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  • 2021-05-13 发布

中考数学黄金知识点系列专题10统计知识初步

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专题 10 统计知识初步 聚焦考点☆温习理解 一、平均数 1、平均数的概念 (1)平均数:一般地,如果有 n 个数 ,,,, 21 nxxx  那么, )(1 21 nxxxnx   叫做这 n 个数的平均数, x 读作“x 拔”。 (2)加权平均数:如果 n 个数中, 1x 出现 1f 次, 2x 出现 2f 次,…, kx 出现 kf 次(这里 nfff k  21 ), 那么,根据平均数的定义,这 n 个数的平均数可以表示为 n fxfxfxx kk 2211 ,这样求得的平均数 x 叫做加权平均数,其中 kfff ,,, 21  叫做权。 2、平均数的计算方法 (1)定义法 当所给数据 ,,,, 21 nxxx  比较分散时,一般选用定义公式: )(1 21 nxxxnx   (2)加权平均数法: 当所给数据重复出现时,一般选用加权平均数公式: n fxfxfxx kk 2211 ,其中 nfff k  21 。 (3)新数据法: 当所给数据都在某一常数 a 的上下波动时,一般选用简化公式: axx  ' 。 其中,常数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数, axx  11' , axx  22' ,…, axx nn ' 。 )'''(1' 21 nxxxnx   是新数据的平均数(通常把 ,,,, 21 nxxx  叫做原数据, ,',,',' 21 nxxx  叫做新 数据)。 二、统计学中的几个基本概念 1、总体 所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体 总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量 样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 6、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。 三、众数、中位数 1、众数 在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据 的中位数。 四、方差 1、方差的概念 在一组数据 ,,,, 21 nxxx  中,各数据与它们的平均数 x 的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差。通常 用“ 2s ”表示,即 ])()()[(1 22 2 2 1 2 xxxxxxns n   2、方差的计算 (1)基本公式: ])()()[(1 22 2 2 1 2 xxxxxxns n   (2)简化计算公式(Ⅰ): ])[(1 222 2 2 1 2 xnxxxns n   也可写成 222 2 2 1 2 )][(1 xxxxns n   此公式的记忆方法是:方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 (3)简化计算公式(Ⅱ): ]')'''[(1 222 2 2 1 2 xnxxxns n   当一组数据中的数据较大时,可以依照简化平均数的计算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数 接 近 的 常 数 a , 得 到 一 组 新 数 据 axx  11' , axx  22' , … , axx nn ' , 那 么 , 222 2 2 1 2 ')]'''[(1 xxxxns n   此公式的记忆方法是:方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 (4)新数据法: 原数据 ,,,, 21 nxxx  的方差与新数据 axx  11' , axx  22' ,…, axx nn ' 的方差相等,也就是说, 根据方差的基本公式,求得 ,',,',' 21 nxxx  的方差就等于原数据的方差。 3、标准差 方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,用“s”表示,即 ])()()[(1 22 2 2 1 2 xxxxxxnss n   名师点睛☆典例分类 考点典例一、平均数 【例 1】(2016 广西桂林第 3 题)一组数据 7,8,10,12,13 的平均数是( ) A.7 B.9 C.10 D.12 【答案】C. 【解析】 考点:算术平均数. 【点睛】所给数据 ,,,, 21 nxxx  比较分散,选用定义公式: )(1 21 nxxxnx   求解即可. 【举一反三】 (2016 内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第 8 题)从一组数据中取出 a 个 x1,b 个 x2,c 个 x3,组成一个样本,那 么这个样本的平均数是( ) A. 1 2 3 3 x x x  B. 1 2 3ax ax ax a b c     C. 1 2 3 3 ax ax ax  D. 3 a b c  【答案】B. 【解析】 考点:算术平均数. 