中考数学二模试卷含解析9 13页

‎2016年安徽省安庆市中考数学二模试卷 一、（共10小题，每小题4分，满分40分）‎ ‎1．下列各数中，小于﹣3的是（　　）‎ A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4‎ ‎2．随着居民生活水平的日益提高，汽车逐渐进入了人们的日常生活中，据统计，2015年全国汽车保有量约为2.79亿辆，这里的数字“2.79亿”用科学记数法表示为（　　）‎ A．2.79×107 B．2.79×108 C．2.79×109 D．2.79×1010‎ ‎3．下列运算中，结果正确的是（　　）‎ A．2x+x2=3x3 B．x6÷x2=x3 C．2x•x2=2x2 D．（﹣x2）3=﹣x6‎ ‎4．将一副直角三角板按如图方式放置，使直角顶点C重合，当DE∥BC时，∠α的度数是（　　）‎ A．105° B．115° C．95° D．110°‎ ‎5．下列四个表情图标中，不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在学习三视图时，老师在讲台上用四盒粉笔盒摆放出如图形状的几何体，那么该几何体的左视图正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）‎ A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144‎ ‎8．如图，直线y=x与双曲线y=相交于（﹣4，﹣1）和（4，1），则不等式x＞的解集为（　　）‎ A．﹣4＜x＜0或x＞4 B．﹣4＞x或0＜x＜4 C．﹣4＜x＜4且x≠0 D．x＜﹣4或x＞4‎ ‎9．一位自行车爱好者利用周末进行了一次骑车旅行，如图是这次旅行过程中自行车到出发地的距离y（千米）与骑行时间t（分钟）之间的函数图象，观察图象，下列判断中正确的是（　　）‎ ‎①这次旅行的总路程为16千米；②这次旅行中用于骑车的总时间为60分钟；③到达目的地之后休息了15分钟；④返回途中如果不休息，可以提前10分钟到达出发点．‎ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④‎ ‎10．定义：经过原点的抛物线y=a（x+m）2+n（a＜0）与x轴交于点A，顶点为P，当△OAP为等腰直角三角形时，称抛物线y=a（x+m）2+n（a＜0）为“正抛线”．下列关于正抛线的描述中，正确的是（　　）‎ A．an=﹣1 B．m+n=0 C．m=n D．mn=a﹣2‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎11．能够使代数式有意义的x的取值范围是　　　　　　．‎ ‎12．分解因式：x3y﹣2x2y+xy=　　　　　　．‎ ‎13．已知△OAC中，∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，双曲线y=（x＞0）的图象经过直角顶点A，并与直角边AC交于点B，则B点的坐标为　　　　　　．‎ ‎14．已知，如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，过E做ED⊥AB于D，连接DC交AE于F，其中BD=1．则在下列结论中：①AE⊥DC；②AB=2+；③=2；④AE•CD=2+2．其中正确的结论是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共两小题，每小题8分，共16分）‎ ‎15．化简： •﹣x．‎ ‎16．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎　‎ 四、（本题共两小题，每小题8分，共16分）‎ ‎17．如图是一个由8×8个小正方形组成的方格纸，我们把顶点在正方形顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC就是一个格点三角形，点M是AC的中点．‎ ‎（1）请在图中作出一个格点△AMN，使△AMN与△ABC相似，并将△AMN绕点A顺时针旋转90°，得到△AEF，使点E与点M对应，请在图中作出△AEF；‎ ‎（2）请以AF为边作出格点△AFD，使△AFD与△ABC全等．‎ ‎18．如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．‎ ‎（1）求OD的长；‎ ‎（2）求CD的长．‎ ‎　‎ 五、（本题共两小题，每小题10分，共20分）‎ ‎19．