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- 2021-05-13 发布
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第16讲 三角形与多边形
【考点总汇】
一、三角形与多边形的性质
1.三角形三边之间的关系:三角形任意两边的和 第三边,任意两边的差 第三边。
2.三角形的内角和定理:三角形三个内角的和等于 。
3.三角形的外角定理及推论:
(1)三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和。
(2)三角形的一个外有 与它不相邻的任何一个内角。
4.多边形的内角和与外角和定理:
(1)边形内角和等于 。(2)多边形的外角和等于 。
微拨炉:
1.一个三角形中至少有两个内角是锐角,至多有一个直角或一个钝角。
2.三角形的外角和指的是三角形的每个顶点处各取一个外角的和。所有多边形的外角和都相等,都等于360。
3.正多边形必须同时满足“各个角都相等”和“各条边都相等”两个条件,缺一不可。
二、命题、定理
1.对某一事件作出 判断的语句(或式子)叫做命题,命题由 和 两部分组成。
的命题是真命题, 的命题是假命题。
2.互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的 和 分别是另一个命题的 和 ,那么这两个命题称为互逆命题。
3.定理:从 或其他真命题出发,用推理方法判断为 的,并被选作判断命题真假的依据,这样的真命题叫做定理。
4.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,则这两个定理为 定理。
微拨炉:
任何一个命题都有逆命题,但一个定理不一定有逆定理。
高频考点1、三角形三边的关系
【范例】(1)下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是( )
A.1,2,6 B.2,2,4 C.1,2,3 D.2,3,4
(2)一个三角形的三条边长分别为2,3,,则的值可以为 。(只需填一个整数)
得分要领:
三角形三边关系主要能解决以下问题:
1.判断三条线段能否组成三角形
在已知的三条线段中,如果较短的两条线段之和大于最长的第三条线段,那么这三条线段能组成一个三角形,否则不能组成一个三角形。
2.确定第三边的取值范围
设三角形的两边长为,则第三边长必须满足条件:。由此便可确定第三边长的范围。
【考题回放】
1.已知三角形的两边长分别是3和8,则该三角形第三边的长可能是( )
A.5 B.10 C.11 D.12
2.下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )
A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11
3.有3cm,6cm,8cm,9cm的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm,则它的周长为 cm。
高频考点2、三角形内角和定理及其推论
【范例】如图,在△中,,,平分,
则的度数是( )
A.85 B.80 C.75 D.70
得分要领:
三角形内角和定理,是已知三角形两角求第三个角的重要依据。
【考题回放】
1.如图,∥,,,
则的大小为( )
A.17 B.62 C.63 D.73
2.如图所示,将含有30角的三角板的直角顶点放在相互平行的两
条直线其中一条上,若,则的度数为( )
A.10 B.20 C.25 D.30
3.如图,把一直尺放置在一个三角形纸片上,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
高频考点3、多边形的内角和与外角和
【范例】(1)如图,一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后,
得到一个内角和为2340的新多边形,则原多边形的边数为( )
A.13 B.14 C.15 D.16
(2)若一个正多边形的一个内角等于135,那么这个多边形是正 边形。
得分要领:
应用多边形的内角和与外角和定理,主要解决的问题:
1.已知边数求内角和。
2.已知内角和求边数。
3.已知边数,求正多边形的每一个内角或外角。
【考题回放】
1.五边形的内角和是( )
A.180 B.360 C.540 D.600
2.内角和与外角和相等的多边形的边数是 。
3.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180,则它的边数是 。
高频考点4、判断命题的真假
【范例】下列命题中,假命题是( )
A.对顶角相等 B.三角形两边的和小于第三边
C.菱形的四条边都相等 D.多边形的外角和等于360
得分要领:
1.此题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题。判断命题真假的前提是要熟悉有关定义和定理。
2.分析一个命题是否为真命题,需要分析从题设出发是否能推理论证推出结论。判断一个命题是假命题,只要举一个反例即可。
【考题回放】
1.下列命题是真命题的是( )
A.无限小数是无理数
B.相反数等于它本身的数是0和1
C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D.等边三角形既是中心对称图形,又是轴对称图形
2.命题“相等的角是对顶角”是 命题(填“真”或“假”)。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长是为( )
A.17 B.15 C.13 D.13或17
解:选D。当等腰三角形的腰为7,底为3时,
它的周长为:7+7+3=17………………①
当等腰三角形的腰为3,底为7时,它的周长
为:3+3+7=13…………………………②
那它的周长为13或17…………………③
【规避策略】
1.分类讨论。在没有明确给出的边长是底边还是腰时,需要分两种情况讨论。
2.合理取舍。要结合三角形三边关系定理进行判断,对不能组成三角形的情况应舍去。
【实战演练】
1.已知一个多边形的内角和等于900,则这个多边形的边数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.已知三角形三边长分别为2,,13,若为正整数,则这样的三角形个数为( )
A.2 B.3 C.5 D.13
3.
现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知,如图,与相交于点,∥,如果
,,那么为( )
A.40 B.50
C.60 D.70
5.如图,将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后,( )
A.225 B. 235
C. 270 D.与虚线的位置有关
6.将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中的度数为( )
A.75 B.95 C.105 D.120
7.用等腰直角三角板画,并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转22,则三角板的斜边与射线的夹角的度数为 。
第7题 第8题 第9题
8.如图,,,,的度数是 。
9.如图,过正五边形的顶点作直线∥,则 。
10.如图,小陈从点出发,前进5米后向右转20,再前进5米后又向右转20,……,这样一直走下去,他第一次回到出发点时一共走了 。
第10题 第11题
11.将一副直角三角板如图摆放,点在上,经过点。已知,。
,,则 。
【限时小测】建议用时30分钟。总分40分
一、选择题(每小题3分,共15分)
1.在等腰△中,,其周长为20cm,则边的取值范围是( )
A.1cm4cm B.5cm10cm
C.4cm8cm D.4cm10cm
2.如图,是△的有平分线,于点,若,,的度数是( )
A.10 B.12 C.15 D.18
3.为估计池塘两岸间的距离,小明在池塘一侧选取了一点,测得m,m,那么间的距离不可能是( )
A.5m B.15m C.20m D.28m
4.如图,△中,为边上的中线,为边上的中线,
为边上的中线,则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
5.如图,已知直线∥∥∥∥,相邻两条平行直线间的距离相等且为1,如果四边形的四个顶点在平行直线上,且,,则四边形的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.如图所示,若去掉四边形一个50的角得到一个五边形,则 。
7.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边长为 。
8.如图,三条直线两两相交,若,,则的度数是 。
三、解答题(共23分)
9.(10分)一个多边形的内角和与某一个外角度数的总和为1350,求这个多边形的边数。
【培优训练】
10.(13分)如图,在△中,三角形的外角和的平分线交于点。
(1)若,求的度数。
(2)将(1)中的“”去掉,探索与之间有什么关系,并说明理由。