中考数学试卷分类汇编55三角形全等1 57页

‎2013中考全国100份试卷分类汇编 全等三角形 ‎1、（2013陕西）如图，在四边形中，对角线AB=AD，CB=CD，‎ B C D A O 第7题图 若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 考点：全等三角形的判定。‎ 解析：AB=AD，CB=CD，AC公用，因此△ABC≌△ADC（SSS），‎ 所以BAO=DAO，BCO=DCO，‎ 所以△BAO≌△DAO（SAS），‎ ‎△BCO≌△DCO（SAS），故选C ‎2、（2013•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（　　）个．‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎5‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．‎ 分析：‎ 通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．‎ ‎∵△AEF等边三角形，‎ ‎∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．X Kb1. Co m ‎∴∠BAE+∠DAF=30°．‎ 在Rt△ABE和Rt△ADF中，‎ ‎，‎ Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），‎ ‎∴BE=DF，①正确．‎ ‎∠BAE=∠DAF，‎ ‎∴∠DAF+∠DAF=30°，‎ 即∠DAF=15°②正确，‎ ‎∵BC=CD，‎ ‎∴BC﹣BE=CD﹣DF，‎ 及CE=CF，‎ ‎∵AE=AF，‎ ‎∴AC垂直平分EF．③正确．‎ 设EC=x，由勾股定理，得 EF=x，CG=x，AG=x，‎ ‎∴AC=，‎ ‎∴AB=，‎ ‎∴BE=﹣x=，‎ ‎∴BE+DF=x﹣x≠x，④错误，‎ ‎∵S△CEF=，‎ S△ABE==，‎ ‎∴2S△ABE==S△CEF，⑤正确．‎ 综上所述，正确的有4个，故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．‎ ‎3、（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）w W w .x K b 1.c o M ‎　‎ A．‎ BC=EC，∠B=∠E B．‎ BC=EC，AC=DC C．‎ BC=DC，∠A=∠D D．‎ ‎∠B=∠E，∠A=∠D 考点：‎ 全等三角形的判定．‎ 分析：‎ 根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．‎ 解答：‎ 解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；‎ B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；‎ C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；‎ D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎4、（2013•湘西州）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：2‎ B．‎ ‎1：3‎ C．‎ ‎1：4‎ D．‎ ‎1：5‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 分析：‎ 根据平行四边形性质得出AD=BC，AD∥BC，推出△EDF∽△BCF，得出△EDF与△BCF的周长之比为，根据BC=AD=2DE代入求出即可．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，AD∥BC，‎ ‎∴△EDF∽△BCF，‎ ‎∴△EDF与△BCF的周长之比为，‎ ‎∵E是AD边上的中点，‎ ‎∴AD=2DE，‎ ‎∵AD=BC，‎ ‎∴BC=2DE，‎ ‎∴△EDF与△BCF的周长之比1：2，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，相似三角形的周长之比等于相似比．‎ ‎5、（2013•绥化）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：‎ ‎①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），‎ 其中结论正确的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；‎ ‎②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；‎ ‎③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；‎ ‎④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，‎ ‎∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，‎ ‎∵在△BAD和△CAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAD≌△CAE（SAS），‎ ‎∴BD=CE，本选项正确；‎ ‎②∵△BAD≌△CAE，‎ ‎∴∠ABD=∠ACE，‎ ‎∵∠ABD+∠DBC=45°，‎ ‎∴∠ACE+∠DBC=45°，‎ ‎∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，‎ 则BD⊥CE，本选项正确；‎ ‎③∵△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=45°，‎ ‎∴∠ABD+∠DBC=45°，‎ ‎∵∠ABD=∠ACE ‎∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；‎ ‎④∵BD⊥CE，‎ ‎∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2，‎ ‎∵△ADE为等腰直角三角形，‎ ‎∴DE=AD，即DE2=2AD2，‎ ‎∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，‎ 而BD2≠2AB2，本选项错误，‎ 综上，正确的个数为3个．‎ 故选C 点评：‎ 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎6、（2013安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）‎ ‎　 A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 考点：全等三角形的判定．‎ 分析：求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．‎ 解答：解：∵AE=CF，‎ ‎∴AE+EF=CF+EF，‎ ‎∴AF=CE，‎ A．∵在△ADF和△CBE中 ‎∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；‎ B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；‎ C．∵在△ADF和△CBE中 ‎∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；‎ D．∵AD∥BC，‎ ‎∴∠A=∠C，‎ ‎∵在△ADF和△CBE中 ‎∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．　‎ ‎7、（2013台湾、18）附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（　　）‎ ‎　 A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF 考点：全等三角形的判定．‎ 分析：根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可．‎ 解答：解：根据图象可知△ACD和△ADE全等，‎ 理由是：∵根据图形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，‎ ‎∴△ACD≌△AED，‎ 即△ACD和△ADE全等，‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的观察图形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．　‎ ‎8、（2013•娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　∠B=∠C或AE=AD　（添加一个条件即可）．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定．‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等或添加一个角从而利用AAS来判定其全等．‎ 解答：‎ 解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．‎ 故填∠B=∠C或AE=AD．‎ 点评：‎ 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．‎ ‎9、（2013•郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是　∠B=∠C（答案不唯一）　（只写一个条件即可）．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定．3718684‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS进行全等的判定，答案不唯一．‎ 解答：‎ 解：添加∠B=∠C．‎ 在△ABE和△ACD中，∵，‎ ‎∴△ABE≌△ACD（AAS）．‎ 故答案可为：∠B=∠C．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，解答本题需要同学们熟练掌握三角形全等的几种判定定理．‎ ‎10、（2013•白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为　AC=CD　．