已知△ABC是边长为a的等边三角形，D、E、F分别是AB、AC和BC边上的点．如图①，当===时， =．‎ ‎（1）如图②，当===时，求；‎ ‎（2）如图③，当===时，求；‎ ‎（3）猜想：当===时，求的值是多少？直接写出结果（用代数式表示）‎ ‎20．根据《城市居住区规划设计规范》要求，房屋之间的间距不得低于楼高1.2倍．某小区现已建好一幢高60米的住宅楼MN，该楼的背面（即图中楼房的右侧为正面，左侧为背面）有一座小区的景观湖，小丁在景观湖左右两侧各取一点观察该楼楼顶的M点，在A处测得点M的仰角为60°，在B处测得点M的仰角为30°，景观湖的左侧距离B点20米处有一点C，且C、B、A、N都在同一条直线上．‎ ‎（1）求AB的长；（结果保留根号）；‎ ‎（2）开发商欲在C处规划新建一幢高层建筑，那么这幢高层建筑的楼高不能超过多少米？（≈1.732，结果精确到1米）．‎ ‎21．某超市为了促销，准备开展限时摸奖活动，规定每晚7：00～7：15之间购物的前10位（假定此段时间购物人数不少于10人）顾客，每人可以享受一次摸奖机会．奖项分别设为一、二、三等奖，其中一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名．请回答下列问题：‎ ‎（1）某位参与摸奖顾客恰好摸到三等奖的概率是　　　　　　；‎ ‎（2）试用树状图或表格进行说明，如果在获奖的顾客当中任意抽出两位，恰好都是二等奖的概率是多少？‎ ‎（3）若以卡片作为替代物进行以上摸奖模拟实验，一个同学提供了部分实验操作：①准备10张除标记不同，大小形状均相同的卡片；②把卡片按1：2：3的比例涂成三种颜色；③让用于实验的卡片有且只有1个为一等奖标记、有且只有2个为二等奖标记、有且只有3个为三等奖标记．你认为其中操作正确的序号是　　　　　　．‎ ‎22．某玩具店试销售一种进价为20元的新型玩具，根据物价部门规定：该玩具售价不得超过90元．在连续七天的试销售过程中，玩具店就销售量y（个）与售价x（元）之间的变化关系做了如表记录．‎ ‎ 第1天 ‎ 第2天 ‎ 第3天 ‎ 第4天 ‎ 第5天 ‎ 第6天 ‎ 第7天 ‎ 售价x ‎ 30‎ ‎ 30‎ ‎ 35‎ ‎40‎ ‎ 40‎ ‎ 40‎ ‎ 45‎ ‎ 销售量y ‎ 100‎ ‎ 100‎ ‎ 95‎ ‎ 90‎ ‎ 90‎ ‎ 90‎ ‎ 85‎ ‎（1）运用所学过的函数知识，试判断y与x之间的函数关系，并求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）该玩具店若想每天获得2400元的利润，应将售价定为多少元？‎ ‎（3）这种新型玩具的售价定为多少元时，玩具店每天能够获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？‎ ‎23．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：AB=BG；‎ ‎（2）求BF的长；‎ ‎（3）若点P是射线BG上的一点，当BP的长为多少时，△BCP与△BCD相似？并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年安徽省安庆市中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、（共10小题，每小题4分，满分40分）‎ ‎1．下列各数中，小于﹣3的是（　　）‎ A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4‎ ‎【考点】有理数大小比较．‎ ‎【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．‎ ‎【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得 ‎2＞﹣3，0＞﹣3，﹣2＞﹣3，﹣4＜﹣3，‎ ‎∴小于﹣3的是﹣4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．随着居民生活水平的日益提高，汽车逐渐进入了人们的日常生活中，据统计，2015年全国汽车保有量约为2.79亿辆，这里的数字“2.79亿”用科学记数法表示为（　　）‎ A．2.79×107 B．2.79×108 C．2.79×109 D．2.79×1010‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将2.79亿用科学记数法表示为：2.79×108．