上海中考二模数学第2425题含答案 24页

‎24．（本题满分12分，每小题满分各4分）《2014宝山》‎ ‎ 在平面直角坐标系中（图10），抛物线（、为常数）和轴交于、和轴交于、两点(点在点B的左侧），且tan∠ABC=,如果将抛物线沿轴向右平移四个单位，点的对应点记为.‎ ‎（1）求抛物线的对称轴及其解析式；‎ ‎（2）联结AE，记平移后的抛物线的对称轴与AE的 ‎ 交点为，求点的坐标；‎ ‎（3）如果点在轴上，且△ABD与△EFD相似，‎ ‎ 求EF的长.‎ ‎ 图10‎ ‎25．（本题满分14分，第(1)小题4分， 第 (2)小题6分，第 (3)小题,4分）《2014宝山》‎ 在△ABC中，AB=AC=10，cosB=（如图11），D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在D右边），运动初始时D和B重合，运动至E和C重合时运动终止.过E作EF∥AC交AB于F，联结DF.‎ ‎（1）若设BD=x，EF=y，求y关于x的函数，并求其定义域；‎ ‎（2）如果△BDF为直角三角形，求△BDF的面积；‎ ‎（3）如果MN过△DEF的重心，且MN∥BC分别交FD、FE于M、N（如图12）．‎ A B C D E F M N 图12‎ 求整个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（直接写出答案）.‎ A B C D E F 图11‎ A B C 备用图 ‎24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）《2014崇明》‎ 已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，，设⊙P的半径为，线段OC的长为．‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ B A C O P ‎（第24题图）‎ ‎（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）《2014崇明》‎ 如图，反比例函数的图像经过点A（–2，5）和点B（–5，p），□ABCD的顶点C、D分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，二次函数的图像经过点A、C、D．‎ ‎（第25题图）‎ A C B O y D E x （1） 求直线AB的表达式；‎ （2） 求点C、D的坐标；‎ ‎（3）如果点E在第四象限的二次函数图像上，‎ 且∠DCE＝∠BDO，求点E的坐标．‎ ‎24. （本题满分12分）《2014徐汇》‎ ‎ 如图，直线与x轴、y轴相交于B、C两点，抛物线过点B、C，且与x轴另一个交点为A，以OC、OA为边作矩形OADC，CD交抛物线于点G．‎ ‎（1）求抛物线的解析式以及点A的坐标；‎ ‎（2）已知直线交OA于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线（CD上方部分）于点P，请用含m的代数式表示PM的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，联结PC，若△PCF和△AEM相似，求m的值．‎ ‎25. （本题满分14分）《2014徐汇》‎ 如图，已知∠MON两边分别为OM、ON， sin∠O=且OA=5，点D为线段OA上的动点(不与O 重合)，以A为圆心、AD为半径作⊙A，设OD=x．‎ （1） 若⊙A交∠O 的边OM于B、C两点，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ （2） 将⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′． ‎ ① ‎ 若⊙A′与直线OA相切，求x的值；‎ ② ‎ 若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．‎ ‎ 图1 备用图 ‎23. 抛物线经过点A（4，0）、B（2，2），联结OB、AB.《2014普陀》‎ (1) 求此抛物线的解析式；（5分）‎ (2) 求证：△ABO是等腰直角三角形；（4分）‎ (3) 将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°得到△O，写出边中点P的坐标，并判断点P是否在此抛物线上，说明理由. （3分）‎ B 第25题 E A C D ‎25．如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D ‎ 为BC边上一动点（不与点B重合），过点D作射线DE ‎ 交AB于点E，∠BDE=∠A，以点D为圆心，DC的长为 半径作⊙D. 《2014普陀》‎ （1） 设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出 定义域；（3分）‎ （2） 当⊙D与边AB相切时，求BD的长；（2分）‎ （3） 如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD 为多少长时，⊙D与⊙E相切？