =15+ ，即圆心 O 运动的路径长为 15+ ． 【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图、切线的判定与性质、矩形和正方形的判 定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质、矩形和正方 形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（10 分）（2017•盐城）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边 AB 在 y 轴上，边 AC 与 x 轴交于点 D，AE 平分∠BAC 交边 BC 于点 E，经过点 A、D、E 的圆的圆心 F 恰好在 y 轴上，⊙F 与 y 轴相交于另一点 G． （1）求证：BC 是⊙F 的切线； （2）若点 A、D 的坐标分别为 A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F 的半径； （3）试探究线段 AG、AD、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【考点】MR：圆的综合题．菁优网版 权所有 【分析】（1）连接 EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠ EAC，得到 FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论； （2）连接 FD，设⊙F 的半径为 r，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）作 FR⊥AD 于 R，得到四边形 RCEF 是矩形，得到 EF=RC=RD+CD，根据垂径 定理解答即可． 【解答】（1）证明：连接 EF， ∵AE 平分∠BAC， ∴∠FAE=∠CAE， ∵FA=FE， ∴∠FAE=∠FEA， ∴∠FEA=∠EAC， ∴FE∥AC， ∴∠FEB=∠C=90°，即 BC 是⊙F 的切线； （2）解：连接 FD， 设⊙F 的半径为 r， 则 r2=（r﹣1）2+22， 解得，r= ，即⊙F 的半径为 ； （3）解：AG=AD+2CD． 证明：作 FR⊥AD 于 R， 则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°， ∴四边形 RCEF 是矩形， ∴EF=RC=RD+CD， ∵FR⊥AD， ∴AR=RD， ∴EF=RD+CD= AD+CD， ∴AG=2FE=AD+2CD． 【点评】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握 切线的判定定理是解题的关键． 26．（12 分）（2017•盐城）【探索发现】 如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角 且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE、EF 剪下时，所得的 矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积 与原三角形面积的比值为 ． 【拓展应用】 如图②，在△ABC 中，BC=a，BC 边上的高 AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P、N 分别 在边 AB、AC 上，顶点 Q、M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为 ．（用 含 a，h 的代数式表示） 【灵活应用】 如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪 出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】 如图④，现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB=50cm，BC=108cm， CD=60cm，且 tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积． 【考点】LO：四边形综合题．菁优网版 权所有 【分析】【探索发现】：由中位线知 EF= BC、ED= AB、由 = 可得； 【拓展应用】：由△APN∽△ABC 知 = ，可得 PN=a﹣ PQ，设 PQ=x，由 S 矩形 PQMN=PQ•PN═﹣ （x﹣ ）2+ ，据此可得； 【灵活应用】：添加如图 1 辅助线，取 BF 中点 I，FG 的中点 K，由矩形性质知 AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE 得 AF=DH=16、 CG=HE=20，从而判断出中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE 上，利用【探索发现】 结论解答即可； 【实际应用】：延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H，由 tanB=tanC 知 EB=EC、BH=CH=54，EH= BH=72，继而求得 BE=CE=90，可判断中位线 PQ 的两 端点在线段 AB、CD 上，利用【拓展应用】结论解答可得． 【解答】解：【探索发现】 ∵EF、ED 为△ABC 中位线， ∴ED∥AB，EF∥BC，EF= BC，ED= AB， 又∠B=90°， ∴四边形 FEDB 是矩形， 则 = = = ， 故答案为： ； 【拓展应用】 ∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴ = ，即 = ， ∴PN=a﹣ PQ， 设 PQ=x， 则 S 矩形 PQMN=PQ•PN=x（a﹣ x）=﹣ x2+ax=﹣ （x﹣ ）2+ ， ∴当 PQ= 时，S 矩形 PQMN 最大值为 ， 故答案为： ； 【灵活应用】 如图 1，延长 BA、DE 交于点 F，延长 BC、ED 交于点 G，延长 AE、CD 交于点 H， 取 BF 中点 I，FG 的中点 K， 由题意知四边形 ABCH 是矩形， ∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16， ∴EH=20、DH=16， ∴AE=EH、CD=DH， 在△AEF 和△HED 中， ∵ ， ∴△AEF≌△HED（ASA）， ∴AF=DH=16， 同理△CDG≌△HDE， ∴CG=HE=20， ∴BI= =24， ∵BI=24＜32， ∴中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE 上， 过点 K 作 KL⊥BC 于点 L， 由【探索发现】知矩形的最大面积为 ×BG•BF= ×（40+20）×（32+16）=720， 答：该矩形的面积为 720； 【实际应用】 如图 2，延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H， ∵tanB=tanC= ， ∴∠B=∠C， ∴EB=EC， ∵BC=108cm，且 EH⊥BC， ∴BH=CH= BC=54cm， ∵tanB= = ， ∴EH= BH= ×54=72cm， 在 Rt△BHE 中，BE= =90cm， ∵AB=50cm， ∴AE=40cm， ∴BE 的中点 Q 在线段 AB 上， ∵CD=60cm， ∴ED=30cm， ∴CE 的中点 P 在线段 CD 上， ∴中位线 PQ 的两端点在线段 AB、CD 上， 由【拓展应用】知，矩形 PQMN 的最大面积为 BC•EH=1944cm2， 答：该矩形的面积为 1944cm2． 