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．下列运算中，结果正确的是（　　）‎ A．2x+x2=3x3 B．x6÷x2=x3 C．2x•x2=2x2 D．（﹣x2）3=﹣x6‎ ‎【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】直接利用积的乘方运算法则以及利用单项式乘以单项式运算法则分别化简求出答案．‎ ‎【解答】解：A、2x+x2，无法计算，故此选项错误；‎ B、x6+x2，无法计算，故此选项错误；‎ C、2x•x2=2x3，故此选项错误；‎ D、（﹣x2）3=﹣x6，正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．将一副直角三角板按如图方式放置，使直角顶点C重合，当DE∥BC时，∠α的度数是（　　）‎ A．105° B．115° C．95° D．110°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】根据DE∥BC得出∠D=∠DCB=45°，再由三角形外角的性质可得出∠α=∠DCB+∠B．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴∠D=∠DCB=45°，‎ ‎∴∠α=∠DCB+∠B=45°+60°=105°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．下列四个表情图标中，不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；‎ B、不是轴对称图形，故本选项正确；‎ C、是轴对称图形，故本选项错误；‎ D、是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．在学习三视图时，老师在讲台上用四盒粉笔盒摆放出如图形状的几何体，那么该几何体的左视图正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从左边看第一层是两个矩形，第二层左边一个矩形，矩形的宽较长，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）‎ A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【分析】2014年的产量=2012年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．‎ ‎【解答】解：设该果园水果产量的年平均增长率为x，则2013年的产量为100（1+x）吨，2014年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2吨，‎ 根据题意，得100（1+x）2=144，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．如图，直线y=x与双曲线y=相交于（﹣4，﹣1）和（4，1），则不等式x＞的解集为（　　）‎ A．﹣4＜x＜0或x＞4 B．﹣4＞x或0＜x＜4 C．﹣4＜x＜4且x≠0 D．x＜﹣4或x＞4‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】根据直线与双曲线的交点坐标，利用图象确定出所求不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：∵直线y=x与双曲线y=相交于（﹣4，﹣1）和（4，1），‎ ‎∴由图象得：不等式x＞的解集为﹣4＜x＜0或x＞4，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．一位自行车爱好者利用周末进行了一次骑车旅行，如图是这次旅行过程中自行车到出发地的距离y（千米）与骑行时间t（分钟）之间的函数图象，观察图象，下列判断中正确的是（　　）‎ ‎①这次旅行的总路程为16千米；②这次旅行中用于骑车的总时间为60分钟；③到达目的地之后休息了15分钟；④返回途中如果不休息，可以提前10分钟到达出发点．‎ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④‎ ‎【考点】一次函数的图象．‎ ‎【分析】根据图象得出信息解答即可．‎ ‎【解答】解：①这次旅行的总路程为16千米，正确；‎ ‎②这次旅行中用于骑车的总时间为25+10+10=450分钟，错误；‎ ‎③到达目的地之后休息了15分钟，正确；‎ ‎④返回途中如果不休息，可以提前10分钟到达出发点，正确；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．