（答案不唯一，只需填一个）‎ 考点：‎ 全等三角形的判定．‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 可以添加条件AC=CD，再由条件∠BCE=∠ACD，可得∠ACB=∠DCE，再加上条件CB=EC，可根据SAS定理证明△ABC≌△DEC．‎ 解答：‎ 解：添加条件：AC=CD，‎ ‎∵∠BCE=∠ACD，‎ ‎∴∠ACB=∠DCE，‎ 在△ABC和△DEC中，‎ ‎∴△ABC≌△DEC（SAS），‎ 故答案为：AC=CD（答案不唯一）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎11、（2013•绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件　AE=CB　，使得△EAB≌△BCD．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定．‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 可以根据全等三角形的不同的判定方法添加不同的条件．‎ 解答：‎ 解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，‎ ‎∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，‎ 若利用“HL”，可添加EB=BD，‎ 若利用“ASA”或“AAB”，可添加∠EBD=90°，‎ 若添加∠E=∠DBC，看利用“AAS”证明．‎ 综上所述，可添加的条件为AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．‎ 故答案为：AE=CB．‎ 点评：‎ 本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．‎ ‎12、（2013•巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是　CA=FD　．（只需写出一个）‎ 考点：‎ 全等三角形的判定．‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 可选择添加条件后，能用SAS进行全等的判定，也可以选择AAS进行添加．‎ 解答：‎ 解：添加CA=FD，可利用SAS判断△ABC≌△DEF．‎ 故答案可为CA=FD．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．‎ ‎13、（2013•天津）如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段　AC=BD（答案不唯一）　．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质．3718684‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可．‎ 解答：‎ 解：∵在△ABC和△BAD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△BAD（AAS），‎ ‎∴AC=BD，AD=BC．‎ 故答案为：AC=BD（答案不唯一）．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质，是基础题，关键在于公共边AB的应用，开放型题目，答案不唯一．‎ ‎14、（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．‎ 求证：∠A=∠B．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质．3718684‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．‎ 解答：‎ 证明：∵C是AB的中点，‎ ‎∴AC=BC，‎ 在△ACD和△BCE中，，‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SSS），‎ ‎∴∠A=∠B．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．‎ ‎15、（2013•昆明）已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．‎ 求证：AB=CD．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 首先根据AB∥CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，结合OA=OD，可知证明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD．‎ 解答：‎ 证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠B=∠C，∠A=∠D，‎ ‎∵在△AOB和△DOC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOB≌△DOC（SSA），‎ ‎∴AB=CD．‎ 点评：‎ 此题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平行线的性质，此题基础题，比较简单．‎ ‎16、（2013•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．3718684‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论．‎ 解答：‎ 证明：∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ 在△ABD与△ACE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SAS），‎ ‎∴AD=AE．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到∠B=∠C．‎ ‎17、（2013凉山州）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．‎ 求证：FD=BE．‎ 考点：全等三角形的判定与性质；中心对称．‎ 专题：证明题．‎ 分析：根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可．‎ 解答：证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，‎ ‎∴OB=OD，OA=OC，‎ ‎∵AF=CE，‎ ‎∴OF=OE，‎ ‎∵在△DOF和△BOE中 ‎∴△DOF≌△BOE（SAS），‎ ‎∴FD=BE．‎ 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，中心对称的应用，主要考查学生的推理能力．　‎ ‎18、（13年安徽省4分、14）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在A，处，给出以下判断：‎ ‎（1）当四边形A，CDF为正方形时，EF=‎ ‎（2）当EF=时，四边形A，CDF为正方形 ‎（3）当EF=时，四边形BA，CD为等腰梯形；‎ ‎（4）当四边形BA，CD为等腰梯形时，EF=。‎ ‎ 其中正确的是 （把所有正确结论序号都填在横线上）。‎ ‎19、（2013•白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．‎ ‎（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．‎ 考点：‎ 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；‎ ‎（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．‎ 解答：‎ 解：（1）BD=CD．‎ 理由如下：∵AF∥BC，‎ ‎∴∠AFE=∠DCE，‎ ‎∵E是AD的中点，‎ ‎∴AE=DE，‎ 在△AEF和△DEC中，，‎ ‎∴△AEF≌△DEC（AAS），‎ ‎∴AF=CD，‎ ‎∵AF=BD，‎ ‎∴BD=CD；‎ ‎（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．‎ 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，‎ ‎∴四边形AFBD是平行四边形，‎ ‎∵AB=AC，BD=CD，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴▱AFBD是矩形．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．‎ ‎20、（2013•鄂州）如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△ABF．‎ ‎（2）求△AEF的面积．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE=BF，进而证明出两三角形全等；‎ ‎（2）首先求出DE和CE的长度，再根据S△AEF=S正方形ABC D﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF得出结果．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AB=AD，∠=90°，DC=CB，‎ ‎∵E、F为DC、BC中点，‎ ‎∴DE=DC，BF=BC，‎ ‎∴DE=BF，‎ ‎∵在△ADE和△ABF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△ABF（SAS）；‎ ‎（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，‎ 且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2，‎ ‎∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF ‎=4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2‎ ‎=6．‎ 点评：‎ 本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大．