【点评】本题主要考查四边形的综合问题，熟练掌握中位线定理、相似三角形的 判定与性质、等腰三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键． 27．（14 分）（2017•盐城）如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+2 与 x 轴交 于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交 点为点 B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点； ①连接 BC、CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，△CDE 的面积为 S1，△BCE 的面 积为 S2，求 的最大值； ②过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F，连接 CD，是否存在点 D，使得△CDF 中的某 个角恰好等于∠BAC 的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版 权所有 【分析】（1）根据题意得到 A（﹣4，0），C（0，2）代入 y=﹣ x2+bx+c，于是得 到结论； （2）①如图，令 y=0，解方程得到 x1=﹣4，x2=1，求得 B（1，0），过 D 作 DM ⊥x 轴于 M，过 B 作 BN⊥x 轴交于 AC 于 N，根据相似三角形的性质即可得到结 论； ②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取 AB 的 中点 P，求得 P（﹣ ，0），得到 PA=PC=PB= ，过 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于 R， 交 AC 的延线于 G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠ FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得 A（﹣4，0），C（0，2）， ∵抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过 A、C 两点， ∴ ， ∴ ， ∴y=﹣ x2﹣ x+2； （2）①如图，令 y=0， ∴﹣ x2﹣ x+2=0， ∴x1=﹣4，x2=1， ∴B（1，0）， 过 D 作 DM⊥x 轴于 M，过 B 作 BN⊥x 轴交于 AC 于 N， ∴DM∥BN， ∴△DME∽△BNE， ∴ = = ， 设 D（a，=﹣ a2﹣ a+2）， ∴M（a， a+2）， ∵B（1.0）， ∴N（1， ）， ∴ = = （a+2）2+ ； ∴当 a=2 时， 的最大值是 ； ②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2）， ∴AC=2 ，BC= ，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取 AB 的中点 P， ∴P（﹣ ，0）， ∴PA=PC=PB= ， ∴∠CPO=2∠BAC， ∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）= ， 过 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于 R，交 AC 的延长线于 G， 情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG， ∴∠CDG=∠BAC， ∴tan∠CDG=tan∠BAC= ， 即 ， 令 D（a，﹣ a2﹣ a+2）， ∴DR=﹣a，RC=﹣ a2﹣ a， ∴ ， ∴a1=0（舍去），a2=﹣2， ∴xD=﹣2， 情况二，∴∠FDC=2∠BAC， ∴tan∠FDC= ， 设 FC=4k， ∴DF=3k，DC=5k， ∵tan∠DGC= = ， ∴FG=6k， ∴CG=2k，DG=3 k，∴ ∴RC= k，RG= k， DR=3 k﹣ k= k， ∴ = = ， ∴a1=0（舍去），a2= ， 点 D 的横坐标为﹣2 或﹣ ． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解 直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 13-2017 年江苏省连云港市中考数学试卷及解析（31 页） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡 相应位置上． 1．（3 分）2 的绝对值是（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 2．（3 分）计算 a•a2 的结果是（ ） A．a B．a2 C．2a2 D．a3 3．（3 分）小广，小娇分别统计了自己近 5 次数学测试成绩，下列统计量中能用 来比较两人成绩稳定性的是（ ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 4．（3 分）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是 （ ） A． = B． = C． = D． = 5．（3 分）由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图， 左视图和俯视图的面积，则（ ） A．三个视图的面积一样大 B．主视图的面积最小 C．左视图的面积最小 D．俯视图的面积最小 6．（3 分）关于 的叙述正确的是（ ） A．在数轴上不存在表示 的点 B． = + C． =±2 D．与 最接近的整数是 3 7．（3 分）已知抛物线 y=ax2（a＞0）过 A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列 关系式一定正确的是（ ） A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 8．（3 分）如图所示，一动点从半径为 2 的⊙O 上的 A0 点出发，沿着射线 A0O 方向运动到⊙O 上的点 A1 处，再向左沿着与射线 A1O 夹角为 60°的方向运动到⊙ O 上的点 A2 处；接着又从 A2 点出发，沿着射线 A2O 方向运动到⊙O 上的点 A3 处， 再向左沿着与射线 A3O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A4 处；…按此规律运 动到点 A2017 处，则点 A2017 与点 A0 间的距离是（ ） A．4 B．2 C．2 D．