2020年山东省滨州市中考数学试卷(含解析） 20页

‎2020年山东省滨州市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分36分．‎ ‎1．（3分）下列各式正确的是（　　）‎ A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5‎ ‎2．（3分）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（　　）‎ A．60° B．70° C．80° D．100°‎ ‎3．（3分）冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（　　）‎ A．1.1×10﹣9米 B．1.1×10﹣8米 C．1.1×10﹣7米 D．1.1×10﹣6米 ‎4．（3分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（　　）‎ A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）‎ ‎5．（3分）下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．（3分）如图，点A在双曲线y‎=‎‎4‎x上，点B在双曲线y‎=‎‎12‎x上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　）‎ 第20页（共20页）‎ A．4 B．6 C．8 D．12‎ ‎7．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 ‎ B．对角线互相垂直的矩形是正方形 ‎ C．对角线相等的菱形是正方形 ‎ D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 ‎8．（3分）已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：‎ ‎①平均数是5，②中位数是4，③众数是4，④方差是4.4，‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．（3分）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．15‎ ‎10．（3分）对于任意实数k，关于x的方程‎1‎‎2‎x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）‎ A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 ‎ C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 ‎11．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎12．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（　　）‎ 第20页（共20页）‎ A．‎1‎‎2‎‎3‎ B．‎1‎‎3‎‎3‎ C．‎1‎‎4‎‎3‎ D．‎‎1‎‎5‎‎3‎ 二、填空题：本大题共8个小题．每小题5分，满分40分．‎ ‎13．（5分）若二次根式x-5‎在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　．‎ ‎14．（5分）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为　 　．‎ ‎15．（5分）若正比例函数y＝2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为　 　．‎ ‎16．（5分）如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为　 　．‎ ‎17．（5分）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为　 　．‎ ‎18．（5分）若关于x的不等式组‎1‎‎2‎x-a＞0，‎‎4-2x≥0‎无解，则a的取值范围为　 　．‎ ‎19．（5分）观察下列各式：a1‎=‎‎2‎‎3‎，a2‎=‎‎3‎‎5‎，a3‎=‎‎10‎‎7‎，a4‎=‎‎15‎‎9‎，a5‎=‎‎26‎‎11‎，…，根据其中的规律可得an＝　 　（用含n的式子表示）．‎ ‎20．（5分）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2‎3‎、‎2‎、4，则正方形ABCD的面积为　 　．‎ 第20页（共20页）‎ 三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程．‎ ‎21．（10分）先化简，再求值：1‎-y-xx+2y÷‎x‎2‎‎-‎y‎2‎x‎2‎‎+4xy+4‎y‎2‎；其中x＝cos30°‎×‎‎12‎，y＝（π﹣3）0﹣（‎1‎‎3‎）﹣1．‎ ‎22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y‎=-‎‎1‎‎2‎x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．‎ ‎（1）求交点P的坐标；‎ ‎（2）求△PAB的面积；‎ ‎（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y‎=-‎‎1‎‎2‎x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．‎ ‎23．（12分）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．‎ ‎（1）求证：△PBE≌△QDE；‎ ‎（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．