‎ ‎21、（2013•广安）如图，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定．3718684‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 首先证明四边形AECF是平行四边形，即可得到AE=CF，AF=CF，再根据由三对边相等的两个三角形全等即可证明：△ABE≌△CDF．‎ 解答：‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AE∥CF，AD=BC，AB=CD，‎ ‎∵AE∥CF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∴AE=CF，AF=CF，‎ ‎∴BE=DE，‎ 在△ABE和△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（SSS）．‎ 点评：‎ 此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定的理解和掌握，难度不大，属于基础题．‎ ‎22、（2013鞍山）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．‎ ‎（1）求证：CE=CF；‎ ‎（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？‎ 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ 专题：证明题；探究型．‎ 分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．‎ ‎（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．‎ 解答：（1）证明：在正方形ABCD中，‎ ‎∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，‎ ‎∴△CBE≌△CDF（SAS）．‎ ‎∴CE=CF．（3分）‎ ‎（2）解：GE=BE+GD成立．（4分）‎ 理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，‎ ‎∴∠BCE=∠DCF，（5分）‎ ‎∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，（6分）‎ 又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．‎ ‎∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，‎ ‎∴△ECG≌△FCG（SAS）．‎ ‎∴GE=GF．（7分）‎ ‎∴GE=DF+GD=BE+GD．（8分）‎ 点评：本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．　‎ ‎23、（2013•玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．‎ 求证：△ABC≌△AED．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 首先根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AB=AE，∠C=∠D可证明△ABC≌△AED．‎ 解答：‎ 证明：∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，‎ 即∠BAC=∠EAD，‎ ‎∵在△ABC和△AED中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△AED（AAS）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎24、（2013•徐州）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC，交CD于点F．‎ ‎（1）求证：DE=BF；‎ ‎（2）连接EF，写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ 分析：‎ ‎（1）由平行四边形的性质和已知条件证明四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得到DE=BF；‎ ‎（2）连接EF，则图中所有的全等三角形有：△ADE≌△CBF，△DFE≌△BEF．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴DC∥AB，‎ ‎∴∠CDE=∠AED，‎ ‎∵DE平分∠ADC，‎ ‎∴∠ADE=∠CDE，‎ ‎∴∠ADE=∠AED，‎ ‎∴AE=AD，‎ 同理CF=CB，又AD=CB，AB=CD，‎ ‎∴AE=CF，‎ ‎∴DF=BE，‎ ‎∴四边形DEBF是平行四边形，‎ ‎∴DE=BF，‎ ‎（2）△ADE≌△CBF，△DFE≌△BEF．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的性质、角平分线的特点、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定，题目难度不大．‎ ‎25、(2013年武汉)如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．‎ 求证：∠A＝∠D．‎ 解析：证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．‎ ‎ 在△ABF和△DCE中，‎ ‎ ‎ ‎ ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D．‎ ‎26、(2013年广东湛江)如图，点在一条直线上，，‎ 求证：．‎ 证明：‎ ‎,‎ ‎△≌△‎ ‎27、（13年北京5分13）如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE。‎ 求证：BC=AE。‎ 解析：‎ ‎28、（2013鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．‎ 求证：（1）△AFD≌△CEB；‎ ‎（2）四边形ABCD是平行四边形．‎ 考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定．‎ 专题：证明题．‎ 分析：（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．‎ ‎（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．‎ 解答：证明：（1）∵DF∥BE，‎ ‎∴∠DFE=∠BEF．‎ 又∵AF=CE，DF=BE，‎ ‎∴△AFD≌△CEB（SAS）．‎ ‎（2）由（1）知△AFD≌△CEB，‎ ‎∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，‎ ‎∴AD∥BC．‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．‎ 点评：此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．　‎ ‎29、（2013四川宜宾）如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．‎ 考点：全等三角形的判定与性质．‎ 专题：证明题．‎ 分析：要证明BE=CD，把BE与CD分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用AAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．‎ 解答：证明：在△ABE和△ACD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ACD（AAS），‎ ‎∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）．‎ 点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法为：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角等隐含条件的运用．　‎ ‎30、（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．‎ ‎（1）求证：△ACD≌△AED；‎ ‎（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．‎ 分析：‎ ‎（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；‎ ‎（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，‎ ‎∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，‎ ‎∵在Rt△ACD和Rt△AED中 ‎∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；‎ ‎（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，‎ ‎∴∠DEB=90°，‎ ‎∵∠B=30°，‎ ‎∴BD=2DE=2．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．‎ ‎31、（2013杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．‎ 求证：△GAB是等腰三角形．‎ 考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．‎ 专题：证明题．‎ 分析：由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE=CF，利用SAS，易证得△ADE≌△BCF，即可得∠DAE=∠CBF，则可得∠GAB=∠GBA，然后由等角对等边，证得：△GAB是等腰三角形．