0 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，不需要写出解答过程， 请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9．（3 分）分式 有意义的 x 的取值范围为 ． 10．（3 分）计算（a﹣2）（a+2）= ． 11．（3 分）截至今年 4 月底，连云港市中哈物流合作基地累计完成货物进、出 场量 6800000 吨，数据 6800000 用科学记数法可表示为 ． 12．（3 分）已知关于 x 的方程 x2﹣2x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 ． 13．（3 分）如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F．若∠EAF=56°， 则∠B= ． 14．（3 分）如图，线段 AB 与⊙O 相切于点 B，线段 AO 与⊙O 相交于点 C，AB=12， AC=8，则⊙O 的半径长为 ． 15．（3 分）设函数 y= 与 y=﹣2x﹣6 的图象的交点坐标为（a，b），则 + 的值 是 ． 16．（3 分）如图，已知等边三角形 OAB 与反比例函数 y= （k＞0，x＞0）的图 象交于 A、B 两点，将△OAB 沿直线 OB 翻折，得到△OCB，点 A 的对应点为点 C， 线段 CB 交 x 轴于点 D，则 的值为 ．（已知 sin15°= ） 三、解答题：本大题共 11 小题，共 102 分，请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6 分）计算：﹣（﹣1）﹣ +（π﹣3.14）0． 18．（6 分）化简 • ． 19．（6 分）解不等式组 ． 20．（8 分）某校举行了“文明在我身边”摄影比赛．已知每幅参赛作品成绩记为 x 分（60≤x≤100）．校方从 600 幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了 它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表． “文明在我身边”摄影比赛成绩统计表 分数段 频数 频率 60≤x＜70 18 0.36 70≤x＜80 17 c 80≤x＜90 a 0.24 90≤x≤100 b 0.06 合计 1 根据以上信息解答下列问题： （1）统计表中 c 的值为 ；样本成绩的中位数落在分数段 中； （2）补全频数分布直方图； （3）若 80 分以上（含 80 分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数 量是多少？ 21．（10 分）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按 A，B，C 三类分别装袋， 投放，其中 A 类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B 类指剩余食品等厨余垃圾， C 类指塑料，废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两 袋垃圾不同类． （1）直接写出甲投放的垃圾恰好是 A 类的概率； （2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率． 22．（10 分）如图，已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD=AE，连接 BE、CD，交于点 F． （1）判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； （2）求证：过点 A、F 的直线垂直平分线段 BC． 23．（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A（﹣2，0）的直线交 y 轴 正半轴于点 B，将直线 AB 绕着点顺时针旋转 90°后，分别与 x 轴、y 轴交于点 D、 C． （1）若 OB=4，求直线 AB 的函数关系式； （2）连接 BD，若△ABD 的面积是 5，求点 B 的运动路径长． 24．（10 分）某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直 接销售，且当天都能销售完，直接销售是 40 元/斤，加工销售是 130 元/斤（不 计损耗）．已知基地雇佣 20 名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作， 每人每天可以采摘 70 斤或加工 35 斤，设安排 x 名工人采摘蓝莓，剩下的工人加 工蓝莓． （1）若基地一天的总销售收入为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式； （2）试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值． 25．（10 分）如图，湿地景区岸边有三个观景台 A、B、C，已知 AB=1400 米，AC=1000 米，B 点位于 A 点的南偏西 60.7°方向，C 点位于 A 点的南偏东 66.1°方向． （1）求△ABC 的面积； （2）景区规划在线段 BC 的中点 D 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道 AD，试 求 A、D 间的距离．（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49， sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41， ≈1.414）． 26．（12 分）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点 A（3，0）， B（4，1），且与 y 轴交于点 C，连接 AB、AC、BC． （1）求此二次函数的关系式； （2）判断△ABC 的形状；若△ABC 的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心 M 的坐 标； （3）若将抛物线沿射线 BA 方向平移，平移后点 A、B、C 的对应点分别记为点 A1、B1、C1，△A1B1C1 的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1 经过原点？ 若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由． 27．（14 分）问题呈现： 如图 1，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上，AE=DG，求 证：2S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD．（S 表示面积） 实验探究：某数学实验小组发现：若图 1 中 AH≠BF，点 G 在 CD 上移动时，上 述结论会发生变化，分别过点 E、G 作 BC 边的平行线，再分别过点 F、H 作 AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点 A1、B1、C1、D1，得到矩形 A1B1C1D1． 如图 2，当 AH＞BF 时，若将点 G 向点 C 靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD+S ． 