（9分）‎ ‎24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，) 《2014杨浦》‎ 已知抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12.‎ （1） 求抛物线的对称轴及表达式；‎ （2） 若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB=，求点P的坐标；‎ x y O ‎（第24题图）‎ （3） 在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE=，联结BE，试问BE与BC是否垂直？请通过计算说明。‎ ‎25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第（3）小题5分）《2014杨浦》‎ 已知AM平分∠BAC，AB=AC=10，cos∠BAM=。点O为射线AM上的动点，以O为圆心，BO为半径画圆交直线AB于点E（不与点B重合）。‎ ‎（1）如图（1），当点O为BC与AM的交点时，求BE的长；‎ ‎（2）以点A为圆心，AO为半径画圆，如果⊙A与⊙O相切，求AO的长；‎ 备用图 A B C M A B C M O E 图（1）‎ ‎（3）试就点E在直线AB上相对于A、B两点的位置关系加以讨论，并指出相应的AO的取值范围；‎ ‎（第25题图）‎ ‎24．（本题满分12分，其中每小题各4分）《2014浦东》‎ ‎ 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C(0，-3)，且OA=2OC．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD=45º，求点D的坐标.‎ ‎（第24题图）‎ ‎25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）《2014浦东》‎ 如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D.过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q.‎ ‎（1）求AG的长；‎ ‎（2）当∠APQ=90º时，直线PG与边BC相交于点M.求的值；‎ ‎（3）当点Q在边AC上时，设BP=，AQ=，求关于的函数解析式，并写出它的定义域.[‎ ‎（第25题图）‎ 24、 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交点A、B，点C在线段AB上，且.《2014虹口》‎ （1） 求点C的坐标（用含有m的代数式表示）；‎ （2） 将△AOC沿x轴翻折，当点C的对应点C’恰好落在抛物线上时，求该抛物线的表达式；‎ （3） 设点M为（2）中所求抛物线上一点，当以A、O、C、M为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标.‎ ‎25如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90˚，点C是上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交OA于点N. 《2014虹口》‎ （1） 当时，求的值；‎ （2） 设，，当时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ （3） 在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长.‎ ‎24．（本题满分12分）《2014长宁》‎ 如图，在直角坐标平面内，四边形OABC是等腰梯形，其中OA=AB=BC=4，tan∠BCO=.‎ ‎(1) 求经过O、B、C三点的二次函数解析式；‎ ‎(2) 若点P在第四象限，且△POC∽△AOB相似，求满足条件的所有点P的坐标；‎ ‎(3) 在（2）的条件下，若⊙P与以OC为直径的⊙D相切，请直接写出⊙P的半径. ‎ ‎25．（本题满分14分）《2014长宁》‎ 在△ABC中，已知BA=BC，点P在边AB上，联结CP，以PA、PC为邻边作平行四边形APCD，AC与PD交于点E，∠ABC=∠AEP=.‎ ‎(1) 如图（1），求证:∠EAP=∠EPA；‎ ‎(2) 如图（2），若点F是BC中点，点M、N分别在PA、FP延长线上，且∠MEN=∠AEP，判断EM和EN之间的数量关系，并说明理由.‎ ‎(3) 如图（3），若DC=1，CP=3，在线段CP上任取一点Q，联结DQ，将△DCQ沿直线DQ翻折，点C落在四边形APCD外的点C’处，设CQ=x，△DC’Q与四边形APCD重合部分的面积为y，写出y与x的函数关系式及定义域.‎ ‎24．（本题满分12分，每小题6分）《2014奉贤》‎ 第24题 已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于A、B两点，交轴于点C.