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  • 2021-05-13 发布

湖北鄂州有关中考数学试题解析

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2018 湖北鄂州有关中考数学试题-解析版 湖北鄂州市 2011 年初中毕业生学业水平考试 一、填空题(共 8 道题,每小题 3 分,共 24 分) 1.(2011 湖北鄂州,1,3 分) 的倒数是________. 【解题思路】: 的倒数是: ,。 【答案】-2 【点评】本题考查了倒数的概念,即当 a≠0 时,a 与 互为倒数。特别要注意的是:负数的倒数还是负数, 此题难度较小。 2.(2011 湖北鄂州,2,3 分)分解因式 8a2-2=____________________________. 【解题思路】本题要先提取公因式 2,再运用平方差公式将 写成 ,即原式可分解 为:8a2-2 【答案】2(2a+1)(2a-1) 【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解, 分解因式一定要彻底.利用相应的公式和分解因式的先后顺序即可得到答案。(分解因式即将一个多项式 写成几个因式的乘积的形式)。 难度中等。 3.(2011 湖北鄂州,3,3 分)要使式子 有意义,则 a 的取值范围为_________________. 【 解 题 思 路 】 : 此 式 子 要 有 意 义 首 先 分 母 不 为 0 , 分 子 中 的 二 次 根 式 中 的 被 开 方 数 ≥ 0 , 所 以 时,才有意义。 【答案】a≥-2 且 a≠0 【点评】本题考查分式有意义分母不为 0,二次根式有意义被开方数≥0,同时还涉及解不等式的知识,综 合性较强。 难度中等 4.(2011 湖北鄂州,4,3 分)如图:点 A 在双曲线 上,AB⊥x 轴于 B,且△AOB 的面积 S △ AOB=2,则 k=____. 【解题思路】:由反比例函数解析式可知:系数 , ∵S△AOB=2 即 ,∴ ; 又由双曲线在二、四象限 k<0,∴k=-4 【答案】-4 【点评】本题考查反比例函数 k 值的确定,结合三角形面积的 2 倍即是 k 的绝对值,再观察反比例函数图 像所在的象限,从而确定 k 的符号。体现数形结合,有一定的综合性。 难度中等 1 2 − 1 2 − 1 21 2 = − − 1 a 2(4 1)a − (2 1)(2 1)a a+ − 22(4 1) 2(2 1)(2 1)a a a= − = + − 2a a + a+2 0 0a≥ ≠且 ky x = A B O x y 第 4 题图 k x y= ⋅ 1 22k x y= ⋅ = 2 2 4k xy= = × = 5.(2011 湖北鄂州,5,3 分)如图:矩形 ABCD 的对角线 AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之 和为_______. 【解题思路】由矩形性质可知∠B=90°,对角线 AC=10,BC=8 可运用勾股定理得 AC=6;再利用平移的 知识将每个小矩形的边分别上、下、左、右平移即可发现 5 个小矩形的周长之和是矩形 ABCD 的周长= (6+8)×2=28。 【答案】28 【点评】本题考查勾股定理和平移的知识,体现图形变换的数学问题,涉及操作与知识相结合。学生比较 容易发现,从而求解。 难度较小 6.(2011 湖北鄂州,6,3 分)如图,在△ABC 中 E 是 BC 上的一点,EC=2BE,点 D 是 AC 的中点,设△ ABC 、 △ ADF 、 △ BEF 的 面 积 分 别 为 S △ ABC , S △ ADF , S △ BEF , 且 S △ ABC=12 , 则 S △ ADF - S △ BEF=_________. 【解题思路】由 D 是 AC 的中点且 S△ABC=12,可得 ;同理 EC=2BE 即 EC= ,可得 ,又 等量代换可知 S△ADF-S△ BEF=2 【答案】2 【点评】此题考查高不变,底为中点或三等分点构成的三角形与原三角形的面积之间的关系,就是底之间 的关系;另考查转换的数学思想方法。 难度较小。 7.(2011 湖北鄂州,7,3 分)若关于 x,y 的二元一次方程组 的解满足 ,则 a 的 取值范围为______. 