如图 3，当 AH＞BF 时，若将点 G 向点 D 靠近（DG＜AE），请探索 S 四边形 EFGH、S 矩 形 ABCD 与 S 之间的数量关系，并说明理由． 迁移应用： 请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题： （1）如图 4，点 E、F、G、H 分别是面积为 25 的正方形 ABCD 各边上的点，已 知 AH＞BF，AE＞DG，S 四边形 EFGH=11，HF= ，求 EG 的长． （2）如图 5，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=5，点 E、H 分别在边 AB、AD 上，BE=1， DH=2，点 F、G 分别是边 BC、CD 上的动点，且 FG= ，连接 EF、HG，请直接 写出四边形 EFGH 面积的最大值． 2017 年江苏省连云港市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡 相应位置上． 1．（3 分）（2017•连云港）2 的绝对值是（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 【考点】15：绝对值．菁优网版 权所有 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第 二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号． 【解答】解：2 的绝对值是 2． 故选：B． 【点评】此题考查了绝对值的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握正数的 绝对值是它本身． 2．（3 分）（2017•连云港）计算 a•a2 的结果是（ ） A．a B．a2 C．2a2 D．a3 【考点】46：同底数幂的乘法．菁优网版 权所有 【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案． 【解答】解：a•a2=a3， 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 3．（3 分）（2017•连云港）小广，小娇分别统计了自己近 5 次数学测试成绩，下 列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是（ ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【考点】WA：统计量的选择．菁优网版 权所有 【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越 小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用 的统计量是方差． 【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差． 故选：A． 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差 的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限 性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 4．（3 分）（2017•连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等 式一定成立的是（ ） A． = B． = C． = D． = 【考点】S7：相似三角形的性质．菁优网版 权所有 【分析】根据相似三角形的性质判断即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴ = ，A 不一定成立； =1，B 不成立； = ，C 不成立； = ，D 成立， 故选：D． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应 边的比相等、相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比、相似三角形的面积 的比等于相似比的平方是解题的关键． 5．（3 分）（2017•连云港）由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比 较它的正视图，左视图和俯视图的面积，则（ ） A．三个视图的面积一样大 B．主视图的面积最小 C．左视图的面积最小 D．俯视图的面积最小 【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版 权所有 【分析】首先根据立体图形可得俯视图、主视图、左视图所看到的小正方形的个 数，再根据所看到的小正方形的个数可得答案． 【解答】解：主视图有 5 个小正方形，左视图有 3 个小正方形，俯视图有 4 个小 正方形， 因此左视图的面积最小． 故选：C． 【点评】此题主要考查了组合体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表现 在三视图中． 6．（3 分）（2017•连云港）关于 的叙述正确的是（ ） A．在数轴上不存在表示 的点 B． = + C． =±2 D．与 最接近的整数是 3 【考点】27：实数．菁优网版 权所有 【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的加法法则，算术平方 根的计算法则计算即可求解． 【解答】解：A、在数轴上存在表示 的点，故选项错误； B、 ≠ + ，故选项错误； C、 =2 ，故选项错误； D、与 最接近的整数是 3，故选项正确． 故选：D． 【点评】考查了实数与数轴，实数的加法，算术平方根，关键是熟练掌握计算法 则计算即可求解． 7．（3 分）（2017•连云港）已知抛物线 y=ax2（a＞0）过 A（﹣2，y1）、B（1，y2） 两点，则下列关系式一定正确的是（ ） A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版 权所有 【分析】依据抛物线的对称性可知：（2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的 性质解答即可． 【解答】解：∵抛物线 y=ax2（a＞0）， ∴A（﹣2，y1）关于 y 轴对称点的坐标为（2，y1）． 又∵a＞0，0＜1＜2， ∴y2＜y1． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减 性是解题的关键． 8．（3 分）（2017•连云港）如图所示，一动点从半径为 2 的⊙O 上的 A0 点出发， 沿着射线 A0O 方向运动到⊙O 上的点 A1 处，再向左沿着与射线 A1O 夹角为 60° 的方向运动到⊙O 上的点 A2 处；接着又从 A2 点出发，沿着射线 A2O 方向运动到 ⊙O 上的点 A3 处，再向左沿着与射线 A3O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A4 处；…按此规律运动到点 A2017 处，则点 A2017 与点 A0 间的距离是（ ） A．