考点典例二、众数、中位数 【例 2】(2016 山东济宁第 8 题)在学校开展的“争做最优秀中学生”的一次演讲比赛中,编号 1,2,3,4, 5 的五位同学最后成绩如下表所示: 参赛者编号 1 2 3 4 5 成绩/分 96 88 86 93 86 那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是( ) A.96,88, B.86,86 C.88,86 D.86,88 【答案】D. 【解析】 试题分析:这五位同学演讲成绩为 96,88,86,93,86,按照从小到大的顺序排列为 86,86,88,93,96, 86 出现两次,次数最多,是众数,中位数是中间的数为 88,故答案选 D. 考点:中位数;众数. 【点晴】将这组数据从小到大的顺序排列后,处于中间位置的数(或中间两个数的平均数)是中位数;众 数是一组数据中出现次数最多的数.解决这类问题根据定义即可解决. 【举一反三】 1.(2016 山东威海第 9 题)某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划,对 20 位销售员本月的销售量进 行了统计,绘制成如图所示的统计图,则这 20 位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是( ) A.19,20,14 B.19,20,20 C.18.4,20,20 D.18.4,25,20 【答案】C. 【解析】 考点:平均数;中位数;众数. 2.(2016 湖南怀化第 2 题)某校进行书法比赛,有 39 名同学参加预赛,只能有 19 名同学参加决赛,他们 预赛的成绩各不相同,其中一名同学想知道自己能否进入决赛,不仅要了解自己的预赛成绩,还要了解这 39 名同学预赛成绩的( ) A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 【答案】B. 【解析】 试题分析:39 个不同的成绩按从小到大排序后,中位数之前的共有 19 个数,所以只要知道自己的成绩和中 位数就可以知道是否获奖了.故答案选 B. 考点:中位数. 3.(2016 湖南长沙第 10 题)已知一组数据 75,80,80,85,90,则它的众数和中位数分别为( ) A.75,80 B.80,85 C.80,90 D.80,80 【答案】D. 【解析】 试题分析:把这组数据按照从小到大的顺序排列为:75,80,80,85,90,最中间的数是 80,所以中位数是 80;在这组数据中出现次数最多的是 80,所以众数是 80;故答案选 D. 考点:中位数;众数. 考点典例三、方差 【例 3】(2016 河南第 7 题)下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方 差: 甲 乙 丙 丁 平均数(cm) 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择【 】 (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 【答案】A. 【解析】 试题分析:在平均数一样的情况下,方差越小,数据的波动越小,由此可得应该选择甲,故答案选 A. 考点:方差. 【点睛】方差反映了一组数据的稳定程度,方差越小,数据波动越小. 【举一反三】 1.(2016 四川达州第 13 题)已知一组数据 0,1,2,2,x,3 的平均数是 2,则这组数据的方差是 . 【答案】 3 5 . 【解析】 考点:平均数;方差. 2.(2016 湖北襄阳第 6 题)一组数据 2,x,4,3,3 的平均数是 3,则这组数据的中位数、众数、方差分别 是( ) A.3,3,0.4 B.2,3,2 C.3,2,0.4 D.3,3,2 【答案】A. 【解析】 试题分析:依题意得: 1 (2 4 3 3) 35 x     ,解得:x=3,把原数据由小到大排列为:2,3,3,3,4, 所以中位数为 3,众数为 3,方差为: 1 5 (1+0+1+0+0)=0.4,故答案选 A. 考点:中位数;众数;方差. 课时作业☆能力提升 一.选择题 1.(2016 浙江宁波第 7 题)某班 10 名学生校服尺寸与对应人数如下表所示: 尺寸(cm) 160 165 170 175 180 学生人数(人) 1 3 2 2 2 则这 10 名学生校服尺寸的众数和中位数分别为 A. 165cm,165cm B. 165cm,170cm C. 170cm,165cm D. 170cm,170cm 【答案】B. 【解析】 考点:中位数;众数. 2.(2016 浙江宁波第 7 题)某班 10 名学生校服尺寸与对应人数如下表所示: 尺寸(cm) 160 165 170 175 180 学生人数(人) 1 3 2 2 2 则这 10 名学生校服尺寸的众数和中位数分别为 A. 165cm,165cm B. 165cm,170cm C. 170cm,165cm D. 170cm,170cm 【答案】B. 【解析】 试题分析:众数是一组数据中出现次数最多的数据,所以众数是 165;把数据按从小到大顺序排列,可得中 位数=(170+170)÷2=170,故答案选 B. 考点:中位数;众数. 3.(2016 山东淄博第 5 题)下列特征量不能反映一组数据集中趋势的是( ) A.众数 B.中位数 C.方差 D.平均数 【答案】C. 【解析】 试题分析:平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量,极差、方差是衡量一组数据偏离其 平均数的大小(即波动大小)的特征数.故答案选 C. 考点:统计量的选择. 4.(2016 湖北鄂州第 5 题)下列说法正确的是( ) A. 了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 B. 