【解题思路】: 法一: 将(1)+(2)得 ,则 <2 ∴a<4. 法二:也可解方程组(用含 a 的代数式表示 x、y,再用含 a 的代数式表示 x+y,解有关 a 的不等式。 【答案】a<4 【点评】:此题更侧重考查学生的观察能力(1)+(2)系数相同,用法一易得 x+y,求解较简便,有整体的 数学思想的考查初衷,然后是考查不等式的解法,有一定的综合性。用法二也可,但计算较繁。 难度中等。 8.(2011 湖北鄂州,8,3 分)如图,△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 平分线 BP 交于 点 P,若∠BPC=40°,则∠CAP=_______________. A B C D 第 5 题图 第 6 题图 A B CE F D 1 1 12 62 2ABD ABCS S∆ ∆= = × = 1 3 BC 1 12 43ABES∆ = × = ,ABE ABF BEF ABD ABF ADFS S S S S S∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆− = − = 3 1 3 3 x y a x y + = +  + = 2x y+ < 3 1 3 3(2) x y a x y + = + (1)  + = 4 4 4x y a+ = + 4 14 4 a ax y ++ = = + 【解题思路】是利用角平分线的性质定理和判定定理证 AP 是∠BAC 外角的平分线!而∠BAC=2∠BPC 也是 可证的!由∠BPC=40°和角平分线性质, 得∠ACD-2∠ABC=2×40°=80°即∠BAC=80°, 则∠BAC 的外角为 100°,∠CAP= ×100°=50°。 【答案】50° 【点评】此题考查学生对角平分线性质和三角形外角的知识,学生要证 AP 是∠BAC 外角的平分线,需要添 加辅助线才行。 难度较大 二、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 9.(2011 湖北鄂州,9,3 分)cos30°=( ) A. B. C. D. 【解题思路】 直接作答:cos30°= 。也可分析 A: 、B: 、D: 【答案】C 【点评】:直接考查特殊三角函数值,学生可通过记忆特殊三角函数值,也可结合画直角三角形求解。 难度较小。 10.(2011 湖北鄂州,10,3 分)计算 =( ) A.2 B.-2 C.6 D.10 【解题思路】:正面求解:原式= 【答案】A 【点评】此题考查有理数的运算包括 2 的平方的相反数;(-2)的平方;及 的-1 次幂,涉及有理数计 算等问题,尤其符号容易出错,需要细心求解。 难度较小 11.(2011 湖北鄂州,11,3 分)下列说法中 ①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等 ②数据 5,2,7,1,2,4 的中位数是 3,众数是 2 ③等腰梯形既是中心对称图形,又是轴对称图形 ④Rt△ABC 中,∠C=90°,两直角边 a,b 分别是方程 x2-7x+7=0 的两个根,则 AB 边上的中线长 为 正确命题有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【解题思路】①:画图可发现应考虑 2 种情况,还可以互补,命题不正确;②:排列为 1,2,2,4,5,7 中位数为 =3,众数为 2,命题正确;③等腰梯形只是轴对称图形,不是中心对称图形,命题不正确; ④ , ∴AB= ,而斜边上的中线等于斜边的一半为 ,正确。 A B C P D 第 8 题图 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 2 0sin30 0cos45 0tan 60 ( )22 12 2 2 − + − − - 1(- ) 14 4 0 ( 2) 21 2 − + − = − − = − 1 2 − 1 352 2+4 2 [ ]22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 ( 7) 2 7 35AB a b x x x x x x= + = + = + − ⋅ = − − − × = 35 1 352 所以正确的有②、④,2 个。 