‎ 解答：证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，‎ ‎∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，‎ 在△ADE和△BCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△BCF（SAS），‎ ‎∴∠DAE=∠CBF，‎ ‎∴∠GAB=∠GBA，‎ ‎∴GA=GB，‎ 即△GAB为等腰三角形．‎ 点评：此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．　‎ ‎32、（2013年佛山市）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推 A B C D E F 第22题图 理的方法证实．‎ (1) 叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；‎ (2) 证明推论AAS．‎ 要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、‎ 求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．‎ 分析：（1）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．‎ ‎（2）根据三角形内角和定理和全等三角形的判断定理ASA来证明．‎ 解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．‎ ‎（2）已知：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF．‎ 求证：△ABC≌△DEF．‎ 证明：如图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），‎ ‎∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代换）．‎ 又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），‎ ‎∴∠B=∠E．‎ ‎∴在△ABC与△DEF中，，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（ASA）．‎ 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎33、（2013•内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．‎ 解答：‎ 证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC=BC，CD=CE，‎ ‎∵∠ACD=∠DCE=90°，‎ ‎∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，‎ ‎∴∠ACE=∠BCD，‎ 在△ACE和△BCD中，，‎ ‎∴△ACE≌△BCD（SAS），‎ ‎∴BD=AE．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．‎ ‎34、（2013•嘉兴）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．‎ ‎（1）求证：△ABE≌DCE；‎ ‎（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质．‎ 分析：‎ ‎（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；‎ ‎（2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵在△ABE和△DCE中 ‎∴△ABE≌△DCE（AAS）；‎ ‎（2）解：∵△ABE≌△DCE，‎ ‎∴BE=EC，‎ ‎∴∠EBC=∠ECB，‎ ‎∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，‎ ‎∴∠EBC=25°．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．‎ ‎35、（2013福省福州17）（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；‎ 考点：全等三角形的判定与性质．‎ 分析：（1）求出∠CAB=∠DAB，根据SAS推出△ABC≌△ABD即可；‎ 解答：（1）证明：∵AB平分∠CAD，‎ ‎∴∠CAB=∠DAB，‎ 在△ABC和△ABD中 ‎∴△ABC≌△ABD（SAS），‎ ‎∴BC=BD．‎ 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力．　‎ ‎36、（2013年广州市）已知四边形ABCD是平行四边形（如图9），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD.‎ （1） 利用尺规作出△AˊBD.（要求保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）设D Aˊ 与BC交于点E，求证：△BAˊE≌△DCE. ‎ 分析：（1）首先作∠A′BD=∠ABD，然后以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，连接BA′，DA′，即可作出△A′BD．‎ ‎（2）由四边形ABCD是平行四边形与折叠的性质，易证得：∠BA′D=∠C，A′B=CD，然后由AAS即可判定：△BA′E≌△DCE．‎ 解：（1）如图：①作∠A′BD=∠ABD，‎ ‎②以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，‎ ‎③连接BA′，DA′，‎ 则△A′BD即为所求；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，∠BAD=∠C，‎ 由折叠的性质可得：∠BA′D=∠BAD，A′B=AB，‎ ‎∴∠BA′D=∠C，A′B=CD，‎ 在△BA′E和△DCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BA′E≌△DCE（AAS）．‎ 点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎37、（2013•郴州）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．‎ 考点：‎ 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．3718684‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 首先根据平行线的性质可得∠BEC=∠DFA，再加上条件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可证明△ADF≌△CBE，再根据全等三角形的性质可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．‎ 解答：‎ 证明：∵BE∥DF，‎ ‎∴∠BEC=∠DFA，‎ 在△ADF和△CBE中，‎ ‎∴△ADF≌△CBE（AAS），‎ ‎∴BE=DF，‎ 又∵BE∥DF，‎ ‎∴四边形DEBF是平行四边形．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．‎ ‎38、（2013•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE．‎ ‎（1）求证：△BEC≌△DFA；‎ ‎（2）求证：四边形AECF是平行四边形．‎ 考点：‎ 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据E、F分别是边AB、CD的中点，可得出BE=DF，继而利用SAS可判断△BEC≌△DFA；‎ ‎（2）由（1）的结论，可得CE=AF，继而可判断四边形AECF是平行四边形．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB=CD，AD=BC，‎ 又∵E、F分别是边AB、CD的中点，‎ ‎∴BE=DF，‎ ‎∵在△BEC和△DFA中，‎ ‎，‎ ‎∴△BEC≌△DFA（SAS）．‎ ‎（2）由（1）得，CE=AF，AD=BC，‎ 故可得四边形AECF是平行四边形．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形的对边相等，四角都为90°，及平行四边形的判定定理．‎ ‎39、（2013•呼和浩特）如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质．3718684‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB=∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC，继而可得出结论．‎ 解答：‎ 证明：∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠1+ECA=∠2+∠ACE，‎ 即∠ACB=∠DCE，‎ 在△ABC和△DEC中，‎ ‎∵‎ ‎∴△ABC≌△DEC（SAS）．‎ ‎∴DE=AB．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形全等的判定方法和性质，由∠1=∠2得∠ACB=∠DCE是解决本题的关键，要求我们熟练掌握全等三角形的几种判定定理．‎ ‎40、（2013•新疆）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．‎ ‎（1）求证：△AOE≌△COF；‎ ‎（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．‎ 分析：‎ ‎（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；‎ ‎（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC是，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AO=OC，AB∥CD．‎ ‎∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．