‎ ‎（1）求抛物线的表达式和它的对称轴；‎ ‎（2）若点P是线段OA上一点（点P不与点O和点A 重合），点Q是射线AC上一点，且，‎ 在轴上是否存在一点D，使得与 相似，如果存在，请求出点D的坐标；如不存在，‎ 请说明理由．‎ ‎25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）《2014奉贤》‎ 已知：如图1，在梯形ABCD中，∠A=90°,AD∥BC, AD=2,AB=3, tanC=,点P是AD延长线上一点，F为DC的中点， 联结BP，交线段DF于点G．‎ ‎（1）若以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切，求PD的长；‎ ‎（2）如图2，过点F作BC的平行线交BP于点E，‎ ‎①若设DP=，EF=，求与的函数关系式并写出自变量的取值范围；‎ ‎②联结DE和PF，若DE=PF，求PD的长．‎ A P 第25题图1‎ DA C B FA G C EA A P 第25题图2‎ DA B FA G A 备用图 DA C B FA ‎24．（本题共2题，每小题6，满分12分）《2014闵行》‎ ‎（第24题图）‎ 已知：如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线经过O、A、C三点．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的 对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）《2014闵行》‎ 已知：如图①，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI．‎ ‎（1）设∠BAC=2．如果用表示∠BIC和∠E，那么∠BIC= ，‎ ‎∠E= ；‎ ‎（2）如果AB=1，且△ABC与△ICE相似时，求线段AC的长；‎ ‎（3）如图②，延长AI交EC延长线于F，如果∠=30°，sin∠F=，设BC=m，‎ ‎（第25题图②）‎ F A B C D E I 试用m的代数式表示BE．‎ ‎（第25题图①）‎ A B C D E I ‎ ‎ 答案 宝山 ‎24．（1）易知抛物线的对称轴为直线…………1分 将代入抛物线得： …………1分 依题意tan∠ABC=,易得 …………1分 将代入可得抛物线的表达式为…………1分 ‎ （注：若学生求出，即可得分.）‎ ‎（2）向右平移四个单位后的对应点的坐标为（6，0）.……1分 向右平移四个单位后的新抛物线的对称轴为直线X= …………1分 将、（6，0）代入直线得 直线A的表达式为， …………1分 交点的坐标（，） …………1分 ‎（3）易证∠BAE=∠AEB=30° …………1分 若△ADB∽△EDF， 则有 …………1分 EF=， …………1分 若△ADB∽△EFD， 则有 EF=， …………1分 ‎ ‎ ‎25.解：（1）∵在等腰三角形ABC中，腰AB=AC=10，底角B满足cosB=，‎ ‎∴BC=10××2=16. …………1分 ‎∵EF∥AC， ∴. …………1分 BD=x，EF=y ， DE=3 ‎ ‎∴. （0≤x≤13）. …………1+1分 ‎（2）依题意易得在三角形FBE中， FB=FE=. …………1分 ‎ 若∠FDB为直角时有BD=DE. ∴ …………1分 ‎ 又∵cosB=， ∴FD=. …………1分 ‎ ‎ ∴三角形BDF的面积为. …………1分 若∠BFD为直角时，BF=EF== ∴ …………1分 ‎ ∴三角形BDF的面积为 …………1分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3) 平行四边形. 面积为．…………………………………………2+2分 崇明 ‎24．解：（1）在⊙O中，作OD⊥AB，垂足为D，…………………………………………（1分）‎ 在Rt△OAD中，，……………………………………（1分）‎ ‎∴AD=AO=1． ∴AB=2AD=2．……………………………………………（1分）‎ ‎（2）联结OB、PA、PC，‎ ‎∵⊙P与⊙O相切于点A，∴点P、A、O在一直线上．…………………（1分）‎ ‎∵PC=PA，OA=OB，∴∠PCA=∠PAC=∠OAB=∠OBA，∴PC//OB．……（1分）‎ ‎∴，∴AC． ……………………………………（1分）‎ ‎∵，CD=AD+AC=，‎ ‎∴OC=，……………………………………（1分）‎ ‎∴，定义域为．………………………………（1分）‎ （1） 当⊙P与⊙O外切时，∵OB//PC，∴∠BOA=∠OPC=∠OCA．‎ ‎∵∠OAB=∠CBO，∴△BCO∽△BOA．……………………………………（1分）‎ ‎∴，∴．∵‎ ‎∴，∴，∴这时⊙P的半径为．……………………‎ ‎（1分）‎ 当⊙P与⊙O内切时，同理由△OCA∽△BOA可得．……………（1分）‎ ‎∴，，∴这时⊙P的半径为．……………………………（1分）‎ ‎∴⊙P的半径为或．‎ ‎25．