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- 2021-05-13 发布
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相似模型(一)(讲义)
Ø 课前预习
1. 请证明以下结论:
①如图 1,在△ABC 中,DE∥BC,求证:△ADE∽△ABC.
②如图 2,在△ABC 中,∠B=∠AED,求证:△AED∽△ABC.
③如图 3,在△ABC 中,∠B=∠ACD,求证:△ACD∽△ABC.
④如图 4,直线 AB,CD 相交于点 O,连接 AC,BD,且
AC∥BD,求证:△AOC∽△BOD.
⑤如图 5,直线 AB,CD 相交于点 O,连接 AC,BD,∠B=
∠C,求证:△AOC∽△DOB.
⑥如图 6,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D, 求证:△ADB∽△CDA,△ADB∽△CAB.
D
D
E
A A A
D E
B C B
C B C
图 1 图 2 图 3
O
C
B
O
D B A
A C A
D B D C
图 4 图 5 图 6
Ø 知识点睛
1. 六种相似基本模型:
D
D
D E
A A A
E
B C B C B C
DE∥BC ∠B=∠AED ∠B=∠ACD
A 型
当两个三角形相似且有公共边时, 借助对应边成比例往往可以得到
a2=bc 形式的关系. 例如:“母子型”中
△ABD∽△CBA→AB2=BC·BD
△ACD∽△BCA→
△ADB∽△CDA→
D B C A
B
O O
A C A D B D C
AC∥BD
∠B=∠C
AD 是 Rt△ABC 斜边上的高
X 型 母子型
2. 相似、角相等、比例线段间的关系:
判定
角相等比例线段
相似 性质
角相等比例线段
列方程(或表达边) 比的传递转移
相似往往与 等信息组合搭配起来使用.多个相似之间一般会通过 来转移条件.一般碰到不熟悉的线段间关系时,常需要还原成 来观察和分析.
3. 影子上墙:
、 、 是影子上墙时的三种常见处理方式,它们的实质是构造三角形相似.
D
A
G
E F B C
G
D D D H
H G G
E F H E F E F
△DEH∽△ABC △DHG∽△ABC △HEF∽△ABC
Ø 精讲精练
1. 如图,在△ABC 中,EF∥DC,∠AFE=∠B,AE=6,ED=3,
AF=8,则 AC=
E
D
F
A
, CD = .
BC
A B
E
F
C D
B C
第 1 题图 第 2 题图
2. 如图,AB∥CD,线段 BC,AD 相交于点 F,点 E 是线段 AF 上一点且满足∠BEF=∠C,其中 AF=6,DF=3,CF=2,则AE= .
3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,BD=2,
AD=8,则 CD= ,AC= ,BC= .
D
E
G
A
C
B C
A D B
F
第 3 题图 第 4 题图
4. 如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和
AFG 摆放在一起,A 为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为 2,若△ABC 固定不动,△AFG 绕点 A 旋转,AF,
AG 与边 BC 的交点分别为 D,E(点 D 不与点 B 重合,点 E
不与点 C 重合).
①请写出图中所有的相似三角形 ;
②若 BD = 1 ,则 CE= .
2
1. 如图,M 为线段 AB 上一点,AE 与 BD 交于点 C,∠DME=
∠A=∠B=α,且 DM 交 AE 于点 F,ME 交 BD 于点 G.
(1)写出图中的三对相似三角形;
(2)连接 FG,当 AM=MB 时,求证:△MFG∽△BMG.
F
G
C
D
A M B
E
2. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 为
AD 的中点,连接 BE 交 AC 于点 F,连接 FD.若∠BFA=90°,
给出以下三对三角形:①△BEA 与△ACD;②△FED 与△DEB;
③△CFD 与△ABO.其中相似的有 (填写序号).
A E D F
O
B C
3. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CE⊥AB 于点 E,D 在 AB
4 5
5
的延长线上,且∠DCB=∠A,BD:CD=1:2, AE = ,则
△BCD 的面积是( )
A. 1
3
B. 5
3
C. 2
3
D. 2 5
3
C
A E B D
1. 如图,在 Rt△ABD 中,过点 D 作 CD⊥BD,垂足为 D,连接
BC 交AD 于点E,过点E 作EF⊥BD 于点F,若AB=15,CD=10,则 BF:FD= .