【答案】C 【点评】本题考查概念有角;中位数、众数;特殊四边形的对称性;一元二次方程根与系数的关系、勾股 定理、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等综合了多个基础知识点。认真分析每一个命题,就能正确 解答。难度中等 12.(2011 湖北鄂州,12,3 分)一个几何体的三视图如下:其中主视图都是腰长为 4、底边为 2 的等腰 三角形,则这个几何体的侧面展开图的面积为( ) A. B. C. D. 【解题思路】此题宜正面求解。先判断此几何体为圆锥,侧面展开图为扇形;再由三视图得到扇形母线为 4、弧长为圆锥底面圆的周长;最后运用公式 = 【答案】C 【点评】此题考查学生由三视图判断出几何体为圆锥,再考查圆锥侧面展开图--扇形面积公式 , 需要利用直径求出圆锥底面周长,并将其准确代入对应的公式是解题的关键。 难度较小 13.(2011 湖北鄂州,13,3 分)如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点 C,交 AB 的延长线于 D,且 CO=CD,则∠PCA=( ) A.30° B.45° C.60° D.67.5° 【解题思路】PD 切⊙O 于点 C,交 AB 的延长线于 D,且 CO=CD 得∠COD=45°、∠PCO=90°。再由 OA=OC,及外角知识得∠ACO=22.5°; 又∠PCA+∠ACO=90°,所以∠PCA=90°-∠ACO=67.5°。 另外也可考虑直径条件连结 BC 求解。 【答案】D 【点评】本题切线的性质和等边对等角及外角、余角等边角之间的关系。只要充分挖掘条件和图形中边角 的内在联系就可顺利求解。 难度较小。 14.(2011 湖北鄂州,14,3 分)如图,把 Rt△ABC 放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点 A、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0),将△ABC 沿 x 轴向右平移,当点 C 落在直线 y=2x-6 上时,线 段 BC 扫过的面积为( ) A.4 B.8 C.16 D. 2π 1 2 π 4π 8π 第 12 题 图 4 2 2 4 左视图 右视图 俯视图 1= 2S lR 1 2 4=42 ⋅ ×π π 1= 2S lR C DA O P B 第 13 题 图 8 2 【解题思路】将△ABC 沿 x 轴向右平移,当点 C 落在直线 y=2x-6 上时即当 y=4 时,解得 x=5,所以平 移的距离为 5-1=4,又知 BC 扫过的图形为平行四边形,高不变为: ,所以平行四边形 面积=底×高=4×4=16. 【答案】C 【点评】此题涉及运用勾股定理;已知一次函数解析式中的 y 值,解函数转化的一元一次方程求出 x 值, 利用横坐标之差计算平移的距离;以及平行四边形面积公式。运用数形结合、平移变换、动静变化的数学 思想方法是解此题的关键,综合性较强。 难度中等 15.(2011 湖北鄂州,15,3 分)已知函数 ,则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个, 则 k 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解题思路】如图: 利用顶点式及取值范围,可画出函数图象会发现:当 x=3 时,y=k 成立的 x 值恰好有三个,此时 y= ,则 k 的值为 3。 【答案】D 【点评】用数形结合更容易求解,当 y 一定时 x 值得个数也一定,0 个、1 个、2 个、3 个、4 个几种情况。 抓住顶点式和 x 的取值范围作图是解此题的关键所在。 难度中等 三、解答题(共 9 道大题,共 75 分) 16.(2011 湖北鄂州,16,5 分)解方程: 【解题思路】 去括号 ,得 移相合并同类项,得 系数化为 1,得 x=6 检验:当 x=6 时, ,所以 x=6 是原方程的根。 【答案】x=6 【点评】考查解最基本的分式方程的技能,学生只要掌握解分式方程的一般步骤即可得分。这种直接考查 基本技能的考法有效提高了考查结果的效度和信度. 难度较小 17.