一组数据 3,6,6,7,9 的中位数是 6 C. 从 2000 名学生中选 200 名学生进行抽样调查,样本容量为 2000 D. 一组数据 1,2,3,4,5 的方差是 10 【答案】B. 【解析】 考点:抽样调查、中位数、样本容量、方差. 5.(2016 湖南怀化第 2 题)某校进行书法比赛,有 39 名同学参加预赛,只能有 19 名同学参加决赛,他们 预赛的成绩各不相同,其中一名同学想知道自己能否进入决赛,不仅要了解自己的预赛成绩,还要了解这 39 名同学预赛成绩的( ) A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 【答案】B. 【解析】 试题分析:39 个不同的成绩按从小到大排序后,中位数之前的共有 19 个数,所以只要知道自己的成绩和中 位数就可以知道是否获奖了.故答案选 B. 考点:中位数. 6.(2016 新疆生产建设兵团第 6 题)某小组同学在一周内参加家务劳动时间与人数情况如表所示: 劳动时间(小时) 2 3 4 人数 3 2 1 下列关于“劳动时间”这组数据叙述正确的是( ) A.中位数是 2 B.众数是 2 C.平均数是 3 D.方差是 0 【答案】B. 【解析】 试题分析:根据众数的定义可知,这组数据的众数是 2,故答案选 B. 考点:众数;中位数;平均数;方差. 7..(2016 湖南永州第 6 题)在“爱我永州”中学生演讲比赛中,五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如 下: 甲:8、7、9、8、8 乙:7、9、6、9、9 则下列说法中错误的是( ) A.甲、乙得分的平均数都是 8 B.甲得分的众数是 8,乙得分的众数是 9 C.甲得分的中位数是 9,乙得分的中位数是 6 D.甲得分的方差比乙得分的方差小 【答案】C. 【解析】 考点:算术平均数;中位数;众数;方差. 8.(2016 湖南娄底第 7 题)11 名同学参加数学竞赛初赛,他们的等分互不相同,按从高分录到低分的原则, 取前 6 名同学参加复赛,现在小明同学已经知道自己的分数,如果他想知道自己能否进入复赛,那么还需 知道所有参赛学生成绩的( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 【答案】B. 【解析】 试题分析:由于总共有 11 个人,且他们的分数互不相同,第 6 的成绩是中位数,要判断是否进入前 6 名, 知道中位数即可.故答案选 B. 考点:中位数. 9.(2016 湖南株洲第 3 题)甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩(环)及方差统计如表,现要 根据这些数据,从中选出一人参加比赛,如果你是教练员,你的选择是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】C. 【解析】 试题分析:∵ =x x甲 丙 =9.7, 2 2S S甲 乙 ,∴选择丙.故选 C. 考点:方差. 10.2016 年福建龙岩第 6 题)在 2016 年龙岩市初中体育中考中,随意抽取某校 5 位同学一分钟跳绳的次数 分别为:158,160,154,158,170,则由这组数据得到的结论错误的是( ) A.平均数为 160 B.中位数为 158 C.众数为 158 D.方差为 20.3 【答案】D. 【解析】 考点:1 平均数;2 中位数;3 众数;4 方差. 二.填空题 11.(2016 海南省第 4 题)某班 7 名女生的体重(单位:kg)分别是 35、37、38、40、42、42、74,这组 数据的众数是( ) A.74 B.44 C.42 D.40 【答案】C 【解析】 试题分析:众数是这组数据中出现次数最多的数据,在这组数据中 42 出现次数最多,故选 C. 考点:众数. 12.(2016 黑龙江大庆第 13 题)甲乙两人进行飞镖比赛,每人各投 5 次,所得平均环数相等,其中甲所得 环数的方差为 15,乙所得环数如下:0,1,5,9,10,那么成绩较稳定的是 (填“甲”或“乙”). 【答案】甲. 【解析】 考点:方差. 13.(2016 山东潍坊第 15 题)超市决定招聘广告策划人员一名,某应聘者三项素质测试的成绩如表: 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩(分数) 70 80 92 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按 5:3:2 的比例计入总成绩,则该应聘者的总成绩是 分. 【答案】77.4. 【解析】 试题分析:根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值 可得该应聘者的总成绩是:70× 5 10 +80× 3 10 +92× 2 10 =77.4 分. 考点:加权平均数. 14.(2016 内蒙古巴彦淖尔第 14 题)两组数据 3,a,2b,5 与 a,6,b 的平均数都是 8,若将这两组数据 合并为一组数据,则这组新数据的众数为_____________,中位数为_____________. 【答案】12,6. 【解析】 考点:众数;算术平均数;中位数. 15.(2016 福建南平第 11 题)甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次,他们成绩的平均数相同,方差分别是 2S甲 =0.2, 2S乙 =0.5,则设两人中成绩更稳定的是 (填“甲”或“乙”) 【答案】甲. 