‎ ‎∴△AOE≌△COF（ASA）；‎ ‎（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，‎ 理由如下：‎ 由（1）可知△AOE≌△COF，‎ ‎∴OE=OF，‎ ‎∵AO=CO，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵EF=AC，‎ ‎∴四边形AECF是矩形．‎ 点评：‎ 本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题 ‎41、（2013菏泽）（1）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．‎ ‎①求证：△ABE≌△CBD；‎ ‎②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．‎ 考点：全等三角形的判定与性质．‎ 专题：证明题．‎ 分析：（1）①求出∠ABE=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBD全等即可；‎ ‎②先根据等腰直角三角形的锐角都是45°求出∠CAB，再求出∠BAE，然后根据全等三角形对应角相等求出∠BCD，再根据直角三角形两锐角互余其解即可；‎ 解答：（1）①证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，‎ ‎∴∠ABE=∠CBD=90°，‎ 在△ABE和△CBD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CBD（SAS）；‎ ‎②解：∵AB=CB，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠CAB=45°，‎ ‎∵∠CAE=30°，‎ ‎∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°，‎ ‎∵△ABE≌△CBD，‎ ‎∴∠BCD=∠BAE=15°，‎ ‎∴∠BDC=90°﹣∠BCD=90°﹣15°=75°；‎ 点评：本题（1）考查了全等三角形的判定与性质，是基础题；‎ ‎42、（2013•南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．‎ 考点：‎ 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）首先根据菱形的性质，得到AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，结合点E、F分别是边BC、AD的中点，即可证明出△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）首先证明出△ABC是等边三角形，结合题干条件在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，即可求出AE的长．‎ 解答：‎ 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，‎ ‎∵点E、F分别是边BC、AD的中点，‎ ‎∴BE=DF，‎ 在△ABE和△CDF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（SAS）；‎ ‎（2）∵∠B=60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∵点E是边BC的中点，‎ ‎∴AE⊥BC，‎ 在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，‎ sin60°==，‎ 解得AE=2．‎ 点评：‎ 本题主要考查菱形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质、全等三角形的证明以及等边三角形的性质，此题难度不大，是一道比较好的中考试题．‎ ‎43、（2013•淮安）如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点0作直线，分别交AD、BC于点E、F．‎ 求证：△AOE≌△COF．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定．3718684‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 据平行四边形的性质可知：OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，所以△AOE≌△COF．‎ 解答：‎ 证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠EAO=∠FCO．‎ 又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，‎ 在△AOE和△COF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COF．‎ 点评：‎ 此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题．‎ ‎44、（2013聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．‎ 考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．‎ 专题：证明题．‎ 分析：过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证，‎ 解答：证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，‎ ‎∵CE⊥AD，‎ ‎∴∠D+∠DCE=90°，‎ ‎∵∠BCD=90°，‎ ‎∴∠BCF+∠DCE=90°，‎ ‎∴∠BCF=∠D，‎ 在△BCF和△CDE中，，‎ ‎∴△BCF≌△CDE（AAS），‎ ‎∴BF=CE，‎ 又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，‎ ‎∴四边形AEFB是矩形，‎ ‎∴AE=BF，‎ ‎∴AE=CE．‎ 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键．　‎ ‎45、（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．‎ ‎（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．‎ ‎（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；‎ ‎（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．‎ 考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．‎ 分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE；‎ ‎（2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形；‎ ‎（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD．‎ 解答：（1）证明：∵在△ABC和△ADC中，‎ ‎∴△ABC≌△ADC（SSS），‎ ‎∴∠BAC=∠DAC，‎ ‎∵在△ABF和△ADF中，‎ ‎∴△ABF≌△ADF，‎ ‎∴∠AFD=∠AFB，‎ ‎∵∠AFB=∠AFE，‎ ‎∴∠AFD=∠CFE；‎ ‎（2）证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAC=∠ACD，‎ 又∵∠BAC=∠DAC，‎ ‎∴∠CAD=∠ACD，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∵AB=AD，CB=CD，‎ ‎∴AB=CB=CD=AD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形；‎ ‎（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，‎ 理由：∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，‎ 在△BCF和△DCF中，‎ ‎∴△BCF≌△DCF（SAS），‎ ‎∴∠CBF=∠CDF，‎ ‎∵BE⊥CD，‎ ‎∴∠BEC=∠DEF=90°，‎ ‎∴∠EFD=∠BCD．‎ 点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．　‎ ‎46、（2013•攀枝花）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF 求证：AE=CF．w w w .x k b 1.c o m 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．3718684‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 求出DE=BF，根据平行四边形性质求出AD=BC，AD∥BC，推出∠ADE=∠CBF，证出△ADE≌△CBF即可．‎ 解答：‎ 证明：∵BE=DF，‎ ‎∴BE﹣EF=DF﹣EF，‎ ‎∴DE=BF，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，AD∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠CBF，‎ 在△ADE和△CBF中 ‎∴△ADE≌△CBF（SAS），‎ ‎∴AE=CF．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．‎ ‎　‎ ‎47、（2013•雅安）在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CBF；‎ ‎（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF为菱形．‎ 考点：‎ 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC，∠A=∠C，再加上条件AE=CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF；‎ ‎（2）首先证明DF=BE，再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形，又DF=FB，可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，∠A=∠C，‎ ‎∵在△ADE和△CBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（SAS）；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB=CD，‎ ‎∵AE=CF，‎ ‎∴DF=EB，‎ ‎∴四边形DEBF是平行四边形，‎ 又∵DF=FB，‎ ‎∴四边形DEBF为菱形．