定义：经过原点的抛物线y=a（x+m）2+n（a＜0）与x轴交于点A，顶点为P，当△OAP为等腰直角三角形时，称抛物线y=a（x+m）2+n（a＜0）为“正抛线”．下列关于正抛线的描述中，正确的是（　　）‎ A．an=﹣1 B．m+n=0 C．m=n D．mn=a﹣2‎ ‎【考点】等腰直角三角形；二次函数的性质．‎ ‎【分析】由抛物线y=a（x+m）2+n，得到P（﹣m，n），根据等腰直角三角形的性质得到m|=n，①当m＞0时，m=n，②m＜0时，﹣m=n，根据抛物线y=a（x+m）2+n过原点，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y=a（x+m）2+n，‎ ‎∴P（﹣m，n），‎ ‎∵△OAP为等腰直角三角形，‎ ‎∴|m|=n，‎ ‎①当m＞0时，m=n，②m＜0时，﹣m=n，‎ ‎∵抛物线y=a（x+m）2+n过原点，‎ ‎∴0=am2+n，∵m2=n2，∴0=an2+n，‎ ‎∴an=﹣1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎11．能够使代数式有意义的x的取值范围是　x≥﹣1　．‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件．‎ ‎【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：由题意得，x+1≥0，‎ 解得x≥﹣1．‎ 故答案为：x≥﹣1．‎ ‎　‎ ‎12．分解因式：x3y﹣2x2y+xy=　xy（x﹣1）2　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=xy（x2﹣2x+1）=xy（x﹣1）2．‎ 故答案为：xy（x﹣1）2‎ ‎　‎ ‎13．已知△OAC中，∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，双曲线y=（x＞0）的图象经过直角顶点A，并与直角边AC交于点B，则B点的坐标为　（3，）　．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】作AE⊥OC，BF⊥OC，易证得△BFC∽△AEC，得出=，解直角三角形求得OE=1，AE=，OC=4，即可求得A的坐标，从而求得反比例函数的解析式，设B（m，），表示出BF=，FC=4﹣m，EC=3，得到=，解方程即可求得m的值，进而得出B的坐标．‎ ‎【解答】解：作AE⊥OC，BF⊥OC，‎ ‎∴AE∥BF，‎ ‎∴△BFC∽△AEC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵△OAC中，∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，‎ ‎∴OE=1，AE=，OC=4，‎ ‎∴A（1，），‎ ‎∴k=1×=，‎ ‎∴y=，‎ 设B（m，），‎ ‎∴OF=m，BF=，‎ ‎∴FC=4﹣m，EC=4﹣1=3，‎ ‎∴=，‎ 解得m=1或m=3，‎ ‎∴B（3，）．‎ 故答案为（3，）．‎ ‎　‎ ‎14．已知，如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，过E做ED⊥AB于D，连接DC交AE于F，其中BD=1．则在下列结论中：①AE⊥DC；②AB=2+；③=2；④AE•CD=2+2．其中正确的结论是　①②④　．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．‎ ‎【分析】根据已知条件得到∠B=45°根据等腰直角三角形的性质得到BD=DE=1，BE=，根据角平分线的性质得到DE=CE=1，求得BC=1+，根据等腰直角三角形的性质得到AB=BC=2+，故②正确；根据全等三角形的性质得到AD=AC，于是得到AE⊥DC；故①正确；根据勾股定理得到AE==，由三角形的面积公式得到CF===，于是得到==，故③错误；AE•CD=×=2+2，故④正确．