E
A
A
N
M
C D
B F D
B E C
第 8 题图 第 9 题图
2. 如图,在□ABCD 中,E 为 BC 的中点,连接 AE,AC,分别交 BD 于 M,N,则 BM:DN= .
10. 如图,直线 l1∥l2,若 AF:FB=2:3,BC:CD=2:1,则CE:AE= .
A G D
F
E
G A l1
F E
l2
B C D B C
第 10 题图 第 11 题图
11. 如图,在□ABCD 中,E 是 BA 延长线上一点,CE 分别与 AD,
BD 交于点 G,F.则下列结论:① EG = AG ;② EF = BF ;
GC GD
③ FC = BF ;④ CF 2 = GF × EF .其中正确的是
GF FD
FC FD
.
12. 如图所示,AB∥CD,AD,BC 交于点 E,过 E 作 EF∥AB 交
BD 于点 F.则下列结论:①△EFD∽△ABD;② EF
= BF ;
③ EF + EF = FD + BF
CD BD
= 1 ;④ 1 + 1 = 1 .其中正确的
AB CD BD BD
有 .
AB CD EF
A
E
C
B F D
11. 如图,在△ABC 中,CD⊥AB 于点 D,正方形 EFGH 的四个
顶点都在△ABC 的边上.求证: 1 + 1 = 1 .
AB CD EF
C
E
F
A H D G B
12. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度.在阳光下,一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米,同时另一名同学测量一棵树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),这部分影长为 1.2 米,落在地面上的影长为 2.4 米,则树高为 .
A
D
B C
第 14 题图 第 15 题图
13. 小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上, 量得 CD=8 米,BC=20 米,CD 与地面成 30°角,且此时测得
1 米杆的影长为 2 米,则电线杆的高度为( )
A.9 米 B.28 米
C. (7 + 3) 米 D. (14 + 2 3) 米
11. 如图,在斜坡的顶部有一铁塔 AB,B 是 CD 的中点,CD 是水平的,在阳光的照射下,塔影 DE 留在坡面上.若铁塔底座宽 CD=12 m,塔影长 DE=18 m,小明和小华的身高都是
1.6 m,同一时刻小明站在点 E 处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为 2 m 和 1 m, 则塔高 AB 为( )
A.24 m B.22 m C.20 m D.18 m
A
C B D
E
【参考答案】
Ø 课前预习
1. 证明略;
Ø 知识点睛
2. 角相等、比例线段,比例的传递与整合,比例形式
3. 推墙法、抬高地面法、砍树法框内答案
框 1: AC 2 = BC × CD ; AD2 = CD × DB .
Ø 精讲精练
1. 12, 3
4
2. 10
3
5
3. 4, 4 5 , 2
4. ①△ABE∽△DAE;△DAC∽△DEA;△ABE∽△DCA;△ABC
≌△GAF.
② 2 .
3
5. (1)△AMF∽△BGM;△AME∽△MFE;△BMD∽△MGD;
(2)证明略.
6. ①②③
7. A
8. 3:2
9. 2:3
10. 1:2
11. ①②③④
12. ①②③④
13. 证明略
14. 4.2 米
15. D
16. A
相似模型(一)(习题)
Ø 例题示范
例 1:如图,某一时刻,旗杆 AB 的影子一部分在地面上,另一部分在建筑物的墙面上.小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为
9.6 m,在墙面上的影长 CD 为 2 m.同一时刻,小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m.请帮助小明求出旗杆的高度.
D
A
B C
解:如图,过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E,则四边形 BCDE 为
D
E
矩形. A
由题意,BC=9.6,CD=2,
∴BC=DE=9.6,CD=BE=2
由题意,
AE =
ED
1
1.2
∴AE=8 B C
∴AB=AE+EB=8+2=10
∴旗杆的高度为 10 m.
Ø 巩固练习
1. 如图,在锐角三角形 ABC 中,高 CD,BE 相交于点 H,则图中与△CEH 相似(除△CEH 自身外)的三角形有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
A
E
F
B
A D
D
E
H C
B C
第 1 题图 第 2 题图
2. 如图,E 是□ABCD 的边 CD 上一点,连接 AC,BE 交于点 F. 若
DE:EC=1:2,则 BF:EF= .