(2011 湖北鄂州,17,6 分)为了加强食品安全管理,有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用 油共抽取 18 瓶进行检测,检测结果分成“优秀”、“合格”、“不合格”三个等级,数据处理后制成以下 折线统计图和扇形统计图. ⑴甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测? 第 14 题 图 A B C O y x 2 25 (4 1) 4− − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 3 5 1 3 x x y x x  − −=  − − ≤ > 2 23-1 - = 3-5 -1=3( ) 1 3或( ) 2 13 x x x + =+ ( 3),x x + ⋅ 方程两边同乘 得 2( x+3) +x x=x( x+3) 2 22 6 3x x x x+ + = + -x=-6 x(x+3) 0≠ ⑵在该超市购买一瓶乙品牌食用油,请估计能买到“优秀”等级的概率是多少? 【解题思路】(1)分别观察折线和扇形图不合格的 1 瓶占甲的 10%,所以甲被抽取了 10 瓶,已被抽取了: 18-10=8 瓶。 (2)结合两图及问题(1)得乙优秀的瓶数共 瓶,所以优秀率为 【答案】 ⑴(由不合格瓶数为 1 知道甲不合格的瓶数为 1)甲、乙分别被抽取了 10 瓶、8 瓶 ⑵P(优秀)= 【点评】评析本题以学生在生活中常见的食用油安全问题为素材,以双图(折线统计图+扇形统计图)的 形式交叉呈现数据。学生需要通过读图,分析图获得信息,进而深入分析两个图之间相互联系,互相补充 获得数据,较好地考查了学生利用统计图描述数据的能力,以及考查学生分析问题和解决问题的能力。在 解决问题的过程中只有读懂图才能完成后边的计算问题,问题设计环环相扣,层层递进,这种考法有利于 落实对学生的综合判断能力的考查. 难度中等 18.(2011 湖北鄂州,18,7 分)如图,在等腰三角形 ABC 中,∠ABC=90°,D 为 AC 边上中点,过 D 点作 DE⊥DF,交 AB 于 E,交 BC 于 F,若 AE=4,FC=3,求 EF 长. 两种品牌食用油检测结果折线图 瓶数 优秀 合格 不合格 7 10 0 1 等级 不合格的 10% 合格的 30% 优秀 60% 甲种品牌食用油检测结果 扇形分布图 图⑴ 图⑵ 第 17 题 图 第 18 题 图 B A E D F C 10 10 60%=4− × 4 1 8 2 = 1 2 【解题思路】连结 BD,证△BED≌△CFD 和△AED≌△BFD,得 BF=4,BE=3,再运用勾股定理求得 EF= 5 【答案】连结 BD,证△BED≌△CFD 和△AED≌△BFD,求得 EF=5 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,三角形全等的判定和性质和勾股定理。只要 抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定,解决起来并不困难。 难度中等 19.(2011 湖北鄂州,19,7 分)有 3 张扑克牌,分别是红桃 3、红桃 4 和黑桃 5.把牌洗匀后甲先抽取 一张,记下花色和数字后将牌放回,洗匀后乙再抽取一张. ⑴先后两次抽得的数字分别记为 s 和 t,则︱s-t︱≥1 的概率. ⑵甲、乙两人做游戏,现有两种方案.A 方案:若两次抽得相同花色则甲胜,否则乙胜.B 方案:若 两次抽得数字和为奇数则甲胜,否则乙胜. 请问甲选择哪种方案胜率更高? 【解题思路】(1)如下表 甲(s) 乙(t) 红桃 3 红桃 4 黑桃 5 红桃 3 红桃 4 黑桃 5 由上表可知:︱s-t︱≥1 的概率= = (也可画树形图求解)。 (2)方案 A:如表 甲(花色) 乙(花色) 红桃 3 红桃 4 黑桃 5 红桃 3 同色 同色 不同色 红桃 4 同色 同色 不同色 黑桃 5 不同色 不同色 同色 由上表可得 方案 B:如表 甲 乙 红桃 3 红桃 4 黑桃 5 红桃 3 3+3=6 3+4=7 3+5=8 红桃 4 4+3=7 4+4=8 4+5=9 黑桃 5 5+3=8 5+4=9 5+5=10 由上表可得 因为 ,所以选择 A 方案甲的胜率更高. 【答案】⑴ ⑵A 方案 ,B 方案 ,故选择 A 方案甲的胜率更高. 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率方法.