4 B．2 C．2 D．0 【考点】38：规律型：图形的变化类．菁优网版 权所有 【分析】根据题意求得 OA1=4，OA2=2 ，OA3=2，OA4=2 ，OA5=2，OA6=0，OA7=4，… 于是得到 A2017 与 A1 重合，即可得到结论． 【解答】解：如图，∵⊙O 的半径=2， 由题意得，OA1=4，OA2=2 ，OA3=2，OA4=2 ，OA5=2，OA6=0，OA7=4，… ∵2017÷6=336…1， ∴按此规律运动到点 A2017 处，A2017 与 A1 重合， ∴OA2017=2R=4． 故选 A． 【点评】本题考查了图形的变化类，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的 作出图形是解题的关键． 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，不需要写出解答过程， 请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9．（3 分）（2017•连云港）分式 有意义的 x 的取值范围为 x≠1 ． 【考点】62：分式有意义的条件．菁优网版 权所有 【分析】分式有意义时，分母不等于零． 【解答】解：当分母 x﹣1≠0，即 x≠1 时，分式 有意义． 故答案是：x≠1． 【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义 ⇔ 分母为零； （2）分式有意义 ⇔ 分母不为零； （3）分式值为零 ⇔ 分子为零且分母不为零． 10．（3 分）（2017•连云港）计算（a﹣2）（a+2）= a2﹣4 ． 【考点】4F：平方差公式．菁优网版 权所有 【分析】根据平方差公式求出即可． 【解答】解：（a﹣2）（a+2）=a2﹣4， 故答案为：a2﹣4． 【点评】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式的内容是解此题的关键． 11．（3 分）（2017•连云港）截至今年 4 月底，连云港市中哈物流合作基地累计 完成货物进、出场量 6800000 吨，数据 6800000 用科学记数法可表示为 6.8× 106 ． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版 权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 6800000 用科学记数法表示为：6.8×106． 故答案为：6.8×106． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 12．（3 分）（2017•连云港）已知关于 x 的方程 x2﹣2x+m=0 有两个相等的实数根， 则 m 的值是 1 ． 【考点】AA：根的判别式．菁优网版 权所有 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4﹣4m=0，解之即可得 出结论． 【解答】解：∵关于 x 的方程 x2﹣2x+m=0 有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m=0， 解得：m=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0 时，方程有两个相等的实数根” 是解题的关键． 13．（3 分）（2017•连云港）如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F．若 ∠EAF=56°，则∠B= 56° ． 【考点】L5：平行四边形的性质．菁优网版 权所有 【分析】根据四边形的内角和等于 360°求出∠C，再根据平行四边形的邻角互补 列式计算即可得解． 【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEC=∠AFC=90°， 在 四 边 形 AECF 中 ， ∠ C=360° ﹣ ∠ EAF ﹣ ∠ AEC ﹣ ∠ AFC=360° ﹣ 56° ﹣ 90° ﹣ 90°=124°， 在▱ABCD 中，∠B=180°﹣∠C=180°﹣124°=56°． 故答案为：56°． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，熟记平行四边形的邻 角互补是解题的关键． 14．（3 分）（2017•连云港）如图，线段 AB 与⊙O 相切于点 B，线段 AO 与⊙O 相交于点 C，AB=12，AC=8，则⊙O 的半径长为 5 ． 【考点】MC：切线的性质．菁优网版 权所有 【分析】连接 OB，根据切线的性质求出∠ABO=90°，在△ABO 中，由勾股定理 即可求出⊙O 的半径长． 【解答】解：连接 OB， ∵AB 切⊙O 于 B， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO=90°， 设⊙O 的半径长为 r， 由勾股定理得： r2+122=（8+r）2， 解得 r=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，关键是得出直角三角形 ABO， 主要培养了学生运用性质进行推理的能力． 15．（3 分）（2017•连云港）设函数 y= 与 y=﹣2x﹣6 的图象的交点坐标为（a，b）， 则 + 的值是 ﹣1 ． 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版 权所有 【分析】由两函数的交点坐标为（a，b），将 x=a，y=b 代入反比例解析式，求出 ab 的值，代入一次函数解析式，得出 2a+b 的值，将所求式子通分并利用同分母 分式的加法法则计算后，把 ab 及 2a+b 的值代入即可求出值． 【解答】解：∵函数 y= 与 y=﹣2x+1 的图象的交点坐标是（a，b）， ∴将 x=a，y=b 代入反比例解析式得：b= ，即 ab=3， 代入一次函数解析式得：b=﹣2a﹣6，即 2a+b=﹣6， 则 + = = =﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其中将 x=a，y=b 代入 两函数解析式得出关于 a 与 b 的关系式是解本题的关键． 16．（3 分）（2017•连云港）如图，已知等边三角形 OAB 与反比例函数 y= （k＞ 0，x＞0）的图象交于 A、B 两点，将△OAB 沿直线 OB 翻折，得到△OCB，点 A 的对应点为点 C，线段 CB 交 x 轴于点 D，则 的值为 ．（已知 sin15°= ） 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；KK：等边三角形的性质；PB： 翻折变换（折叠问题）；T7：解直角三角形．菁优网版 权所有 【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据反比例函数的对称性可知：直线 OM： y=x，求出∠BOF=15°，根据 15°的正弦列式可以表示 BF 的长，证明△BDF∽△CDN， 可得结论． 