‎ 点评：‎ 此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四边形的性质．‎ ‎48、（2013•娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．‎ ‎（1）求证：AM=AN；‎ ‎（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．‎ 考点：‎ 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．‎ 分析：‎ ‎（1）根据旋转的性质得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，进而得出△ABM≌△AFN得出答案即可；‎ ‎（2）利用旋转的性质得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四边形ABPF是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），‎ ‎∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，‎ 在△ABM和△AFN中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABM≌△AFN（ASA），‎ ‎∴AM=AN；‎ ‎（2）解：当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形．‎ 理由：连接AP，‎ ‎∵∠α=30°，‎ ‎∴∠FAN=30°，‎ ‎∴∠FAB=120°，‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴AF∥BP，‎ ‎∴∠F=∠FPC=60°，‎ ‎∴∠FPC=∠B=60°，‎ ‎∴AB∥FP，‎ ‎∴四边形ABPF是平行四边形，‎ ‎∵AB=AF，‎ ‎∴平行四边形ABPF是菱形．新|课 | 标|第 |一| 网 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和全等三角形的判定等知识，根据旋转前后图形大小不发生变化得出是解题关键．‎ ‎49、（2013•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．‎ ‎（1）求证：△AOE≌△COF；‎ ‎（2）若∠EOD=30°，求CE的长．‎ 考点：‎ 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等；‎ ‎（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AO=CO，AD∥BC，‎ ‎∴∠OAE=∠OCF，‎ 在△AOE和△COF中，，‎ ‎∴△AOE≌△COF（ASA）；‎ ‎（2）解：∵∠BAD=60°，‎ ‎∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，‎ ‎∵∠EOD=30°，‎ ‎∴∠AOE=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴∠AEF=180°﹣∠BOD﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°，‎ ‎∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，‎ ‎∴OD=AD=×2=1，‎ ‎∴AO===，‎ ‎∴AE=CF=×=，‎ ‎∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，‎ ‎∴高EF=2×=，‎ 在Rt△CEF中，CE===．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，（2）求出△CEF是直角三角形是解题的关键，也是难点．‎ ‎50、（2013•莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．‎ ‎（1）证明DE∥CB；‎ ‎（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．‎ 考点：‎ 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．‎ 分析：‎ ‎（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB；‎ ‎（2）当AC=或AB=‎2AC时，四边形DCBE是平行四边形．若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出AC=或AB=‎2AC．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结CE．‎ ‎∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，‎ ‎∴CE=AB=AE．‎ ‎∵△ACD是等边三角形，‎ ‎∴AD=CD．‎ 在△ADE与△CDE中，，‎ ‎∴△ADE≌△CDE（SSS），‎ ‎∴∠ADE=∠CDE=30°．‎ ‎∵∠DCB=150°，‎ ‎∴∠EDC+∠DCB=180°．‎ ‎∴DE∥CB．‎ ‎（2）解：∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．‎ ‎∴∠B=30°．‎ 在Rt△ACB中，sinB=，sin30°=，AC=或AB=‎2AC．‎ ‎∴当AC=或AB=‎2AC时，四边形DCBE是平行四边形．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．‎ ‎51、（2013•遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：‎ ‎（1）△ADE≌△CDF；‎ ‎（2）四边形ABCD是菱形．‎ 考点：‎ 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）首先根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定得出即可；‎ ‎（2）根据菱形的判定得出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC ‎∴∠AED=∠CFD=90°，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴∠A=∠C，‎ ‎∵在△AED和△CFD中 ‎∴△AED≌△CFD（AAS）；‎ ‎（2）∵△AED≌△CFD，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ 点评：‎ 此题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出∠A=∠C是解题关键．‎ ‎52、（2013•毕节地区）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△ABF；‎ ‎（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　A　 点，按顺时针方向旋转　90　 度得到；‎ ‎（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．‎ 考点：‎ 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；‎ ‎（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；‎ ‎（3）先利用勾股定理可计算出AE=10，在根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，‎ 而F是DCB的延长线上的点，‎ ‎∴∠ABF=90°，‎ 在△ADE和△ABF中 ‎，‎ ‎∴△ADE≌△ABF（SAS）；‎ ‎（2）解：∵△ADE≌△ABF，‎ ‎∴∠BAF=∠DAE，‎ 而∠DAE+∠EBF=90°，‎ ‎∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，‎ ‎∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；‎ 故答案为A、90；‎ ‎（3）解：∵BC=8，‎ ‎∴AD=8，‎ 在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，‎ ‎∴AE==10，‎ ‎∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到，‎ ‎∴AE=AF，∠EAF=90°，‎ ‎∴△AEF的面积=AE2=×100=50（平方单位）．‎ 点评：‎ 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．‎ ‎53、（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：‎ 过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E ‎∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．‎ ‎∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．‎ ‎∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．‎ 又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．‎ 又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．‎ ‎（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．