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出 所有可能的结果,列表适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 难度中等 20.(2011 湖北鄂州,20,8 分)今年我省干旱灾情严重,甲地急需要抗旱用水 15 万吨,乙地 13 万 吨.现有 A、B 两水库各调出 14 万吨水支援甲、乙两地抗旱.从 A 地到甲地 50 千米,到乙地 30 千米; 从 B 地到甲地 60 千米,到乙地 45 千米. ⑴设从 A 水库调往甲地的水量为 x 万吨,完成下表 甲 乙 总计 2 2BE BF+ = 3 3 0− = 4 3 1− = 5 3 2− = 3 4 1− = 4 4 0− = 5 4 1− = 3 5 2− = 4 5 1− = 5 5 0− = 6 9 2 3 5= 9P(甲胜) 4= 9P(甲胜) 5 4 9 9 > 2 3 5= 9P(甲胜) 4= 9P(甲胜) 调入地水量/万吨 调出地 A x 14 B 14 总计 15 13 28 ⑵请设计一个调运方案,使水的调运量尽可能小.(调运量=调运水的重量×调运的距离,单位:万吨• 千米) 【解题思路】通过读题、审题 (1)完成表格有 2 个思路:从供或需的角度考虑,均能完成上表。 (2)运用公式(调运水的重量×调运的距离) 总调运量=A 的总调运量+B 的总调运量调运水的重量×调运的距离 y=50x+(14-x)30+60(15-x)+(x-1)45=5x+1275(注:一次函数的最值要得到自变量的取值范围)∵ 5>0∴y 随 x 的增大而增大,y 要最小则 x 应最大 由 解得 1≤x≤14 y=5x+1275 中∵5>0∴y 随 x 的增大而增大,y 要最小则 x 应最小=1 ∴调运方案为 A 往甲调 1 吨,往乙调 13 吨;B 往甲调 14 吨,不往乙调。 【答案】⑴(从左至右,从上至下)14-x 15-x x-1 ⑵y=50x+(14-x)30+60(15-x)+(x-1)45=5x+1275 解不等式 1≤x≤14 所以 x=1 时 y 取得最小值 y=5+1275=1280 ∴调运方案为 A 往甲调 1 吨,往乙调 13 吨;B 往甲调 14 吨,不往乙调。 【点评】这样的“方案决策类”试题,其所考查的内容和思想方法却是非常重要的,其考查目的也是一 般的函数与不等式题目所不能完全体现的,具有一定的独特性和挑战性.在多数情况下,解这种试题要 以“不等式” 作为解决问题的工具,且由于题中含有由“不确定”中找确定的因素,所以关联了函数与 不等式等数学模型的建立与应用。此题中要确定一个量的范围的问题,就要转化为不等式的问题. 上题对于学生来说问题情境还是比较熟悉的,且题目中都是显性的条件,学生通过认真审题能比较 容易将实际问题转化为数学问题,从而求解。第(2)问需要借助题目中隐含的不等关系--难点,列出不 等式组,并确定出不等数组的解,从而利用一次函数的增减性选择最值,得到最佳方案。 难度较大 21.(2011 湖北鄂州,21,8 分)如图,防洪大堤的横断面是梯形,背水坡 AB 的坡比 (指坡面 的铅直高度与水平宽度的比).且 AB=20 m.身高为 1.7 m 的小明站在大堤 A 点,测得高压电线杆端 点 D 的仰角为 30°.已知地面 CB 宽 30 m,求高压电线杆 CD 的高度(结果保留三个有效数字, 1.732). 0 14 0 15 0 1 0 x x x x ≥  − ≥ − ≥  − ≥ 1: 3i = 3≈ C D N M A B 第 21 题 图 【解题思路】如图:延长 MA 交 CB 于点 E. CD=DN+CN=DN+ME. 在 中,背水坡 AB 的坡比 可知 , 得 。又 AB=20 m,所以 AE= ×20=10m,BE=20× = m 所以 NC=ME=MA=AE=1.7+10=11.7m 中,∠AMN=30°,MN=CE=CB+BE=(30+ )m DN= 所以旗杆高度 CD=DN+CN=DN+ME=11.7+ = ≈36.0m 【答案】 ≈36.0 【点评】此题首先将 CD 分成两部分 DN 和 CN,再将坡度概念转化成解直角三角形的知识,利用锐角三角函 数的定义及特殊角的三角函数值,运用线段间的关系即可求出相关线段的长。 难度中等。 