‎ ‎【解答】解：∵AC=BC，∠C=90°，‎ ‎∴∠B=45°，‎ ‎∵ED⊥AB，‎ ‎∴BD=DE=1，‎ ‎∴BE=，‎ ‎∵AE平分∠BAC交BC于E，∠C=90°，ED⊥AB，‎ ‎∴DE=CE=1，‎ ‎∴BC=1+，‎ ‎∴AB=BC=2+，故②正确；‎ 在Rt△ADE与Rt△ACE中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△ACE，‎ ‎∴AD=AC，‎ ‎∴AE⊥DC；故①正确；‎ ‎∵CE=1，AC=BC=1+，‎ ‎∴AE==，‎ ‎∴CF===，‎ ‎∴CD=2CF=，‎ ‎∴==，故③错误；‎ AE•CD=×=2+2，故④正确，‎ ‎∴正确的结论是①②④．‎ 故答案为：①②④．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共两小题，每小题8分，共16分）‎ ‎15．化简： •﹣x．‎ ‎【考点】分式的混合运算．‎ ‎【分析】原式约分后，合并即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=•﹣x=x﹣1﹣x=﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎【考点】在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x＞2，‎ 由②得：x≤9，‎ ‎∴不等式组的解集为2＜x≤9，‎ 不等式组的解集在数轴上表示，如图所示：‎ ‎　‎ 四、（本题共两小题，每小题8分，共16分）‎ ‎17．如图是一个由8×8个小正方形组成的方格纸，我们把顶点在正方形顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC就是一个格点三角形，点M是AC的中点．‎ ‎（1）请在图中作出一个格点△AMN，使△AMN与△ABC相似，并将△AMN绕点A顺时针旋转90°，得到△AEF，使点E与点M对应，请在图中作出△AEF；‎ ‎（2）请以AF为边作出格点△AFD，使△AFD与△ABC全等．‎ ‎【考点】作图—相似变换；全等三角形的判定；作图-旋转变换．‎ ‎【分析】（1）直接利用相似图形的性质结合旋转的性质得出答案；‎ ‎（2）利用全等三角形的性质得出符合题意的图形．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：作格点△AMN，作格点△AEF；‎ ‎（2）如图所示：作格点△ADF．‎ ‎　‎ ‎18．如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．‎ ‎（1）求OD的长；‎ ‎（2）求CD的长．‎ ‎【考点】切线的性质；勾股定理；相似三角形的性质．‎ ‎【分析】（1）设⊙O的半径为R，根据切线定理得OB⊥AB，则在Rt△ABO中，利用勾股定理得到R2+122=（R+8）2，解得R=5，即OD的长为5；‎ ‎（2）根据垂径定理由CD⊥OB得DE=CE，再证明△OEC∽△OBA，利用相似比可计算出CE=，所以CD=2CE=．‎ ‎【解答】解：（1）设⊙O的半径为R，‎ ‎∵AB切⊙O于点B，‎ ‎∴OB⊥AB，‎ 在Rt△ABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12，‎ ‎∵OB2+AB2=OA2，‎ ‎∴R2+122=（R+8）2，‎ 解得R=5，‎ ‎∴OD的长为5；‎ ‎（2）∵CD⊥OB，‎ ‎∴DE=CE，‎ 而OB⊥AB，‎ ‎∴CE∥AB，‎ ‎∴△OEC∽△OBA，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ ‎∴CE=，‎ ‎∴CD=2CE=．‎ ‎　‎ 五、（本题共两小题，每小题10分，共20分）‎ ‎19．已知△ABC是边长为a的等边三角形，D、E、F分别是AB、AC和BC边上的点．如图①，当===时， =．‎ ‎（1）如图②，当===时，求；‎ ‎（2）如图③，当===时，求；‎ ‎（3）猜想：当===时，求的值是多少？直接写出结果（用代数式表示）‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．‎ ‎【分析】（1）如图②中，作AM⊥BC于M，DF′⊥BC于F′，易证△DBF≌△FCE≌△EAD，设BC=3a，求出△BDF面积，△DEF面积即可解决问题．‎ ‎（2）如图②中，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．设BC=4a，求出△BDF面积，△DEF面积即可解决问题．‎ ‎（3）如图②中，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．