【解答】解：如图，过 O 作 OM⊥x 轴于 M， ∵△AOB 是等边三角形， ∴AM=BM，∠AOM=∠BOM=30°， ∴A、B 关于直线 OM 对称， ∵A、B 两点在反比例函数 y= （k＞0，x＞0）的图象上，且反比例函数关于直线 y=x 对称， ∴直线 OM 的解析式为：y=x， ∴∠BOD=45°﹣30°=15°， 过 B 作 BF⊥x 轴于 F，过 C 作 CN⊥x 轴于 N， sin∠BOD=sin15°= = ， ∵∠BOC=60°，∠BOD=15°， ∴∠CON=45°， ∴△CNO 是等腰直角三角形， ∴CN=ON， 设 CN=x，则 OC= x， ∴OB= x， ∴ = ， ∴BF= ， ∵BF⊥x 轴，CN⊥x 轴， ∴BF∥CN， ∴△BDF∽△CDN， ∴ = = ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、等边三角形的性质、等 腰直角三角形的性质和判定、三角函数、三角形相似的性质和判定、翻折的性质， 明确反比例函数关于直线 y=x 对称是关键，在数学题中常设等腰直角三角形的直 角边为未知数 x，根据等腰直角三角形斜边是直角边的 倍表示斜边的长，从而 解决问题． 三、解答题：本大题共 11 小题，共 102 分，请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6 分）（2017•连云港）计算：﹣（﹣1）﹣ +（π﹣3.14）0． 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．菁优网版 权所有 【分析】先去括号、开方、零指数幂，然后计算加减法． 【解答】解：原式=1﹣2+1=0． 【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，属于基础题，熟记实数运算法则即 可解题． 18．（6 分）（2017•连云港）化简 • ． 【考点】6A：分式的乘除法．菁优网版 权所有 【分析】根据分式的乘法，可得答案． 【解答】解：原式= • = ． 【点评】本题考查了分式的乘法，利用分式的乘法是解题关键． 19．（6 分）（2017•连云港）解不等式组 ． 【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版 权所有 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小 小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式﹣3x+1＜4，得：x＞﹣1， 解不等式 3x﹣2（x﹣1）≤6，得：x≤4， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤4． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础， 熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此 题的关键． 20．（8 分）（2017•连云港）某校举行了“文明在我身边”摄影比赛．已知每幅参 赛作品成绩记为 x 分（60≤x≤100）．校方从 600 幅参赛作品中随机抽取了部分 参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表． “文明在我身边”摄影比赛成绩统计表 分数段 频数 频率 60≤x＜70 18 0.36 70≤x＜80 17 c 80≤x＜90 a 0.24 90≤x≤100 b 0.06 合计 1 根据以上信息解答下列问题： （1）统计表中 c 的值为 0.34 ；样本成绩的中位数落在分数段 70≤x＜80 中； （2）补全频数分布直方图； （3）若 80 分以上（含 80 分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数 量是多少？ 【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率） 分布表；W4：中位数．菁优网版 权所有 【分析】（1）由 60≤x＜70 频数和频率求得总数，根据频率=频数÷总数求得 a、 b、c 的值，由中位数定义求解可得； （2）根据（1）中所求数据补全图形即可得； （3）总数乘以 80 分以上的频率即可． 【解答】解：（1）本次调查的作品总数为 18÷0.36=50（幅）， 则 c=17÷50=0.34，a=50×0.24=12，b=50×0.06=3， 其中位数为第 25、26 个数的平均数， ∴中位数落在 70≤x＜80 中， 故答案为：0.34，70≤x＜80； （2）补全图形如下： （3）600×（0.24+0.06）=180（幅）， 答：估计全校被展评作品数量是 180 幅． 【点评】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力， 以及条形统计图；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图， 才能作出正确的判断和解决问题． 21．（10 分）（2017•连云港）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按 A，B， C 三类分别装袋，投放，其中 A 类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B 类指剩余 食品等厨余垃圾，C 类指塑料，废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放 了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类． （1）直接写出甲投放的垃圾恰好是 A 类的概率； （2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．菁优网版 权所有 【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是 A 类的概率； （2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案． 【解答】解：（1）∵垃圾要按 A，B，C 三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾， ∴甲投放的垃圾恰好是 A 类的概率为： ； （2）如图所示： ， 由图可知，共有 18 种可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是 同类的结果有 12 种， 所以，P（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）= = ； 即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率是： ． 【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键． 22．（10 分）（2017•连云港）如图，已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD=AE，连接 BE、CD，交于点 F． （1）判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； （2）求证：过点 A、F 的直线垂直平分线段 BC． 【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．