22.(2011 湖北鄂州,22,8 分)在圆内接四边形 ABCD 中,CD 为∠BCA 外角的平分线,F 为弧 AD 上 一点,BC=AF,延长 DF 与 BA 的延长线交于 E. ⑴求证△ABD 为等腰三角形. ⑵求证 AC•AF=DF•FE 【解题思路】(1)利用同角的补角相等,同弧所对的圆周角相等,等量代换; (2)证等积式就要找三角形相似,发现 AC、AF、FE 所在的三角形,且利用等弧对等弦,同圆中等弦对等 弧,发现 DF 可以被 DC 替换,进而求解。 【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠DBA=∠DAB, 故△ABD 为等腰三角形. ⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠CDB=∠FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE ∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE ∴AC:FE=CD:AF ∴AC•AF= CD •FE 而 CD=DF, ∴AC•AF=DF•FE C D N M A B 第 21 题 图 E ABERt∆ 1: 3i = 01 3tan = tan3033 ABE∠ = = 030ABE∠ = 1 2 3 2 10 3 AMNRt∆ 10 3 3 (30 10 3) (10 3 10)m3 × + = + 10 3 10+ 21.7 10 3+ 21.7 10 3+ 第 22 题 图 B A F E D C M 【点评】解决此题关键要用到与圆相关的性质、定理以及三角形相似的判定,等角对等边。 有一定的几何知识的综合性。考查学生审图,分析图中边角关系的解题技能。 难度中等 23.(2011 湖北鄂州,23,12 分)我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府 对该特产的销售投资收益为:每投入 x 万元,可获得利润 (万元).当地政府 拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资,在实施规划 5 年的前两年中,每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公 路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的 3 年中,该特产既在本地销售,也在外 地 销 售 . 在 外 地 销 售 的 投 资 收 益 为 : 每 投 入 x 万 元 , 可 获 利 润 (万元) ⑴若不进行开发,求 5 年所获利润的最大值是多少? ⑵若按规划实施,求 5 年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少? ⑶根据⑴、⑵,该方案是否具有实施价值? 【解题思路】(1)利用顶点公式即可求解。 (2)前两年:0≤x≤50,在对称轴的左侧,P 随 x 增大而增大,当 x 最大为 50 时,P 值最大且为 40 万 元,所以这两年获利最大为 40×2=80 万元. 后三年:设每年获利为 y,设当地投资额为 x,则外地投资额为 100-x, 关键要注意此时的自变量只有一个,共投资 100 万,将 x 和 100 —x 分别代入相应的关系式即可 得到 y 与 x 的二次函数关系式,进而利用配方法或顶点公式求出最值。 (3)把(1)、(2)中的最值做比较即可发现有极大的实施价值。 【答案】解:⑴当 x=60 时,P 最大且为 41,故五年获利最大值是 41×5=205 万元. ⑵前两年:0≤x≤50,此时因为 P 随 x 增大而增大,所以 x=50 时,P 值最大且为 40 万元,所以这两年 获利最大为 40×2=80 万元. 后三年:设每年获利为 y,设当地投资额为 x,则外地投资额为 100-x,所以 y=P+Q = + = = ,表明 x=30 时,y 最大且为 1065,那么三年获利最大为 1065×3=3495 万元, 故五年获利最大值为 80+3495-50×2=3475 万元. ⑶有极大的实施价值. 【点评】此题以实际问题为背景,重在体现数学在生活中的应用。“数学来源于生活,应用于生活。”