设BC=na，求出△BDF面积，△DEF面积即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图②中，作AM⊥BC于M，DF′⊥BC于F′，设BC=3a，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB=BC=AC，∠B=∠C=∠BAC=60°‎ ‎∵===，‎ ‎∴AD=BF=CE=a，BD=CF=AE=2a，‎ ‎∴△DBF≌△FCE≌△EAD，‎ ‎∴S△DBF=S△ECF=S△ADE，‎ 在RT△BDF′中，∵∠DF′B=90°，∠B=60°，‎ ‎∴BF′=BD=a，DF=a，‎ ‎∴BF=BF′=a，‎ ‎∴F、F′共点．‎ ‎∴S△DBF=•a•a=a2，‎ ‎∴S△DEF=S△ABC﹣3S△BDF=a2，‎ ‎∴==．‎ ‎（2）如图②中，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．设BC=4a则BD=CF=AE=3a，AD=BF=CE=a，S△ABC=4a2，‎ ‎∵DN∥AM，‎ ‎∴==，‎ ‎∴DN=a，‎ ‎∴S△BDF=•a•a=a2‎ 由（1）可知S△DEF=S△ABC﹣3S△BDF=a2，‎ ‎∴=．‎ ‎（3）如图③中，设BC=na，则BD=CF=AE=n﹣1，AD=BF=CE=a，DN=，‎ ‎∴S△BDF=•a•=，‎ ‎∴S△DEF=n2a2﹣，‎ ‎∴=．‎ ‎　‎ ‎20．根据《城市居住区规划设计规范》要求，房屋之间的间距不得低于楼高1.2倍．某小区现已建好一幢高60米的住宅楼MN，该楼的背面（即图中楼房的右侧为正面，左侧为背面）有一座小区的景观湖，小丁在景观湖左右两侧各取一点观察该楼楼顶的M点，在A处测得点M的仰角为60°，在B处测得点M的仰角为30°，景观湖的左侧距离B点20米处有一点C，且C、B、A、N都在同一条直线上．‎ ‎（1）求AB的长；（结果保留根号）；‎ ‎（2）开发商欲在C处规划新建一幢高层建筑，那么这幢高层建筑的楼高不能超过多少米？（≈1.732，结果精确到1米）．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】（1）首先由题意知，Rt△AMN中，AN=，即可求得AN的值，继而求得AM的值，易证得△ABM是等腰三角形，则可求得答案；‎ ‎（2）由（1）可求得CN的值，继而求得新建楼高的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，Rt△AMN中，AN===20（米），‎ 则AM=2AN=40米，‎ 又∵∠ABM=30°，∠NAM=60°，‎ ‎∴∠AMB=30°，‎ ‎∴AB=AM=40米；‎ ‎（2）由（1）可知：CN=20+40+20=（20+60）（米）．‎ 设新建楼高为x米，则1.2x≤20+60，‎ 解得：x≤103.26．‎ 则新建楼高最高不能超过103米．‎ ‎　‎ ‎21．某超市为了促销，准备开展限时摸奖活动，规定每晚7：00～7：15之间购物的前10位（假定此段时间购物人数不少于10人）顾客，每人可以享受一次摸奖机会．奖项分别设为一、二、三等奖，其中一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名．请回答下列问题：‎ ‎（1）某位参与摸奖顾客恰好摸到三等奖的概率是　　；‎ ‎（2）试用树状图或表格进行说明，如果在获奖的顾客当中任意抽出两位，恰好都是二等奖的概率是多少？‎ ‎（3）若以卡片作为替代物进行以上摸奖模拟实验，一个同学提供了部分实验操作：①准备10张除标记不同，大小形状均相同的卡片；②把卡片按1：2：3的比例涂成三种颜色；③让用于实验的卡片有且只有1个为一等奖标记、有且只有2个为二等奖标记、有且只有3个为三等奖标记．你认为其中操作正确的序号是　①③　．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）根据概率公式求解；‎ ‎（2）画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出恰好都是二等奖的结果数，然后根据概率公式计算；‎ ‎（3）利用前10位（假定此段时间购物人数不少于10人）顾客，每人可以享受一次摸奖机会，设一、二、三等奖，其中一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名，所以准备10张除标记不同，大小形状均相同的卡片，并且有且只有1个为一等奖标记、有且只有2个为二等奖标记、有且只有3个为三等奖标记．