‎ ‎24．（13分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/‎ 第20页（共20页）‎ 千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．‎ ‎（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？‎ ‎（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？‎ ‎（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？‎ ‎25．（13分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA＝DE．‎ ‎（1）求证：直线CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：OA2＝DE•CE．‎ ‎26．（14分）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，‎-‎‎1‎‎2‎），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．‎ ‎（1）求这条抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；‎ ‎（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．‎ 第20页（共20页）‎ ‎2020年山东省滨州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分36分．‎ ‎1．（3分）下列各式正确的是（　　）‎ A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5‎ ‎【解答】解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5，‎ ‎∴选项A不符合题意；‎ B、∵﹣（﹣5）＝5，‎ ‎∴选项B不符合题意；‎ ‎ C、∵|﹣5|＝5，‎ ‎∴选项C不符合题意；‎ ‎ D、∵﹣（﹣5）＝5，‎ ‎∴选项D符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎2．（3分）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（　　）‎ A．60° B．70° C．80° D．100°‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠1＝∠CPF＝55°，‎ ‎∵PF是∠EPC的平分线，‎ ‎∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，‎ ‎∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，‎ 故选：B．‎ 第20页（共20页）‎ ‎3．（3分）冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（　　）‎ A．1.1×10﹣9米 B．1.1×10﹣8米 C．1.1×10﹣7米 D．1.1×10﹣6米 ‎【解答】解：110纳米＝110×10﹣9米＝1.1×10﹣7米．‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（　　）‎ A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）‎ ‎【解答】解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，‎ ‎∴点M的纵坐标为：﹣4，横坐标为：5，‎ 即点M的坐标为：（5，﹣4）．‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形；‎ 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；‎ 圆是轴对称图形，也是中心对称图形；‎ 则既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）如图，点A在双曲线y‎=‎‎4‎x上，点B在双曲线y‎=‎‎12‎x上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　）‎ 第20页（共20页）‎ A．4 B．6 C．8 D．12‎ ‎【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，‎ ‎∵点A在双曲线y‎=‎‎4‎x上，‎ ‎∴四边形AEOD的面积为4，‎ ‎∵点B在双曲线线y‎=‎‎12‎x上，且AB∥x轴，‎ ‎∴四边形BEOC的面积为12，‎ ‎∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 ‎ B．对角线互相垂直的矩形是正方形 ‎ C．对角线相等的菱形是正方形 ‎ D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 ‎【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形是真命题，故选项A不合题意；‎ B、对角线互相垂直的矩形是正方形是真命题，故选项B不合题意；‎ C、对角线相等的菱形是正方形是真命题，故选项C不合题意；‎ D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，故选项D符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎8．