【解析】 试题分析:∵ 2S甲 =0.2, 2S乙 =0.5,则 2S甲 < 2S乙 ,可见较稳定的是甲.故答案为:甲. 考点:方差;算术平均数. 三.解答题 16. (2015 绵阳)(11 分)阳泉同学参加周末社会实践活动,到“富乐花乡”蔬菜大棚中收集到 20 株西红 柿秧上小西红柿的个数:32 39 45 55 60 54 60 28 56 41 51 36 44 46 40 53 37 47 45 46 (1)前 10 株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是 ,中位数是 ,众数是 ; (2)若对这 20 个数按组距为 8 进行分组,请补全频数分布表及频数分布直方图 (3)通过频数分布直方图试分析此大棚中西红柿的长势. 【答案】(1)47;49.5;60;(2)5,7,4,作图见试题解析;(3)①此大棚的西红柿长势普遍较好,最少 都有 28 个;②西红柿个数最集中的株数在第三组,共有 7 株;③西红柿的个数分布合理,中间多,两端少.(3 条信息任答一条即可). 【解析】 (2)根据题意填表如下: 补图如下: 故答案为:5,7,4; (3)此大棚的西红柿长势普遍较好,最少都有 28 个;西红柿个数最集中的株数在第三组,共 7 株 ;西红 柿的个数分布合理,中间多,两端少.(3 条信息任答一条即可). 考点:1.频数(率)分布直方图;2.频数(率)分布表;3.加权平均数;4.中位数;5.众数. 16.(2016 广东广州第 19 题)某校为了提升初中学生学习数学的兴趣,培养学生的创新精神,举办“玩转 数学”比赛,现有甲、乙、丙三个小组进入决赛,评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打 分,各项成绩均按百分制记录,甲、乙、丙三个小组各项得分如下表: 小组 研究报告 小组展示 答辩 甲 91 80 78 乙 81 74 85 丙 79 83 90 (1)计算各小组的平均成绩,并从高分到低分确定小组的排名顺序: (2)如果按照研究报告占 40%,小组展示占 30%,答辩占 30%,计算各小组的成绩,哪个小组的成绩最高? 【答案】(1)丙、甲、乙;(2)甲组的成绩最高. 【解析】 考点:平均数;加权平均数. 17.(2016 黑龙江大庆第 23 题)为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况,随机抽查了 该学校初四年级 m 名同学,对其每周平均课外阅读时间进行统计,绘制了如下条形统计图(图一)和扇形 统计图(图二): (1)根据以上信息回答下列问题: ①求 m 值. ②求扇形统计图中阅读时间为 5 小时的扇形圆心角的度数. ③补全条形统计图. (2)直接写出这组数据的众数、中位数,求出这组数据的平均数. 【答案】(1)①60,②30 度,③图形见解析;(2)众数:3 小时,中位数:3 小时,平均数:2.92 小时. 【解析】 (2)众数为:3 小时;中位数为:3 小时;平均数为: 92.260 55410320215110  (小 时). 考点:1 统计图;2 频率与频数;3 众数;4 中位数;5 平均数. 18.(2016 湖北武汉第 19 题)(本题 8 分)某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节 目最喜爱的情况,随机调查了若干名学生,根据调查数据进行整理,绘制了如下的不完整统计图: 请你根据以上的信息,回答下列问题: (1) 本次共调查了_____名学生,其中最喜爱戏曲的有_____人;在扇形统计图中,最喜爱体育的对应扇形 的圆心角大小是______; (2) 根据以上统计分析,估计该校 2000 名学生中最喜爱新闻的人数. 【答案】(1)50,3,72°;(2)160 人. 【解析】 (2)2000×8%=160(人). 考点:条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 19.(2016 辽宁大连第 20 题)为了解某小区某月家庭用水量的情况,从该小区随机抽取部分家庭进行调查, 以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分 分组 家庭用水量 x/吨 家庭数/户 A 0≤x≤4.0 4 B 4.0<x≤6.5 13 C 6.5<x≤9.0 D 9.0<x≤11.5 E 11.5<x≤14.0 6 F x>4.0 3 根据以上信息,解答下列问题 (1)家庭用水量在 4.0<x≤6.5 范围内的家庭有 户,在 6.5<x≤9.0 范围内的家庭数占被调 查家庭数的百分比是 %; (2)本次调查的家庭数为 户,家庭用水量在 9.0<x≤11.5 范围内的家庭数占被调查家庭数 的百分比是 %; (3)家庭用水量的中位数落在 组; (4)若该小区共有 200 户家庭,请估计该月用水量不超过 9.0 吨的家庭数. 【答案】(1)13,30;(2)50,18;(3)C;(4)128 户. 【解析】 (2)调查的家庭数为:13÷26%=50, 6.5<x≤9.0 的家庭数为:50×30%=15, D 组 9.0<x≤11.5 的家庭数为:50﹣4﹣13﹣6﹣3﹣15=9, 9.0<x≤11.5 的百分比是:9÷50×100%=18%; (3)调查的家庭数为 50 户,则中位数为第 25、26 户的平均数,从表格观察都落在 C 组; (4)调查家庭中不超过 9.0 吨的户数有:4+13+15=32, 20050 32  =128(户), 答:该月用水量不超过 9.0 吨的家庭数为 128 户. 考点:扇形统计图;用样本估计总体;频数(率)分布表;中位数.