解：（1）设反比例函数的解析式为．∵它图像经过点A（–2，5）和点B（–5，p），‎ ‎∴5=，∴，∴反比例函数的解析式为．…………………（1分）‎ ‎∴，∴点B的坐标为（–5，2）．…………………………………（1分）‎ 设直线AB的表达式为，则……………………………（1分）‎ ‎∴∴直线AB的表达式为．……………………………………（1分）‎ ‎（2）由□ABCD中，AB//CD，设CD的表达式为，…………………………（1分）‎ ‎∴C（0，c），D（–c，0），………………………………………………………（1分）‎ ‎∵CD＝AB，∴∴，…………………（1分）∴c＝–3，∴点C、D的坐标分别是（0，–3）、（3，0）．……………………（1分）‎ 或：∵□ABCD的顶点C、D分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，‎ ‎∴线段AB向右平移5个单位，再向下平移5个单位后与线段CD重合．………（2分）‎ ‎∴点C、D的坐标分别是（0，–3）、（3，0）．……………………………………（2分）‎ 或：作AH⊥轴，BG⊥轴，垂足分别为H、G，证得△AHD≌△CGB，………（2分）‎ 由DH＝BG＝5，CG＝AH＝5得C、D的坐标．…………………………………（2分）‎ ‎（3）设二次函数的解析式为，……………………（1分）‎ ‎∴ ∴二次函数的解析式为．………………………（1分）‎ 作EF⊥轴，BG⊥轴，垂足分别为F、G．∵OC＝OD，BG＝CG，‎ ‎∴∠BCG＝∠OCD=∠ODC＝45 º．∴∠BCD=90º，‎ ‎∵∠DCE＝∠BDO，∴∠ECF=∠BDC．…………………………………………（1分）‎ ‎∴tan∠ECF=tan∠BDC=.………………………（1分）‎ 设CF＝3t，则EF＝5t，OF＝3–3t，∴点E（5t，3t–3），……………………（1分）‎ ‎∴，.∴点E（，）.………（1分）‎ 普陀23. 解：（1）抛物线经过点A（4，0）、B（2，2），‎ ‎ ∴得，…………………………………………………………………………2′‎ ‎ 解得： …………………………………………………………………………2′‎ 第23（2）题 C x y B O A ‎1‎ ‎∴抛物线解析式是 …………………………………………………………1′‎ 证明：（2）过点B作BC⊥OA于点C，……………………………1′‎ ‎ ∴BC=OC=CA=2．………………………………………1′ ‎ ‎∠BOC=∠BAC=45°， ………………………………1′ ‎ ‎ ∴∠OBA=90°， ………………………………………1′ ‎ ‎ ∴△ABO等腰直角三角形．‎ 解：（3）点P坐标（，）．………………………………………………………………1′‎ ‎ 当x=时，‎ ‎ =，…………………………………………1′‎ ‎ ∴点P不在此抛物线上．……………………………………………………………………………1′‎ x y ‎5-y ‎5‎ B 第25题 E A C D ‎25.‎ 解：(1)∵∠B=∠B，∠BDE=∠A，‎ ‎ ∴△BDE∽△BAC，………………………………………………1′‎ ‎ ∴，即，‎ ‎ ∴．……………………………………………………1′‎ ‎ 定义域： 00）--------------------------1分 ‎∵点P在抛物线上，∴，∴,‎ ‎∴P(5，)-----------------------------------------------2分 ‎（3）是---------------------------------------------------1分 证明：设AE交y轴于点D，‎ ‎∵A（-2,0），C（0，-4），∴tan∠ACO=，∵tan∠PAB=，∴∠PAB=∠ACO, ‎ ‎∵∠ACO+∠OAC=,∴∠PAB+∠OAC=,∴PA⊥AC, -------------------------1分 ‎∵tan∠BCE=，∴∠ACO=∠BCE，∴∠ACE=∠OCB ‎∵B（4,0）, C（0，-4），∴∠OCB=,∠ACE=, ‎ ‎∵A（-2,0），C（0，-4），∴AO=2，OC=4，∴AO=,∴CE=,-----------1分 ‎∵B（4,0）, C（0，-4）, ∴BC=‎ A B C E D P x y O 在△AOC和△EBC中，,,∴=,‎ 又∠ACO=∠BCE，∴△AOC∽△EBC，---------1分 ‎∴∠EBC=∠AOC=,∴BE⊥BC。‎ ‎ ‎ ‎25. 解（1）∵AM平分∠BAC，AB=BC，‎ ‎∴AM⊥BC，‎ ‎∵cos∠BAM=，AB=10，∴cos∠B=,BO=6，AO=8，---------------（1分，1分）‎ 作OH⊥AE，∵O为圆心，∴BH=EH,----------------------------------------（1分）‎ A B C O P M 在Rt△BOH中，,∴,‎ ‎∴BE=2BH=.