（3分）已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：‎ ‎①平均数是5，②中位数是4，③众数是4，④方差是4.4，‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 第20页（共20页）‎ ‎【解答】解：数据由小到大排列为3，4，4，5，9，‎ 它的平均数为‎3+4+4+5+9‎‎5‎‎=‎5，‎ 数据的中位数为4，众数为4，‎ 数据的方差‎=‎‎1‎‎5‎[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（9﹣5）2]＝4.4．‎ 所以A、B、C、D都正确．‎ 故选：D．‎ ‎9．（3分）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．15‎ ‎【解答】解：如图所示：∵直径AB＝15，‎ ‎∴BO＝7.5，‎ ‎∵OC：OB＝3：5，‎ ‎∴CO＝4.5，‎ ‎∴DC‎=DO‎2‎-CO‎2‎=‎6，‎ ‎∴DE＝2DC＝12．‎ 故选：C．‎ ‎10．（3分）对于任意实数k，关于x的方程‎1‎‎2‎x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）‎ A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 ‎ C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 ‎【解答】解：‎1‎‎2‎x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，‎ ‎△＝[﹣（k+5）]2﹣4‎×‎1‎‎2‎×‎（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，‎ 不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，‎ 即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，‎ 所以方程没有实数根，‎ 故选：B．‎ 第20页（共20页）‎ ‎11．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，‎ ‎∵‎-b‎2a=‎1，‎ ‎∴b＝﹣2a＜0，‎ ‎∴abc＜0，故①错误；‎ ‎②∵抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，‎ ‎∴b2＞4ac，故②正确；‎ ‎③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；‎ ‎④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，‎ ‎∴3a+c＞0，故④正确；‎ ‎⑤当x＝1时，y的值最小，此时，y＝a+b+c，‎ 而当x＝m时，y＝am2+bm+c，‎ 所以a+b+c≤am2+bm+c，‎ 故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，‎ ‎⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，‎ 故选：A．‎ ‎12．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（　　）‎ 第20页（共20页）‎ A．‎1‎‎2‎‎3‎ B．‎1‎‎3‎‎3‎ C．‎1‎‎4‎‎3‎ D．‎‎1‎‎5‎‎3‎ ‎【解答】解：∵EN＝1，‎ ‎∴由中位线定理得AM＝2，‎ 由折叠的性质可得A′M＝2，‎ ‎∵AD∥EF，‎ ‎∴∠AMB＝∠A′NM，‎ ‎∵∠AMB＝∠A′MB，‎ ‎∴∠A′NM＝∠A′MB，‎ ‎∴A′N＝2，‎ ‎∴A′E＝3，A′F＝2‎ 过M点作MG⊥EF于G，‎ ‎∴NG＝EN＝1，‎ ‎∴A′G＝1，‎ 由勾股定理得MG‎=‎2‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎=‎‎3‎，‎ ‎∴BE＝OF＝MG‎=‎‎3‎，‎ ‎∴OF：BE＝2：3，‎ 解得OF‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴OD‎=‎3‎-‎2‎‎3‎‎3‎=‎‎3‎‎3‎．‎ 故选：B．‎ 二、填空题：本大题共8个小题．每小题5分，满分40分．‎ ‎13．（5分）若二次根式x-5‎在实数范围内有意义，则x的取值范围为　x≥5　．‎ 第20页（共20页）‎ ‎【解答】解：要使二次根式x-5‎在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，‎ 解得：x≥5，‎ 故答案为：x≥5．‎ ‎14．（5分）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为　80°　．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，‎ ‎∴∠C＝∠B＝50°，‎ ‎∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．‎ 故答案为：80°．‎ ‎15．（5分）若正比例函数y＝2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为　y‎=‎‎2‎x　．‎ ‎【解答】解：当y＝2时，即y＝2x＝2，解得：x＝1，‎ 故该点的坐标为（1，2），‎ 将（1，2）代入反比例函数表达式y‎=‎kx并解得：k＝2，‎ 故答案为：y‎=‎‎2‎x．‎ ‎16．（5分）如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为　‎5‎‎5‎　．