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  • 2021-05-13 发布

中考数学专题复习相似模型讲义及答案

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相似模型(一)(讲义)‎ Ø 课前预习 1. 请证明以下结论:‎ ‎①如图 1,在△ABC 中,DE∥BC,求证:△ADE∽△ABC.‎ ‎②如图 2,在△ABC 中,∠B=∠AED,求证:△AED∽△ABC.‎ ‎③如图 3,在△ABC 中,∠B=∠ACD,求证:△ACD∽△ABC.‎ ‎④如图 4,直线 AB,CD 相交于点 O,连接 AC,BD,且 AC∥BD,求证:△AOC∽△BOD.‎ ‎⑤如图 5,直线 AB,CD 相交于点 O,连接 AC,BD,∠B=‎ ‎∠C,求证:△AOC∽△DOB.‎ ‎⑥如图 6,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D, 求证:△ADB∽△CDA,△ADB∽△CAB.‎ D D E A A A D E B C B ‎C B C 图 1 图 2 图 3‎ O C B O D B A A C A ‎D B D C 图 4 图 5 图 6‎ Ø 知识点睛 1. 六种相似基本模型:‎ D D D E A A A E B C B C B C DE∥BC ∠B=∠AED ∠B=∠ACD A 型 当两个三角形相似且有公共边时, 借助对应边成比例往往可以得到 a2=bc 形式的关系. 例如:“母子型”中 ‎△ABD∽△CBA→AB2=BC·BD ‎△ACD∽△BCA→ ‎ ‎△ADB∽△CDA→ ‎ D B C A B O O A C A D B D C AC∥BD ‎∠B=∠C ‎AD 是 Rt△ABC 斜边上的高 X 型 母子型 2. 相似、角相等、比例线段间的关系:‎ 判定 角相等比例线段 ‎相似 性质 ‎角相等比例线段 ‎‎ 列方程(或表达边) 比的传递转移 相似往往与 等信息组合搭配起来使用.多个相似之间一般会通过 来转移条件.一般碰到不熟悉的线段间关系时,常需要还原成 来观察和分析.‎ 3. 影子上墙:‎ ‎ 、 、 是影子上墙时的三种常见处理方式,它们的实质是构造三角形相似.‎ D A G E F B C G D D D H H G G E F H E F E F ‎△DEH∽△ABC △DHG∽△ABC △HEF∽△ABC Ø 精讲精练 1. 如图,在△ABC 中,EF∥DC,∠AFE=∠B,AE=6,ED=3,‎ AF=8,则 AC=‎ E D F A ‎, CD = .‎ BC A B E F C D B C 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图,AB∥CD,线段 BC,AD 相交于点 F,点 E 是线段 AF 上一点且满足∠BEF=∠C,其中 AF=6,DF=3,CF=2,则AE= .‎ 3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,BD=2,‎ AD=8,则 CD= ,AC= ,BC= .‎ D E G A C B C A D B F 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起,A 为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为 2,若△ABC 固定不动,△AFG 绕点 A 旋转,AF,‎ AG 与边 BC 的交点分别为 D,E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合).‎ ‎①请写出图中所有的相似三角形 ;‎ ‎②若 BD = 1 ,则 CE= .‎ ‎2‎ 1. 如图,M 为线段 AB 上一点,AE 与 BD 交于点 C,∠DME=‎ ‎∠A=∠B=α,且 DM 交 AE 于点 F,ME 交 BD 于点 G.‎ ‎(1)写出图中的三对相似三角形;‎ ‎(2)连接 FG,当 AM=MB 时,求证:△MFG∽△BMG.‎ F G C D A M B E 2. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 为 AD 的中点,连接 BE 交 AC 于点 F,连接 FD.若∠BFA=90°,‎ 给出以下三对三角形:①△BEA 与△ACD;②△FED 与△DEB;‎ ‎③△CFD 与△ABO.其中相似的有 (填写序号).‎ ‎A E D F O B C 3. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CE⊥AB 于点 E,D 在 AB ‎4 5‎ ‎5‎ 的延长线上,且∠DCB=∠A,BD:CD=1:2, AE = ,则 ‎△BCD 的面积是( )‎ A. 1‎ ‎3‎ ‎B. 5‎ ‎3‎ ‎C. 2‎ ‎3‎ ‎D. 2 5‎ ‎3‎ C A E B D 1. 