--------------------------------------------------------（1分）‎ ‎(2) ∵⊙A与⊙O相切，AO为⊙A半径，‎ ‎∴⊙A与⊙O只可能相内切，且⊙A在⊙O的内部，------------（1分）‎ ‎∴OA=OB-OA，∴OB=2OA，-------------------------------（1分）‎ 设OA=x，则OB=2x，‎ 作 BP⊥AM，则AP=8，BP=6，OP=8-x，‎ 在Rt△BPO中，,即，-----------（1分）‎ ‎∴，∴，（负舍），∴OA=.-------（2分）‎ ‎（3）过AB中点作AM的垂线交AM于点O1，可得AO1=,-----------------(1分)‎ ‎ 过B作AM的垂线交AM于点O2，可得AO2=,-----------------(1分)‎ 当时，点E在BA的延长线上；--------------------（1分）‎ 当时，点E在线段AB上；--------------------（1分）‎ 当时，点E在AB的延长线上。--------------------（1分）‎ 浦东24.（1）解:∵C(0，-3)，∴OC=3.……………………………………（1分）‎ ‎ ∵OA=2OC,∴OA=6.‎ ‎ ∵，点A在点B右侧，抛物线与y轴交点C(0，-3).‎ ‎ ∴.………………………………………………………………………（1分） ‎ ‎ ∴.……………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴，∴. …………………………………………（1分）‎ ‎（2）过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于 ‎ 点E，垂足为点E.‎ ‎ 在Rt△AHM中,HM=AH=4,,.‎ ‎ 求得直线AC的表达式为．………………（1分）‎ ‎ ∴N（2,-2）．∴MN=2.…………………………………（1分）‎ ‎ 在Rt△MNE中,∴,‎ ‎ ∴.…………………………………………（1分）‎ ‎ 在Rt△AEN中,.………（1分）‎ ‎ （3）当D点在AC上方时，‎ ‎ ∵,‎ ‎ 又 ∵,‎ ‎ ∴. ………………………………（1分）‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∵点在抛物线的对称轴直线x=2上,‎ ‎ ∴,∴.‎ ‎ 在Rt△AH中,.‎ ‎ ∴.……………………………………………（1分）‎ ‎ ‚当D点在AC下方时，‎ ‎ ∵，‎ ‎ 又 ∵，‎ ‎ ∴.……………………………………（1分）‎ ‎ ∴‎ ‎ 在Rt△中，.‎ ‎ ∴.……………………………………………（1分）‎ ‎ 综上所述：，.‎ ‎25.解：（1）在△ABC中，∵AB=AC，点G是△ABC的重心,‎ ‎ ∴，AD⊥BC.……………………………………………………（1分） ‎ ‎ 在Rt△ADB中，∵,∴.‎ ‎ ∵, ∴AB=15，BC=18.‎ ‎ ∴AD=12.……………………………………………………………………………（1分） ‎ ‎ ∵G是△ABC的重心，∴.………………………………………（1分）‎ ‎ （2）在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°，‎ ‎ 同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°,‎ ‎ ∴∠MGD=∠B.…………………………………（1分） ‎ ‎ ∴,‎ ‎ 在Rt△MDG中,∵，‎ ‎ ∴，∴……（1分）‎ ‎ 在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC,∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ 又 ∵,‎ ‎ ∴,………………………………（1分）‎ ‎ 又 ∵,‎ ‎ ∴△QCM∽△QGA.………………………………（1分）‎ ‎ ∴.……………………………（1分）‎ ‎（3）过点作,过点作,分别交直线于点E、F，则 .…………………………………（1分）‎ ‎ ∵,∴,即,‎ ‎ ∴.………………………………（1分）‎ ‎ 同理可得:,即,‎ ‎ ∴.……………………………（1分） ‎ ‎ ∵, ,∴.‎ ‎ ∴,即.（1分） ‎ ‎ ∴,.…………………（2分）‎ 奉贤 ‎24．（本题满分12分，每小题6分）‎ ‎(1)∵抛物线交轴于A、B两点 ‎∴ 解得：……………………………………3分 ‎∴抛物线的表达式：…………………………………………1分 它的对称轴是：直线…………………………………………………………2分 ‎（2）假设在轴上是否存在一点D，使得与相似 ‎∵∠A=∠A ‎ ‎ 则①△APQ∽△ACD ∴‎ ‎∵ ∴AC=CD ‎ ‎∵A ∴………………………………………………………3分 ‎②△APQ∽△ADC ∴‎ ‎∵C (0，3) ， ‎ ‎∴AD=CD ∴…………………………………………………………3分 ‎∴点D的坐标时，△ACD与△APQ相似。