1.
1. 如图,小明在 A 时刻测得某树 B时 A时的影长为 2 m,B 时刻又测得
该树的影长为 8 m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为 .
2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,若
BD:CD=3:2,则 AC:AB=( )
A. 3
2
B. 2
3
A
C. 6
2
D. 6
3
G
A F D E
C
B D C B
第 4 题图 第 5 题图
3. 如图,已知□ABCD,过点 B 的直线依次与 AC,AD 及 CD 的延长线相交于点 E,F,G.若 BE=5,EF=2,则 FG 的长为
.
4. 如图,梯形 ABCD 的中位线 EF 分别交对角线 BD,AC 于点
M,N,AD=1,BC=3,则 EF= ,MN= .
E
M
N
F
A F
G
D
A D
B C E B C
第 6 题图 第 7 题图
5. 如图,D 是 AB 的中点,AF∥CE,若 CG:GA=3:1,BC=8,
则 AF= .
6. 如图,P 是□ABCD 的对角线 BD 上一点,一直线过点 P 分别
交 BA,BC 的延长线于点 Q,S,交 AD,CD 于点 R,T. 有下列结论:①△RQA∽△RTD;② PS × PD = PR × PB ;
③ PQ = PB ;④ PQ × PR = PS × PT .其中正确的是 .
PT PD
9.如图,在△ABC 中,D 为 AC 边的中点,AE∥BC,ED 交 AB 于点 G,交 BC 的延长线于点 F.若 BG:GA=3:1,BC=10, 则 AE= .
E
G
A
D
C
B
10.
11.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为 D,E 是
AC 上的点,若 AF⊥BE,垂足为 F.求证:∠BFD=∠C.
A
E
F
B D C
12.如图,一同学在某时刻测得 1 m 长的标杆竖直放置时影子长为 1.6 m,同一时刻测量旗杆的影子长时,因旗杆靠近一栋楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上的影子长为 11.2 m,留在墙上的影子高为 1 m,则旗杆的高度是 .
A
D
B C
第 11 题图 第 12 题图
13.如图,小明想测量电线杆 AB 的高度,发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上,量得 CD=4 m,BC=10 m,
CD 与地面成 30°角,且此时测得 1 m 杆的影子长为 2 m,则电线杆的高度为 .
14.如图,在斜坡的顶部有一竖直铁塔 AB,B 是 CD 的中点,且
CD 是水平的.在阳光的照射下,塔影 DE 留在坡面上,已知铁塔底座宽 CD=14 m,塔影长 DE=36 m,小明和小华的身高都是 1.6 m,小明站在点 E 处,影子也在斜坡面上,小华站在沿 DE 方向的坡脚下,影子在平地上,两人的影长分别为 4 m, 2 m,那么塔高 AB= .
C B D
E
A
第 13 题图 第 14 题图
15.某兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下,一名同学测得一根长为 1 m 的竹竿的影长为 0.4 m,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为 0.2 m,一级台阶高为 0.3 m,如图所示,若此时落在地面上的影长为 4.4 m,则树高为 .
1.
Ø 思考小结
1. 相似基本模型除了图形本身往往有公共角、对顶角相等之外, 还需要满足一些其他特征,这些特征能够帮助我们快速验证模型.
①平行线,往往配合对顶角相等(X 型)、有公共角(A 型)
②一组角对应相等,往往配合对顶角相等(X 型)、有公共角
(A 型)
③多直角结构,往往利用互余关系得到角相等后,配合有公共角(母子型)
2. 影子上墙问题的常见处理方法:推墙法、砍树法、抬高地面法,这三种方法的实质都是构造三角形相似,在构造的时候, 我们主要是想办法构造出来太阳光线与地面的夹角.
3.
【参考答案】
Ø 巩固练习
1. C
2. 3:2
1. 4 m
2. D
5. 21
2
6. 2,1
7. 4
8. ①②③④
9.5
10.证明略
11.证明略
12.8 m
13. (7 +
14. 20 m
3) m
15. 11.8 m