考查 的知识点是二次函数,利用抛物线顶点或抛物线图像的增减性求出最值得问题,并把最值进行比较,从而 得到最佳方案。虽然看上去关系式较复杂,但给出的是二次函数顶点式,学生做起来还是较易突破的。 难度中等 24.(2011 湖北鄂州,24,14 分)如图所示,过点 F(0,1)的直线 y=kx+b 与抛物线 交于 M (x1,y1)和 N(x2,y2)两点(其中 x1<0,x2<0). ⑴求 b 的值. ⑵求 x1•x2 的值 ⑶分别过 M、N 作直线 l:y=-1 的垂线,垂足分别是 M1、N1,判断△M1FN1 的形状,并证明你的结 论. ⑷对于过点 F 的任意直线 MN,是否存在一条定直线 m,使 m 与以 MN 为直径的圆相切.如果有,请 法度出这条直线 m 的解析式;如果没有,请说明理由. ( )21 60 41100P x= − − + ( ) ( )299 294100 100 160100 5Q x x= − − + − + ( )21 60 41100 x − − +   299 294 160100 5x x − + +   2 60 165x x− + + ( )230 1065x− − + 21 4y x= 【解题思路】第(1)问,将 F(0,1)代入 y=kx+b 即可得 b 值。 ⑵要将坐标转化为方程组的解,将方程组 变形得关于 x 的一元二次方程, 再利用根与系数的关系得 =-4 (3)要结合条件并利用(2)中的结论得到 F1M1•F1N1=-x1•x2=4,结合(1)中的结论得 F F1=2,再把两个结论结合得到 F1M1•F1N1=F1F2 判定直角三角形相似,再利用直角三角形的相似性质, 就可得到∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1 是直角三角形. (4)表示线段长利用坐标所在的函数关系,将函数式相加减表示距离。运用梯形中位线的性质,来证明。 【答案】解:⑴b=1 ⑵显然 和 是方程组 的两组解,解方程组消元得 ,依据“根 与系数关系”得 =-4 ⑶△M1FN1 是直角三角形是直角三角形,理由如下: 由题知 M1 的横坐标为 x1,N1 的横坐标为 x2,设 M1N1 交 y 轴于 F1, 则 F1M1•F1N1=-x1•x2=4,而 F F1=2,所以 F1M1•F1N1=F1F2, 另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易证 Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1,得∠M1FF1=∠FN1F1, 故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1 是直角三角形. ⑷存在,该直线为 y=-1.理由如下:直线 y=-1 即为直线 M1N1. 如图,设 N 点横坐标为 m,则 N 点纵坐标为 ,计算知 NN1= , NF= ,得 NN1=NF 同理 MM1=MF. F M N N1M1 F1 O y x l 第 24 题 图 F M N N1M1 F1 O y x l 第 24 题解答用图 P Q 2 1 1 4 y kx y x = + = 1 2x x• 1 1 x x y y =  = 2 2 x x y y =  = 2 1 1 4 y kx y x = + = 21 1 04 x kx− − = 1 2x x• 21 4 m 21 14 m + 2 2 21( 1)4m m+ − = 21 14 m + 那么 MN=MM1+NN1,作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ,由中位线性质知 PQ= (MM1+NN1)= MN,即圆心到直线 y=-1 的距离等于圆的半径,所以 y=-1 总与该圆相切. 【点评】: 此题第(1)问,很简单就是代入求值,确定函数的系数。 (2)结合问题将一次、二次函数组合转化为一元二次方程,利用“根与系数”的关系求解。 (3)直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性质的运用。 (4)用函数的加减来求距离,梯形中位线。此题综合性很强,考查学生数形结合的思想,综合了代数、 几何中的重点知识要学生有很好的综合技能才可解决。 难度较大 1 2 1 2