‎ ‎【解答】解：∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，‎ ‎∴AE‎=‎‎1‎‎2‎AB，EG＝BC；‎ 根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．‎ ‎∵sin∠MFG＝sin∠MEG‎=DGDE=‎‎5‎‎5‎，‎ ‎∴sin∠MFG‎=‎‎5‎‎5‎．‎ 故答案为：‎5‎‎5‎．‎ 第20页（共20页）‎ ‎17．（5分）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为　‎2‎‎5‎　．‎ ‎【解答】解：3，5，8，10，13，从中任取三根，所有情况为：3、5、8；3、5、10；3、5、13；3、8、10；3、8、13；3，10，13；5、8、10；5、8、13；5、10、13；8、10、13；‎ 共有10种等可能的结果数，其中可以组成三角形的结果数为4，所以可以组成三角形的概率‎=‎4‎‎10‎=‎‎2‎‎5‎．‎ 故答案为‎2‎‎5‎．‎ ‎18．（5分）若关于x的不等式组‎1‎‎2‎x-a＞0，‎‎4-2x≥0‎无解，则a的取值范围为　a≥1　．‎ ‎【解答】解：解不等式‎1‎‎2‎x﹣a＞0，得：x＞2a，‎ 解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，‎ ‎∵不等式组无解，‎ ‎∴2a≥2，‎ 解得a≥1，‎ 故答案为：a≥1．‎ ‎19．（5分）观察下列各式：a1‎=‎‎2‎‎3‎，a2‎=‎‎3‎‎5‎，a3‎=‎‎10‎‎7‎，a4‎=‎‎15‎‎9‎，a5‎=‎‎26‎‎11‎，…，根据其中的规律可得an＝　n‎2‎‎+1‎‎2n+1‎‎(n为奇数)‎n‎2‎‎-1‎‎2n+1‎‎(n为偶数)‎　（用含n的式子表示）．‎ ‎【解答】解：由分析可得an‎=‎n‎2‎‎+1‎‎2n+1‎‎(n为奇数)‎n‎2‎‎-1‎‎2n+1‎‎(n为偶数)‎．‎ 第20页（共20页）‎ 故答案为：n‎2‎‎+1‎‎2n+1‎‎(n为奇数)‎n‎2‎‎-1‎‎2n+1‎‎(n为偶数)‎．‎ ‎20．（5分）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2‎3‎、‎2‎、4，则正方形ABCD的面积为　14+4‎3‎　．‎ ‎【解答】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．‎ ‎∵BP＝BM‎=‎‎2‎，∠PBM＝90°，‎ ‎∴PM‎=‎‎2‎PB＝2，‎ ‎∵PC＝4，PA＝CM＝2‎3‎，‎ ‎∴PC2＝CM2+PM2，‎ ‎∴∠PMC＝90°，‎ ‎∵∠BPM＝∠BMP＝45°，‎ ‎∴∠CMB＝∠APB＝135°，‎ ‎∴∠APB+∠BPM＝180°，‎ ‎∴A，P，M共线，‎ ‎∵BH⊥PM，‎ ‎∴PH＝HM，‎ ‎∴BH＝PH＝HM＝1，‎ ‎∴AH＝2‎3‎‎+‎1，‎ ‎∴AB2＝AH2+BH2＝（2‎3‎‎+‎1）2+12＝14+4‎3‎，‎ 第20页（共20页）‎ ‎∴正方形ABCD的面积为14+4‎3‎．‎ 故答案为14+4‎3‎．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程．‎ ‎21．（10分）先化简，再求值：1‎-y-xx+2y÷‎x‎2‎‎-‎y‎2‎x‎2‎‎+4xy+4‎y‎2‎；其中x＝cos30°‎×‎‎12‎，y＝（π﹣3）0﹣（‎1‎‎3‎）﹣1．‎ ‎【解答】解：原式＝1‎‎-y-xx+2y÷‎‎(x+y)(x-y)‎‎(x+2y‎)‎‎2‎ ‎＝1‎+‎x-yx+2y•‎‎(x+2y‎)‎‎2‎‎(x+y)(x-y)‎ ‎＝1‎‎+‎x+2yx+y ‎=‎x+y+x+2yx+y‎ ‎ ‎=‎‎2x+3yx+y‎，‎ ‎∵x＝cos30°‎×‎12‎=‎3‎‎2‎×‎2‎3‎‎=‎3，y＝（π﹣3）0﹣（‎1‎‎3‎）﹣1＝1﹣3＝﹣2，‎ ‎∴原式‎=‎2×3+3×(-2)‎‎3-2‎=‎0．‎ ‎22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y‎=-‎‎1‎‎2‎x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．‎ ‎（1）求交点P的坐标；‎ ‎（2）求△PAB的面积；‎ ‎（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y‎=-‎‎1‎‎2‎x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由y=-‎1‎‎2‎x-1‎y=-2x+2‎解得x=2‎y=-2‎，‎ ‎∴P（2，﹣2）；‎ 第20页（共20页）‎ ‎（2）直线y‎=-‎‎1‎‎2‎x﹣1与直线y＝﹣2x+2中，令y＝0，则‎-‎‎1‎‎2‎x﹣1＝0与﹣2x+2＝0，‎ 解得x＝﹣2与x＝1，‎ ‎∴A（﹣2，0），B（1，0），‎ ‎∴AB＝3，‎ ‎∴S△PAB‎=‎1‎‎2‎AB⋅|yP|=‎1‎‎2‎×3×2=‎3；‎ ‎（3）如图所示：‎ 自变量x的取值范围是x＜2．‎ ‎23．（12分）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．‎ ‎（1）求证：△PBE≌△QDE；‎ ‎（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABD是平行四边形，‎ ‎∴EB＝ED，AB∥CD，‎ ‎∴∠EBP＝∠EDQ，‎ 在△PBE和△QDE中，‎∠EBP=∠EDQEB=ED‎∠BEP=∠DEQ，‎ ‎∴△PBE≌△QDE（ASA）；‎ ‎（2）证明：如图所示：‎ ‎∵△PBE≌△QDE，‎ ‎∴EP＝EQ，‎ 第20页（共20页）‎ 同理：△BME≌△DNE（ASA），‎ ‎∴EM＝EN，‎ ‎∴四边形PMQN是平行四边形，‎ ‎∵PQ⊥MN，‎ ‎∴四边形PMQN是菱形．