如图,在 Rt△ABD 中,过点 D 作 CD⊥BD,垂足为 D,连接 BC 交AD 于点E,过点E 作EF⊥BD 于点F,若AB=15,CD=10,则 BF:FD= .‎ E A A N M C D B F D ‎B E C 第 8 题图 第 9 题图 2. 如图,在□ABCD 中,E 为 BC 的中点,连接 AE,AC,分别交 BD 于 M,N,则 BM:DN= .‎ ‎10. 如图,直线 l1∥l2,若 AF:FB=2:3,BC:CD=2:1,则CE:AE= .‎ A G D ‎ F ‎ E G A l1‎ F E ‎ l2‎ B C D B C 第 10 题图 第 11 题图 11. 如图,在□ABCD 中,E 是 BA 延长线上一点,CE 分别与 AD,‎ BD 交于点 G,F.则下列结论:① EG = AG ;② EF = BF ;‎ GC GD ‎③ FC = BF ;④ CF 2 = GF × EF .其中正确的是 GF FD ‎FC FD ‎.‎ 12. 如图所示,AB∥CD,AD,BC 交于点 E,过 E 作 EF∥AB 交 BD 于点 F.则下列结论:①△EFD∽△ABD;② EF ‎= BF ;‎ ‎③ EF + EF = FD + BF ‎CD BD = 1 ;④ 1 + 1 = 1 .其中正确的 AB CD BD BD 有 .‎ ‎AB CD EF A E C B F D 11. 如图,在△ABC 中,CD⊥AB 于点 D,正方形 EFGH 的四个 顶点都在△ABC 的边上.求证: 1 + 1 = 1 .‎ AB CD EF C E F A H D G B 12. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度.在阳光下,一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米,同时另一名同学测量一棵树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),这部分影长为 1.2 米,落在地面上的影长为 2.4 米,则树高为 .‎ A D B C 第 14 题图 第 15 题图 13. 小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上, 量得 CD=8 米,BC=20 米,CD 与地面成 30°角,且此时测得 ‎1 米杆的影长为 2 米,则电线杆的高度为( )‎ A.9 米 B.28 米 C. (7 + 3) 米 D. (14 + 2 3) 米 11. 如图,在斜坡的顶部有一铁塔 AB,B 是 CD 的中点,CD 是水平的,在阳光的照射下,塔影 DE 留在坡面上.若铁塔底座宽 CD=12 m,塔影长 DE=18 m,小明和小华的身高都是 ‎1.6 m,同一时刻小明站在点 E 处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为 2 m 和 1 m, 则塔高 AB 为( )‎ A.24 m B.22 m C.20 m D.18 m A C B D E ‎【参考答案】‎ Ø 课前预习 1. 证明略;‎ Ø 知识点睛 2. 角相等、比例线段,比例的传递与整合,比例形式 3. 推墙法、抬高地面法、砍树法框内答案 框 1: AC 2 = BC × CD ; AD2 = CD × DB .‎ Ø 精讲精练 ‎1. 12, 3‎ ‎4‎ ‎2. 10‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3. 4, 4 5 , 2‎ 4. ‎①△ABE∽△DAE;△DAC∽△DEA;△ABE∽△DCA;△ABC ‎≌△GAF.‎ ‎② 2 .‎ ‎3‎ 5. ‎(1)△AMF∽△BGM;△AME∽△MFE;△BMD∽△MGD;‎ ‎(2)证明略.‎ ‎6. ①②③‎ ‎7. A ‎8. 3:2‎ ‎9. 2:3‎ ‎10. 1:2‎ ‎11. ①②③④‎ ‎12. ①②③④‎ ‎13. 证明略 ‎14. 4.2 米 15. D 16. A 相似模型(一)(习题)‎ Ø 例题示范 例 1:如图,某一时刻,旗杆 AB 的影子一部分在地面上,另一部分在建筑物的墙面上.小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 ‎9.6 m,在墙面上的影长 CD 为 2 m.同一时刻,小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m.请帮助小明求出旗杆的高度.‎ D A B C 解:如图,过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E,则四边形 BCDE 为 D E 矩形. A 由题意,BC=9.6,CD=2,‎ ‎∴BC=DE=9.6,CD=BE=2‎ 由题意,‎ AE = ED ‎1‎ ‎1.2‎ ‎∴AE=8 B C ‎∴AB=AE+EB=8+2=10‎ ‎∴旗杆的高度为 10 m.‎ Ø 巩固练习 1. 