‎ ‎（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD=　2　，CB=　+1　．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=CB，根据BE=AB﹣AE即可证得；‎ ‎（2）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．‎ 解答：‎ ‎（1）如图（2）：AB﹣BD=CB．‎ 证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，‎ ‎∵∠ACD=90°，‎ ‎∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，‎ ‎∴∠BCD=∠ACE．‎ ‎∵DB⊥MN，‎ ‎∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，‎ ‎∵∠AFC=∠BFD，‎ ‎∴∠CAE=∠D，‎ 又∵AC=DC，‎ ‎∴△ACE≌△DCB，‎ ‎∴AE=DB，CE=CB，‎ ‎∴△ECB为等腰直角三角形，‎ ‎∴BE=CB．‎ 又∵BE=AB﹣AE，‎ ‎∴BE=AB﹣BD，‎ ‎∴AB﹣BD=CB．‎ 如图（3）：BD﹣AB=CB．‎ 证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，‎ ‎∵∠ACD=90°，‎ ‎∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，‎ ‎∴∠BCD=∠ACE．‎ ‎∵DB⊥MN，‎ ‎∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，‎ ‎∵∠AFB=∠CFD，‎ ‎∴∠CAE=∠D，‎ 又∵AC=DC，‎ ‎∴△ACE≌△DCB，‎ ‎∴AE=DB，CE=CB，‎ ‎∴△ECB为等腰直角三角形，‎ ‎∴BE=CB．‎ 又∵BE=AE﹣AB，‎ ‎∴BE=BD﹣AB，‎ ‎∴BD﹣AB=CB．‎ ‎（2）如图（1），过点B作BH⊥CD于点H，‎ ‎∵∠ABC=45°，DB⊥MN，‎ ‎∴∠CBD=135°，‎ ‎∵∠BCD=30°，‎ ‎∴∠CBH=60°，‎ ‎∴∠DBH=75°，‎ ‎∴∠D=15°，‎ ‎∴BH=BD•sin45°，‎ ‎∴△BDH是等腰直角三角形，‎ ‎∴DH=BH=BD=×=1，‎ ‎∵∠BCD=30°‎ ‎∴CD=2DH=2，‎ ‎∴CH==，‎ ‎∴CB=CH+BH=+1；‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．‎ ‎54、（2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．‎ ‎（1）求证：BE=CE；‎ ‎（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．3718684‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；‎ ‎（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，‎ ‎∴∠BAE=∠EAC，‎ 在△ABE和△ACE中，，‎ ‎∴△ABE≌△ACE（SAS），‎ ‎∴BE=CE；‎ ‎（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，‎ ‎∴△ABF为等腰直角三角形，‎ ‎∴AF=BF，‎ ‎∵AB=AC，点D是BC的中点，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∴∠EAF+∠C=90°，‎ ‎∵BF⊥AC，‎ ‎∴∠CBF+∠C=90°，‎ ‎∴∠EAF=∠CBF，‎ 在△AEF和△BCF中，，‎ ‎∴△AEF≌△BCF（ASA）．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键．‎ ‎55、（2013•湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：‎ 如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．‎ ‎（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：‎ 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．‎ ‎（2）特殊位置，证明结论 若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．‎ ‎（3）知识迁移，探索新知 若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质．‎ 分析：‎ ‎（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根据AAS证△BPO≌△PDE即可；‎ ‎（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；‎ ‎（3）设OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵PB=PD，‎ ‎∴∠2=∠PBD，‎ ‎∵AB=BC，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠C=45°，‎ ‎∵BO⊥AC，‎ ‎∴∠1=45°，‎ ‎∴∠1=∠C=45°，‎ ‎∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∵BO⊥AC，DE⊥AC，‎ ‎∴∠BOP=∠PED=90°，‎ 在△BPO和△PDE中 ‎∴△BPO≌△PDE（AAS）；‎ ‎（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，‎ ‎∵BP平分∠ABO，‎ ‎∴∠ABP=∠3，‎ ‎∴∠ABP=∠4，‎ 在△ABP和△CPD中 ‎∴△ABP≌△CPD（AAS），‎ ‎∴AP=CD．‎ ‎（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．‎ 理由是：设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，‎ 则AP=2x+x=3x，‎ 由（2）知BO=PE，‎ PE=2x，CE=2x﹣x=x，‎ ‎∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，‎ ‎∴DE=x，由勾股定理得：CD=x，‎ 即AP=3x，CD=x，‎ ‎∴CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力．‎ ‎56、（2013•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF ‎（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；‎ ‎（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；‎ ‎（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；‎ ‎①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；‎ ‎②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．‎ 考点：‎ 四边形综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；‎ ‎（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；‎ ‎（3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=45°，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∵四边形ADEF是正方形，‎ ‎∴AD=AF，∠DAF=90°，‎ ‎∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，‎ ‎∴∠BAD=∠CAF，‎ 则在△BAD和△CAF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAD≌△CAF（SAS），‎ ‎∴BD=CF，‎ ‎∵BD+CD=BC，‎ ‎∴CF+CD=BC；‎ ‎（2）CF﹣CD=BC；‎ ‎（3）①CD﹣CF=BC ‎②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=45°，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∵四边形ADEF是正方形，‎ ‎∴AD=AF，∠DAF=90°，‎ ‎∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，‎ ‎∴∠BAD=∠CAF，‎ ‎∵在△BAD和△CAF中，‎ ‎∴△BAD≌△CAF（SAS），‎ ‎∴∠ACF=∠ABD，‎ ‎∵∠ABC=45°，‎ ‎∴∠ABD=135°，‎ ‎∴∠ACF=∠ABD=135°，‎ ‎∴∠FCD=90°，‎ ‎∴△FCD是直角三角形．‎ ‎∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O．‎ ‎∴DF=AD=4，O为DF中点．‎ ‎∴OC=DF=2．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键．‎ ‎57、（2013•烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．‎ ‎（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　AE∥BF　，QE与QF的数量关系式　QE=QF　；‎ ‎（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；‎ ‎（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．