‎ ‎24．（13分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．‎ ‎（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？‎ ‎（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？‎ ‎（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？‎ ‎【解答】解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；‎ ‎（2）设每千克水果售价为x元，‎ 由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，‎ 解得：x1＝65，x2＝75，‎ 答：每千克水果售价为65元或75元；‎ ‎（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，‎ 由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，‎ ‎∴当m＝70时，y有最大值为9000元，‎ 答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．‎ ‎25．（13分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA＝DE．‎ ‎（1）求证：直线CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：OA2＝DE•CE．‎ 第20页（共20页）‎ ‎【解答】解：（1）连接OD，OE，如图1，‎ 在△OAD和△OED中，‎ OA=OEAD=EDOD=OD‎，‎ ‎∴△OAD≌△OED（SSS），‎ ‎∴∠OAD＝∠OED，‎ ‎∵AM是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAD＝90°，‎ ‎∴∠OED＝90°，‎ ‎∴直线CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）过D作DF⊥BC于点F，如图2，则∠DFB＝∠RFC＝90°，‎ ‎∵AM、BN都是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ABF＝∠BAD＝90°，‎ ‎∴四边形ABFD是矩形，‎ ‎∴DF＝AB＝2OA，AD＝BF，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴DE＝DA，CE＝CB，‎ ‎∴CF＝CB﹣BF＝CE﹣DE，‎ ‎∵DE2＝CD2﹣CF2，‎ 第20页（共20页）‎ ‎∴4OA2＝（CE+DE）2﹣（CE﹣DE）2，‎ 即4OA2＝4DE•CE，‎ ‎∴OA2＝DE•CE．‎ ‎26．（14分）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，‎-‎‎1‎‎2‎），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．‎ ‎（1）求这条抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；‎ ‎（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．‎ ‎【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∵抛物线经过B（0，‎-‎‎1‎‎2‎），‎ ‎∴‎-‎1‎‎2‎=‎4a﹣1，‎ ‎∴a‎=‎‎1‎‎8‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y‎=‎‎1‎‎8‎（x﹣2）2﹣1．‎ 第20页（共20页）‎ ‎（2）证明：∵P（m，n），‎ ‎∴n‎=‎‎1‎‎8‎（m﹣2）2﹣1‎=‎‎1‎‎8‎m2‎-‎‎1‎‎2‎m‎-‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴P（m，‎1‎‎8‎m2‎-‎‎1‎‎2‎m‎-‎‎1‎‎2‎），‎ ‎∴d‎=‎‎1‎‎8‎m2‎-‎‎1‎‎2‎m‎-‎1‎‎2‎-‎（﹣3）‎=‎‎1‎‎8‎m2‎-‎‎1‎‎2‎m‎+‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∵F（2，1），‎ ‎∴PF‎=‎(m-2‎)‎‎2‎+(‎1‎‎8‎m‎2‎-‎1‎‎2‎m-‎1‎‎2‎-1‎‎)‎‎2‎=‎‎1‎‎64‎m‎4‎‎-‎1‎‎8‎m‎3‎+‎7‎‎8‎m‎2‎-‎5‎‎2‎m+‎‎25‎‎4‎，‎ ‎∵d2‎=‎‎1‎‎64‎m4‎-‎‎1‎‎8‎m3‎+‎‎7‎‎8‎m2‎-‎‎5‎‎2‎m‎+‎‎25‎‎4‎，PF2‎=‎‎1‎‎64‎m4‎-‎‎1‎‎8‎m3‎+‎‎7‎‎8‎m2‎-‎‎5‎‎2‎m‎+‎‎25‎‎4‎，‎ ‎∴d2＝PF2，‎ ‎∴PF＝d．‎ ‎（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．‎ ‎∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎2‎2‎，‎ ‎∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，‎ ‎∵QF＝QH，‎ ‎∴DQ+DF＝DQ+QH，‎ 根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，‎ ‎∴DQ+QH的最小值为3，‎ ‎∴△DFQ的周长的最小值为2‎2‎‎+‎3，此时Q（4，‎-‎‎1‎‎2‎）‎ 第20页（共20页）‎