菁优网版 权所有 【分析】（1）证得△ABE≌△ACD 后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论； （2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论． 【解答】解：（1）∠ABE=∠ACD； 在△ABE 和△ACD 中， ， ∴△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠ACD； （2）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 由（1）可知∠ABE=∠ACD， ∴∠FBC=∠FCB， ∴FB=FC， ∵AB=AC， ∴点 A、F 均在线段 BC 的垂直平分线上， 即直线 AF 垂直平分线段 BC． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关 键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大． 23．（10 分）（2017•连云港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A（﹣2，0） 的直线交 y 轴正半轴于点 B，将直线 AB 绕着点顺时针旋转 90°后，分别与 x 轴、 y 轴交于点 D、C． （1）若 OB=4，求直线 AB 的函数关系式； （2）连接 BD，若△ABD 的面积是 5，求点 B 的运动路径长． 【考点】F9：一次函数图象与几何变换；O4：轨迹．菁优网版 权所有 【分析】（1）依题意求出点 B 坐标，然后用待定系数法求解析式； （2）设 OB=m，则 AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于 m 的方程，解方程 求得 m 的值，然后根据弧长公式即可求得． 【解答】解：（1）∵OB=4， ∴B（0，4） ∵A（﹣2，0）， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， 则 ，解得 ， ∴直线 AB 的解析式为 y=2x+4； （2）设 OB=m，则 AD=m+2， ∵△ABD 的面积是 5， ∴ AD•OB=5， ∴ （m+2）•m=5，即 m2+2m﹣10=0， 解得 m=﹣1+ 或 m=﹣1﹣ （舍去）， ∵∠BOD=90°， ∴点 B 的运动路径长为： ×2π×（﹣1+ ）= π． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积公式和弧 长计算，难度一般． 24．（10 分）（2017•连云港）某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加 工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是 40 元/斤，加工销售是 130 元/斤（不计损耗）．已知基地雇佣 20 名工人，每名工人只能参与采摘和加 工中的一项工作，每人每天可以采摘 70 斤或加工 35 斤，设安排 x 名工人采摘蓝 莓，剩下的工人加工蓝莓． （1）若基地一天的总销售收入为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式； （2）试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值． 【考点】FH：一次函数的应用．菁优网版 权所有 【分析】（1）根据总销售收入=直接销售蓝莓的收入+加工销售的收入，即可得出 y 关于 x 的函数关系式； （2）由采摘量不小于加工量，可得出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出 x 的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）根据题意得：y=[70x﹣（20﹣x）×35]×40+（20﹣x）×35× 130=﹣350x+63000． 答：y 与 x 的函数关系式为 y=﹣350x+63000． （2）∵70x≥35（20﹣x）， ∴x≥ ． ∵x 为正整数，且 x≤20， ∴7≤x≤20． ∵y=﹣350x+63000 中 k=﹣350＜0， ∴y 的值随 x 的值增大而减小， ∴当 x=7 时，y 取最大值，最大值为﹣350×7+63000=60550． 答：安排 7 名工人进行采摘，13 名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最 大收入为 60550 元． 【点评】本题考查了一次函数的应用、一次函数的性质以及解一元一次不等式， 解题的关键是：（1）根据数量关系，找出 y 与 x 的函数关系式；（2）根据一次函 数的性质，解决最值问题． 25．（10 分）（2017•连云港）如图，湿地景区岸边有三个观景台 A、B、C，已知 AB=1400 米，AC=1000 米，B 点位于 A 点的南偏西 60.7°方向，C 点位于 A 点的南 偏东 66.1°方向． （1）求△ABC 的面积； （2）景区规划在线段 BC 的中点 D 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道 AD，试 求 A、D 间的距离．（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49， sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41， ≈1.414）． 【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版 权所有 【分析】（1）作 CE⊥BA 于 E．在 Rt△ACE 中，求出 CE 即可解决问题； （2）接 AD，作 DF⊥AB 于 F．，则 DF∥CE．首先求出 DF、AF，再在 Rt△ADF 中 求出 AD 即可； 【解答】解：（1）作 CE⊥BA 于 E． 在 Rt△AEC 中，∠CAE=180°﹣60.7°﹣66.1°=53.2°， ∴CE=AC•sin53.2°≈1000×0.8=800 米． ∴S△ABC= •AB•CE= ×1400×800=560000 平方米． （2）连接 AD，作 DF⊥AB 于 F．，则 DF∥CE． ∵BD=CD，DF∥CE， ∴BF=EF， ∴DF= CE=400 米， ∵AE=AC•cos53.2°≈600 米， ∴BE=AB+AE=2000 米， ∴AF= EB﹣AE=400 米， 在 Rt△ADF 中，AD= =400 =565.6 米． 【点评】本题考查解直角三角形﹣方向角问题，勾股定理、三角形的中位线定理 等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．构造直角三角形解决问题，属于中 考常考题型． 26．（12 分）（2017•连云港）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经 过点 A（3，0），B（4，1），且与 y 轴交于点 C，连接 AB、AC、BC． （1）求此二次函数的关系式； （2）判断△ABC 的形状；若△ABC 的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心 M 的坐 标； （3）若将抛物线沿射线 BA 方向平移，平移后点 A、B、C 的对应点分别记为点 A1、B1、C1，△A1B1C1 的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1 经过原点？ 