‎ 分析：‎ ‎（1）证△BFQ≌△AEQ即可；‎ ‎（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；‎ ‎（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）AE∥BF，QE=QF，‎ 理由是：如图1，∵Q为AB中点，‎ ‎∴AQ=BQ，‎ ‎∵BF⊥CP，AE⊥CP，‎ ‎∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，‎ 在△BFQ和△AEQ中 ‎∴△BFQ≌△AEQ（AAS），‎ ‎∴QE=QF，‎ 故答案为：AE∥BF，QE=QF．‎ ‎（2）QE=QF，‎ 证明：如图2，延长FQ交AE于D，‎ ‎∵AE∥BF，‎ ‎∴∠QAD=∠FBQ，‎ 在△FBQ和△DAQ中 ‎∴△FBQ≌△DAQ（ASA），‎ ‎∴QF=QD，‎ ‎∵AE⊥CP，‎ ‎∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，‎ ‎∴QE=QF=QD，‎ 即QE=QF．‎ ‎（3）（2）中的结论仍然成立，‎ 证明：如图3，‎ 延长EQ、FB交于D，‎ ‎∵AE∥BF，‎ ‎∴∠1=∠D，‎ 在△AQE和△BQD中 ‎，‎ ‎∴△AQE≌△BQD（AAS），‎ ‎∴QE=QD，‎ ‎∵BF⊥CP，‎ ‎∴FQ是斜边DE上的中线，‎ ‎∴QE=QF．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．‎ ‎58、（9-3全等与相似的综合与创新·2013东营中考）(本题满分10分) (1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.‎ ‎(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.‎ ‎(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.‎ ‎（第23题图）‎ A B C E D m ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎（图3）‎ m A B C D E A D E B F C m ‎23. (本题满分10分)分析：（1）因为DE=DA+AE，故通过证，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE.‎ ‎（2）成立，仍然通过证明，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD.‎ ‎（3）由得BD=AE，，与均等边三角形，得，FB=FA，所以，即，所以，所以FD=FE，，再根据，得，即，故是等边三角形.‎ 证明：(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m A B C E D m ‎（图1）‎ ‎∴∠BDA＝∠CEA=90°‎ ‎∵∠BAC＝90°‎ ‎∴∠BAD+∠CAE=90°‎ ‎∵∠BAD+∠ABD=90°‎ ‎∴∠CAE=∠ABD………………1分 又AB=AC ‎ ‎∴△ADB≌△CEA………………2分 ‎（图2）‎ m A B C D E ‎∴AE=BD，AD=CE ‎∴DE=AE+AD= BD+CE ………………3分 ‎(2)∵∠BDA =∠BAC=，‎ ‎∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—‎ ‎∴∠DBA=∠CAE………………4分 ‎∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC ‎∴△ADB≌△CEA………………5分 ‎∴AE=BD，AD=CE ‎ ‎∴DE=AE+AD=BD+CE………………6分 ‎（3）由（2）知，△ADB≌△CEA， ‎ BD=AE，∠DBA =∠CAE ‎∵△ABF和△ACF均为等边三角形 ‎∴∠ABF=∠CAF=60°‎ A D E B F C O m ‎（图3）‎ ‎∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ‎∴∠DBF=∠FAE………………8分 ‎∵BF=AF ‎∴△DBF≌△EAF………………9分 ‎∴DF=EF，∠BFD=∠AFE ‎∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°‎ ‎∴△DEF为等边三角形.………………10分 点拨：利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.‎ ‎59、（2013•常德压轴题）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．‎ ‎（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；‎ ‎（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；‎ ‎（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．‎ 考点：‎ 三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；‎ 证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，‎ ‎（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；‎ 解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；‎ ‎（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；‎ 证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证法一：‎ 如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC=BD，‎ ‎∴点B为线段AD的中点，‎ 又∵点M为线段AF的中点，‎ ‎∴BM为△ADF的中位线，‎ ‎∴BM∥CF．‎ 证法二：‎ 如答图1b，延长BM交EF于D，‎ ‎∵∠ABC=∠CEF=90°，‎ ‎∴AB⊥CE，EF⊥CE，‎ ‎∴AB∥EF，‎ ‎∴∠BAM=∠DFM，‎ ‎∵M是AF的中点，‎ ‎∴AM=MF，‎ ‎∵在△ABM和△FDM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABM≌△FDM（ASA），‎ ‎∴AB=DF，‎ ‎∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，‎ ‎∴BE=DE，‎ ‎∴△BDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠EBM=45°，‎ ‎∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，‎ ‎∴∠EBM=∠ECF，‎ ‎∴MB∥CF；‎ ‎（2）解法一：‎ 如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，‎ ‎∴点B为AD中点，又点M为AF中点，‎ ‎∴BM=DF．‎ 分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，‎ ‎∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，‎ ‎∴点E为FG中点，又点M为AF中点，‎ ‎∴ME=AG．‎ ‎∵CG=CF=a，CA=CD=a，‎ ‎∴AG=DF=a，‎ ‎∴BM=ME=×a=a．‎ 解法二：‎ ‎∵CB=a，CE=2a，‎ ‎∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，‎ ‎∵△ABM≌△FDM，‎ ‎∴BM=DM，‎ 又∵△BED是等腰直角三角形，‎ ‎∴△BEM是等腰直角三角形，‎ ‎∴BM=ME=BE=a；‎ ‎（3）证法一：‎ 如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC=BD，AC=CD，‎ ‎∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．‎ 延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，‎ ‎∴CE=EF=EG，CF=CG，‎ ‎∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．‎ 在△ACG与△DCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACG≌△DCF（SAS），‎ ‎∴DF=AG，‎ ‎∴BM=ME．‎ 证法二：‎ 如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，‎ ‎∵∠BCE=45°，‎ ‎∴∠ACD=45°×2+45°=135°‎ ‎∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，‎ ‎∴AB∥CF，‎ ‎∴∠BAM=∠DFM，‎ ‎∴M是AF的中点，‎ ‎∴AM=FM，‎ 在△ABM和△FDM中，，‎ ‎∴△ABM≌△FDM（ASA），‎ ‎∴AB=DF，BM=DM，‎ ‎∴AB=BC=DF，‎ ‎∵在△BCE和△DFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCE≌△DFE（SAS），‎ ‎∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，‎ ‎∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，‎ ‎∴△BDE是等腰直角三角形，‎ 又∵BM=DM，‎ ‎∴BM=ME=BD，‎ 故BM=ME．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎60、（13年安徽省14分、23压轴题）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。‎ ‎（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。‎ ‎（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：‎ ‎（3）在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由） X k B 1 . c o m ‎