‎ ‎【解答】解：（1）某位参与摸奖顾客恰好摸到三等奖的概率=；‎ 故答案为；‎ ‎（2）记一等奖用字母A表示，二等奖用字母B、B表示，三等奖用C、C、C表示，‎ 画树状图为：‎ 共有30种等可能的结果数，其中恰好都是二等奖的结果数为2，‎ 所以恰好都是二等奖的概率=；‎ ‎（3）准备10张除标记不同，大小形状均相同的卡片，让用于实验的卡片有且只有1个为一等奖标记、有且只有2个为二等奖标记、有且只有3个为三等奖标记．‎ 故答案为，①③．‎ ‎　‎ ‎22．某玩具店试销售一种进价为20元的新型玩具，根据物价部门规定：该玩具售价不得超过90元．在连续七天的试销售过程中，玩具店就销售量y（个）与售价x（元）之间的变化关系做了如表记录．‎ ‎ 第1天 ‎ 第2天 ‎ 第3天 ‎ 第4天 ‎ 第5天 ‎ 第6天 ‎ 第7天 ‎ 售价x ‎ 30‎ ‎ 30‎ ‎ 35‎ ‎40‎ ‎ 40‎ ‎ 40‎ ‎ 45‎ ‎ 销售量y ‎ 100‎ ‎ 100‎ ‎ 95‎ ‎ 90‎ ‎ 90‎ ‎ 90‎ ‎ 85‎ ‎（1）运用所学过的函数知识，试判断y与x之间的函数关系，并求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）该玩具店若想每天获得2400元的利润，应将售价定为多少元？‎ ‎（3）这种新型玩具的售价定为多少元时，玩具店每天能够获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）待定系数法求解即可得；‎ ‎（2）根据：总利润=（每个玩具售价﹣每个玩具的进价）×每天的销售量列出方程，解方程后根据售价不得超过90元取舍可得；‎ ‎（3）根据（2）中相等关系列出函数关系式后配方成顶点式，根据二次函数的性质可得其最值．‎ ‎【解答】解：（1）根据表格中y随x的变化趋势，可判断y与x之间满足一次函数关系，‎ 故设y=kx+b，（k≠0），分别将（30，100）和（40，90）代入，‎ 可得：，‎ 解得：，‎ 则y与x的函数关系式为y=﹣x+130．‎ ‎（2）根据题意，可得：（x﹣20）（﹣x+130）=2400，‎ 解得：x1=50，x2=100，‎ ‎∵x2=100＞90，故x1=50．‎ 答：应将售价定位50元．‎ ‎（3）根据题意，可得：‎ W=（x﹣20）（﹣x+130）=﹣x2+150x﹣2600=﹣（x﹣75）2+3025，‎ ‎∵a=﹣1＜0，‎ ‎∴当售价定位75元时，能够获得最大利润为3025元，‎ 答：这种新型玩具的售价定为75元时，玩具店每天能够获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为3025元．‎ ‎　‎ ‎23．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：AB=BG；‎ ‎（2）求BF的长；‎ ‎（3）若点P是射线BG上的一点，当BP的长为多少时，△BCP与△BCD相似？并说明理由．‎ ‎【考点】相似形综合题．‎ ‎【分析】（1）根据三角形的中位线定理进行证明即可；‎ ‎（2）根据勾股定理得出AB的长，再利用三角形的中位线定理解答即可；‎ ‎（3）分两种情况进行分析，根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵BF∥DE，且AD=BD，‎ ‎∴AC=CG，‎ ‎∴BG=2CD，‎ ‎∵∠C=90°，AD=BD，‎ ‎∴AB=2CD，‎ ‎∴AB=BG；‎ ‎（2）∵AC=3，BC=4，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∴CD=2.5，‎ ‎∵CE=CD，‎ ‎∴DE=，‎ ‎∴BF=2DE=；‎ ‎（3）由于AB=BG，∠C=90°，所以∠DBC=∠PBC．‎ 第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：‎ 在△BCP与△BCD中 ‎，‎ ‎∴△BCP≌△BCD（AAS），‎ ‎∴BP=CD=2.5；‎ 第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：‎ ‎∵∠CBD=∠CBP，‎ ‎∴△BPC∽△BCD，‎ ‎∵CH⊥BG，‎ ‎∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，‎ ‎∴△ABC∽△CBH，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