若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版 权所有 【分析】（1）直接利用待定系数法求出 a，b 的值进而得出答案； （2）首先得出∠OAC=45°，进而得出 AD=BD，求出∠OAC=45°，即可得出答案； （3）首先利用已知得出圆 M 平移的长度为：2 ﹣ 或 2 + ，进而得出抛 物线的平移规律，即可得出答案． 【解答】解：（1）把点 A（3，0），B（4，1）代入 y=ax2+bx+3 中， ， 解得： ， 所以所求函数关系式为：y= x2﹣ x+3； （2）△ABC 是直角三角形， 过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D， 易知点 C 坐标为：（0，3），所以 OA=OC， 所以∠OAC=45°， 又∵点 B 坐标为：（4，1）， ∴AD=BD， ∴∠OAC=45°， ∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°， ∴△ABC 是直角三角形， 圆心 M 的坐标为：（2，2）； （3）存在 取 BC 的中点 M，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E， ∵M 的坐标为：（2，2）， ∴MC= = ，OM=2 ， ∴∠MOA=45°， 又∵∠BAD=45°， ∴OM∥AB， ∴要使抛物线沿射线 BA 方向平移，且使⊙M1 经过原点， 则平移的长度为：2 ﹣ 或 2 + ； ∵∠BAD=45°， ∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移 = 个单位长度 或 = 个单位长度， ∵y= x2﹣ x+3= （x﹣ ）2﹣ ， ∴平移后抛物线的关系式为：y= （x﹣ + ）2﹣ ﹣ ， 即 y= （x﹣ ）2﹣ ， 或 y= （x﹣ + ）2﹣ ﹣ ， 即 y= （x﹣ ）2﹣ ． 综上所述，存在一个位置，使⊙M1 经过原点，此时抛物线的关系式为： y= （x﹣ ）2﹣ 或 y= （x﹣ ）2﹣ ． 【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、等腰直角三角形的 性质等知识，正确得出圆 M 的平移距离是解题关键． 27．（14 分）（2017•连云港）问题呈现： 如图 1，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上，AE=DG，求 证：2S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD．（S 表示面积） 实验探究：某数学实验小组发现：若图 1 中 AH≠BF，点 G 在 CD 上移动时，上 述结论会发生变化，分别过点 E、G 作 BC 边的平行线，再分别过点 F、H 作 AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点 A1、B1、C1、D1，得到矩形 A1B1C1D1． 如图 2，当 AH＞BF 时，若将点 G 向点 C 靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD+S ． 如图 3，当 AH＞BF 时，若将点 G 向点 D 靠近（DG＜AE），请探索 S 四边形 EFGH、S 矩 形 ABCD 与 S 之间的数量关系，并说明理由． 迁移应用： 请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题： （1）如图 4，点 E、F、G、H 分别是面积为 25 的正方形 ABCD 各边上的点，已 知 AH＞BF，AE＞DG，S 四边形 EFGH=11，HF= ，求 EG 的长． （2）如图 5，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=5，点 E、H 分别在边 AB、AD 上，BE=1， DH=2，点 F、G 分别是边 BC、CD 上的动点，且 FG= ，连接 EF、HG，请直接 写出四边形 EFGH 面积的最大值． 【考点】LO：四边形综合题．菁优网版 权所有 【分析】问题呈现：只要证明 S△HGE= S 矩形 AEGD，同理 S△EGF= S 矩形 BEGC，由此可得 S 四边形 EFGH=S△HGE+S△EFG= S 矩形 BEGC； 实验探究：结论：2S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD﹣ ．根据 = ， = ， = ， = ，即可证明； 迁移应用：（1）利用探究的结论即可解决问题． （2）分两种情形探究即可解决问题． 【解答】问题呈现：证明：如图 1 中， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，∠A=90°， ∵AE=DG， ∴四边形 AEGD 是矩形， ∴S△HGE= S 矩形 AEGD， 同理 S△EGF= S 矩形 BEGC， ∴S 四边形 EFGH=S△HGE+S△EFG= S 矩形 BEGC． 实验探究：结论：2S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD﹣ ． 理 由 ： ∵ = ， = ， = ， = ， ∴S 四边形 EFGH= + + + ﹣ ， ∴2S 四边形 EFGH=2 +2 +2 +2 ﹣2 ， ∴2S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD﹣ ． 迁移应用：解：（1）如图 4 中， ∵2S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD﹣ ． ∴ =25﹣2×11=3=A1B1•A1D1， ∵正方形的面积为 25，∴边长为 5， ∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4， ∴A1D1=2，A1B1= ， ∴EG2=A1B12+52= ， ∴EG= ． （2）∵2S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD+ ． ∴四边形 A1B1C1D1 面积最大时，矩形 EFGH 的面积最大． ①如图 5﹣1 中，当 G 与 C 重合时，四边形 A1B1C1D1 面积最大时，矩形 EFGH 的 面积最大． 此时矩形 A1B1C1D1 面积=1•（ ﹣2）= ②如图 5﹣2 中，当 G 与 D 重合时，四边形 A1B1C1D1 面积最大时，矩形 EFGH 的 面积最大． 此时矩形 A1B1C1D1 面积=2•1=2， ∵2＞ ﹣2， ∴矩形 EFGH 的面积最大值= ． 【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是 学会利用分割法添加辅助线，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．