如图,在锐角三角形 ABC 中,高 CD,BE 相交于点 H,则图中与△CEH 相似(除△CEH 自身外)的三角形有( )‎ A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 A E F B A D D E H C B C 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图,E 是□ABCD 的边 CD 上一点,连接 AC,BE 交于点 F. 若 ‎ DE:EC=1:2,则 BF:EF= .‎ 1. 1. 如图,小明在 A 时刻测得某树 B时 A时的影长为 2 m,B 时刻又测得 该树的影长为 8 m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为 .‎ 2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,若 BD:CD=3:2,则 AC:AB=( )‎ A. 3‎ ‎2‎ ‎B. 2‎ ‎3‎ A ‎C. 6‎ ‎2‎ ‎D. 6‎ ‎3‎ G A F D E C B D C B 第 4 题图 第 5 题图 3. 如图,已知□ABCD,过点 B 的直线依次与 AC,AD 及 CD 的延长线相交于点 E,F,G.若 BE=5,EF=2,则 FG 的长为 ‎ .‎ 4. 如图,梯形 ABCD 的中位线 EF 分别交对角线 BD,AC 于点 M,N,AD=1,BC=3,则 EF= ,MN= .‎ E M N F A F G D A D B C E B C 第 6 题图 第 7 题图 5. 如图,D 是 AB 的中点,AF∥CE,若 CG:GA=3:1,BC=8,‎ 则 AF= . ‎ 6. 如图,P 是□ABCD 的对角线 BD 上一点,一直线过点 P 分别 交 BA,BC 的延长线于点 Q,S,交 AD,CD 于点 R,T. 有下列结论:①△RQA∽△RTD;② PS × PD = PR × PB ;‎ ‎③ PQ = PB ;④ PQ × PR = PS × PT .其中正确的是 .‎ PT PD ‎ ‎9.如图,在△ABC 中,D 为 AC 边的中点,AE∥BC,ED 交 AB 于点 G,交 BC 的延长线于点 F.若 BG:GA=3:1,BC=10, 则 AE= .‎ E G A D C B ‎ ‎10.‎ ‎11.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为 D,E 是 AC 上的点,若 AF⊥BE,垂足为 F.求证:∠BFD=∠C.‎ A E F B D C ‎12.如图,一同学在某时刻测得 1 m 长的标杆竖直放置时影子长为 1.6 m,同一时刻测量旗杆的影子长时,因旗杆靠近一栋楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上的影子长为 11.2 m,留在墙上的影子高为 1 m,则旗杆的高度是 .‎ A D B C 第 11 题图 第 12 题图 ‎13.如图,小明想测量电线杆 AB 的高度,发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上,量得 CD=4 m,BC=10 m,‎ CD 与地面成 30°角,且此时测得 1 m 杆的影子长为 2 m,则电线杆的高度为 .‎ ‎14.如图,在斜坡的顶部有一竖直铁塔 AB,B 是 CD 的中点,且 CD 是水平的.在阳光的照射下,塔影 DE 留在坡面上,已知铁塔底座宽 CD=14 m,塔影长 DE=36 m,小明和小华的身高都是 1.6 m,小明站在点 E 处,影子也在斜坡面上,小华站在沿 DE 方向的坡脚下,影子在平地上,两人的影长分别为 4 m, 2 m,那么塔高 AB= .‎ C B D E A ‎ ‎ 第 13 题图 第 14 题图 ‎15.某兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下,一名同学测得一根长为 1 m 的竹竿的影长为 0.4 m,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为 0.2 m,一级台阶高为 0.3 m,如图所示,若此时落在地面上的影长为 4.4 m,则树高为 .‎ 1. Ø 思考小结 1. 相似基本模型除了图形本身往往有公共角、对顶角相等之外, 还需要满足一些其他特征,这些特征能够帮助我们快速验证模型.‎ ‎①平行线,往往配合对顶角相等(X 型)、有公共角(A 型)‎ ‎②一组角对应相等,往往配合对顶角相等(X 型)、有公共角 ‎(A 型)‎ ‎③多直角结构,往往利用互余关系得到角相等后,配合有公共角(母子型)‎ 2. 影子上墙问题的常见处理方法:推墙法、砍树法、抬高地面法,这三种方法的实质都是构造三角形相似,在构造的时候, 我们主要是想办法构造出来太阳光线与地面的夹角.‎ 3. ‎【参考答案】‎ Ø 巩固练习 ‎1. C ‎2. 3:2‎ 1. ‎4 m 2. D ‎5. 21‎ ‎2‎ ‎6. 2,1‎ ‎7. 4‎ ‎8. ①②③④‎ ‎9.5‎ ‎10.证明略 ‎11.证明略 ‎12.8 m ‎13. (7 + ‎14. 20 m ‎3) m ‎15. 11.8 m