‎ ‎ 25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）‎ 解：（1）∵在直角三角形ABP中，AD=2,AB=3, DP=‎ ‎ ∴BP=………………………………………………………1分 ‎∵以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切 ‎∴BP=AB+PD………………………………………………………………1分 ‎∴…………………………………………………2分 解得： ……………………………………………………………1分 ‎∴PD的长为2时，以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切。‎ ‎（2）联结DE并延长交BC于点G，………………………………………………1分 ‎∵F为DC的中点，EF∥BC ∴DE=EG ‎ ‎∴CG=2EF ‎∵AD∥BC ∴‎ ‎∴DP=BG…………………………………………………………………………1分 过D作DH⊥BC于点H，∵tanC=，DH=3 ∴CH=6‎ ‎∵AD=BH=2 ∴BC=8…………………………………………………………1分 ‎∵DP=，EF=, BC=BG+CG ‎∴ ∴………………………………………2分 ‎（3）∵AD∥EF ，DE=PF 当 DP=EF时，四边形DEFP为平行四边形 ‎∴= ∴…………………………………………………………………2分 当 DPEF时，四边形DEFP为等腰梯形 过E作EQ⊥AP于点Q， DQ=‎ ‎∵EQ∥AB，BE=PE ∴AQ= ∴DQ=‎ ‎∴= 解得：…………………………………………2分 ‎∴PD的长为或4.‎ 闵行 ‎24．解：（1）∵ 抛物线经过点O、A、C，可得c = 0，…………（1分）‎ ‎∴，解得，；………………………………（2分）‎ ‎∴ 抛物线解析式为．…………………………………（1分）‎ ‎ 对称轴是直线…………………………………………………（1分）‎ ‎ 顶点坐标为（，）……………………………………………（1分）‎ ‎（2）设点P的横坐标为t，‎ ‎∵PN∥CD，‎ ‎∴ △OPN ∽ △OCD，‎ 可得PN=，∴P（t，）．……（1分）‎ ‎∵点M在抛物线上，‎ ‎∴M（t，）．…………（1分）‎ 如解答图，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，‎ AG = yA－yM = 2－（）=，BH = PN =．…（1分）‎ 当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，‎ ‎∴，……………………………………………………（1分）‎ 化简得3t2－8t + 4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，………（1分）‎ ‎∴点P的坐标为（，）．‎ ‎∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．……………（1分）‎ ‎25．解：（1）∠BIC = 90°＋，…………………………………………………（2分）‎ ‎∠E = ．…………………………………………………………（2分）‎ ‎（2）由题意易证得△ICE是直角三角形，且∠E = ．‎ 当△ABC ∽△ICE时，可得△ABC是直角三角形，有下列三种情况：‎ ‎①当∠ABC = 90° 时，∵∠BAC = 2，∠E = ；‎ ‎∴ 只能∠E = ∠BCA，可得∠BAC =2∠BCA．‎ ‎∴ ∠BAC = 60°，∠BCA = 30°．∴ AC =2 AB．‎ ‎∵ AB = 1 ，∴ AC = 2．…………………（2分）‎ ‎②当∠BCA = 90° 时，∵∠BAC = 2，∠E = ；‎ ‎∴ 只能∠E = ∠ABC，可得∠BAC =2∠ABC．‎ ‎∴ ∠BAC = 60°，∠ABC = 30°．∴ AB =2 AC．‎ ‎∵ AB = 1 ，∴ AC = ．………………（2分）‎ ‎③当∠BAC = 90° 时，∵∠BAC = 2，∠E = ；‎ ‎∴∠E = ∠BAI = ∠CAI =45°．‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形．即 AC = AB．‎ ‎∵ AB = 1 ，∴ AC = 1．…………………（2分）‎ ‎ ∴综上所述，当△ABC ∽△ICE时，线段AC的长为1或2或． ‎ ‎（3）∵∠E = ∠CAI，由三角形内角和可得 ∠AIE = ∠ACE． ‎ ‎∴ ∠AIB = ∠ACF．‎ 又∵∠BAI = ∠CAI， ∴ ∠ABI = ∠F．‎ 又∵BI平分∠ABC， ∴ ∠ABI = ∠F =∠EBC．‎ 又∵∠E是公共角， ∴ △EBC ∽△EFI．…………………………（2分）‎ 在Rt△ICF中，sin∠F=，设IC = 3k，那么CF = 4k，IF = 5k．‎ 在Rt△ICE中，∠E =30°，设IC = 3k，那么CE = k，IE = 6k．‎ ‎∵△EBC ∽△EFI．∴ ．‎ 又∵BC=m， ∴ BE = ．………………………………（2分）‎